3.2.2 函數(shù)的奇偶性（解析版）

.2.2函數(shù)的奇偶性知識點一判斷函數(shù)的奇偶性【【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性，一般有以下兩種方法(1)定義法：若函數(shù)定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，則應進一步判斷f(－x)是否等于±f(x)，或判斷f(－x)±f(x)是否等于0，從而確定奇偶性．(2)圖象法：若函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)．【例1】（22-23高一·全國·隨堂練習）判斷下列函數(shù)的奇偶性，并加以證明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析(2)非奇非偶函數(shù)，證明見解析(3)非奇非偶函數(shù)，證明見解析(4)奇函數(shù)，證明見解析(5)偶函數(shù)，證明見解析(6)奇函數(shù)，證明見解析(7)偶函數(shù)，證明見解析(8)奇函數(shù)，證明見解析【解析】（1）為奇函數(shù)定義域為R，關(guān)于原點對稱，且，所以為奇函數(shù).（2）為非奇非偶函數(shù)，定義域為R，關(guān)于原點對稱，，且，所以，為非奇非偶函數(shù).（3）為非奇非偶函數(shù)，定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以，為非奇非偶函數(shù).（4）為奇函數(shù)，定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù).（5）為偶函數(shù)，定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為偶函數(shù).（6）為奇函數(shù)，定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以為奇函數(shù).（7）為偶函數(shù)，定義域為R，關(guān)于原點對稱.對于，都有，且.對于，，有，.同理可推得，，.綜上所述，，都有，所以為偶函數(shù).（8）為奇函數(shù)，定義域為R，關(guān)于原點對稱.對于，都有，且.對于，，有，.同理可推得，，.綜上所述，，都有，所以為奇函數(shù).【變式】1．（23-24高一下·遼寧·開學考試）設(shè)函數(shù)，則有（

）A．是奇函數(shù)， B．是奇函數(shù)，C．是偶函數(shù)， D．是偶函數(shù)，【答案】C【解析】因為函數(shù)表達式為，定義域為，所以，所以為偶函數(shù)；又，所以C正確.故選：C2.（2024高一·全國·專題練習）判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)，(5)(6)；(7)(8)【答案】(1)奇函數(shù)(2)偶函數(shù)(3)非奇非偶函數(shù)(4)非奇非偶函數(shù)(5)非奇非偶函數(shù)(6)奇函數(shù)(7)偶函數(shù)(8)非奇非偶函數(shù)【解析】（1）的定義域為，它關(guān)于原點對稱.，故為奇函數(shù).（2）的定義域為，它關(guān)于原點對稱.，故為偶函數(shù).（3）的定義域為不關(guān)于原點對稱，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（4），的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（5）因為，所以，即函數(shù)的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).（6）由，得，且，所以的定義域為，關(guān)于原點對稱，所以.又，所以是奇函數(shù).（7）對于函數(shù)，因為，所以，其定義域為，關(guān)于原點對稱.因為對定義域內(nèi)的每一個，都有，所以，，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（8）因為，所以，所以的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).知識點二根據(jù)奇偶性補充圖像【【解題思路】巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對稱．【例2】（22-23高一上·天津南開·期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，函數(shù)圖象為拋物線的一部分(1)請畫出函數(shù)當時的圖象；(2)寫出函數(shù)的解析式，值域，增區(qū)間．【答案】(1)圖象見解析(2)，的值域為，增區(qū)間為，.【解析】（1）時函數(shù)的圖象如圖所示：（2）由題設(shè)中的圖象可得，有兩個解，它們分別為，故可設(shè)，而，故，解得，故當時，.而當時，，，因為偶函數(shù)，故，所以.從題設(shè)的函數(shù)圖象可得，當時，的取值范圍為，因為為偶函數(shù)，故的值域為，當時，在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，因為為偶函數(shù)，故在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故的增區(qū)間為，.【變式】1．（23-24高一上·天津濱海新·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，如圖當時，.(1)求，的值；(2)求出當時，的解析式；(3)請在圖中的坐標系中將函數(shù)的圖象補充完整；并根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及值域.【答案】(1)，(2)(3)作圖見解析，單調(diào)增區(qū)間，，值域【解析】（1）因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，所以；；（2）設(shè)，則，因為當時，，所以，因為是偶函數(shù)，所以；（3）因為是偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于軸對稱，所以將在軸左側(cè)的圖象關(guān)于軸對稱，可得函數(shù)在軸右側(cè)的圖象，由圖象可知的單調(diào)增區(qū)間，，當時，，當時，，所以值域為.2．（23-24高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，．

(1)求當時，的解析式；(2)如圖，請補出函數(shù)的完整圖象，根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)當時，(2)圖象見解析，和【解析】（1）由題意設(shè)，則，所以，因為為上的偶函數(shù)，所以，所以，所以，當時，．（2）由題意，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，作出函數(shù)圖象如下：據(jù)圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：和．知識點三根據(jù)奇偶性求參數(shù)【【解題思路】利用奇偶性求值的常見類型(1)求參數(shù)值：若解析式含參數(shù)，則根據(jù)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解；若定義域含參數(shù)，則根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱，利用區(qū)間的端點和為0求參數(shù)．(2)求函數(shù)值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有時需要構(gòu)造奇函數(shù)或偶函數(shù)以便于求值．【例3-1】（22-23高一上·廣東湛江·期中）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則，解得,而當時，函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以.故選：A.【例3-2】（23-24高一上·遼寧阜新·期中）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以且，則，所以，則.故選：D．【例3-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知為奇函數(shù)，則（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【解析】當時，，所以，通過對比系數(shù)得.故選：A【例3-4】（2024內(nèi)蒙古赤峰·期中）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)．【答案】【解析】因為，該函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，可得對任意的恒成立，故，解得.故答案為：.【變式】1．（23-24高一上·山西長治·期末）若為奇函數(shù)，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，可得，解得，經(jīng)檢驗，當時，，滿足，符合題意，所以.故選：D.2．（23-24高一下·廣西南寧·開學考試）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C．3 D．2【答案】A【解析】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱，可得，所以，由，可得，解得，所以．故選：A3．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，得到，顯然，由圖象關(guān)于軸對稱，得到，解得，所以，滿足要求，得到.故選：A.4．（2024高一·全國·專題練習）已知為偶函數(shù)，則.【答案】【解析】法一：特殊值法：因為為偶函數(shù)，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗，當時，為偶函數(shù)，符合題意.法二：定義法：因為為偶函數(shù)，所以，所以，化簡得，所以，解得.故答案為：知識點四根據(jù)奇偶性求解析式【【解題思路】用奇偶性求解析式如果已知函數(shù)的奇偶性和一個區(qū)間[a，b]上的解析式，求關(guān)于原點的對稱區(qū)間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應在哪個區(qū)間上設(shè)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．【例4-1】（23-24高一上·陜西西安·階段練習）定義在上的奇函數(shù)，當時，，則解析式是.【答案】【解析】當時，，所以，由于為奇函數(shù)，所以，故，故答案為:【例4-2】（23-24高一上·福建漳州·期末）若函數(shù)是偶函數(shù)，且當時，，則當時，.【答案】【解析】因為數(shù)是偶函數(shù)，且當時，，所以當時，，所以，即，所以當時，.故答案為：【變式】1．（22-23高一上·廣東陽江·階段練習）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且當時，，那么當時，.【答案】【解析】由題意，函數(shù)為奇函數(shù)，且當時，，則當時，，則.故答案為：.2．（23-24高一上·上海楊浦·期末）已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式．【答案】【解析】依題意，當時，，故在區(qū)間上的解析式.3．（23-24高一上·北京·期中）已知函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且當時，，則當時，的解析式為．【答案】【解析】函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當時，，當時，，所以.故答案為：.4．（23-24高一上·陜西西安·階段練習）已知函數(shù)對一切實數(shù)都滿足，且當時，，則．【答案】【解析】函數(shù)對一切實數(shù)都滿足，所以，設(shè)，則，，又因為，即，所以所以.故答案為：．重難點一奇偶性與單調(diào)性解不等式【【解題思路】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性1．若f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上單調(diào)遞增，則f(x)在[－b，－a]上單調(diào)遞增，即在對稱區(qū)間上單調(diào)性一致(相同)．2．若f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[a，b](a<b)上為單調(diào)遞增，則f(x)在[－b，－a]上單調(diào)遞減，即在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反．3.利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式，一般有兩類(1)利用圖象解不等式．(2)轉(zhuǎn)化為簡單不等式求解．①利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，去掉不等式中的“f”轉(zhuǎn)化為簡單不等式(組)求解．提醒：列不等式(組)時不要忘掉函數(shù)定義域【例5-1】（23-24高一上·北京東城·期末）奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且其圖象經(jīng)過點，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為為奇函數(shù)，且，所以；又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，有，即，解得.故選：D【例5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞減，，，則有或，解得或，所以不等式的解集為.故選：B【變式】1．（23-24高一上·北京·期中）若定義在上的奇函數(shù)在上是增函數(shù)，又，則的解集為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】因為定義在上的奇函數(shù)在上是增函數(shù)，又，所以在上是增函數(shù)，，，所以當時，當時，當時，當時，所以的解集為或.故選：D2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，則，則，即，即當時，，設(shè)，則，則，則當時，由可得，解得，當時，由可得，解得，所以不等式得解集為.故選：A3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為定義域為的偶函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，當時，，所以由可得或或或，所以得或或，所以滿足的的取值范圍是．故選：B．4．（23-24高一上·江西·期末）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，則，故，解得.故選：D.5（22-23高一上·北京·階段練習）若定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】為上的奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減，，，，且在上單調(diào)遞減，所以或，或，可得，或，即或，即，故選：B.6．（23-24高一下·河北張家口·開學考試）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，又因為是在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，即，于是有，解得或，故不等式的解集為.故選：A.重難點二奇偶性與單調(diào)性比較大小【【解題思路】比較大小的求解策略，看自變量是否在同一單調(diào)區(qū)間上(1)在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?2)不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大?。纠?】（22-23高一上·湖南邵陽·期末）已知是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系為：（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為是偶函數(shù)，所以，.因為在上是增函數(shù)，所以，所以.故選;D.【變式】1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若是偶函數(shù)，且對任意∈且，都有，則下列關(guān)系式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】若，由，可知，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即.故選：A2．（22-23高一上·海南儋州·期末）（多選）若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】若為偶函數(shù)，則，∵在上是增函數(shù)，∴即，，，A、C、D正確，B錯誤.故選：ACD.3．（23-24高一上·北京東城·期中）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則的從小到大的順序為.【答案】【解析】因為函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：.重難點三奇偶性與單調(diào)性求最值【例7-1】（23-24高一上·湖南株洲·期中）若奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且有最大值，則函數(shù)在區(qū)間上（

）A．單調(diào)遞增且最小值為 B．單調(diào)遞增且最大值為C．單調(diào)遞減且最小值為 D．單調(diào)遞減且最大值為【答案】A【解析】因為是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點對稱，又在區(qū)間上單調(diào)遞增且有最大值，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增且最小值為.故選：A.【例7-2】（23-24高一上·福建三明·期中）已知函數(shù)，當時，的最大值為最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，設(shè)，，，則是上的奇函數(shù)，的最大值為，最小值為，則有，所以.故選：B【例7-3】（23-24高一上·北京·期中）已知函數(shù)，且，則．【答案】【解析】令，，，則，，所以為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，又，且，，所以，，又，所以.故答案為：【變式】1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函數(shù)在上是減函數(shù)且最小值是4，那么在上是（

）A．減函數(shù)且最小值是－4 B．減函數(shù)且最大值是－4C．增函數(shù)且最小值是－4 D．增函數(shù)且最大值是－4【答案】B【解析】由題意，奇函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，可得函數(shù)在區(qū)間上也是減函數(shù)，又由奇函數(shù)在區(qū)間上的最小值是4，即，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，故選：B.2．（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】A【解析】，令，因為是奇函數(shù)，所以，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的最大值為，最小值為，由奇函數(shù)得性質(zhì)可得，，解得.故選：A.3．（23-24高一上·廣東茂名·階段練習）已知函數(shù)，若，則.【答案】【解析】令為奇函數(shù)，，.故答案為：4．（23-24高三上·安徽安慶·階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則．【答案】6【解析】設(shè)，則的定義域為，且連續(xù)不斷，由，可知為奇函數(shù)，設(shè)在上的最大值為，由奇函數(shù)的對稱性可知在上的最小值為，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，所以.故答案為：6.5．（2024高一·全國·專題練習）已知，則=【答案】【解析】設(shè)，，又，所以為奇函數(shù)，則，所以，所以，所以.答案為：.6．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)，若，則．【答案】6【解析】令，，所以為奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以．故答案為：6.單選題1．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且最小值為5，則它在區(qū)間上是（

）A．增函數(shù)且有最大值 B．增函數(shù)且有最小值C．減函數(shù)且有最大值 D．減函數(shù)且有最小值【答案】A【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且有最小值5，所以，又為奇函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且有最大值.故選：A2．（2024·江西·模擬預測）已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，因為是奇函數(shù)，且，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，故不等式的解集為．故選：D3．（22-23高一上·河南·期中）已知分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則（

）A．1 B．3 C． D．【答案】D【解析】因分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則有：，由①，將其中的取為，則可化簡得：②，由①②聯(lián)立可求得：，于是.故選：D.4．（22-23高一上·天津·期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，且時，，都有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設(shè)，由，可得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又定義在上的函數(shù)滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以或，所以不等式的解集為.故選：C.5．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，對任意，且，都有，，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知對任意，且，都有，，則在上單調(diào)遞減，且當時，；當時，；又是定義在上的偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，，且當時，；當時，；不妨畫出圖象示意圖如圖：則不等式的解集是，故選：A6．（22-23高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，恒成立，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵當時，恒成立，∴當時，，即，∴函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，∵函數(shù)是偶函數(shù)，即，∴函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，∴，又函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，∴，即，∴，故選：C.7．（23-24高一上·浙江寧波·期末）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，的定義域為，且為偶函數(shù)，在(或其子集)上為偶函數(shù)，恒成立，恒成立，故選:

A.8．（22-23高三上·山西運城·期中）已知函數(shù)滿足：①定義域為，②為偶函數(shù)，③為奇函數(shù)，④對任意的，且，都有，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵在R上為偶函數(shù)，∴，∴關(guān)于x=1對稱.∵在R上為奇函數(shù)，∴，∴關(guān)于對稱，且∵，∴（將上式中的x換成x-1）①又∵，∴②∴由①②得：③∴由③得：④（將③中的x換成x+2）∴由③④得：∴的一個周期為，且，關(guān)于對稱又∵對任意的，且，都有，∴在上單調(diào)遞增.∴在一個周期內(nèi)的草圖為：∴，，∴如圖所示：，即：，故選：C.多選題9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域為 B．的值域為RC．為增函數(shù) D．的圖象關(guān)于坐標原點對稱【答案】ABD【解析】A：由題意知，函數(shù)的定義域為，故A正確；B：當時，，當時，，所以函數(shù)的值域為R，故B正確；C：函數(shù)在和上單調(diào)遞增，不是增函數(shù)，故C錯誤；D：如圖，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故D正確.故選：ABD10．（23-24高一上·安徽蕪湖·期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的定義域為B．是偶函數(shù)C．的值域為D．【答案】BCD【解析】有意義，則，解得，故的定義域為，A錯；的定義域關(guān)于原點對稱，且，故是偶函數(shù)，B對；，令，易知在單調(diào)遞增，故或，即的值域為，C正確；，故D正確.故選：BCD11．（23-24高一上·陜西漢中·期末）對于函數(shù)，下面幾個結(jié)論中錯誤的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)的值域為 D．函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】BD【解析】因，函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，且，，即函數(shù)是奇函數(shù)，故A項正確，B項錯誤；對于C項，當時，，因函數(shù)在上為減函數(shù)，則為增函數(shù)，故，即；當時，因函數(shù)，因函數(shù)在上為減函數(shù)，則為增函數(shù)，故，即.故函數(shù)的值域為，C項正確；對于D項，通過C項分析知函數(shù)在上是增函數(shù)，故D項錯誤.故選：BD.填空題12．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)，若，則．【答案】3【解析】，則；.故答案為：3.13．（23-24高一上·陜西商洛·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則．【答案】1【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，即，于是有，解得.故答案為：.14．（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù)，且滿足，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】易知的定義域，關(guān)于原點對稱，又，故為奇函數(shù)，，又均為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，又為奇函數(shù)，故為上的增函數(shù)；即，故．故答案為：.解答題15．（2024高一·全國·專題練習）判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)；(5)(6)【答案】(1)奇函數(shù)(2)非奇非偶函數(shù)(3)非奇非偶函數(shù)(4)奇函數(shù)(5)即是奇函數(shù)也是偶函數(shù)(6)非奇非偶函數(shù)【解析】（1）的定義域為，它關(guān)于原點對稱．，故為奇函數(shù)；（2）的定義域為不關(guān)于原點對稱，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；（3）因為，所以，即函數(shù)的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；（4）由，得，且，所以的定義域為，關(guān)于原點對稱，所以．又，所以是奇函數(shù)；（5）對于函數(shù)，因為，所以，其定義域為，關(guān)于原點對稱．因為對定義域內(nèi)的每一個，都有，所以，，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；（6）因為，所以，所以的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．故答案為：①奇函數(shù)；②非奇非偶函數(shù)；③非奇非偶函數(shù)；④奇函數(shù)；⑤即是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；⑥非奇非偶函數(shù)16．（23-24高一上·重慶永川·期中）已知函數(shù)．(1)判斷的奇偶性，并說明理由；(2)判斷在區(qū)間上的