第七章 突破1 球的切、接問題

第七章立體幾何與空間向量突破1球的切、接問題目

錄Contents01練習幫練透好題精準分層

A.12πB.24πC.36πD.144π

C訓練2例1訓練1例2訓練3例3(2)[全國卷Ⅰ]已知三棱錐

P

－

ABC

的四個頂點在球

O

的球面上，

PA

＝

PB

＝

PC

，△

ABC

是邊長為2的正三角形，

E

，

F

分別是

PA

，

AB

的中點，∠

CEF

＝90°，則球

O

的體積為(

D

)D訓練2例1訓練1例2訓練3例3[解析]

(補形法)因為點

E

，

F

分別為

PA

，

AB

的中點，所以

EF

∥

PB

，因為∠

CEF

＝90°，所以

EF

⊥

CE

，所以

PB

⊥

CE

.

取

AC

的中點

D

，連接

BD

，

PD

，易證

AC

⊥平面

BDP

，所以

PB

⊥

AC

，又

AC

∩

CE

＝

C

，

AC

，

CE

?平面

PAC

，所以

PB

⊥平面

PAC

，所以

PB

⊥

PA

，

PB

⊥

PC

，因為

PA

＝

PB

＝

PC

，△

ABC

為正三角形，所以

PA

⊥

PC

，即

PA

，

PB

，

PC

兩兩垂直.將三棱錐

P

－

ABC

放在正方體中，如圖所示.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3(3)[2023全國卷乙]已知點

S

，

A

，

B

，

C

均在半徑為2的球面上，△

ABC

是邊長為3

的等邊三角形，

SA

⊥平面

ABC

，則

SA

＝

?.

2

訓練2例1訓練1例2訓練3例3

訓練2例1訓練1例2訓練3例3方法技巧1.解決外接球問題的關(guān)鍵是利用球心到多面體的頂點的距離均等于球的半經(jīng).2.柱體的外接球球心為上、下底面外心(外接圓圓心)連線的中點.訓練2例1訓練1例2訓練3例3模

型墻角型：AD⊥AB，

AC⊥AD，AC⊥AB對棱相等型：AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，AC＝BD＝c圖

示

分

析可補形為長方體或正方體可補形為長方體或正方體，每條棱均為其面對角線球

心球心位于體對角線中點球心位于體對角線中點半

徑3.棱錐中幾種常見的外接球模型訓練2例1訓練1例2訓練3例3模

型側(cè)棱與底面垂直型：PA⊥平面

ABC側(cè)面與底面垂直型：平面PAD⊥平面ABCD圖

示

分

析過底面外心O1作垂直于底面的直

線l，則有l(wèi)∥PA作PE⊥AD于E，過底面外心O1作垂直于底

面的直線l，則有l(wèi)∥PE球

心球心O在直線l上，過點O作OH⊥PE于點

H，利用Rt△POH和Rt△AOO1列方程組半

徑訓練2例1訓練1例2訓練3例3訓練1

(1)[2023湖南省郴州市適應(yīng)性模擬]已知圓臺的上、下底面的圓周都在半徑為2

的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為1，則圓臺的體積為(

C

)C訓練2例1訓練1例2訓練3例3

訓練2例1訓練1例2訓練3例3(2)已知四棱錐

P

－

ABCD

的底面

ABCD

是矩形，其中

AD

＝1，

AB

＝2，平面

PAD

⊥

平面

ABCD

，△

PAD

為等邊三角形，則四棱錐

P

－

ABCD

的外接球體積為(

D

)D訓練2例1訓練1例2訓練3例3[解析]設(shè)

AD

的中點為

F

，連接

PF

，

AC

，

BD

，設(shè)

AC

∩

BD

＝

E

，連接

EF

，設(shè)△

PAD

外接圓的圓心為

O

1，半徑為

r

，所求外接球球心為

O

，半徑為

R

，連接

OO

1，

OE

，

OP

，如圖.

因為△

PAD

為等邊三角形，

F

是

AD

的中點，所以

PF

⊥

AD

，又平面

PAD

⊥平面

ABCD

，平面

PAD

∩平面

ABCD

＝

AD

，

PF

?平面

PAD

，所以

PF

⊥平面

ABCD

.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3因為底面

ABCD

是矩形，所以

E

是底面

ABCD

外接圓的圓心，故

OE

⊥平面

ABCD

，

所以

PF

∥

OE

.

同理

OO

1∥

EF

，又易得

PF

⊥

EF

，所以四邊形

OO

1

FE

是矩形，

訓練2例1訓練1例2訓練3例3命題點2

內(nèi)切球問題例2

(1)[全國卷Ⅲ]已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球

的體積為

?.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3

訓練2例1訓練1例2訓練3例3

訓練2例1訓練1例2訓練3例3

所以△

SAB

為等邊三角形，可知點

P

是△

SAB

的中心.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3

訓練2例1訓練1例2訓練3例3

訓練2例1訓練1例2訓練3例3幾何體求內(nèi)切球半徑R的方法正方體(棱長為a)正四面體(棱長為a)

三棱錐方法技巧求解常見幾何體的內(nèi)切球半徑的方法訓練2例1訓練1例2訓練3例3訓練2

(1)[2023河南省部分名校聯(lián)合檢測]已知三棱錐

P

－

ABC

的所有頂點均在半徑

為2的球

O

的球面上，底面△

ABC

是邊長為3的等邊三角形.若三棱錐

P

－

ABC

的體

積取得最大值時，該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為

r

，則

r

＝(

B

)A.1B訓練2例1訓練1例2訓練3例3

訓練2例1訓練1例2訓練3例3

B.4C.2B訓練2例1訓練1例2訓練3例3

訓練2例1訓練1例2訓練3例3因為平面

EBC

⊥平面

AEB

，平面

EBC

∩平面

AEB

＝

BE

，

AO

?平面

AEB

，所以

AO

⊥平面

EBC

，又

BC

?平面

EBC

，所以

AO

⊥

BC

.

因為

EA

⊥平面

ABC

，

BC

?平面

ABC

，所以

EA

⊥

BC

，又

EA

∩

AO

＝

A

，

EA

，

AO

?平面

AEB

，所以

BC

⊥平面

AEB

，而

AB

?平面

AEB

，所以

AB

⊥

BC

.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3

命題點3

球與多面體的棱相切的問題例3

(1)[2023全國卷甲]在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝4，

O

為

AC

1的中

點，若該正方體的棱與球

O

的球面有公共點，則球

O

的半徑的取值范圍是

?.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3(2)[2023廣東省高州市二模]已知球

O

與正四面體

A

－

BCD

的各棱相切，且與平面α

相切，若

AB

＝1，則正四面體

A

－

BCD

表面上的點到平面α距離的最大值

為

?.[解析]將正四面體

A

－

BCD

補形成正方體，如圖所示.因為球

O

與正四面體

A

－

BCD

的各棱相切，所以球

O

即正方體的內(nèi)切球，易知球心

O

為正方體體對角線的中點，如圖所示.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3記正四面體

A

－

BCD

表面上的點到球心

O

的距離為

d

，球

O

的半徑為

r

，則正四面

體

A

－

BCD

表面上的點到平面α距離的最大值為

d

＋

r

的最大值.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3方法技巧破解此類球與多面體的棱相切問題的關(guān)鍵一是會轉(zhuǎn)化，即能把所求的問題進行轉(zhuǎn)化，例如，以正四面體的相對棱的中點的連

線為直徑的球，常轉(zhuǎn)化為與幾何體的棱相切的問題，從而把空間問題平面化；二是會求球的半徑，能在轉(zhuǎn)化后的平面問題中，尋找相關(guān)的量，求出球的半徑

或直徑.訓練2例1訓練1例2訓練3例3訓練3

(1)[多選/2024福州市一檢]已知正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的底面邊長為

2，球

O

與正四棱柱的上、下底面及側(cè)棱都相切.

P

為平面

CDD

1內(nèi)一點，且直線

BP

與球

O

相切，則(

BCD

)A.球O的表面積為4πB.直線BD1與BP所成的角等于45°D.側(cè)面ABB1A1與球面的交線長為2πBCD訓練2例1訓練1例2訓練3例3

圖1

訓練2例1訓練1例2訓練3例3

圖2訓練2例1訓練1例2訓練3例3(2)[2023山西省朔州市大地學校高中部第四次月考]正四面體的內(nèi)切球、棱切球(與各

條棱均相切的球)及外接球的半徑之比為

?.[解析]設(shè)正四面體

S

－

ABC

的棱長為1，外接球和內(nèi)切球的半徑分別為

R

，

r

，如

圖所示，設(shè)

D

為

AB

的中點，連接

SD

，

CD

，作

SE

⊥

CD

于點

E

，由正四面體的性

質(zhì)可知線段

SE

為正四面體

S

－

ABC

的高.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3

訓練2例1訓練1例2訓練3例3

訓練2例1訓練1例2訓練3例3

1.[2023遼寧省模擬]“圓柱容球”是指圓柱形容器里放了一個球，且球與圓柱的側(cè)

面及上、下底面均相切，則該圓柱的體積與球的體積的比值為(

B

)A.2

B1234567891011121314

D.6π

C1234567891011121314

B1234567891011121314

12345678910111213144.[2023高三名校聯(lián)考(一)]在四面體

ABCD

中，

BA

，

BC

，

BD

兩兩垂直，

BA

＝1，

BC

＝

BD

＝2，則四面體

ABCD

內(nèi)切球的半徑為(

C

)C1234567891011121314

12345678910111213145.[2024四川成都高三模擬]在三棱錐

P

－

ABC

中，

PA

⊥底面

ABC

，∠

BAC

＝

120°，

PA

＝

AB

＝

AC

＝2，若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積

為(

C

)B.18πC.20πC1234567891011121314

1234567891011121314

C1234567891011121314

1234567891011121314

A.12πB.4πA1234567891011121314[解析]設(shè)

E

是

AC

的中點，連接

EB

，

ES

，由于

SA

＝

SC

，

AB

＝

BC

，

1234567891011121314

1234567891011121314

A.20πB.16πC.12πD.8πA1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

BCD1234567891011121314[解析]如圖所示，設(shè)點

O

1為正方形

ABCD

的中心，連接

PO

1，則

PO

1⊥平面

ABCD

.

1234567891011121314

1234567891011121314

123456789101112131410.[多選/2024惠州市一調(diào)]已知棱長為1的正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1，以正方體中

心

O

為球心的球與正方體的各條棱都相切，點

P

為球面上的動點，則下列說法正確