第八章 突破3 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定線問題

第八章平面解析幾何突破3圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定線問題目

錄Contents01練習(xí)幫練透好題精準(zhǔn)分層

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3(2)過點(diǎn)(－2，3)的直線交

C

于

P

，

Q

兩點(diǎn)，直線

AP

，

AQ

與

y

軸的交點(diǎn)分別為

M

，

N

，證明：線段

MN

的中點(diǎn)為定點(diǎn).

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3方法技巧求解直線或曲線過定點(diǎn)問題的基本思路1.把直線或曲線方程中的變量

x

，

y

當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過

定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這

樣就得到一個(gè)關(guān)于

x

，

y

的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所

過的定點(diǎn).2.由直線方程確定其過定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式

y

－

y

0＝

k

(

x

－

x

0)，則

直線必過定點(diǎn)(

x

0，

y

0)；若得到了直線方程的斜截式

y

＝

kx

＋

m

，則直線必過定點(diǎn)

(0，

m

).3.從特殊情況入手，先探究定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

當(dāng)直線

MN

的斜率存在時(shí)，如圖，設(shè)

M

(

x

1，

y

1)，

N

(

x

2，

y

2)，

lMN

：

y

＝

kx

＋

m

(

k

＋

m

＝－2).訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3命題點(diǎn)2

定值問題例2

已知拋物線

C

：

y

2＝2

px

經(jīng)過點(diǎn)

P

(1，2).過點(diǎn)

Q

(0，1)的直線

l

與拋物線

C

有兩

個(gè)不同的交點(diǎn)

A

，

B

，且直線

PA

交

y

軸于

M

，直線

PB

交

y

軸于

N

.

(1)求直線

l

的斜率的取值范圍；

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3方法技巧圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及兩大解法1.特點(diǎn)：待證幾何量不受動點(diǎn)或動線的影響而有固定的值.2.兩大解法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān).(2)引進(jìn)變量法，其解題流程為：訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3(2)點(diǎn)

P

是直線

y

＝

x

＋1上一定點(diǎn)，設(shè)直線

PM

，

PN

的斜率分別為

k

1，

k

2，若

k

1

k

2

為定值，求點(diǎn)

P

的坐標(biāo).

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3(2)記

C

的左、右頂點(diǎn)分別為

A

1，

A

2，過點(diǎn)(－4，0)的直線與

C

的左支交于

M

，

N

兩

點(diǎn)，

M

在第二象限，直線

MA

1與

NA

2交于點(diǎn)

P

，證明：點(diǎn)

P

在定直線上.

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3方法技巧定線問題是指因圖形的變化或點(diǎn)的移動而產(chǎn)生的動點(diǎn)在定線上的問題.這類問題的本

質(zhì)是求點(diǎn)的軌跡方程，一般先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，看橫、縱坐標(biāo)是否為定值，或者找出

橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系.訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3(2)設(shè)

G

為直線

AD

與

BC

的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)

G

必在定直線上.

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

1.[命題點(diǎn)1]已知拋物線

C

：

x

2＝－2

py

經(jīng)過點(diǎn)(2，－1).(1)求拋物線

C

的方程及其準(zhǔn)線方程.[解析]由拋物線

C

：

x

2＝－2

py

經(jīng)過點(diǎn)(2，－1)，得4＝2

p

，解得

p

＝2，所以拋物線

C

的方程為

x

2＝－4

y

，其準(zhǔn)線方程為

y

＝1.12

(2)設(shè)

O

為原點(diǎn)，過拋物線

C

的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線

l

交拋物線

C

于兩點(diǎn)

M

，

N

，

直線

y

＝－1分別交直線

OM

，

ON

于點(diǎn)

A

和點(diǎn)

B

.

求證：以

AB

為直徑的圓經(jīng)過

y

軸

上的兩個(gè)定點(diǎn).12

12

12(2)點(diǎn)

M

，

N

在

C

上，且

AM

⊥

AN

，

AD

⊥

MN

，

D

為垂足.證明：存在定點(diǎn)

Q

，使

得｜

DQ

｜為定值.

12

12

12

123456解得

a

＝1，所以

b

＝1，所以

C

的方程為

x

2－

y

2＝1.(2)過點(diǎn)

P

作直線

l

交

C

于

M

，

N

兩點(diǎn)，過點(diǎn)

N

作

x

軸的垂線交直線

AM

于點(diǎn)

G

，

H

為

NG

的中點(diǎn)，證明：直線

AH

的斜率為定值.

123456

123456

123456

123456

123456

(1)求

yPyQ

的值；[解析]

解法一如圖，依題意，

A

(－2，0)，

B

(2，0).

即

yP

·

yQ

的值為－9.123456

123456(2)設(shè)直線

BP

與

E

的另一個(gè)交點(diǎn)為

D

，求證：直線

CD

經(jīng)過點(diǎn)

F

.

123456

123456

同理可得－3

x

1

y

2＋

x

2

y

1＋2

y

1＋6

y

2＝0，②①－②得4

x

1

y

2－4

x

2

y

1＋4

y

1－4

y

2＝0，即(

x

1－1)

y

2＝(

x

2－1)

y

1.所以(*)式成立，即直線

CD

經(jīng)過點(diǎn)

F

.

123456

123456(2)過點(diǎn)

D

(2，0)作直線

l

交拋物線

C

于

P

，

Q

兩點(diǎn)，點(diǎn)

P

關(guān)于

x

軸的對稱點(diǎn)為P'，證

明：直線P'Q過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

123456

123456

(1)設(shè)

AN

，

BN

的斜率分別為

k

1，

k

2，求

k

1·

k

2的值；

123456(2)求證：點(diǎn)

G

在定直線上.

12345