第四章 第6講 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0ω＞0)的圖象及其應(yīng)用

第四章三角函數(shù)第6講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象及其應(yīng)用

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.結(jié)合具體實(shí)例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的實(shí)際意義；能借助圖象理解參數(shù)ω，φ，A的意義，了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響.2.會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.三角函數(shù)的圖象及變換2023全國(guó)卷甲T10；2021全國(guó)卷乙T7本講是高考命題熱點(diǎn)，

主要考查三角函數(shù)的圖象變換，根據(jù)圖象求解析式，圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及三角函數(shù)模型的應(yīng)用.題型以選擇題和填空題為主，難度中等.在2025年的高考備考中要掌握三角函數(shù)的圖象及其變換技巧，并能從已知圖象中識(shí)別出有效信息進(jìn)行求解，同時(shí)關(guān)注命題新角度、新綜合以及三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題.由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式2023新高考卷ⅡT16；2021全國(guó)卷甲T16；2020新高考卷ⅠT10

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)1.結(jié)合具體實(shí)例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的實(shí)際意義；能借助圖象理解參數(shù)ω，φ，A的意義，了解參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響.2.會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用2022新高考卷ⅡT9；2022天津T9；2019全國(guó)卷ⅢT12本講是高考命題熱點(diǎn)，

主要考查三角函數(shù)的圖象變換，根據(jù)圖象求解析式，圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及三角函數(shù)模型的應(yīng)用.題型以選擇題和填空題為主，難度中等.在2025年的高考備考中要掌握三角函數(shù)的圖象及其變換技巧，并能從已知圖象中識(shí)別出有效信息進(jìn)行求解，同時(shí)關(guān)注命題新角度、新綜合以及三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題.三角函數(shù)模型的應(yīng)用

X＝ωx＋φ0π2πx①

?②

?③

④

y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0

2.三角函數(shù)的圖象變換函數(shù)

y

＝sin

x

的圖象通過變換得到

y

＝

A

sin(ω

x

＋φ)(

A

＞0，ω＞0，φ≠0)的圖象的

兩種方法：辨析比較圖象兩種變換方法的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別先平移變換(左右平移)再周期變換(伸縮變換)，平移的量是｜φ｜個(gè)單位

長(zhǎng)度，而先周期變換(伸縮變換)再平移變換(左右平移)，平移的量是個(gè)

單位長(zhǎng)度.聯(lián)系兩種變換方法都是針對(duì)x而言的，即x本身加減多少，而不是ωx加減多

少.平移規(guī)律：“左加右減，上加下減”，前提是先把x的系數(shù)提取出來.3.函數(shù)

y

＝

A

sin(ω

x

＋φ)(

A

＞0，ω＞0)的物理意義y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)振幅周期頻率相位初相A⑩

?

??

?

?φ注意

要求一個(gè)函數(shù)的初相，應(yīng)先將函數(shù)解析式化成

f

(

x

)＝

A

sin(ω

x

＋φ)的形式

(其中

A

＞0，ω＞0).

ωx＋φ

D1234

B1234

A.1cmB.2cm

C1234

1234

B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

A.1B.2C.3D.4C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧(1)當(dāng)

x

的系數(shù)不等于1時(shí)，注意先伸縮后平移和先平移后伸縮的區(qū)別，同時(shí)也要分清

哪個(gè)是原始函數(shù)(圖象)，哪個(gè)是平移后的函數(shù)(圖象).(2)如果平移前后兩個(gè)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)名稱不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

D例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

2

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

A.1B.2C.3D.4A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

CA.直線x＝π是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧有關(guān)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題，常以多選題或填空題的形式出現(xiàn)，破解

此類題的關(guān)鍵：一是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，如將函數(shù)轉(zhuǎn)化為“一角一函數(shù)”的形式；二是見數(shù)思形，熟悉正、余弦及正切函數(shù)的圖象，并能適時(shí)應(yīng)用；三是整體思想的應(yīng)用，會(huì)用整體換元的思想研究函數(shù)的性質(zhì).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

A.ω＝2AC例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

ABDA.ω＝2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

DA.最小正周期為80πB.一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為[30，70]C.y＝｜h(t)｜的最小正周期為40例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4方法技巧構(gòu)建三角函數(shù)模型求解實(shí)際問題時(shí)，一般需要根據(jù)實(shí)際問題得到解析式，求得的解

析式一般為

f

(

x

)＝

A

sin(ω

x

＋φ)＋

b

的形式，然后利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和題中

條件進(jìn)行求解.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

A.6.7時(shí)～11.6時(shí)B.6.7時(shí)～12.2時(shí)C.8.7時(shí)～11.6時(shí)D.8.7時(shí)～12.2時(shí)C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4訓(xùn)練4

A.－2D.2

C123452.[命題點(diǎn)2/多選/新高考卷Ⅰ]如圖是函數(shù)

y

＝sin(ω

x

＋φ)的部分圖象，則sin(ω

x

＋φ)＝

(

BC

)

BC12345

12345

B.函數(shù)h(x)的圖象的對(duì)稱中心為(3k－1，0)，k∈ZD.函數(shù)h(x)在區(qū)間[－2，0]上單調(diào)遞增BCD12345

12345

123454.[命題點(diǎn)3/多選/2023重慶市名校聯(lián)考]已知函數(shù)

f

(

x

)＝｜sin

x

＋cos

x

｜－sin

x

cosx

，則下列說法正確的是(

BD

)C.f(x)的值域?yàn)閇0，1]D.存在實(shí)數(shù)a∈(0，3)，使得f(x＋a)為偶函數(shù)，這樣的a值可以有兩個(gè)

BD12345

12345

12345

12345

123455.[命題點(diǎn)4/2024江蘇徐州模擬]當(dāng)前，我國(guó)在建核電機(jī)組數(shù)量居全球第一.核電抗飛

防爆結(jié)構(gòu)是保障核電工程安全的重要基礎(chǔ)設(shè)施，為此國(guó)家制定了一系列核電鋼筋混

凝土施工強(qiáng)制規(guī)范，連接技術(shù)全面采用HRB500高強(qiáng)鋼筋替代HRB400及以下鋼筋.某

項(xiàng)目課題組針對(duì)HRB500高強(qiáng)鋼筋端部螺紋的現(xiàn)場(chǎng)加工難題，對(duì)螺紋滾道進(jìn)行了深

入研究，研究中發(fā)現(xiàn)某S型螺紋絲杠旋銑的滾道徑向殘留高度

y

(單位：mm)關(guān)于滾

道徑向方位角

x

(單位：rad)的函數(shù)

y

＝

f

(

x

)近似地滿足

f

(

x

)＝

A

sin(ω

x

＋φ)＋

B

(

A

＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其部分圖象如圖所示.12345

(1)求函數(shù)

f

(

x

)的解析式；12345(2)現(xiàn)需一批滾道徑向殘留高度不低于0.015mm且不高于0.02mm的鋼筋，若這批鋼

筋由題中這種S型螺紋絲杠旋銑制作，求這種S型螺紋絲杠旋銑能制作出符合要求的

鋼筋的比例.

12345

C1234567891011121314

12345678910111213142.已知函數(shù)

f

(

x

)＝

A

sin(ω

x

＋φ)(

A

＞0，ω＞0，｜φ｜＜π)的部分圖象如圖所示，則

f

(

x

)的解析式為(

D

)D1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

A.0B.1C.2D.－1C1234567891011121314

1234567891011121314

B1234567891011121314

B.－1D1234567891011121314

1234567891011121314

AB1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

9.[2024江蘇揚(yáng)州模擬]阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國(guó)

第一高樓上海中心大廈的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識(shí)可

知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開平衡位置的位移

y

(m)和時(shí)間

t

(s)的函數(shù)關(guān)系為

y

＝sin(ω

t

＋φ)(ω＞0，｜φ｜＜π)，如圖2.若該阻尼器在擺動(dòng)過程

中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為

t

1，

t

2，

t

3(0＜

t

1＜

t

2＜

t

3)，且

t

1＋

t

2＝2，

t

2＋

t

3