第二章 第3講 函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性

第二章函數(shù)第3講函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情1.了解奇偶性的概念和幾何意義.2.了解周期性的概念和幾何意義.函數(shù)的奇偶性2023新高考卷ⅠT11；2023新高考卷ⅡT4；2023全國(guó)卷乙T4；2023全國(guó)卷甲T13；2022新高考卷ⅠT12；2022全國(guó)卷乙T16；2021全國(guó)卷乙T4；2021全國(guó)卷甲T12；2021新高考卷ⅠT13；2021新高考卷ⅡT8；2021新高考卷ⅡT14；2020全國(guó)卷ⅡT9；2020新高考卷ⅠT8；2019全國(guó)卷ⅡT14；2019全國(guó)卷ⅢT11課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情1.了解奇偶性的概念和幾何意義.2.了解周期性的概念和幾何意義.函數(shù)的周期性2022新高考卷ⅠT12；2022新高考卷ⅡT8；2022全國(guó)卷乙T12函數(shù)圖象的對(duì)稱性2022全國(guó)卷乙T12函數(shù)性質(zhì)的綜合

應(yīng)用2022新高考卷ⅠT12；2022全國(guó)卷乙T12；2021新高考卷ⅡT8；2021全國(guó)卷甲T12；2020新高考卷ⅠT8；2019全國(guó)卷ⅢT11命題分析預(yù)測(cè)本講為高考命題重點(diǎn)，命題熱點(diǎn)有函數(shù)奇偶性的判斷，利用函數(shù)的奇偶性求解析式、求函數(shù)值、解不等式等，函數(shù)周期性的判斷及應(yīng)用.題型以選擇題、填空題為主，函數(shù)性質(zhì)綜合命題時(shí)難度中等偏大.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，備考時(shí)注重常規(guī)題型訓(xùn)練的同時(shí)，關(guān)注命題角度創(chuàng)新試題及抽象函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特征特性單調(diào)性奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如?x∈D，都有－x∈D，且①

?

?，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).關(guān)于②

?對(duì)稱.(1)如果定義域中包含0，那么

f(0)＝③

?.(2)若函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱的區(qū)間上有最值，則

f(x)max＋f(x)min＝④

?.在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性⑤

?.f(－x)＝

－f(x)

原點(diǎn)

0

0

相同

奇偶性定義圖象特征特性單調(diào)性偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且⑥

?

?，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).關(guān)于⑦

?對(duì)稱.f(x)＝f(｜x｜).在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性⑧

?.f(－x)＝f(x)

y軸

相反

注意

(1)只有函數(shù)在

x

＝0處有定義時(shí)，

f

(0)＝0才是

f

(

x

)為奇函數(shù)的必要不

充分條件；(2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即

f

(

x

)＝0，

x

∈

D

，其中定義域

D

是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.規(guī)律總結(jié)1.常見的奇(偶)函數(shù)(1)函數(shù)

f

(

x

)＝

ax

＋

a

－

x

為偶函數(shù)，函數(shù)

g

(

x

)＝

ax

－

a

－

x

為奇函數(shù)；

2.函數(shù)奇偶性的拓展結(jié)論(1)若函數(shù)

y

＝

f

(

x

＋

a

)是偶函數(shù)，則

f

(

x

＋

a

)＝

f

(－

x

＋

a

)，函數(shù)

y

＝

f

(

x

)的圖象關(guān)

于直線

x

＝

a

對(duì)稱.(2)若函數(shù)

y

＝

f

(

x

＋

b

)是奇函數(shù)，則

f

(

x

＋

b

)＋

f

(－

x

＋

b

)＝0，函數(shù)

y

＝

f

(

x

)的圖

象關(guān)于點(diǎn)(

b

，0)中心對(duì)稱.2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)

f

(

x

)的定義域?yàn)?/p>

D

，如果存在一個(gè)非零常數(shù)

T

，使得對(duì)每一個(gè)

x

∈

D

都有

x

＋

T

∈

D

，且⑨

，那么函數(shù)

f

(

x

)就叫做周期函數(shù).非零

常數(shù)

T

叫做這個(gè)函數(shù)的周期.f

(

x

＋

T

)＝

f

(

x

)

(2)最小正周期如果在周期函數(shù)

f

(

x

)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫

做

f

(

x

)的⑩

正周期.注意

并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如

f

(

x

)＝5.最小

3.函數(shù)圖象的對(duì)稱性已知函數(shù)

f

(

x

)是定義在R上的函數(shù)，(1)若

f

(

a

＋

x

)＝

f

(

b

－

x

)

恒成立，則

y

＝

f

(

x

)

的圖象關(guān)于直線?

對(duì)稱.(2)若

f

(

a

＋

x

)＋

f

(

b

－

x

)＝

c

，則

y

＝

f

(

x

)的圖象關(guān)于點(diǎn)?

對(duì)稱.注意

(1)奇、偶函數(shù)的圖象平移之后對(duì)應(yīng)的函數(shù)不一定有奇偶性，但其圖象一定有

對(duì)稱性.(2)注意區(qū)分抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的表示，周期性的表示中，括號(hào)內(nèi)

x

的符號(hào)相同，對(duì)稱性的表示中，括號(hào)內(nèi)

x

的符號(hào)相反.

常用結(jié)論函數(shù)

f

(

x

)圖象的對(duì)稱性與周期的關(guān)系(1)若函數(shù)

f

(

x

)的圖象關(guān)于直線

x

＝

a

與直線

x

＝

b

對(duì)稱，則函數(shù)

f

(

x

)的周期為2｜

b

－

a

｜；(2)若函數(shù)

f

(

x

)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(

a

，0)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(

b

，0)對(duì)稱，則函數(shù)

f

(

x

)的周

期為2｜

b

－

a

｜；(3)若函數(shù)

f

(

x

)的圖象既關(guān)于直線

x

＝

a

對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(

b

，0)對(duì)稱，則函數(shù)

f

(

x

)的

周期為4｜

b

－

a

｜.

A.－2B.0C.1D.2A123456

A.(0，0)B.(0，1)C.(1，0)D.(1，1)

B1234563.[多選]以下函數(shù)為偶函數(shù)的是(

AC

)A.f(x)＝x2－1B.f(x)＝x3C.f(x)＝x2＋cosxAC1234564.已知函數(shù)

f

(

x

)為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)

x

＜0時(shí)，

f

(

x

)＝

x

(

x

－1)，則當(dāng)

x

＞0時(shí)，

f

(

x

)＝

?.x

(

x

＋1)

1234565.已知定義在R上的函數(shù)

f

(

x

)滿足

f

(

x

)＝

f

(

x

－2)，當(dāng)

x

∈[0，2)時(shí)，

f

(

x

)＝

x

2－4

x

，則當(dāng)

x

∈[4，6)時(shí)，

f

(

x

)＝

?.[解析]設(shè)

x

∈[4，6)，則

x

－4∈[0，2)，則

f

(

x

－4)＝(

x

－4)2－4(

x

－4)＝

x

2－12

x

＋32.又

f

(

x

)＝

f

(

x

－2)，所以函數(shù)

f

(

x

)的周期為2，所以

f

(

x

－4)＝

f

(

x

)，所以當(dāng)

x

∈[4，6)時(shí)，

f

(

x

)＝

x

2－12

x

＋32.x

2－12

x

＋32

.123456

[解析]由

f

(

x

)為奇函數(shù)，知

f

(－

x

)＝－

f

(

x

)，當(dāng)

x

＞0時(shí)，可得－

x

＋

a

＝－

bx

＋

1，所以

b

＝1，

a

＝1.1

1

123456

命題點(diǎn)1

函數(shù)的奇偶性角度1

判斷函數(shù)的奇偶性例1

(1)[全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)函數(shù)

f

(

x

)，

g

(

x

)的定義域都為R，且

f

(

x

)是奇函數(shù)，

g

(

x

)是偶函

數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(

B

)A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.f(x)｜g(x)｜是奇函數(shù)C.｜f(x)｜g(x)是奇函數(shù)D.｜f(x)g(x)｜是奇函數(shù)B[解析]因?yàn)?/p>

f

(

x

)為奇函數(shù)，

g

(

x

)為偶函數(shù)，所以

f

(

x

)

g

(

x

)為奇函數(shù)，

f

(

x

)｜

g

(

x

)｜為奇函數(shù)，｜

f

(

x

)｜

g

(

x

)為偶函數(shù)，｜

f

(

x

)

g

(

x

)｜為偶函數(shù)，故選B.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

A.f(x－1)－1B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1D.f(x＋1)＋1B例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

故選B.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5方法技巧1.(1)函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)有奇偶性的前提條件；(2)若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，則判斷

f

(

x

)與

f

(－

x

)是否具有等量關(guān)系，具體運(yùn)算中，可轉(zhuǎn)化為判斷

f

(

x

)＋

f

(－

x

)＝0(奇函數(shù))或

f

(

x

)－

f

(－

x

)＝0(偶函數(shù))是否成立.2.在公共定義域內(nèi)有：奇函數(shù)±奇函數(shù)＝奇函數(shù)，偶函數(shù)±偶函數(shù)＝偶函數(shù)，奇函

數(shù)×奇函數(shù)＝偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)＝偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)＝奇函數(shù).注意

對(duì)于分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分段判斷

f

(－

x

)＝

f

(

x

)或

f

(－

x

)＝－

f

(

x

)是

否成立，只有當(dāng)所有區(qū)間都滿足相同關(guān)系時(shí)，才能判斷該分段函數(shù)的奇偶性.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

A.－1B.0D.1

B例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5(2)[2024江蘇南通模擬]已知定義在R上的函數(shù)

f

(

x

)，

g

(

x

)分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)，

且

f

(

x

)＋

g

(

x

)＝

x

2－2

x

，則

f

(2)＋

g

(1)＝

?.[解析]由

f

(

x

)是奇函數(shù)，

g

(

x

)是偶函數(shù)，得

f

(－

x

)＝－

f

(

x

)，

g

(－

x

)＝

g

(

x

)，

∵

f

(

x

)＋

g

(

x

)＝

x

2－2

x

，∴

f

(－

x

)＋

g

(－

x

)＝(－

x

)2－2(－

x

)＝

x

2＋2

x

，即－

f

(

x

)＋

g

(

x

)＝

x

2＋2

x

，則有

f

(

x

)＝－2

x

，

g

(

x

)＝

x

2，則

f

(2)＋

g

(1)＝－4＋1＝－3.－3

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5方法技巧函數(shù)奇偶性的應(yīng)用類型及解題策略(1)求函數(shù)解析式或函數(shù)值：借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)解析式或函數(shù)

值，或利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于

f

(

x

)的方程(組)求解析式.(2)求參數(shù)值：利用定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或

f

(

x

)±

f

(－

x

)＝0列方程(組)求解，對(duì)于在

x

＝0處有定義的奇函數(shù)

f

(

x

)，可考慮列等式

f

(0)＝0求解.注意

利用特殊值法求參數(shù)時(shí)要檢驗(yàn).例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5訓(xùn)練1

(1)[2024遼寧鞍山一中模擬]下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞

增的是(

C

)A.f(x)＝xlnxC.f(x)＝ex＋e－xD.f(x)＝ex－e－xC例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5(2)[2024江蘇省揚(yáng)州中學(xué)模擬]定義在R上的奇函數(shù)

f

(

x

)，當(dāng)

x

≥0時(shí)，

f

(

x

)＝2

x

－

a

·3－

x

，當(dāng)

x

＜0時(shí)，

f

(

x

)＝

?.[解析]因?yàn)楹瘮?shù)

f

(

x

)為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，所以

f

(0)＝20－

a

×30＝0，解得

a

＝

1.若

x

＜0，則－

x

＞0，所以

f

(－

x

)＝2－

x

－3

x

，又

f

(

x

)為奇函數(shù)，所以當(dāng)

x

＜0時(shí)，

f

(

x

)＝－

f

(－

x

)＝3

x

－2－

x

，即當(dāng)

x

＜0時(shí)，

f

(

x

)＝3

x

－2－

x

.3

x

－2－

x

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

A例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

A.－3B.－2C.0D.1A例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5方法技巧(1)利用函數(shù)的周期性可以將局部的函數(shù)性質(zhì)擴(kuò)展到整體.(2)判斷抽象函數(shù)的周期一

般需要對(duì)變量進(jìn)行賦值.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

A例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5(2)[2024云南部分名校聯(lián)考]已知

f

(

x

)是定義在R上的偶函數(shù)，且

f

(

x

)＋

f

(4－

x

)＝

0，當(dāng)0≤

x

≤2時(shí)，

f

(

x

)＝

a

·2

x

＋

x

2，則

f

(2024)＝

?.[解析]因?yàn)?/p>

f

(

x

)是定義在R上的偶函數(shù)，且

f

(

x

)＋

f

(4－

x

)＝0，所以

f

(

x

)＝－

f

(4

－

x

)＝－

f

(

x

－4)，

f

(

x

－4)＝－

f

(

x

－8)，所以

f

(

x

)＝

f

(

x

－8)，故

f

(

x

)是以8為周

期的函數(shù)，則

f

(2024)＝

f

(0).令

x

＝2，則

f

(2)＋

f

(4－2)＝2

f

(2)＝8

a

＋8＝0，則

a

＝

－1，所以

f

(0)＝－20＝－1，即

f

(2024)＝－1.－1

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5命題點(diǎn)3

函數(shù)圖象的對(duì)稱性

A.0B.mC.2mD.4mB例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5(2)函數(shù)

f

(

x

)＝(

x

2－1)(e

x

－e－

x

)＋

x

＋1在區(qū)間[－2，2]上的最大值與最小值分別為

M

，

N

，則

M

＋

N

的值為

?.[解析]設(shè)

g

(

x

)＝(

x

2－1)(e

x

－e－

x

)＋

x

，則

f

(

x

)＝

g

(

x

)＋1.因?yàn)?/p>

g

(－

x

)＝(

x

2－1)(e－

x

－e

x

)－

x

＝－

g

(

x

)，且

g

(

x

)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所

以

g

(

x

)是奇函數(shù).由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知

g

(

x

)max＋

g

(

x

)min＝0，故

M

＋

N

＝[

g

(

x

)＋1]max＋[

g

(

x

)＋1]min＝2＋

g

(

x

)max＋

g

(

x

)min＝2.2

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

A.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B.f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.f(x)的最小值為2BC例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5(2)已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

3－3

x

2＋

x

＋1＋sin(

x

－1)，則函數(shù)

f

(

x

)在(0，2)上的最大值與

最小值的和為

?.[解析]由三次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，

y

＝

x

3－3

x

2＋

x

＋1的圖象的對(duì)稱中心為

(1，0)，因?yàn)?/p>

y

＝sin(

x

－1)的圖象也關(guān)于(1，0)對(duì)稱，所以函數(shù)

f

(

x

)在(0，2)上的圖

象關(guān)于(1，0)對(duì)稱，所以

f

(

x

)在(0，2)上的最大值與最小值的和為0.0

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

D例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜b＜aD.c＜a＜bA例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5方法技巧1.對(duì)于函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合問題，常利用奇、偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，以及

奇、偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性求解.2.對(duì)于函數(shù)周期性與奇偶性的綜合問題，常利用奇偶性及周期性將所求函數(shù)值的自

變量轉(zhuǎn)換到已知函數(shù)解析式的自變量的取值范圍內(nèi)求解.3.函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在

一起命題，在解題時(shí)，往往需要先借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的

單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5訓(xùn)練4

(1)已知函數(shù)

f

(

x

)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)

x

＞0時(shí)，

f

(

x

)＝e

x

＋

x

2＋

x

，

則不等式

f

(2－

a

)＋

f

(2

a

－3)＞0的解集為(

B

)A.(－1，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，1)[解析]易知

f

(

x

)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且在(0，＋∞)上，

f

(

x

)＞1.因?yàn)?/p>

f

(

x

)為R

上的奇函數(shù)，所以

f

(0)＝0，

f

(

x

)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且在(－∞，0)上

f

(

x

)＜

－1，故

f

(

x

)在R上單調(diào)遞增.原不等式可化為

f

(2－

a

)＞－

f

(2

a

－3)，即

f

(2－

a

)＞

f

(3－2

a

)，所以2－

a

＞3－2

a

，故

a

＞1，選B.B例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5(2)[2024湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]已知函數(shù)

y

＝

f

(

x

)是R上的奇函數(shù)，?

x

∈R，都有

f

(2－

x

)＝

f

(

x

)＋

f

(2)成立，則

f

(1)＋

f

(2)＋

f

(3)＋…＋

f

(2024)＝

?.[解析]因?yàn)楹瘮?shù)

f

(

x

)是R上的奇函數(shù)，所以

f

(0)＝0.因?yàn)?

x

∈R，都有

f

(2－

x

)＝

f

(

x

)＋

f

(2)，所以令

x

＝2，得

f

(0)＝2

f

(2)，得

f

(2)＝0，所以

f

(2－

x

)＝

f

(

x

)，則函數(shù)

f

(

x

)的圖象關(guān)于直線

x

＝1對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)

f

(

x

)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)

f

(

x

)是

以4為周期的周期函數(shù)，且函數(shù)

f

(

x

)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)中心對(duì)稱，則

f

(1)＋

f

(3)＝

0，又

f

(2)＝0，

f

(4)＝

f

(0)＝0，所以

f

(1)＋

f

(2)＋

f

(3)＋

f

(4)＝0，所以

f

(1)＋

f

(2)＋

f

(3)＋…＋

f

(2024)＝506[

f

(1)＋

f

(2)＋

f

(3)＋

f

(4)]＝0.0

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

抽象函數(shù)問題的解題策略策略1

賦值法例6

[多選/2023新高考卷Ⅰ]已知函數(shù)

f

(

x

)的定義域?yàn)镽，

f

(

xy

)＝

y

2

f

(

x

)＋

x

2

f

(

y

)，則

(

ABC

)A.f(0)＝0B.f(1)＝0C.f(x)是偶函數(shù)D.x＝0為f(x)的極小值點(diǎn)ABC例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5[解析]

解法一令

x

＝

y

，則有

f

(

x

2)＝2

x

2

f

(

x

).當(dāng)

x

＝0時(shí)，可得

f

(0)＝0，A正確.當(dāng)

x

＝1時(shí)，可得

f

(1)＝2

f

(1)，所以

f

(1)＝0，B正確.因?yàn)?/p>

f

((－

x

)2)＝2(－

x

)2

f

(－

x

)，即

f

(

x

2)＝2

x

2

f

(－

x

)，所以

f

(－

x

)＝

f

(

x

)，所以函數(shù)

f

(

x

)為偶函數(shù)，C正確.因?yàn)闊o法判斷函數(shù)

f

(

x

)的單調(diào)性，所以無法確定

f

(

x

)的極值點(diǎn)，故D不正確，故選ABC.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5解法二取

x

＝

y

＝0，則

f

(0)＝0，故A正確；取

x

＝

y

＝1，則

f

(1)＝

f

(1)＋

f

(1)，所

以

f

(1)＝0，故B正確；取

x

＝

y

＝－1，則

f

(1)＝

f

(－1)＋

f

(－1)，所以

f

(－1)＝0，取

y

＝－1，則

f

(－

x

)＝

f

(

x

)＋

x

2

f

(－1)，所以

f

(－

x

)＝

f

(

x

)，所以函數(shù)

f

(

x

)為偶函

數(shù)，故C正確；因?yàn)?/p>

f

(0)＝0，且函數(shù)

f

(

x

)為偶函數(shù)，所以函數(shù)

f

(

x

)的圖象關(guān)于

y

軸

對(duì)稱，所以

x

＝0可能為函數(shù)

f

(

x

)的極小值點(diǎn)，也可能為函數(shù)

f

(

x

)的極大值點(diǎn)，也可

能不是函數(shù)

f

(

x

)的極值點(diǎn)，故D不正確.綜上，選ABC.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5方法技巧賦值法是指利用已知條件，對(duì)變量賦值，從而得出抽象函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值或抽

象函數(shù)的性質(zhì).例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

A.－21B.－22C.－23D.－24D例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

A.f(0)＝0C.f(－1)＝f(4)D.g(－1)＝g(2)BC例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5方法技巧1.思路：利用題設(shè)中的條件等式，將其變形為滿足函數(shù)某些性質(zhì)的定義表達(dá)式，從

而利用這些性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解.2.設(shè)函數(shù)

f

(

x

)及其導(dǎo)函數(shù)

f

'(

x

)的定義域均為R.(1)若

f

(

x

)的圖象關(guān)于

x

＝

a

對(duì)稱，則

f

'(

x

)的圖象關(guān)于(

a

，0)對(duì)稱；(2)若

f

(

x

)的圖象關(guān)于(

a

，

b

)對(duì)稱，則

f

'(

x

)的圖象關(guān)于

x

＝

a

對(duì)稱；(3)若

f

(

x

)是以

T

為周期的函數(shù)，則

f

'(

x

)也是以

T

為周期的函數(shù).注意

利用函數(shù)圖象的平移變換解決抽象函數(shù)性質(zhì)問題時(shí)，注意在進(jìn)行圖象變換的

同時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸或者對(duì)稱中心也進(jìn)行了相應(yīng)的變換.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5策略3

特殊函數(shù)模型法例8

定義在R上的函數(shù)

f

(

x

)滿足

f

(

x

＋

y

)＝

f

(

x

)＋

f

(

y

)＋2

xy

(

x

，

y

∈R)，

f

(1)＝2，

則

f

(－3)＝(

C

)A.2B.3C.6D.9[解析]

解法一由函數(shù)

f

(

x

)滿足

f

(

x

＋

y

)＝

f

(

x

)＋

f

(

y

)＋2

xy

(

x

，

y

∈R)，聯(lián)想到

函數(shù)模型

f

(

x

)＝

x

2＋

bx

，由

f

(1)＝2，可得

b

＝1，則

f

(

x

)＝

x

2＋

x

，所以

f

(－3)＝

(－3)2＋(－3)＝6.C例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5解法二

f

(1)＝

f

(1＋0)＝

f

(1)＋

f

(0)＋2×1×0＝

f

(1)＋

f

(0)，得

f

(0)＝0；

f

(0)＝

f

(－1＋1)＝

f

(－1)＋

f

(1)＋2×(－1)×1＝

f

(－1)＋2－2＝

f

(－1)，得

f

(－1)＝0；

f

(－2)＝

f

(－1－1)＝

f

(－1)＋

f

(－1)＋2×(－1)×(－1)＝2

f

(－1)＋2＝2；

f

(－3)＝

f

(－2－1)＝

f

(－2)＋

f

(－1)＋2×(－2)×(－1)＝2＋0＋4＝6.故選C.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5方法技巧常用函數(shù)模型抽象函數(shù)性質(zhì)基本函數(shù)模型f(x±y)＝f(x)±f(y)?b一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy二次函數(shù)f(x)＝x2＋bx冪函數(shù)f(x)＝xα指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5抽象函數(shù)性質(zhì)基本函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)余弦函數(shù)f(x)＝cosωx(ω一般取滿足要求

的最小正數(shù))注意

應(yīng)用特殊函數(shù)模型法解題時(shí)，要注意檢驗(yàn)所選模型是否滿足已知條件.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5訓(xùn)練5

(1)[新高考卷Ⅰ]若定義在R上的奇函數(shù)

f

(

x

)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且

f

(2)＝

0，則滿足

xf

(

x

－1)≥0的

x

的取值范圍是(

D

)A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3][解析]由題意知

f

(

x

)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且

f

(－2)＝

f

(2)＝

f

(0)＝0.當(dāng)

x

＞0時(shí)，令

f

(

x

－1)≥0，得0≤

x

－1≤2，∴1≤

x

≤3；當(dāng)

x

＜0時(shí)，令

f

(

x

－1)≤0，得－2≤

x

－1≤0，∴－1≤

x

≤1，又

x

＜0，∴－1≤

x

＜0；當(dāng)

x

＝0時(shí)，顯然符合題意.綜上，原不等式的解集為[－1，0]∪[1，3]，故選D.D例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5(2)[多選/2024安徽省阜陽市模擬]已知函數(shù)

f

(

x

)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)

x

，

y

滿足

f

(

x

－

y

)＝

f

(

x

)－

f

(

y

)＋1，且

f

(1)＝0，當(dāng)

x

＞0時(shí)，

f

(

x

)＜1.則下列選項(xiàng)正確的是

(

ACD

)A.f(0)＝1B.f(2)＝－2C.f(x)－1為奇函數(shù)D.f(x)為R上的減函數(shù)[解析]

解法一設(shè)

f

(

x

)＝

kx

＋1，因?yàn)?/p>

f

(1)＝0，所以

k

＝－1，所以

f

(

x

)＝－

x

＋

1，滿足

x

＞0時(shí)，

f

(

x

)＜1，則易得A，C，D均正確，故選ACD.ACD例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5解法二對(duì)于A，取

x

＝

y

＝0，則

f

(0)＝

f

(0)－

f

(0)＋1，故

f

(0)＝1，A正確；對(duì)于B，取

x

＝0，

y

＝1，則

f

(－1)＝

f

(0)－

f

(1)＋1＝2，取

x

＝1，

y

＝－1，則

f

(2)

＝

f

(1)－

f

(－1)＋1＝－1，B錯(cuò)誤﹔對(duì)于C，取

x

＝0，則

f

(－

y

)＝

f

(0)－

f

(

y

)＋1＝2－

f

(

y

)，

f

(－

y

)－1＝－[

f

(

y

)－1]，

則

f

(

y

)－1為奇函數(shù)，所以

f

(

x

)－1為奇函數(shù)，C正確；對(duì)于D，當(dāng)

x

1＞

x

2時(shí)，

x

1－

x

2＞0，

f

(

x

1－

x

2)＜1，則

f

(

x

1)－

f

(

x

2)＝

f

(

x

1－

x

2)－1

＜0，故

f

(

x

)是R上的減函數(shù)，D正確，故選ACD.例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

例1例2訓(xùn)練1例3訓(xùn)練2例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4例6例7例8訓(xùn)練5

1.[命題點(diǎn)1角度2/全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)

f

(

x

)為奇函數(shù)，且當(dāng)

x

≥0時(shí)，

f

(

x

)＝e

x

－1，則當(dāng)

x

＜

0時(shí)，

f

(

x

)＝

(

D

)A.e－x－1B.e－x＋1C.－e－x－1D.－e－x＋1[解析]依題意得，當(dāng)

x

＜0時(shí)，

f

(

x

)＝－

f

(－

x

)＝－(e－

x

－1)＝－e－

x

＋1，故選D.D123456

A.－2B.－1C.1D.2

D

1234563.[命題點(diǎn)2，3/多選/2024江蘇省興化市名校聯(lián)考]已知函數(shù)

f

(

x

)為R上的奇函數(shù)，

g

(

x

)＝

f

(

x

＋1)為偶函數(shù)，下列說法正確的有(

ABD

)A.f(x)圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱B.g(2023)＝0C.g(x)的周期為2D.對(duì)任意x∈R都有f(2－x)＝f(x)ABD123456[解析]因?yàn)楹瘮?shù)

f

(

x

)為R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)

f

(

x

)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)中心對(duì)

稱，因?yàn)?/p>

g

(

x

)＝

f

(

x

＋1)為偶函數(shù)，所以

f

(－

x

＋1)＝

f

(

x

＋1)，即函數(shù)

f

(

x

)的圖象

關(guān)于

x

＝1對(duì)稱，所以

f

(－

x

＋1)＝－

f

(－

x

－1)，所以

f

(

x

－1)＝

f

(－

x

－1)，所以函

數(shù)

f

(

x

)的圖象關(guān)于

x

＝－1對(duì)稱，故A正確；由

f

(－

x

＋1)＝

f

(

x

＋1)可得

f

(2－

x

)＝

f

(

x

)，故D正確；由

f

(2－

x

)＝

f

(

x

)可得

f

(2＋

x

)＝

f

(－

x

)＝－

f

(

x

)，所以

f

(4＋

x

)＝

f

(

x

)，即函數(shù)

f

(

x

)的周期為4，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/p>

f

(

x

)的周期為4，所以

g

(2023)＝

f

(2024)＝

f

(0)＝0，故B正確.故選ABD.123456

A.3B.4C.6D.與m的值有關(guān)C123456

1234565.[思維幫角度1，2/2021新高考卷Ⅱ]設(shè)函數(shù)

f

(

x

)的定義域?yàn)镽，且

f

(

x

＋2)為偶函

數(shù)，

f

(2

x

＋1)為奇函數(shù)，則(

B

)B.f(－1)＝0C.f(2)＝0D.f(4)＝0[解析]因?yàn)楹瘮?shù)

f

(2

x

＋1)是奇函數(shù)，所以

f

(－2

x

＋1)＝－

f

(2

x

＋1)，所以

f

(1)＝

0，

f

(－1)＝－

f

(3).因?yàn)楹瘮?shù)

f

(

x

＋2)是偶函數(shù)，所以

f

(

x

＋2)＝

f

(－

x

＋2)，所以

f

(3)＝

f

(1)，所以

f

(－1)＝－

f

(1)＝0.故選B.B1234566.[思維幫角度2/多選/2023四省聯(lián)考]已知

f

(

x

)是定義在R上的偶函數(shù)，

g

(

x

)是定義

在R上的奇函數(shù)，且

f

(

x

)，

g

(

x

)在(－∞，0]上均單調(diào)遞減，則(

BD

)A.f(f(1))＜f(f(2))B.f(g(1))＜f(g(2))C.g(f(1))＜g(f(2))D.g(g(1))＜g(g(2))BD123456[解析]因?yàn)?/p>

f

(

x

)與

g

(

x

)分別是定義在R上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，且兩函數(shù)在(－∞，

0]上均單調(diào)遞減，所以

f

(

x

)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，

g

(

x

)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，

即

g

(

x

)在R上單調(diào)遞減，所以

f

(1)＜

f

(2)，

g

(2)＜

g

(1)＜

g

(0)＝0，(提示：定義在R

上的奇函數(shù)的圖象必過原點(diǎn))所以

f

(

g

(1))＜

f

(

g

(2))，

g

(

f

(1))＞

g

(

f

(2))，

g

(

g

(1))＜

g

(

g

(2))，故B，D正確，C不

正確.若

f

(1)＜

f

(2)＜0，則

f

(

f

(1))＞

f

(

f

(2))，故A不正確.綜上所述，選BD.123456

1.[2024黑龍江省雞西市第一中學(xué)模擬]下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞

減的是(

C

)A.f(x)＝tan(－x)B.f(x)＝2－xC.f(x)＝e－x－exC123456789101112131415

1234567891011121314152.若定義在R上的偶函數(shù)

f

(

x

)和奇函數(shù)

g

(

x

)滿足

f

(

x

)＋

g

(

x

)＝e

x

，則

g

(

x

)＝(

D

)A.ex－e－x

D123456789101112131415

A.[－1，0)B.[0，1]C.[－1，1]D.[－2，2][解析]若

x

＜0，則－

x

＞0，

f

(－

x

)＝

x

2－2

x

＝

f

(

x

)，若

x

＞0，則－

x

＜0，

f

(－

x

)＝

x

2＋2

x

＝

f

(

x

)，故函數(shù)

f

(

x

)為偶函數(shù)，且當(dāng)

x

≥0時(shí)，函數(shù)

f

(

x

)單調(diào)遞增，由

f

(－

a

)＋

f

(

a

)≤2

f

(1)，得2

f

(

a

)≤2

f

(1)，即

f

(

a

)≤

f

(1)，所以｜

a

｜≤1，所以－1≤

a

≤1.故選C.C123456789101112131415

A.－1B.0C.1D.±1

C

1243567891011121314155.[2024安徽月考]已知函數(shù)

f

(

x

)＝2sin

x

＋

x

＋2，

x

∈[－2π，2π]，

f

(

x

)的最大值為

M

，最小值為

m

，則

M

＋

m

＝(

A

)A.4[解析]因?yàn)?/p>

y

＝2sin

x

＋

x

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以

f

(

x

)＝2sin

x

＋

x

＋2

的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，2)對(duì)稱，所以

f

(

x

)在[－2π，2π]上的最大值與最小值的和

M

＋

m

＝4.故選A.A1234567891011121314156.[2023南京市、鹽城市一模]若函數(shù)

f

(

x

)＝

x

3＋

bx

2＋

cx

＋

d

滿足

f

(1－

x

)＋

f

(1＋

x

)

＝0對(duì)一切實(shí)數(shù)

x

恒成立，則不等式

f

'(2

x

＋3)＜

f

'(

x

－1)的解集為(

C

)A.(0，＋∞)B.(－∞，－4)C.(－4，0)D.(－∞，－4)∪(0，＋∞)C123456789101112131415解法一易得

f

'(

x

)＝3

x

2＋2

bx

＋

c

的圖象的對(duì)稱軸為直線

x

＝1，所以函數(shù)

f

'(

x

)在

(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則由

f

'(2

x

＋3)＜

f

'(

x

－1)，得｜2

x

＋3－1｜＜｜

x

－1－1｜，解得－4＜

x

＜0，故選C.

[解析]由

f

(1－

x

)＋

f

(1＋

x

)＝0可知，函數(shù)

f

(

x

)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)中心對(duì)稱.1234567891011121314157.[2024福州市一檢]已知定義域?yàn)镽的函數(shù)

f

(

x

)同時(shí)具有下列三個(gè)性質(zhì)，則

f

(

x

)

＝

.(寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)即可)①

f

(

x

＋

y

)＝

f

(

x

)＋

f

(

y

)；②

f

(

x

)是奇函數(shù)；③當(dāng)

x

＋

y

＞0時(shí)，

f

(

x

)＋

f

(

y

)＜0.[解析]因?yàn)?/p>

f

(

x

)是奇函數(shù)，且當(dāng)

x

＋

y

＞0時(shí)，

f

(

x

)＋

f

(

y

)＜0，即

x

＞－

y

時(shí)，

f

(

x

)＜－

f

(

y

)＝

f

(－

y

)，所以

f

(

x

)是單調(diào)遞減函數(shù)，再考慮到

f

(

x

＋

y

)＝

f

(

x

)＋

f

(

y

)，所以

f

(

x

)＝

kx

(

k

＜0)都符合題意.－

x

(答案不唯一)

7891011121314151234568.已知

f

(

x

)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)

x

＞0時(shí)，

f

(

x

)＝－2

x

2＋3

x

＋1，則

f

(

x

)的解析式f

(

x

)＝

?.

789101112131415123456

B.(1，＋∞)D.(－∞，1)A789101112131415123456

789101112131415123456

78910111213141512345610.[2024黃岡模擬]已知函數(shù)

f

(

x

)及其導(dǎo)函數(shù)

f

'(

x

)的定義域均為R，記

g

(

x

)＝

f

'(

x

＋

1)，且

f

(2＋

x

)－

f

(2－

x

)＝4

x

，

g

(3＋

x

)為偶函數(shù)，則g'(7)＋

g

(17)＝(

C

)A.0B.1C.2D.3C789101112131415123456[解析]因?yàn)?/p>

g

(3＋

x

)為偶函數(shù)，

g

(

x

)＝

f

'(

x

＋1)，所以

f

'(

x

＋4)＝

f

'(－

x

＋4)，對(duì)

f

(2＋

x

)－

f

(2－

x

)＝4

x

兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得

f

'(2＋

x

)＋

f

'(2－

x

)