第六章 第5講 解三角形應(yīng)用舉例

第六章平面向量、復(fù)數(shù)第5講解三角形應(yīng)用舉例

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例2021全國(guó)卷乙T9；2021全國(guó)卷甲T8

本講知識(shí)單一，主要考查利用正、余弦定理求解距離、高度、角度問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)建模能力的要求較高，一般以選擇題形式出現(xiàn)，難度中等.在2025年高考的備考中要提升閱讀理解能力，要能夠從文字信息中提取出解三角形的模型.

測(cè)量中的常用術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在豎直平面內(nèi)的目標(biāo)視線與水平視線所成的角

中，目標(biāo)視線在水平視線①

?的叫做仰

角，目標(biāo)視線在水平視線②

?的叫做俯

角.

上方下方術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0≤θ＜2π.

術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α.

北偏東α南偏西α坡角與坡度坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角.坡面的垂

直高度h和水平寬度l的比叫坡度.

1.如圖所示，為測(cè)量一樹的高度，在地面上選取

A

，

B

兩點(diǎn)(

A

，

B

與樹所在的直線

在同一平面內(nèi))，從

A

，

B

兩點(diǎn)測(cè)得樹尖

P

的仰角分別為30°和45°，且

A

，

B

兩點(diǎn)之

間的距離為60m，則樹的高度為(

A

)

A

1232.[易錯(cuò)題]兩座燈塔

A

和

B

與海岸觀察站

C

的距離相等，燈塔

A

在觀察站北偏東

40°，燈塔

B

在觀察站南偏東60°，則燈塔

A

在燈塔

B

的(

B

)A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東10°D.南偏西10°[解析]燈塔

A

，

B

的相對(duì)位置如圖所示，由已知得∠

ACB

＝80°，∠

CAB

＝∠

CBA

＝50°，則α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°，故選B.B123

A123

命題點(diǎn)

余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例角度1

距離問(wèn)題例1

[2023合肥市二檢]如圖，某地需要經(jīng)過(guò)一座山兩側(cè)的

D

，

E

兩點(diǎn)修建一條穿山隧

道.工程人員先選取直線

DE

上的三點(diǎn)

A

，

B

，

C

，在隧道

DE

正上方的山頂

P

處測(cè)得

A

處的俯角為15°，

B

處的俯角為45°，

C

處的俯角為30°，且測(cè)得

AB

＝1.4km，

BD

＝0.2km，

CE

＝0.5km，則擬修建的隧道

DE

的長(zhǎng)為

?.0.7km

例1例2例3訓(xùn)練

例1例2例3訓(xùn)練

BA.346B.373C.446D.473例1例2例3訓(xùn)練

例1例2例3訓(xùn)練角度3

角度問(wèn)題例3

如圖所示，位于

A

處的信息中心獲悉：在其正東方向40海里的

B

處有一艘漁船

遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的

C

處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線

CB

前往

B

處救援，則cosθ＝

?.

例1例2例3訓(xùn)練

例1例2例3訓(xùn)練方法技巧1.解三角形實(shí)際問(wèn)題的一般求解步驟(1)分析.理解題意，分析已知與未知，畫出示意圖.(2)建模.根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與所求量盡量集中在相關(guān)的三角形中，

建立一個(gè)解三角形的模型.(3)求解.利用正、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.(4)檢驗(yàn).檢驗(yàn)上述所求出的解是否具有實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.2.對(duì)于立體測(cè)量問(wèn)題，通常要轉(zhuǎn)化為兩類平面問(wèn)題，一類是豎直放置的平面，通常

要解直角三角形；另一類是水平放置的平面，通常要解斜三角形.例1例2例3訓(xùn)練

A.30mB.35mC.40mD.45mC例1例2例3訓(xùn)練

例1例2例3訓(xùn)練

A.AD＝24海里B.CD＝12海里C.∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D.∠CDA＝60°ABD例1例2例3訓(xùn)練

例1例2例3訓(xùn)練

36

12

12

122.[角度2]如圖，為測(cè)量山高

MN

，選擇

A

和另一座山的山頂

C

為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)

A

測(cè)得點(diǎn)

M

的仰角∠

MAN

＝60°，點(diǎn)

C

的仰角∠

CAB

＝45°以及∠

MAC

＝75°；從點(diǎn)

C

測(cè)得∠

MCA

＝60°，已知山高

BC

＝100m，則山高

MN

＝

?m.150

12

12

1.

[2024黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)開學(xué)考試]中國(guó)古代四大名樓之一鸛雀樓，位于山西省運(yùn)

城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩(shī)人王之渙的詩(shī)作《登鸛雀樓》而聞名遐邇.如圖，某同

學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度

MN

，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物

AB

，高約為37

m，在地面上點(diǎn)

C

處(

B

，

C

，

N

三點(diǎn)共線)測(cè)得建筑物頂部

A

，鸛雀樓頂部

M

的仰角

分別為30°和45°，在

A

處測(cè)得鸛雀樓頂部

M

的仰角為15°，則鸛雀樓的高度

MN

約為

(

B

)

BA.64mB.74mC.52mD.91m12345678

12345678

A.∠BCD，∠BDCB.∠ACD，∠ADCC.∠BCD，∠ACDD.∠BCD，∠ADCABD12345678[解析]對(duì)于A，根據(jù)

CD

，∠

BCD

，∠

BDC

，可解三角形求得

CB

，從而在Rt△

ABC

中求得

AB

，所以A符合題意.對(duì)于B，根據(jù)

CD

，∠

ACD

，∠

ADC

，可解三角形求得

AC

，從而在Rt△

ABC

中求

得

AB

，所以B符合題意.對(duì)于C，根據(jù)

CD

，∠

ACB

，∠

BCD

，∠

ACD

四個(gè)條件，無(wú)法通過(guò)解三角形求得

AB

，所以C不符合題意.對(duì)于D，第一步，∠

ACB

已知，在Rt△

ABC

中，用

AB

表示出

BC

，

AC

；第二步，

在△

BCD

中，根據(jù)余弦定理用

AB

表示出

BD

，在△

ACD

中，根據(jù)正弦定理用

AB

表

示出

AD

；第三步，在Rt△

ABD

中，利用勾股定理列方程，即可求得

AB

.

所以D符

合題意.12345678

12345678

12345678

12345678(2)如果有游客想直接從小島

A

出發(fā)到小島

C

，求游船航行的方向.

12345678

5.[2023貴州診斷]鏡面反射法是測(cè)量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型

中，已知人眼距離地面高度

h

＝1.5m，某建筑物高

h

1＝4.5m，將鏡子(平面鏡)置于

平地上，人后退至從鏡中能夠看到建筑物頂部的位置，測(cè)量人與鏡子間的距離

a

1＝

1.2m，將鏡子后移

am，重復(fù)前面的操作，測(cè)量人與鏡子間的距離

a

2＝3.2m，則

a

＝(

A

)A.6B.5C.4D.3A12345678[解析]如圖，設(shè)建筑物最高點(diǎn)為

A

，建筑物底部為

O

，第一次觀察時(shí)鏡面位置為

B

，第一次觀察時(shí)人眼睛位置為

C

，第二次觀察時(shí)鏡面位置為

D

，設(shè)

O

到

B

之間的

距離為

a

0m，

123456786.[背景創(chuàng)新]1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出一個(gè)問(wèn)題：在地球表面的

什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)(即視角最大，視角是指由物體兩端引出的兩條

光線在眼球內(nèi)交叉而成的角)？這個(gè)問(wèn)題被稱為米勒問(wèn)題，諾德爾教授給出解答，以

懸桿的延長(zhǎng)線和水平地面的交點(diǎn)為圓心，懸桿兩端點(diǎn)到地面的距離的積的算術(shù)平方

根為半徑在地面上作圓，則圓上的點(diǎn)對(duì)懸桿視角最大.米勒問(wèn)題在實(shí)際生活中應(yīng)用十

分廣泛.某人觀察一座山頂上的鐵塔，塔高90m，山高160m，此人站在對(duì)塔“最大

視角”(忽略人身高)的水平地面位置觀察此塔，則此時(shí)“最大視角”的正弦值為

(

B

)B12345678

123456787.[2024青島市檢測(cè)]海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保

留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”.若要測(cè)量如圖所示某藍(lán)洞口邊緣

A

，

B

兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)

在珊瑚群島上取兩點(diǎn)

C

，

D

，測(cè)得

CD

＝8海里，∠

ADB

＝135°，∠

BDC

＝∠

DCA

＝15°，∠

ACB

＝120°，則

A

，

B

兩點(diǎn)間的距離為

海里.

12345678

123456788.[2024北京市密云二中月考]某自然保護(hù)區(qū)為研究動(dòng)物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩

個(gè)相距12km的觀測(cè)站

A

和

B

，觀測(cè)人員分別在

A

，

B

處觀測(cè)該動(dòng)物種群.如圖，某

一時(shí)刻，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)

C

處，觀測(cè)人員從兩個(gè)觀測(cè)站分別測(cè)得∠

B