2025年人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第02講 平行線的性質(zhì)與判定

第02講平行線的性質(zhì)與判定模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1.理解與掌握平行線的性質(zhì)與判定定理；2.利用平行線的性質(zhì)與判定定理求解.平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號(hào)“∥”表示.如圖，直線AB與CD平行，記作;AB∥CD，讀作：AB平行于CD.【補(bǔ)充說明】1）平行線必在同一平面內(nèi)，分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面內(nèi)”是平行線存在的前提條件.2）平行線指的是“兩條直線”而不是兩條射線或線段，今后遇到線段、射線平行時(shí)，特指線段、射線所在的直線平行.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的前提條件：經(jīng)過直線外一點(diǎn).平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.【拓展】1）平行線具有傳遞性：若多條直線都與同一條直線平行，則這多條直線也相互平行.2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線相互平行，即在同一平面內(nèi)，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.平行線的判定判定方法1判定方法2判定方法3兩條直線平行的判定同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行圖示符號(hào)語言∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3兩條直線平行的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)圖示符號(hào)語言∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1+∠2=180°【注意】在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的結(jié)論.這是平行線特有的性質(zhì)不要一提同位角或內(nèi)錯(cuò)角就認(rèn)為它們相等，一提同旁內(nèi)角就認(rèn)為互補(bǔ)，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的.【總結(jié)】從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì).平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.考點(diǎn)一：平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系1．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）在同一平面內(nèi)有三條不同的直線QUOTE??,??,??a,b,c，若QUOTE，則a與b的位置關(guān)系為（

）A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．無法確定2．（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期中）在同一平面內(nèi)，有12條互不重合的直線QUOTE??1l1，QUOTE??2l2，QUOTE??3l3，QUOTE，若QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，…，依此類推，則QUOTE??1l1與QUOTE??12l12的位置關(guān)系是．（填“平行”或“垂直”）3．（23-24七年級(jí)下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）設(shè)a，b，l為平面內(nèi)三條不同直線．①若QUOTE，QUOTE??鈯l鈯，則l與b的位置關(guān)系是；②若QUOTE??鈯l鈯，QUOTE??鈯l鈯，則a與b的位置關(guān)系是；③若QUOTE，QUOTE??鈭l鈭，則l與b的位置關(guān)系是．4．（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）在同一平面內(nèi)，直線QUOTE??a與QUOTE??b滿足下列條件，把它們的位置關(guān)系填在后面的橫線上．（1）若QUOTE??a與QUOTE??b沒有公共點(diǎn)，則QUOTE??a與QUOTE??b；（2）若QUOTE??a與QUOTE??b有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則QUOTE??a與QUOTE??b；（3）若QUOTE??a與QUOTE??b有兩個(gè)公共點(diǎn)，則QUOTE??a與QUOTE??b．考點(diǎn)二：用直尺、三角尺畫平行線5．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期末）下列各圖中的直線QUOTE??,??a,b，用推三角尺的方法驗(yàn)證，其中QUOTE的有（填序號(hào)）．6．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知直線QUOTE??l以及直線QUOTE??l外一點(diǎn)P，如圖1，圖2、圖3的作圖結(jié)果可以說明的基本事實(shí)是；其依據(jù)是．7．（23-24七年級(jí)上·江蘇連云港·期末）如圖，已知直線QUOTE??a和直線外一點(diǎn)QUOTE??P，我們可以用直尺和三角尺，過點(diǎn)QUOTE??P畫已知直線QUOTE??a的平行線QUOTE??b．下面的操作步驟：①沿直尺上移三角尺使三角尺一邊經(jīng)過點(diǎn)QUOTE??P；②用直尺緊靠三角尺的另一邊；③沿三角尺的邊作出直線QUOTE??b；④用三角尺的一邊緊貼住直線QUOTE??a；正確的操作順序是：．（填序號(hào)）

QUOTE??考點(diǎn)三：平行公理推論的應(yīng)用8．（23-24七年級(jí)下·北京朝陽·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)可折疊的衣架，QUOTE????AB是地平線，當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE；QUOTE時(shí)，QUOTE，就可確定點(diǎn)N、P、M在同一條直線上的依據(jù)是9．（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖1，桿秤是中國(guó)最古老也是現(xiàn)今人們?nèi)匀辉谑褂玫暮饬抗ぞ?，它利用杠桿原理來稱物體的質(zhì)量，由木制的帶有秤星的秤桿、金屬秤砣、提繩等組成．如圖2，是桿秤的示意圖，QUOTE????鈭??AB鈭D，QUOTE????鈭??AB鈭O，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)QUOTE鈭?=106擄鈭?=106擄，則QUOTE的度數(shù)是度．10．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，已知直線QUOTE，將一塊直角三角板QUOTE??????ABC按如圖所示方式放置，若QUOTE鈭?=56擄鈭?=56擄，則QUOTE鈭?=鈭?=．11．（23-24七年級(jí)下·河南商丘·期中）如圖是一款長(zhǎng)臂折疊QUOTE??????LED護(hù)眼燈示意圖，QUOTE????EF與桌面QUOTE????MN垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管QUOTE????AB恰好與桌面QUOTE????MN平行時(shí)，QUOTE，QUOTE，則QUOTE的度數(shù)為．

考點(diǎn)四：根據(jù)已知條件判定兩直線能否平行12．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）學(xué)習(xí)情境·推理論證如圖所示，下列推理中正確的有（

）①Q(mào)UOTE，QUOTE；②QUOTE，QUOTE；③QUOTE，QUOTE；④QUOTE，QUOTE．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)13．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，下列條件不能判定直線QUOTE的是（

）A．QUOTE B．QUOTEC．QUOTE D．QUOTE14．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，有以下四個(gè)條件：①Q(mào)UOTE鈭燘+鈭燘????=180擄鈭燘+鈭燘CD=180擄；②QUOTE；③QUOTE；④QUOTE．其中能判定QUOTE的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④考點(diǎn)五：添加一個(gè)條件使兩直線平行15．（23-24七年級(jí)下·湖北荊門·期中）如圖，B，D分別在QUOTE????,????AF,CE上，添加條件，即可判定QUOTE????鈭??AD鈭C．（寫出一個(gè)即可）16．（24-25八年級(jí)上·陜西漢中·階段練習(xí)）如圖，已知QUOTE鈭燛????鈭燛BF，點(diǎn)QUOTE??A，QUOTE??C分別在射線QUOTE????BE，QUOTE????BF上，點(diǎn)QUOTE??D為QUOTE鈭燛????鈭燛BF內(nèi)一點(diǎn)，連接QUOTE????AD，QUOTE????CD，不添加輔助線，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使得QUOTE????鈭??AD鈭F(tuán)，則可添加為．（寫出一個(gè)即可）QUOTE17．（23-24七年級(jí)下·北京·期中）如圖，點(diǎn)E在QUOTE????DC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)恰當(dāng)?shù)臈l件，使QUOTE????鈭??AB鈭D．18．（23-24七年級(jí)下·云南昭通·期末）如圖，要使“直線QUOTE”，需要添加的條件是（只填一個(gè)即可）QUOTE考點(diǎn)六：證明兩直線平行19．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，若QUOTE鈭燗=114擄鈭燗=114擄，QUOTE鈭燙=135擄鈭燙=135擄，QUOTE鈭?=66擄鈭?=66擄，QUOTE鈭?=45擄鈭?=45擄，試說明QUOTE????鈭??AD鈭F(tuán)．20．（23-24七年級(jí)下·遼寧鐵嶺·期中）如圖，已知QUOTE????鈯??AB鈯C，QUOTE????鈯??CD鈯C，QUOTE，QUOTE????BE與QUOTE????CF平行嗎？QUOTE????鈭??21．（24-25七年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）如圖，QUOTE????鈭??AB鈭D，QUOTE????=????AB=CD，點(diǎn)QUOTE??E、QUOTE??F在QUOTE????BC上，且QUOTE????=????BF=CE．QUOTE????AE與QUOTE????DF平行嗎？請(qǐng)說明理由．22．（22-23七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖所示，已知QUOTE，QUOTE，試說明：QUOTE????鈭??AB鈭C．考點(diǎn)七：補(bǔ)全兩直線的證明過程23．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在三角形QUOTE??????ABC中，點(diǎn)QUOTE??E在QUOTE????BC上，QUOTE????鈯??CD鈯B于QUOTE??D，QUOTE????鈯??EG鈯B于QUOTE??G，QUOTE．求證：QUOTE鈭燚????+鈭燜????=180擄鈭燚FC+鈭燜CB=180擄．請(qǐng)將下列證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵QUOTE????鈯??CD鈯B，QUOTE????鈯??EG鈯B，∴QUOTE鈭燘????=90擄鈭燘GE=90擄，QUOTE（____________________）∴QUOTE鈭燘????=鈭燘????=90擄鈭燘GE=鈭燘DC=90擄∴QUOTE（____________________）∴QUOTE（____________________）∵QUOTE∴QUOTE鈭燜????=鈭燜DC=__________∴QUOTE__________（____________________）∴QUOTE鈭燚????+鈭燜????=180擄鈭燚FC+鈭燜CB=180擄24．（21-22七年級(jí)下·廣東清遠(yuǎn)·期末）把下列的推理過程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)里填上推理的依據(jù)：如圖，QUOTE，QUOTE鈭?+鈭燗????=180擄鈭?+鈭燗BC=180擄，QUOTE????BE平分QUOTE鈭燗????鈭燗BC，試說明：QUOTE．解：因?yàn)镼UOTE????BE平分QUOTE鈭燗????鈭燗BC，所以（

）

又因?yàn)镼UOTE（已知），所以QUOTE（等量代換）．所以（

），所以QUOTE鈭燗+鈭燗????=180擄鈭燗+鈭燗BC=180擄（

）．又因?yàn)镼UOTE鈭?+鈭燗????=180擄鈭?+鈭燗BC=180擄（已知），所以（

），所以QUOTE（

）25．（22-23七年級(jí)下·廣東清遠(yuǎn)·期末）把下列的推理過程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)里填上推理的依據(jù)：如圖，已知直線a，b，c，d，e，且QUOTE，QUOTE，試說明：QUOTE??鈭a鈭．解：因?yàn)镼UOTE，所以QUOTE（

）又因?yàn)镼UOTE，所以QUOTE（

）所以QUOTE（

）26．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知點(diǎn)QUOTE??,??E,F分別在QUOTE????,????AB,CD上，QUOTE????BC交QUOTE????AF于點(diǎn)G，交QUOTE????DE于點(diǎn)QUOTE．(1)QUOTE????AF與QUOTE????ED平行嗎？請(qǐng)說明理由．(2)試說明QUOTE．解：（1）QUOTE????鈭??AF鈭D．理由如下：因?yàn)镼UOTE，（已知），QUOTE（_______），所以QUOTE_______（_______），所以_______QUOTE_______（_______）．（2）因?yàn)镼UOTE????鈭??AF鈭D（已知），所以QUOTE_______（________）．又因?yàn)镼UOTE，（已知）所以QUOTE______（_______）．所以_______QUOTE_______（_______），所以QUOTE（_______）．考點(diǎn)八：利用平行線的性質(zhì)求解27．（24-25七年級(jí)上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，QUOTE，QUOTE鈭燗=105擄鈭燗=105擄，QUOTE鈭燙=120擄鈭燙=120擄，則QUOTE鈭?=鈭?=．28．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，為了加固房屋，要在屋架上加一根橫梁QUOTE????DE，使QUOTE????鈭??DE鈭C．如果QUOTE鈭燗????=31擄鈭燗BC=31擄，QUOTE鈭燗????=鈭燗DE=．29．（2024·江蘇常州·一模）如圖，直線QUOTE??鈭a鈭，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)C在直線b上，QUOTE????鈯??AB鈯C，若QUOTE鈭?=44擄鈭?=44擄，則QUOTE鈭?=鈭?=QUOTE擄擄．30．（22-23九年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·自主招生）如圖，直線QUOTE，將一直角三角形的直角頂點(diǎn)置于直線b上，若QUOTE鈭?=24擄鈭?=24擄，則QUOTE等于度．考點(diǎn)九：利用平行線的性質(zhì)解決實(shí)際生活問題31．（23-24七年級(jí)下·山西朔州·期末）如圖，在一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)了兩條平行管道QUOTE????AB和QUOTE????CD，如果管道QUOTE????AB與縱向聯(lián)通管道的夾角QUOTE鈭燗=100擄鈭燗=100擄，那么管道QUOTE????CD與縱向聯(lián)通管道的夾角QUOTE的度數(shù)等于．32．（23-24七年級(jí)下·云南曲靖·期末）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時(shí)，會(huì)發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，QUOTE鈭?=58擄鈭?=58擄，則QUOTE的度數(shù)為．33．（23-24七年級(jí)下·山東濰坊·期中）某小區(qū)地下停車場(chǎng)的限高欄桿如圖所示，當(dāng)欄桿抬起到最大高度時(shí)QUOTE，若此時(shí)QUOTE????CD平行地面QUOTE????AE，則QUOTE鈭燘????=鈭燘CD=度．34．（23-24七年級(jí)下·廣東清遠(yuǎn)·期中）為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)、感受中國(guó)的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，學(xué)校將國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽光特色大課間．如圖1是某同學(xué)“抖空竹”時(shí)的一個(gè)瞬間，小明把它抽象成如圖2的數(shù)學(xué)問題：已知QUOTE????鈭??AB鈭D，QUOTE鈭燛????=79擄鈭燛AB=79擄，QUOTE．則QUOTE的度數(shù)為．35．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期中）如圖①是一盞可以伸縮的臺(tái)燈，它的優(yōu)點(diǎn)是可以變化伸縮，找到合適的照明角度．圖②是這盞臺(tái)燈的示意圖．已知臺(tái)燈水平放置，當(dāng)燈頭QUOTE????AB與支架QUOTE????CD平行時(shí)可達(dá)到最佳照明角度，此時(shí)支架QUOTE????BC與水平線QUOTE????BE的夾角QUOTE，兩支架QUOTE????BC和QUOTE????CD的夾角QUOTE．(1)求此時(shí)支架QUOTE????CD與底座QUOTE????MN的夾角QUOTE鈭燙????鈭燙DM的度數(shù)；(2)求此時(shí)燈頭QUOTE????AB與水平線QUOTE????BE的夾角QUOTE鈭燗????鈭燗BE的度數(shù)．考點(diǎn)十：利用平行線間的距離解決問題36．（23-24七年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期中）小孫和小悟同學(xué)在探究四邊形QUOTE????????ABCD內(nèi)作一條直線將它分成面積相等的兩部分時(shí)，遇到了困難，于是兩位同學(xué)想到了先從三角形研究起．【問題思考】（1）如圖1，QUOTE????AD是QUOTE鈻矨????鈻矨BC的中線，試判斷：QUOTE_________QUOTE（請(qǐng)?zhí)睢癚UOTE>>”、“QUOTE<<”或“QUOTE==”）；（2）如圖2，QUOTE，試判斷：QUOTE_________QUOTE（請(qǐng)?zhí)睢癚UOTE>>”、“QUOTE<<”或“QUOTE==”）；【深入思考】有了這樣思考問題的經(jīng)歷，于是小孫同學(xué)對(duì)探究四邊形QUOTE????????ABCD內(nèi)作一條直線將它分成面積相等的兩部分給出一種思路：如圖3，小孫同學(xué)的輔助線：①連接對(duì)角線QUOTE????AC，②作QUOTE交QUOTE????BC的延長(zhǎng)線于QUOTE??E；③取QUOTE????BE的中點(diǎn)QUOTE??M，則直線QUOTE????AM為所求直線．小孫同學(xué)還嘗試從理論上給予說明，請(qǐng)你幫助將說理過程補(bǔ)充完整：∵QUOTE????鈭??AC鈭E，∴QUOTE_________（由問題2的結(jié)論得）∴QUOTE_________，即QUOTE_________，∵QUOTE??M是QUOTE????BE的中點(diǎn)，∴QUOTE_________（由問題1的結(jié)論得）∴QUOTE????AM平分QUOTE鈻矨????鈻矨BE的面積，即QUOTE????AM平分四邊形QUOTE????????ABCD的面積．【推廣探究】小悟同學(xué)又給出另一種思路：如圖4，小悟同學(xué)的輔助線：①連接對(duì)角線QUOTE????AC和QUOTE????BD；②取QUOTE????BD的中點(diǎn)QUOTE??O，③連接QUOTE????OA、QUOTE????OC；④過點(diǎn)QUOTE??O作QUOTE????AC的平行線與四邊形QUOTE????????ABCD的邊QUOTE????CD交點(diǎn)于QUOTE??P，則直線QUOTE????AP則為所求直線．請(qǐng)你獨(dú)立嘗試完成小悟同學(xué)的說理過程．37．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四邊形QUOTE????????ABCD中，QUOTE????鈭??AD鈭C，對(duì)角線QUOTE????AC，QUOTE????BD交于點(diǎn)O，若QUOTE鈻矨????鈻矨OB的面積為8，求QUOTE鈻矯????鈻矯OD的面積．

38．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，直線QUOTE，A、B為直線n上兩點(diǎn)，C、P為直線m上兩點(diǎn)．(1)如果A、B、C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線m上移動(dòng)，那么無論點(diǎn)P移動(dòng)到何位置，總有QUOTE________與QUOTE鈻矨????鈻矨BC的面積相等．理由是____________________；(2)如果點(diǎn)P在如圖所示的位置，請(qǐng)寫出另外兩對(duì)面積相等的三角形：____________________．考點(diǎn)十一：利用平行線的性質(zhì)與判定求角度39．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知QUOTE，QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．40．（23-24七年級(jí)下·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，已知QUOTE，點(diǎn)E在直線QUOTE之間，連接QUOTE．【感知】如圖1，若QUOTE，則QUOTE；【探究】如圖2，猜想QUOTE和QUOTE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：【應(yīng)用】如圖3，若QUOTE????AH平分QUOTE，將線段QUOTE????CE沿QUOTE????CD方向平移至QUOTE????FG，若QUOTE，QUOTE????FH平分QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．41．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）【閱讀理解】如圖①，已知點(diǎn)QUOTE??A是QUOTE????BC外一點(diǎn)，連接QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．（1）請(qǐng)將下面推理過程補(bǔ)充完整；解：如圖①，過點(diǎn)QUOTE??A作QUOTE，則QUOTE________．因?yàn)開_______________________QUOTE，所以QUOTE．【解題反思】從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將QUOTE“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．【方法運(yùn)用】（2）如圖②，已知QUOTE，試說明：QUOTE．【深化拓展】（3）已知QUOTE，點(diǎn)QUOTE??C在點(diǎn)QUOTE??D的右側(cè)，QUOTE，QUOTE????BE平分QUOTE平分QUOTE交于點(diǎn)QUOTE??E，點(diǎn)QUOTE??E在QUOTE????AB與QUOTE????CD兩條平行線之間．①如圖③，若點(diǎn)QUOTE??B在點(diǎn)QUOTE??A的左側(cè)，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．②如圖④，若點(diǎn)QUOTE??B在點(diǎn)QUOTE??A的右側(cè)，QUOTE，直接寫出QUOTE的度數(shù)．考點(diǎn)十二：利用平行性的性質(zhì)與判定證明42．（21-22七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）如圖，QUOTE，點(diǎn)E為兩直線之間的一點(diǎn)．(1)如圖1，若QUOTE，QUOTE，則QUOTE_______；(2)如圖2，試說明，QUOTE；(3)如圖3，若QUOTE的平分線與QUOTE的平分線相交于點(diǎn)F，判斷QUOTE與QUOTE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．43．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知：如圖，QUOTE，點(diǎn)B為QUOTE????CD上一點(diǎn)，QUOTE．(1)如圖1，求證：QUOTE；(2)如圖2，點(diǎn)E為線段QUOTE????CR上一點(diǎn)，QUOTE的角平分線與QUOTE的角平分線相交于點(diǎn)H，請(qǐng)直接寫出QUOTE與QUOTE的數(shù)量關(guān)系，不必寫出證明過程；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接QUOTE????BR，且QUOTE????BR平分QUOTE，延長(zhǎng)QUOTE????BE交QUOTE????AR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作QUOTE交線段QUOTE????BC于點(diǎn)G，QUOTE????FP平分QUOTE交線段QUOTE????HB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若QUOTE，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．44．（23-24七年級(jí)下·黑龍江鶴崗·期末）如圖1，已知QUOTE，求證：QUOTE鈭燗????+鈭燙????=鈭燛????鈭燗EP+鈭燙FP=鈭燛PF；小明想到了以下方法，請(qǐng)幫助他完成證明過程：證明：(1)如圖1，過點(diǎn)QUOTE??P作QUOTE，則QUOTE___________．（

）QUOTE，QUOTE__________（

）QUOTE____________（

）又QUOTE，QUOTE．(2)如圖2，QUOTE，請(qǐng)寫出QUOTE鈭燗????+鈭燛????+鈭燩????鈭燗EP+鈭燛PF+鈭燩FC的和并說明理由；(3)如圖3，QUOTE，請(qǐng)直接寫出圖3中QUOTE的和．QUOTE1．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線a與直線b交于點(diǎn)A，與直線c交于點(diǎn)B，QUOTE鈭?=120擄,鈭?=45擄鈭?=120擄,鈭?=45擄，若使直線b與直線c平行，則可將直線b繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（

）A．QUOTE15擄15擄 B．QUOTE30擄30擄 C．QUOTE45擄45擄 D．QUOTE60擄60擄2．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．QUOTE B．若QUOTE，則有QUOTEC．若QUOTE，則有QUOTE D．若QUOTE，必有QUOTE3．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線QUOTE????AB、QUOTE????CD被直線QUOTE????EF所截，QUOTE????FG平分QUOTE交QUOTE????AB于點(diǎn)QUOTE??G．下列條件中，不能判定QUOTE的是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE4．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知QUOTE，則圖中所有平行的直線是（

）

A．QUOTE B．QUOTEC．QUOTE D．QUOTE，QUOTE5．（24-25七年級(jí)上·云南文山·期中）如圖，QUOTE，QUOTE，QUOTE，則QUOTE的度數(shù)為（

）A．QUOTE34擄34擄 B．QUOTE56擄56擄 C．QUOTE66擄66擄 D．QUOTE54擄54擄6．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，直線QUOTE，則QUOTE鈭?鈭?的度數(shù)為（

）A．QUOTE50擄50擄 B．QUOTE60擄60擄 C．QUOTE65擄65擄 D．QUOTE75擄75擄7．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）把一張長(zhǎng)方形的紙條按如圖所示那樣折疊后，若得到QUOTE，則QUOTE的度數(shù)是（

）A．QUOTE70擄70擄 B．QUOTE C．QUOTE55擄55擄 D．無法確定8．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）有兩個(gè)直角三角形紙板，一個(gè)含QUOTE45擄45擄角，另一個(gè)含QUOTE30擄30擄角，如圖所示疊放，使QUOTE，QUOTE的度數(shù)為（

）A．QUOTE60擄60擄 B．QUOTE45擄45擄 C．QUOTE30擄30擄 D．QUOTE15擄15擄9．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，QUOTE，QUOTE，則QUOTE偽偽、QUOTE尾尾、QUOTE緯緯的關(guān)系為（

）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE10．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說法：①在同一平面內(nèi)，若直線QUOTE，QUOTE，則QUOTE；②在同一平面內(nèi)，若直線QUOTE，直線QUOTE??a與QUOTE??c相交，則直線QUOTE??b與QUOTE??c相交；③若直線QUOTE??a與直線QUOTE??b相交，直線QUOTE??b與直線QUOTE??c相交，則直線QUOTE??a與直線QUOTE??c相交；④過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，其中說法正確的是．（填序號(hào)）11．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知：QUOTE，QUOTE．是否能證明出QUOTE？．（填能或不能）12．（2024九年級(jí)上·河南安陽·學(xué)業(yè)考試）將一副三角板按如圖所示擺放，過點(diǎn)E作直線QUOTE????AB，過點(diǎn)F作直線QUOTE????CD，且QUOTE．若QUOTE，則QUOTEQUOTE擄擄．13．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，一束平行光線照射平面鏡后反射，若入射光線與平面鏡夾角QUOTE，則反射光線與平面鏡夾角QUOTE鈭?鈭?的度數(shù)為14．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)QUOTE分別在直線QUOTE上，且QUOTE，若在同一平面內(nèi)存在一點(diǎn)O，使QUOTE，則QUOTE．15．（22-23七年級(jí)下·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，已知QUOTE，(1)求證：QUOTE；(2)求QUOTE．16．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)O在直線QUOTE????AB上，QUOTE????OC平分QUOTE平分QUOTE是QUOTE????DE上一點(diǎn)，連接QUOTE????OF．(1)判斷QUOTE????OC與QUOTE????OD是否垂直，并說明理由；(2)若QUOTE鈭燚鈭燚與QUOTE鈭?鈭?互余，判斷QUOTE????ED與QUOTE????AB是否平行，并說明理由．17．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，QUOTE，直線QUOTE????MN與QUOTE????AB交于點(diǎn)QUOTE??E，與QUOTE????CD交于點(diǎn)QUOTE??F，過點(diǎn)QUOTE??E作射線QUOTE，QUOTE，求QUOTE鈭?鈭?的度數(shù)．18．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）如圖①，QUOTE，則QUOTE________；如圖②，QUOTE，則QUOTE________，請(qǐng)你說明理由；（2）如圖③，QUOTE，則QUOTE________；（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，QUOTE，QUOTE和QUOTE的平分線相交于點(diǎn)F，QUOTE，求QUOTE的度數(shù)．

第02講平行線的性質(zhì)與判定模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1.理解與掌握平行線的性質(zhì)與判定定理；2.利用平行線的性質(zhì)與判定定理求解.平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號(hào)“∥”表示.如圖，直線AB與CD平行，記作;AB∥CD，讀作：AB平行于CD.【補(bǔ)充說明】1）平行線必在同一平面內(nèi)，分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面內(nèi)”是平行線存在的前提條件.2）平行線指的是“兩條直線”而不是兩條射線或線段，今后遇到線段、射線平行時(shí)，特指線段、射線所在的直線平行.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的前提條件：經(jīng)過直線外一點(diǎn).平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.【拓展】1）平行線具有傳遞性：若多條直線都與同一條直線平行，則這多條直線也相互平行.2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線相互平行，即在同一平面內(nèi)，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.平行線的判定判定方法1判定方法2判定方法3兩條直線平行的判定同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行圖示符號(hào)語言∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1＝∠2∴AB∥CD∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3兩條直線平行的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)圖示符號(hào)語言∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1＝∠2∵AB∥CD∴∠1+∠2=180°【注意】在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的結(jié)論.這是平行線特有的性質(zhì)不要一提同位角或內(nèi)錯(cuò)角就認(rèn)為它們相等，一提同旁內(nèi)角就認(rèn)為互補(bǔ)，若沒有兩直線平行的條件，這些是不成立的.【總結(jié)】從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì).平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.考點(diǎn)一：平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系1．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）在同一平面內(nèi)有三條不同的直線QUOTEa,b,ca,b,c，若QUOTE，則a與b的位置關(guān)系為（

）A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查垂直的定義，熟練掌握垂直的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，即可得出結(jié)果．【詳解】QUOTE在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行．QUOTEQUOTE，故選：C．2．（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期中）在同一平面內(nèi)，有12條互不重合的直線QUOTEl1l1，QUOTEl2l2，QUOTEl3l3，QUOTE，若QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，…，依此類推，則QUOTEl1l1與QUOTEl12l12的位置關(guān)系是．（填“平行”或“垂直”）【答案】平行【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行”是解決此類問題的關(guān)鍵．如果一條直線垂直于兩平行線中的一條，那么它與另一條一定也垂直．再根據(jù)“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行”，可知QUOTEl1l1與QUOTEl12l12的位置關(guān)系是平行．【詳解】解：∵QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE…∴QUOTE，QUOTE，QUOTE…，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，故答案為∶平行．3．（23-24七年級(jí)下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）設(shè)a，b，l為平面內(nèi)三條不同直線．①若QUOTE，QUOTEl鈯l鈯，則l與b的位置關(guān)系是；②若QUOTEl鈯l鈯，QUOTEl鈯l鈯，則a與b的位置關(guān)系是；③若QUOTE，QUOTEl鈭l鈭，則l與b的位置關(guān)系是．【答案】垂直平行平行【分析】本題考查平行線的判定．利用平行線的性質(zhì)，可求解①；在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行可求解②；由平行于同一條直線的兩條直線互相平行，可求解③．【詳解】解：①如圖，∵QUOTE，∴QUOTE鈭?=90擄鈭?=90擄，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∴l(xiāng)與b的位置關(guān)系是垂直；②若QUOTE，QUOTE，則a與b的位置關(guān)系是平行；③若QUOTE，QUOTE，則l與b的位置關(guān)系是平行．故答案為：垂直；平行；平行．4．（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）在同一平面內(nèi)，直線QUOTEaa與QUOTEbb滿足下列條件，把它們的位置關(guān)系填在后面的橫線上．（1）若QUOTEaa與QUOTEbb沒有公共點(diǎn)，則QUOTEaa與QUOTEbb；（2）若QUOTEaa與QUOTEbb有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則QUOTEaa與QUOTEbb；（3）若QUOTEaa與QUOTEbb有兩個(gè)公共點(diǎn)，則QUOTEaa與QUOTEbb．【答案】互相平行相交重合考點(diǎn)二：用直尺、三角尺畫平行線5．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期末）下列各圖中的直線QUOTEa,ba,b，用推三角尺的方法驗(yàn)證，其中QUOTE的有（填序號(hào)）．【答案】①②③【分析】本題考查的是用三角板和直尺判定判定平行線，將三角板的一條邊靠在直線上，用直尺靠在三角板的另一條邊上，固定直尺不動(dòng)，推動(dòng)三角板即可判定．【詳解】解：將三角板的一條邊靠在直線上，用直尺靠在三角板的另一條邊上，固定直尺不動(dòng)，推動(dòng)三角板，可判定三個(gè)圖形中QUOTE的有①②③，故答案為：①②③．6．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知直線QUOTEll以及直線QUOTEll外一點(diǎn)P，如圖1，圖2、圖3的作圖結(jié)果可以說明的基本事實(shí)是；其依據(jù)是．【答案】經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和已知直線平行同位角相等，兩直線平行【分析】本題考查的是畫平行線，平行線的判定，根據(jù)畫平行線的方法可得答案．【詳解】解：直線QUOTEll以及直線QUOTEll外一點(diǎn)P，如圖1，圖2、圖3的作圖結(jié)果可以說明的基本事實(shí)是經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和已知直線平行；其依據(jù)是同位角相等，兩直線平行；故答案為：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和已知直線平行；同位角相等，兩直線平行；7．（23-24七年級(jí)上·江蘇連云港·期末）如圖，已知直線QUOTEaa和直線外一點(diǎn)QUOTEPP，我們可以用直尺和三角尺，過點(diǎn)QUOTEPP畫已知直線QUOTEaa的平行線QUOTEbb．下面的操作步驟：①沿直尺上移三角尺使三角尺一邊經(jīng)過點(diǎn)QUOTEPP；②用直尺緊靠三角尺的另一邊；③沿三角尺的邊作出直線QUOTEbb；④用三角尺的一邊緊貼住直線QUOTEaa；正確的操作順序是：．（填序號(hào)）

【答案】④②①③【分析】本題考查的是畫平行線，根據(jù)“用直尺和三角板過直線外一點(diǎn)QUOTEPP畫已知直線QUOTEbb的平行線QUOTEaa的操作步驟”即可作答；【詳解】解：正確的步驟是：④用三角尺的一邊貼住直線a；②用直尺緊靠三角尺的另一邊；①沿直尺上移三角尺使三角尺一邊經(jīng)過點(diǎn)P；③沿三角尺的邊作出直線b；故答案為：④②①③；考點(diǎn)三：平行公理推論的應(yīng)用8．（23-24七年級(jí)下·北京朝陽·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)可折疊的衣架，QUOTEABAB是地平線，當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE；QUOTE時(shí)，QUOTE，就可確定點(diǎn)N、P、M在同一條直線上的依據(jù)是【答案】過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行【分析】本題考查平行線的判定，平行公理，根據(jù)平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行進(jìn)行判斷即可，掌握經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTEPM鈭BPM鈭B，∵QUOTE，∴QUOTE，∵過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行，∴點(diǎn)N，P，M在同一條直線上，故答案為：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．9．（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖1，桿秤是中國(guó)最古老也是現(xiàn)今人們?nèi)匀辉谑褂玫暮饬抗ぞ撸酶軛U原理來稱物體的質(zhì)量，由木制的帶有秤星的秤桿、金屬秤砣、提繩等組成．如圖2，是桿秤的示意圖，QUOTEAB鈭DAB鈭D，QUOTEAB鈭OAB鈭O，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)QUOTE鈭?=106擄鈭?=106擄，則QUOTE的度數(shù)是度．【答案】74【分析】本題考查鄰補(bǔ)角的定義，平行公理的推論，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出QUOTE鈭燨CD鈭燨CD，再根據(jù)平行公理的推論得出QUOTEEO鈭DEO鈭D，最后平行線的性質(zhì)得到QUOTE，即可求解．【詳解】解：∵QUOTE，∴QUOTE∵QUOTEAB鈭DAB鈭D，QUOTEAB鈭OAB鈭O，∴QUOTEEO鈭DEO鈭D∴QUOTE故答案為：74．10．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，已知直線QUOTE，將一塊直角三角板QUOTEABCABC按如圖所示方式放置，若QUOTE鈭?=56擄鈭?=56擄，則QUOTE鈭?=鈭?=．【答案】QUOTE34擄34擄/34度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，角的和差等相關(guān)知識(shí)，作QUOTE，則QUOTE，則QUOTE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和角度和差即可求解，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，作QUOTE，則QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE鈭燗BC=90擄鈭燗BC=90擄，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE鈭?=34擄鈭?=34擄，故答案為：QUOTE．11．（23-24七年級(jí)下·河南商丘·期中）如圖是一款長(zhǎng)臂折疊QUOTELEDLED護(hù)眼燈示意圖，QUOTEEFEF與桌面QUOTEMNMN垂直，當(dāng)發(fā)光的燈管QUOTEABAB恰好與桌面QUOTEMNMN平行時(shí)，QUOTE，QUOTE，則QUOTE的度數(shù)為．

【答案】QUOTE100擄100擄/100度【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)構(gòu)造平行線．過點(diǎn)QUOTEDD作QUOTEDH鈭CDH鈭C，過點(diǎn)QUOTEEE作QUOTEEG鈭NEG鈭N，根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂直的定義，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)QUOTEDD作QUOTEDH鈭CDH鈭C，過點(diǎn)QUOTEEE作QUOTEEG鈭NEG鈭N，則QUOTEQUOTE,,

∴QUOTE,QUOTE,∵QUOTEEF鈯NEF鈯N，QUOTE鈭燚EF=130擄鈭燚EF=130擄，QUOTE鈭燘CD=120擄鈭燘CD=120擄，∴QUOTE鈭燙DH=60擄鈭燙DH=60擄，QUOTE，QUOTE鈭燚EG=鈭燚EF?鈭燝EF=40擄鈭燚EG=鈭燚EF?鈭燝EF=40擄，∵QUOTEDH鈭GDH鈭G，∴QUOTE，∴QUOTE，故答案為：QUOTE．考點(diǎn)四：根據(jù)已知條件判定兩直線能否平行12．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）學(xué)習(xí)情境·推理論證如圖所示，下列推理中正確的有（

）①Q(mào)UOTE，QUOTE；②QUOTE，QUOTE；③QUOTE，QUOTE；④QUOTE，QUOTE．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題主要考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定可進(jìn)行求解．【詳解】解：①∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTEAD鈭CAD鈭C，故錯(cuò)誤；②∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTEAB鈭DAB鈭D，故錯(cuò)誤；③∵QUOTE，∴QUOTEAB鈭DAB鈭D，故錯(cuò)誤；④∵QUOTE，QUOTE，故正確．故選：A．13．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，下列條件不能判定直線QUOTE的是（

）A．QUOTE B．QUOTEC．QUOTE D．QUOTE【答案】A【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、QUOTE和QUOTE不是同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角，所以QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?不能判斷QUOTE，故A選項(xiàng)符合題意；B、QUOTE和QUOTE是內(nèi)錯(cuò)角，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，所以QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?能判斷QUOTE，故B選項(xiàng)不符合題意；C、QUOTE和QUOTE是同旁內(nèi)角，所以QUOTE能判斷QUOTE，故C選項(xiàng)不符合題意；D、QUOTE和QUOTE是同位角，所以QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?能判斷QUOTE，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：A．14．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，有以下四個(gè)條件：①Q(mào)UOTE鈭燘+鈭燘CD=180擄鈭燘+鈭燘CD=180擄；②QUOTE；③QUOTE；④QUOTE．其中能判定QUOTE的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】此題考查了平行線的判定．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，弄清截線與被截線．根據(jù)平行線的判定定理求解，即可求得答案．【詳解】解：①∵QUOTE，∴QUOTE（同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行）；②∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTE（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）；③∵QUOTE，∴QUOTE（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）；④∵QUOTE鈭燘=鈭?鈭燘=鈭?，∴QUOTE（同位角相等兩直線平行）；∴能得到QUOTE的條件是①③④．故選：D．考點(diǎn)五：添加一個(gè)條件使兩直線平行15．（23-24七年級(jí)下·湖北荊門·期中）如圖，B，D分別在QUOTEAF,CEAF,CE上，添加條件，即可判定QUOTEAD鈭CAD鈭C．（寫出一個(gè)即可）【答案】QUOTE（答案不唯一）【分析】本題主要考查了平行線的判定．根據(jù)平行線的判定定理，即可求解．【詳解】解：添加QUOTE，理由：∵QUOTE，∴QUOTEAD鈭CAD鈭C（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：QUOTE（答案不唯一）16．（24-25八年級(jí)上·陜西漢中·階段練習(xí)）如圖，已知QUOTE鈭燛BF鈭燛BF，點(diǎn)QUOTEAA，QUOTECC分別在射線QUOTEBEBE，QUOTEBFBF上，點(diǎn)QUOTEDD為QUOTE鈭燛BF鈭燛BF內(nèi)一點(diǎn)，連接QUOTEADAD，QUOTECDCD，不添加輔助線，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使得QUOTEAD鈭F(tuán)AD鈭F(tuán)，則可添加為．（寫出一個(gè)即可）【答案】QUOTE（答案不唯一）【分析】本題主要考查了平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理．平行線判定方法有：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．據(jù)此可得結(jié)論．【詳解】解：添加QUOTE利用同位角相等，兩直線平行判定QUOTEAD鈭F(tuán)AD鈭F(tuán)；添加QUOTE利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行判定QUOTEAD鈭F(tuán)AD鈭F(tuán)；添加QUOTE利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行判定QUOTEAD鈭F(tuán)AD鈭F(tuán)．故答案為：QUOTE(答案不唯一)·17．（23-24七年級(jí)下·北京·期中）如圖，點(diǎn)E在QUOTEDCDC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)恰當(dāng)?shù)臈l件，使QUOTEAB鈭DAB鈭D．【答案】QUOTE(答案不唯一)【分析】本題考查了平行線的判定．熟練掌握平行線的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定求解作答即可．【詳解】解：由題意知，∵QUOTE，∴QUOTEAB鈭DAB鈭D，故答案為：QUOTE（答案不唯一）．18．（23-24七年級(jí)下·云南昭通·期末）如圖，要使“直線QUOTE”，需要添加的條件是（只填一個(gè)即可）【答案】QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?（或QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?或QUOTE）【分析】本題考查平行線的判定，關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法．由平行線的判定，即可得到答案．【詳解】解：要使直線QUOTE，則需要添加的條件可以為QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，也可以為QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，也可以為QUOTE，故答案為：QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?（或QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?或QUOTE）．考點(diǎn)六：證明兩直線平行19．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，若QUOTE鈭燗=114擄鈭燗=114擄，QUOTE鈭燙=135擄鈭燙=135擄，QUOTE鈭?=66擄鈭?=66擄，QUOTE鈭?=45擄鈭?=45擄，試說明QUOTEAD鈭F(tuán)AD鈭F(tuán)．【答案】見解析【分析】本題主要考查同旁內(nèi)角互補(bǔ)、平行公理判斷兩直線平行，由QUOTE可得QUOTEAD鈭EAD鈭E，又由QUOTE可得QUOTE，則QUOTEAD鈭F(tuán)AD鈭F(tuán)．【詳解】解：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭?=66擄鈭?=66擄，QUOTE鈭?=45擄鈭?=45擄，QUOTE鈭粹垹A+鈭?=114擄+66擄=180擄鈭粹垹A+鈭?=114擄+66擄=180擄，QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，QUOTE．20．（23-24七年級(jí)下·遼寧鐵嶺·期中）如圖，已知QUOTEAB鈯CAB鈯C，QUOTECD鈯CCD鈯C，QUOTE，QUOTEBEBE與QUOTECFCF平行嗎？【答案】QUOTEBE鈭F(tuán)BE鈭F(tuán)，理由見解析【分析】本題考查了平行線的判定，垂直的定義，得到QUOTE是解題的關(guān)鍵．由QUOTEAB鈯CAB鈯C，QUOTECD鈯CCD鈯C得到QUOTE，繼而QUOTE，即可求證．【詳解】解：QUOTEBE鈭F(tuán)BE鈭F(tuán)，理由如下，證明，∵QUOTEAB鈯CAB鈯C，QUOTECD鈯CCD鈯C，∴QUOTE，∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTE，∴QUOTEBE鈭F(tuán)BE鈭F(tuán)．21．（24-25七年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）如圖，QUOTEAB鈭DAB鈭D，QUOTEAB=CDAB=CD，點(diǎn)QUOTEEE、QUOTEFF在QUOTEBCBC上，且QUOTEBF=CEBF=CE．QUOTEAEAE與QUOTEDFDF平行嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】QUOTEAE鈭F(tuán)AE鈭F(tuán)，理由見解析【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．先根據(jù)平行線的性質(zhì)推得QUOTE，再推得QUOTEBE=CFBE=CF即可根據(jù)“邊角邊”證明QUOTE，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得QUOTE，結(jié)合點(diǎn)QUOTEEE、QUOTEFF在QUOTEBCBC上，推得QUOTE即可證明QUOTEAE鈭F(tuán)AE鈭F(tuán)．【詳解】解：QUOTEAE鈭F(tuán)AE鈭F(tuán)，理由如下：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭礏F=CE鈭礏F=CE，QUOTE鈭碆F?EF=CE?EF鈭碆F?EF=CE?EF，即QUOTEBE=CFBE=CF，QUOTE在QUOTE鈻矨BE鈻矨BE和QUOTE鈻矰CF鈻矰CF中，QUOTEAB=CD??BE=??CFBE=CFAB=CD??BE=??CFBE=CFQUOTE，QUOTE，又點(diǎn)QUOTEEE、QUOTEFF在QUOTEBCBC上，QUOTE，即QUOTE，QUOTE．22．（22-23七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖所示，已知QUOTE，QUOTE，試說明：QUOTEAB鈭CAB鈭C．【答案】證明見解析【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵．利用QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?，QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，等量代換得出QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?，即可判定．【詳解】證明：∵QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?，QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?，∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?，∴QUOTEAB鈭CAB鈭C（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．考點(diǎn)七：補(bǔ)全兩直線的證明過程23．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在三角形QUOTEABCABC中，點(diǎn)QUOTEEE在QUOTEBCBC上，QUOTECD鈯BCD鈯B于QUOTEDD，QUOTEEG鈯BEG鈯B于QUOTEGG，QUOTE．求證：QUOTE鈭燚FC+鈭燜CB=180擄鈭燚FC+鈭燜CB=180擄．請(qǐng)將下列證明過程補(bǔ)充完整：證明：∵QUOTECD鈯BCD鈯B，QUOTEEG鈯BEG鈯B，∴QUOTE鈭燘GE=90擄鈭燘GE=90擄，QUOTE（____________________）∴QUOTE鈭燘GE=鈭燘DC=90擄鈭燘GE=鈭燘DC=90擄∴QUOTE（____________________）∴QUOTE（____________________）∵QUOTE∴QUOTE鈭燜DC=鈭燜DC=__________∴QUOTE__________（____________________）∴QUOTE鈭燚FC+鈭燜CB=180擄鈭燚FC+鈭燜CB=180擄【答案】垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；QUOTE鈭燘CD鈭燘CD；QUOTEBCBC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)垂直的定義得QUOTE，推出QUOTE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得QUOTE，繼而得到QUOTE，QUOTE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得證．掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵QUOTECD鈯BCD鈯B，QUOTEEG鈯BEG鈯B，∴QUOTE鈭燘GE=90擄鈭燘GE=90擄，QUOTE，（垂直的定義）∴QUOTE，∴QUOTE，（同位角相等，兩直線平行）∴QUOTE，（兩直線平行，同位角相等）∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTEDF??CDF??C，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴QUOTE．故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；QUOTE鈭燘CD鈭燘CD；QUOTEBCBC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．24．（21-22七年級(jí)下·廣東清遠(yuǎn)·期末）把下列的推理過程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)里填上推理的依據(jù)：如圖，QUOTE，QUOTE鈭?+鈭燗BC=180擄鈭?+鈭燗BC=180擄，QUOTEBEBE平分QUOTE鈭燗BC鈭燗BC，試說明：QUOTE．解：因?yàn)镼UOTEBEBE平分QUOTE鈭燗BC鈭燗BC，所以（

）

又因?yàn)镼UOTE（已知），所以QUOTE（等量代換）．所以（

），所以QUOTE鈭燗+鈭燗BC=180擄鈭燗+鈭燗BC=180擄（

）．又因?yàn)镼UOTE鈭?+鈭燗BC=180擄鈭?+鈭燗BC=180擄（已知），所以（

），所以QUOTE（

）【答案】QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，角平分線的定義；QUOTE；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；QUOTE鈭?=鈭燗鈭?=鈭燗；同角的補(bǔ)角相等；同位角相等，兩直線平行【分析】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意、結(jié)合圖形，根據(jù)平行線的判定定理和性質(zhì)定理解答即可．【詳解】解：因?yàn)镼UOTEBEBE平分QUOTE鈭燗BC鈭燗BC，所以∠1=∠2（角平分線的定義），

又因?yàn)镼UOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?（已知），所以QUOTE鈭燛=鈭?鈭燛=鈭?（等量代換）．所以QUOTE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），所以QUOTE（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．又因?yàn)镼UOTE（已知），所以QUOTE鈭?=鈭燗鈭?=鈭燗（同角的補(bǔ)角相等），所以QUOTE（同位角相等，兩直線平行），故答案為：QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，角平分線的定義；QUOTE；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；QUOTE鈭?=鈭燗鈭?=鈭燗；同角的補(bǔ)角相等；同位角相等，兩直線平行．25．（22-23七年級(jí)下·廣東清遠(yuǎn)·期末）把下列的推理過程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)里填上推理的依據(jù)：如圖，已知直線a，b，c，d，e，且QUOTE，QUOTE，試說明：QUOTEa鈭a鈭．解：因?yàn)镼UOTE，所以QUOTE（

）又因?yàn)镼UOTE，所以QUOTE（

）所以QUOTE（

）【答案】QUOTEa,ba,b；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；QUOTEb,cb,【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)以及平行公理．根據(jù)平行線的性質(zhì)得出QUOTE，QUOTE，即可推出答案．【詳解】解：∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴QUOTE(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)，∵QUOTE，∴QUOTE(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)，∴QUOTE(如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行)，故答案為：QUOTEa,ba,b；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；QUOTEb,cb,26．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知點(diǎn)QUOTEE,FE,F分別在QUOTEAB,CDAB,CD上，QUOTEBCBC交QUOTEAFAF于點(diǎn)G，交QUOTEDEDE于點(diǎn)QUOTE．(1)QUOTEAFAF與QUOTEEDED平行嗎？請(qǐng)說明理由．(2)試說明QUOTE．解：（1）QUOTEAF鈭DAF鈭D．理由如下：因?yàn)镼UOTE，（已知），QUOTE（_______），所以QUOTE_______（_______），所以_______QUOTE_______（_______）．（2）因?yàn)镼UOTEAF鈭DAF鈭D（已知），所以QUOTE_______（________）．又因?yàn)镼UOTE，（已知）所以QUOTE______（_______）．所以_______QUOTE_______（_______），所以QUOTE（_______）．【答案】(1)QUOTEAF鈭DAF鈭D．理由見解析(2)見解析【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)和判定．（1）首先根據(jù)對(duì)頂角相等得到QUOTE，然后等量代換根據(jù)同位角相等兩直線平行證明即可；（2）首先得到QUOTE，推出QUOTE，然后證明出QUOTEAB鈭DAB鈭D，即可得到QUOTE鈭燘=鈭燙鈭燘=鈭燙．【詳解】（1）解：（1）QUOTEAF鈭DAF鈭D．理由如下：因?yàn)镼UOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?（已知），QUOTE（對(duì)頂角相等），所以QUOTE（等量代換），所以QUOTEAF鈭DAF鈭D（同位角相等，兩直線平行）；（2）因?yàn)镼UOTEAF鈭DAF鈭D（已知），所以QUOTE（兩直線平行，同位角相等）．又因?yàn)镼UOTE鈭燗=鈭燚鈭燗=鈭燚（已知），所以QUOTE（等量代換），所以QUOTEAB鈭DAB鈭D（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），所以QUOTE鈭燘=鈭燙鈭燘=鈭燙（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．考點(diǎn)八：利用平行線的性質(zhì)求解27．（24-25七年級(jí)上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，QUOTE，QUOTE鈭燗=105擄鈭燗=105擄，QUOTE鈭燙=120擄鈭燙=120擄，則QUOTE鈭?=鈭?=．【答案】QUOTE45擄45擄/QUOTE4545度【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，鄰補(bǔ)角，先過點(diǎn)QUOTEEE作QUOTEEF鈭BEF鈭B，分別得QUOTE鈭?=75擄鈭?=75擄，QUOTE鈭?=60擄鈭?=60擄，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：過點(diǎn)QUOTEEE作QUOTEEF鈭BEF鈭B，如圖所示：∵QUOTEEF鈭BEF鈭B，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE鈭?=75擄鈭?=75擄，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE鈭?=60擄鈭?=60擄，∴QUOTE鈭?=180擄?鈭??鈭?=45擄鈭?=180擄?鈭??鈭?=45擄，故答案為：QUOTE．28．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，為了加固房屋，要在屋架上加一根橫梁QUOTEDEDE，使QUOTEDE鈭CDE鈭C．如果QUOTE鈭燗BC=31擄鈭燗BC=31擄，QUOTE鈭燗DE=鈭燗DE=．【答案】QUOTE【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同位角相等．直接根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：QUOTEQUOTE鈭燗BC=31擄鈭燗BC=31擄，QUOTE，故答案為：QUOTE29．（2024·江蘇常州·一模）如圖，直線QUOTEa鈭a鈭，點(diǎn)A在直線a上，點(diǎn)C在直線b上，QUOTEAB鈯CAB鈯C，若QUOTE鈭?=44擄鈭?=44擄，則QUOTE鈭?=鈭?=QUOTE擄擄．【答案】46【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、垂直的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)B作射線QUOTEBD鈭BD鈭，再根據(jù)QUOTE，得出QUOTE，QUOTE，再根據(jù)QUOTEAB鈯CAB鈯C即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作射線QUOTEBD鈭BD鈭，如圖所示，∵QUOTEBD鈭BD鈭，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTEBD鈭BD鈭，∴QUOTE，∵QUOTEAB鈯CAB鈯C，∴QUOTE，∵QUOTE鈭?=44擄鈭?=44擄，∴QUOTE．故答案為：46．30．（22-23九年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·自主招生）如圖，直線QUOTE，將一直角三角形的直角頂點(diǎn)置于直線b上，若QUOTE鈭?=24擄鈭?=24擄，則QUOTE等于度．【答案】114【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)得QUOTE,又QUOTE，即可得QUOTE.【詳解】解：如圖，∵QUOTE，∴QUOTE∵QUO