第八章 第4講 直線與圓、圓與圓的位置關系

第八章平面解析幾何第4講直線與圓、圓與圓的位置關系

課標要求命題點五年考情命題分析預測1.能根據(jù)給

定直線、圓

的方程，判

斷直線與

圓、圓與圓

的位置關

系.直線與圓的

位置關系2022新高考卷ⅡT15；2021新高考

卷ⅡT11；2021全國卷甲T20本講是高考的命題

熱點，主要考查：

(1)直線與圓的位置

關系的判斷，圓與

圓的位置關系的判

斷，切線問題，弦

長問題；圓的弦長問

題2023新高考卷ⅡT15；2023全國卷

甲T8；2021北京T9圓的切線問

題2023新高考卷ⅠT6；2022新高考卷

ⅠT14；2022全國卷甲T14；2020全

國卷ⅠT11；2019全國卷ⅢT21課標要求命題點五年考情命題分析預測2.能用直線和

圓的方程解決

一些簡單的數(shù)

學問題與實際

問題.圓與圓的

位置關系2022新高

考卷ⅠT14(2)將圓的方程及幾何性質(zhì)，直線與圓、圓與

圓的位置關系作為研究圓錐曲線幾何量的條

件.主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，也

可能作為解答題的一部分考查，難度中等.

在2025年高考的備考中重視常規(guī)考向的同時

注意與圓錐曲線的綜合命題.

1.直線與圓的位置關系設圓

O

的半徑為

r

，圓心

O

到直線

l

的距離為

d

，則位置關系相離相切相交圖形

公共點個數(shù)012判定方法代數(shù)法Δ①

?0Δ②

?0Δ③

?0幾何法d④

?rd⑤

?rd⑥

?r＜

＝

＞

＞

＝

＜

2.圓與圓的位置關系(1)設兩圓的圓心距為

d

，兩圓的半徑分別為

R

，

r

(

R

＞

r

)，則位置關系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形

公共點個數(shù)01210d，R，r的關系⑦

?

?⑧

?

?⑨

?

?⑩

?

??

?

?公切線條數(shù)?

??

??

??

?0d＞R＋r

d＝R＋r

R－r＜d

＜R＋r

d＝R－r

d＜R－r

4

3

2

1

(2)兩圓相交時，公共弦所在直線的方程設圓

C

1：

x

2＋

y

2＋

D

1

x

＋

E

1

y

＋

F

1＝0

(*)，圓

C

2：

x

2＋

y

2＋

D

2

x

＋

E

2

y

＋

F

2＝

0

(**)，若兩圓相交，則兩圓有一條公共弦，由(*)－(**)，得(

D

1－

D

2)

x

＋(

E

1－

E

2)

y

＋

F

1－

F

2＝0

(***).方程(***)表示圓

C

1與圓

C

2的公共弦所在直線的方程.注意

(1)方程(***)存在的前提是兩圓相交；(2)兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的

圓心.規(guī)律總結(jié)圓系方程過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋

Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝

0(λ∈R).過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0

和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0

交點的圓系方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y

＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題

時，注意檢驗圓C2是否滿足題意).

1.[多選]下列說法正確的是(

AD

)A.若直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切B.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交C.“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件D.過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，

P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2AD123452.[易錯題]若半徑為1的圓

C

與圓(

x

＋1)2＋(

y

－2)2＝9相切，則圓

C

的圓心

C

的軌跡

方程為

?.[解析]若兩圓外切，則點

C

與點(－1，2)間的距離為4，點

C

在以(－1，2)為圓

心，4為半徑的圓上，此時點

C

的軌跡方程為(

x

＋1)2＋(

y

－2)2＝16；若兩圓內(nèi)切，

則點

C

與點(－1，2)間的距離為2，點

C

在以(－1，2)為圓心，2為半徑的圓上，此時

點

C

的軌跡方程為(

x

＋1)2＋(

y

－2)2＝4.(

x

＋1)2＋(

y

－2)2＝16或(

x

＋1)2＋(

y

－2)2＝4

123453.[易錯題]已知圓

C

：

x

2＋

y

2＝9，過點

P

(3，1)作圓

C

的切線，則切線方程為

?

?.

x＝3或4

x

＋3

y

－15＝0

123454.過兩圓

x

2＋

y

2－2

y

－4＝0與

x

2＋

y

2－4

x

＋2

y

＝0的交點，且圓心在直線

l

：2

x

＋4

y

－1＝0上的圓的方程為

?.

x

2＋

y

2－3

x

＋

y

－1＝0

12345

12345

命題點1

直線與圓的位置關系例1

(1)[多選/2021新高考卷Ⅱ]已知直線

l

：

ax

＋

by

－

r

2＝0(

r

＞0)與圓

C

：

x

2＋

y

2＝

r

2，點

A

(

a

，

b

)，則下列說法正確的是(

ABD

)A.若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B.若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D.若點A在直線l上，則直線l與圓C相切ABD訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4(2)[2022新高考卷Ⅱ]設點

A

(－2，3)，

B

(0，

a

)，若直線

AB

關于

y

＝

a

對稱的直線與

圓(

x

＋3)2＋(

y

＋2)2＝1有公共點，則

a

的取值范圍是

?.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4方法技巧直線與圓的位置關系的判斷方法幾何法由圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系來判斷.代數(shù)法聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關于x(或y)的一元二次方程，利用Δ

判斷.點與圓的

位置關系

法若直線過定點且該定點在圓內(nèi)，則可判斷直線與圓相交.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4注意

在直線與圓的位置關系的判斷方法中，若直線和圓的方程已知或圓心到直線

的距離易表達，則用幾何法；若直線或圓的方程中含有參數(shù)，且圓心到直線的距離

不易表達，則用代數(shù)法.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4訓練1

(1)直線

l

：

mx

－

y

＋1－

m

＝0與圓

C

：

x

2＋(

y

－1)2＝5的位置關系是

(

A

)A.相交B.相切C.相離D.不確定

解法三(點與圓的位置關系法)直線

l

：

mx

－

y

＋1－

m

＝0過定點(1，1)，因為點

(1，1)在圓

x

2＋(

y

－1)2＝5的內(nèi)部，所以直線

l

與圓

C

相交.A訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

D訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

2(答案不唯一)

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4方法技巧求解圓的弦長問題的方法幾何

法代數(shù)

法訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4訓練2

(1)[2021北京高考]已知圓

C

：

x

2＋

y

2＝4，直線

l

：

y

＝

kx

＋

m

，當

k

的值發(fā)

生變化時，直線

l

被圓

C

所截得的弦長的最小值為2，則

m

的值為(

C

)A.±2D.±3

C訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4(2)[多選/2024南京市第五高級中學模擬]已知圓

O

：

x

2＋

y

2＝9，過點

A

(2，0)的直

線

l

與圓

O

交于

M

，

N

兩點，則(

BD

)A.存在直線l，使得｜MN｜＝4B.使得｜MN｜為整數(shù)的直線l有3條BD訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4命題點3

圓的切線問題例3

[2023新高考卷Ⅰ]過點(0，－2)與圓

x

2＋

y

2－4

x

－1＝0相切的兩條直線的夾角為

α，則sinα＝(

B

)A.1B訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

(2)求過點

M

的圓

C

的切線方程，并求出切線長.

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4方法技巧1.求過圓

O

上一點

P

(

x

0，

y

0)的切線

l

方程的方法利用

OP

與

l

垂直及

l

過點

P

求切線方程.2.求過圓外一點的切線方程的方法幾何法設出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程求解.代數(shù)法設出直線方程，再與圓的方程聯(lián)立，得到一個關于x或y的一元二次方程，利用Δ＝0求解.注意

(1)求過一定點的圓的切線方程時，應先判斷定點與圓的位置關系.(2)設直線

方程時注意對斜率是否存在進行討論.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4訓練3

(1)[2023重慶市二調(diào)]已知直線

l

：

x

－

y

＋8＝0與

x

軸交于點

A

，過直線

l

上的

動點

P

作圓

x

2＋

y

2＝16的兩條切線，切點分別為

C

，

D

，則直線

CD

恒過定點的坐

標為

；若

M

是線段

CD

的中點，則｜

AM

｜的最小值為

?.

(－2，2)

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4命題點4

圓與圓的位置關系角度1

圓與圓位置關系的判斷例5

[2023安徽省十校聯(lián)考]已知直線

l

：

mx

＋

y

－3

m

－2＝0與圓

M

：(

x

－5)2＋(

y

－

4)2＝25交于

A

，

B

兩點，

則當弦

AB

最短時，圓

M

與圓

N

：(

x

＋2

m

)2＋

y

2＝9的位

置關系是(

B

)A.內(nèi)切B.外離C.外切D.相交B訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4角度2

兩圓的公切線問題例6

[2022新高考卷Ⅰ]寫出與圓

x

2＋

y

2＝1和(

x

－3)2＋(

y

－4)2＝16都相切的一條直線

的方程

?.解法一如圖，因為圓

x

2＋

y

2＝1的圓心為

O

(0，0)，半徑

r

1＝1，圓(

x

－3)2＋(

y

－4)2＝16的圓心為

A

(3，4)，半徑

r

2＝4，所以｜

OA

｜＝5，

r

1＋

r

2＝5，所以｜

OA

｜＝

r

1＋

r

2，所以兩圓外切，公切線有三種情況：①易知公切線

l

1的方程為

x

＝－1；x

＝－1(答案不唯一)

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4角度3

兩圓相交的公共弦問題例7

圓

C

1：

x

2＋

y

2－2

x

＋10

y

－24＝0和圓

C

2：

x

2＋

y

2＋2

x

＋2

y

－8＝0的公共弦

所在直線的方程為

，公共弦長為

?.

x

－2

y

＋4＝0

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4方法技巧1.判斷兩圓的位置關系常用的方法是幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半

徑之間的關系，一般不采用代數(shù)法.2.兩圓的公切線問題實質(zhì)為直線與圓的相切問題，利用兩圓圓心到公切線的距離分

別等于兩圓的半徑列方程組求解.3.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到.訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4訓練4

(1)[2023湖南省六校聯(lián)考]在平面直角坐標系

xOy

中，圓

C

的方程為

x

2＋

y

2－8

x

＋15＝0，若直線

y

＝

kx

－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與

圓

C

有公共點，則

k

的最大值是(

B

)A.0D.7

B訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4(2)[多選/2023海南省文昌中學模擬]已知圓

O

1：

x

2＋

y

2－2

x

－3＝0和圓

O

2：

x

2＋

y

2－2

y

－1＝0的交點為

A

，

B

，直線

l

：

x

＋

y

＋λ＝0與圓

O

1交于

C

，

D

兩點，則下

列結(jié)論正確的是(

CD

)B.圓O2上存在兩點P和Q，使得｜PQ｜＞｜AB｜D.若O1C⊥O1D，則λ＝－3或λ＝1CD訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

訓練2例1訓練1例2訓練3例3例4例5例6例7訓練4

1.[命題點1，2/多選/2024甘肅酒泉聯(lián)考]下列關于直線

l

：

y

＝

kx

＋

b

與圓

C

：

x

2＋

y

2＝1的說法正確的是(

ABD

)A.若直線l與圓C相切，則b2－k2為定值B.若4b2－k2＝1，則直線l被圓C截得的弦長為定值ABD123456[解析]圓

C

：

x

2＋

y

2＝1的圓心為(0，0)，半徑為1，

1234562.[命題點1，4/多選/2024河源中學模擬]已知圓

O

：

x

2＋

y

2＝4和圓

C

：(

x

－3)2＋(

y

－3)2＝4，

P

，

Q

分別是圓

O

，圓

C

上的動點，則下列說法錯誤的是(

AC

)A.圓O與圓C相交C.x－y＝2是圓O與圓C的一條公切線D.過點Q作圓O的兩條切線，切點分別為M，N，則存在點Q，使得∠MQN＝90°AC123456

1234563.[命題點2/2023高三名校聯(lián)考(一)]若直線

kx

－

y

＋1－2

k

＝0與圓

x

2＋

y

2＝9分別交

于

M

，

N

兩點，則弦

MN

長度的最小值為

?.

4

1234564.[命題點3，4]過點

D

(1，－2)作圓

C

：(

x

－1)2＋

y

2＝1的兩條切線，切點分別為

A

，

B

，則弦

AB

所在直線的方程為(

B

)A.2y－1＝0B.2y＋1＝0C.x＋2y－1＝0D.x－2y＋1＝0[解析]

解法一由圓

C

：(

x

－1)2＋

y

2＝1的方程可知其圓心為

C

(1，0)，半徑為1.連接

CD

，易得以線段

CD

為直徑的圓的方程為(

x

－1)2＋(

y

＋1)2＝1.將兩圓的方程相減，可得公共弦

AB

所在直線的方程為2

y

＋1＝0.故選B.B解法二由與圓的切線有關的結(jié)論，得弦

AB

所在直線的方程為(1－1)(

x

－1)＋(－2)

y

＝1，即2

y

＋1＝0.1234565.[命題點4角度1]已知圓

C

1：

x

2＋(

y

－2)2＝4與圓

C

2：

x

2＋2

mx

＋

y

2＋

m

2－1＝0

至少有三條公切線，則

m

的取值范圍是(

D

)

D1234566.[命題點4角度3/多選/2023江西省五校聯(lián)考]已知圓

Q

：(

x

－2)2＋(

y

－2)2＝2，

O

為

坐標原點，以

OQ

為直徑作圓Q'，交圓

Q

于

A

，

B

兩點，則△

OAB

的面積為(

A

)C.3A123456

123456

1.[2024江蘇無錫市第一中學?？糫已知點

M

(

x

0，

y

0)在圓

x

2＋

y

2＝2外，則直線

x

0

x

＋

y

0

y

＝2與圓的位置關系是(

B

)A.相切B.相交C.相離D.不確定B123456789101112131415

1234567891011121314152.[2023廣東百校聯(lián)考]若直線

l

：

kx

－

y

＋2－

k

＝0與圓

C

：

x

2＋

y

2－4

x

－2

y

－4＝

0交于

A

，

B

兩點，則當△

ABC

的周長最小時，

k

＝(

C

)C.1D.－1[解析]直線

l

恒過點

D

(1，2)，圓心

C

(2，1)，點

D

在圓內(nèi)，當

CD

⊥

l

時，｜

AB

｜最小，△

ABC

的周長最小，由

C

(2，1)，

D

(1，2)，易得

kCD

＝－1，所以

k

＝1，故選C.C123456789101112131415

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

B1234567891011121314154.[2023福建漳州質(zhì)檢]已知

A

，

B

分別為

x

軸，

y

軸上的動點，若以

AB

為直徑的圓

與直線2

x

＋

y

－4＝0相切，則該圓面積的最小值為(

C

)D.π

C123456789101112131415

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A123456789101112131415

1234567891011121314156.[2023河南省適應性測試]過圓

x

2＋

y

2＝4上的一點作圓

x

2＋

y

2＝1的兩條切線，則

連接兩切點的線段長為(

D

)A.2B.1D123456789101112131415

123456789101112131415

A.4D123456789101112131415

1234567891011121314158.[多選/2023吉林長春模擬]已知兩個圓

C

1：

x

2＋

y

2－2

x

＋4

y

＋4＝0和

C

2：(

x

－

a

)2＋

y

2＝4相交，則

a

的值可以是(

BCD

)A.－2B.0C.1D.2

BCD1234567891011121314159.[開放創(chuàng)新]寫出與直線

x

－

y

－4＝0和圓

x

2＋

y

2＋2

x

－2

y

＝0都相切的一個圓的方

程：

?.

(

x

－1)2＋(

y

＋1)2＝2(答案不唯一)

12345678910111213141510.已知直線

l

：

x

－

y

＋2＝0，圓

C

：

x

2＋

y

2＋2

x

＋2

y

－2＝0.(1)求證：直線

l

與圓

C

相交；

(2)若直線

l

與圓

C

交于

A

，

B

兩點，求以弦

AB

為直徑的圓的方程.

123456789101112131415

A.2B.3C.4D.7D123456789101112131415

設

P

，

C

到直線

AB

的距離分別為

d

1，

d

2，

顯然當

P

，

C

位于直線

AB

的同側(cè)時，點

P

到直線

AB

的距離較大，

12345678910111213141512.[全國卷Ⅰ]已知☉

M

：

x

2＋

y

2－2

x

－2

y

－2＝0，直線

l

：2

x

＋

y

＋2＝0，

P

為

l

上

的動點.過點

P

作☉

M

的切線

PA

，

PB

，切點為

A

，

B

，當｜

PM

｜·｜

AB

｜最小

時，直線

AB

的方程為