第54講 圓錐曲線熱點問題-第1課時 求值、最值與范圍、證明問題

第八單元

解析幾何第54講圓錐曲線熱點問題第1課時

求值、最值與范圍、證明問題課前基礎(chǔ)鞏固課堂考點探究作業(yè)手冊教師備用習(xí)題1.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.2.根據(jù)幾何問題和圖形的特點，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題.3.根據(jù)對幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路，運用代數(shù)方法得到結(jié)論，給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問題.4.能夠根據(jù)不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、拋物線、雙曲線的標準方程，能夠運用代數(shù)的方法研究上述曲線之間的基本關(guān)系.常用結(jié)論1.注意轉(zhuǎn)化思想在圓錐曲線熱點問題中的應(yīng)用.（1）平行四邊形條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實現(xiàn)對邊平行斜率相等，或向量平行對邊相等長度相等，橫（縱）坐標差相等對角線互相平分中點重合（2）圓條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實現(xiàn)點在圓上點與直徑端點向量數(shù)量積為零點在圓外點與直徑端點向量數(shù)量積為正數(shù)點在圓內(nèi)點與直徑端點向量數(shù)量積為負數(shù)（3）角條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實現(xiàn)銳角、直角、鈍角角的余弦（向量數(shù)量積）的符號倍角、半角、平分角角平分線性質(zhì)、定理等角（相等或相似）比例線段或斜率

探究點一

弦長問題

圓錐曲線中的弦長問題是圓錐曲線中的一類重要問題,常用的求解方法有定義法和弦長公式法.

（1）定義法:過圓錐曲線的焦點的弦長問題,利用圓錐曲線的定義可優(yōu)化解題過程.

（2）弦長公式法:根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和與兩根之積的代數(shù)式,然后整體代入弦長公式進行求解.

[總結(jié)反思]

探究點二

最值（范圍）問題

圓錐曲線中的最值問題類型較多，常見的最值問題類型有:求線段長度（弦長）最值、求三角形面積最值、求面積比最值、求線段長度比最值等.解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是幾何法，即通過利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；二是代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個（些）變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.

其中常用的方法有：

（1）利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

（2）利用已知參數(shù)的取值范圍，求新參數(shù)的取值范圍，解這類問題的關(guān)鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系.

（3）利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式（組），從而求出參數(shù)的取值范圍.

（4）利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍.

（5）利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.在建立函數(shù)的過程中，要根據(jù)題目的其他已知條件把要求的量都用已知變量表示出來，同時要注意變量的取值范圍.

[總結(jié)反思]求解圓錐曲線最值（范圍）的思維導(dǎo)圖

探究點三

證明問題

圓錐曲線中的證明問題多涉及幾何量的證明,比如線段或角相等以及位置關(guān)系等.證明時,常把幾何量用坐標表示,建立某個變量的函數(shù),用代數(shù)方法證明.

[總結(jié)反思]圓錐曲線中的證明問題常見的有:（1）位置關(guān)系方面:如證明直線與曲線相切,直線間的平行、垂直,直線過定點等.（2）數(shù)量關(guān)系方面:如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下,一般采用直接法,通過相關(guān)的代數(shù)運算進行證明,但有時也會用反證法證明.

教師備用習(xí)題【備選理由】例1考查與弦長有關(guān)的求值問題;例2、例3、例4考查圓錐曲線的范圍與最值問題;例5考查三線共點的有關(guān)證明.

作業(yè)手冊◆

基礎(chǔ)熱身

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綜合提升

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能力拓展

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