北京西城師大附中2025屆數學八年級第一學期期末檢測模擬試題含解析

北京西城師大附中2025屆數學八年級第一學期期末檢測模擬試題測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．對于命題“若a2＞b2，則a＞b”，下面四組關于a，b的值中，能說明這個命題是假命題的是（）A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝﹣3，b＝﹣2 D．a＝﹣2，b＝﹣32．如圖，在等邊△ABC中，AB＝15，BD＝6，BE＝3，點P從點E出發(fā)沿EA方向運動，連結PD，以PD為邊，在PD右側按如圖方式作等邊△DPF，當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是（）A．8 B．10 C． D．123．如圖，AO=，CO=DO，AD與BC交于E，∠O=40o，∠=25o，則∠的度數是(

)A． B． C． D．4．已知=6，=3，則的值為（）A．9 B． C．12 D．5．在直角坐標系中,函數與的圖像大數是（）A． B．C． D．6．如圖，已知和都是等邊三角形，且、、三點共線．與交于點，與交于點，與交于點，連結．以下五個結論：①；②；③；④是等邊三角形；⑤．其中正確結論的有（）個A．5 B．4 C．3 D．27．施工隊要鋪設1000米的管道，因在中考期間需停工2天，每天要比原計劃多施工30米才能按時完成任務．設原計劃每天施工x米，所列方程正確的是（）A．=2 B．=2C．=2 D．=28．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D為AB邊中點，DE⊥AB，并與AC邊交于點E，如果∠A=15°，BC=1，那么AC等于（）A．2 B． C． D．9．下列各式從左到右的變形屬于分解因式的是（）A． B．C． D．10．在△ABC中，a、b、c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，若（a﹣2）2＋｜b﹣2｜＋＝0，則這個三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形11．如圖，，，，下列條件中不能判斷的是（）A． B． C． D．12．如圖，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為PQ，則線段BQ的長度為（）A． B． C．4 D．5二、填空題（每題4分，共24分）13．某校男子足球隊的年齡分布如圖所示，則根據圖中信息可知這些隊員年齡的中位數是__________歲．14．汽車開始行駛時，油箱中有油30升，如果每小時耗油4升，那么油箱中的剩余油量y(升)和工作時間x（時）之間的函數關系式是____________；15．如圖，已知在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點P．當∠A=70°時，則∠BPC的度數為________．16．如圖，△ABC為等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的點，且AD=CE，AE與BD相交于點P，則∠BPE=_______________．17．如圖，一系列“陰影梯形”是由軸、直線和過軸上的奇數，，，，，，所對應的點且與軸平行的直線圍城的．從下向上，將面積依次記為，，，，（為正整數），則____，____．18．在如圖所示的長方形中放置了8個大小和形狀完全相同的小長方形，設每個小長方形的長為x，寬為y，根據圖中提供的數據，列方程組_______．三、解答題（共78分）19．（8分）在平面直角坐標系中，為原點，點，點，把繞點逆時針旋轉，得，點旋轉后的對應點為、，記旋轉角為．如圖，若，求的長．20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB交x軸于點B（6，0），交y軸于點C（0，6），直線AB與直線OA：y＝x相交于點A，動點M在線段OA和射線AC上運動．（1）求直線AB的解析式．（2）求△OAC的面積．（3）是否存在點M，使△OMC的面積是△OAC的面積的？若存在求出此時點M的坐標；若不存在，說明理由．21．（8分）我們知道，任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一個正整數m是另外一個正整數n的平方，我們稱正整數m是完全平方數．求證：對任意一個完全平方數m，總有F（m）=1；（2）如果一個兩位正整數t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為36，那么我們稱這個數t為“吉祥數”，求所有“吉祥數”；（3）在（2）所得“吉祥數”中，求F（t）的最大值．22．（10分）（1）作圖發(fā)現：如圖1，已知，小涵同學以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時他發(fā)現與的數量關系是．（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數量關系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點，的距離，已經測得，，米，，則米．23．（10分）已知2x-1的算術平方根是3，y+3的立方根是-1，求代數式2x+y的平方根24．（10分）小明在學了尺規(guī)作圖后，通過“三弧法”作了一個，其作法步驟是：①作線段，分別以為圓心，取長為半徑畫弧，兩弧的交點為C；②以B為圓心，長為半徑畫弧交的延長線于點D；③連結．畫完后小明說他畫的的是直角三角形，你認同他的說法嗎，請說明理由．25．（12分）網購是現在人們常用的購物方式，通常網購的商品為防止損壞會采用盒子進行包裝，均是容積為立方分米無蓋的長方體盒子（如圖）．（1）圖中盒子底面是正方形，盒子底面是長方形，盒子比盒子高6分米，和兩個盒子都選用相同的材料制作成側面和底面，制作底面的材料1.5元/平方分米，其中盒子底面制作費用是盒子底面制作費用的3倍，當立方分米時，求盒子的高（溫馨提示：要求用列分式方程求解）．（2）在（1）的條件下，已知盒子側面制作材料的費用是0.5元/平方分米，求制作一個盒子的制作費用是多少元？（3）設的值為（2）中所求的一個盒子的制作費用，請分解因式；．26．某校計劃組織師生共300人參加一次大型公益活動，如果租用6輛大客車和5輛小客車，恰好全部坐滿，已知每輛大客車的乘客座位數比小客車多17個．（1）求每輛大客車和每輛小客車的乘客座位數；（2）由于最后參加活動的人數增加了30人，學校決定調整租車方案，在保持租用車輛總數不變的情況下，且所有參加活動的師生都有座位，求租用小客車數量的最大值．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】說明命題為假命題，即a、b的值滿足a2＞b2，但a＞b不成立，把四個選項中的a、b的值分別代入驗證即可．【詳解】解：當a＝3，b＝2時，a2＞b2，而a＞b成立，故A選項不符合題意；當a＝3，b＝﹣2時，a2＞b2，而a＞b成立，故B選項不符合題意；當a＝﹣3，b＝﹣2時，a2＞b2，但a＞b不成立，故C選項符合題意；當a＝﹣2，b＝﹣3時，a2＞b2不成立，故D選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查假命題的判斷，舉反例是說明假命題不成立的常用方法，但需要注意所舉反例需要滿足命題的題設，但結論不成立．2、D【分析】首先利用等邊三角形的性質和含30°直角三角形的運用，判定△DPE≌△FDH，△DF2Q≌△ADE，然后利用全等三角形的性質，得出點F運動的路徑長.【詳解】∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°，過D點作DE′⊥AB，過點F作FH⊥BC于H，如圖所示：則BE′=BD=3，∴點E′與點E重合，∴∠BDE=30°，DE=BE=3，∵△DPF為等邊三角形，∴∠PDF=60°，DP=DF，∴∠EDP+∠HDF=90°∵∠HDF+∠DFH=90°，∴∠EDP=∠DFH，在△DPE和△FDH中，，∴△DPE≌△FDH（AAS），∴FH=DE=3，∴點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為3，當點P在E點時，作等邊三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，則DF1⊥BC，當點P在A點時，作等邊三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，則四邊形DF1F2Q是矩形，∵∠BDE=30°，∠ADF2=60°，∴∠ADE+∠F2DQ=180°﹣30°﹣60°=90°，∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠F2DQ=∠DAE，在△DF2Q和△ADE中，，∴△DF2Q≌△ADE（AAS），∴DQ=AE=AB﹣BE=15﹣3=12，∴F1F2=DQ=12，∴當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長為12，故選：D．【點睛】此題主要考查等邊三角形的性質以及全等三角形的判定與性質，解題關鍵是作好輔助線.3、A【解析】先證明△OAD≌△OBC,從而得到∠A=∠B,再根據三角形外角的性質求得∠BDE的度數,最后根據三角形的內角和定理即可求出∠BDE的度數.【詳解】解:在△OAD和△OBC中,,∴△OAD≌△OBC(SAS)∴∠A=∠B=25°,∵∠BDE=∠O+∠A=40°+25°=65°,∴∠BED=180°-∠BDE-∠A=180°-65°-26°=90°,故選A.【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA和HL，做題時，要根據已知條件結合圖形進行思考.4、C【分析】根據同底數冪的除法的性質的逆用和冪的乘方的性質計算即可．【詳解】解：∵xm=6，xn=3，

∴x2m-n=（xm）2÷xn=62÷3=1．

故選：C．【點睛】本題考查了同底數的冪的除法，冪的乘方的性質，把原式化成（xm）2÷xn是解題的關鍵．5、B【分析】根據四個選項圖像可以判斷過原點且k＜0，，-k＞0即可判斷.【詳解】解：A.與圖像增減相反，得到k＜0，所以與y軸交點大于0故錯誤；B.與圖像增減相反，得到k＜0，所以與y軸交點大于0故正確；C.與圖像增減相反，為遞增一次函數且不過原點，故錯誤；D.過原點，而圖中兩條直線都不過原點，故錯誤.故選B【點睛】此題主要考查了一次函數圖像的性質，熟記k＞0，y隨x的增大而增大；k＜0，y隨x的增大而減?。怀淀棡?，函數過原點.6、A【分析】根據等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質對各結論逐項分析即可判定．【詳解】解：①∵△ABC和△CDE為等邊三角形。∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，則①正確；②∵∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCD=60°∴△DCE是等邊三角形∴∠EDC=60°=∠BCD∴BC//DE∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，②正確；③∵∠DCP=60°=∠ECQ在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠DCP=∠ECQ∴△CDP≌△CEQ（ASA）∴CР=CQ∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴△PC2是等邊三角形，③正確；④∠CPQ=∠CQP=60°∴∠QPC=∠BCA∴PQ//AE，④正確；⑤同④得△ACP≌△BCQ（ASA）∴AP=BQ，⑤正確．故答案為A．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．7、A【解析】分析：設原計劃每天施工x米，則實際每天施工（x+30）米，根據：原計劃所用時間﹣實際所用時間=2，列出方程即可．詳解：設原計劃每天施工x米，則實際每天施工（x+30）米，根據題意，可列方程：=2，故選A．點睛：本題考查了由實際問題抽象出分式方程，關鍵是讀懂題意，找出合適的等量關系，列出方程．8、C【分析】根據線段垂直平分線的性質得到AE=BE，根據等腰三角形的性質得到∠ABE=∠A=15°，利用三角形外角的性質求得∠BEC=30°，再根據30°角直角三角形的性質即可求得結論．【詳解】∵點D為AB邊中點，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=15°，∴∠BEC=∠A+∠ABE=30°，∵∠C=90°，∴BE=AE=2BC=2，CE=BC=，∴AC=AE+CE=2+，故選C．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、30°角直角三角形的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．9、B【分析】根據因式分解的是多項式，分解的結果是積的形式，進行判斷即可．【詳解】A.，不是因式分解，不符合題意；B.，是運用平方差公式進行的因式分解，符合題意；C.，最后結果不是乘積的形式，不屬于因式分解，不符合題意；D.，不是在整式范圍內進行的分解，不屬于因式分解，不符合題意.故選：B【點睛】本題考查了因式分解的定義，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個單項式因式分解，理解因式分解的定義是解決此類問題的關鍵．10、C【分析】根據非負數的性質列出方程，解出a、b、c的值后，再用勾股定理的逆定理進行判斷.【詳解】解：根據題意，得a－2=0，b－=0，c－2=0，解得a=2，b=，c=2，∴a=c，又∵，∴∠B=90°，∴△ABC是等腰直角三角形.故選C.【點睛】本題考查了非負數的性質和勾股定理的逆定理，屬于基礎題型，解題的關鍵是熟悉非負數的性質，正確運用勾股定理的逆定理.11、B【分析】先證明∠A=∠D，然后根據全等三角形的判定方法逐項分析即可．【詳解】解：如圖，延長BA交EF與H．∵AB∥DE，∴∠A=∠1，∵AC∥DF，∴∠D=∠1，∴∠A=∠D．A．在△ABC和△DEF中，∵AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF（SAS），故A不符合題意；B．EF=BC，無法證明△ABC≌△DEF（ASS）；故B符合題意；C．在△ABC和△DEF中，∵∠B＝∠E，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF（AAS），故C不符合題意；D．∵EF∥BC，∴∠B=∠2，∵AB∥DE，∴∠E=∠2，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∵∠B＝∠E，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF（AAD），故D不符合題意；故選B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，以及全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等．12、C【分析】設BQ=x，則由折疊的性質可得DQ=AQ=9-x，根據中點的定義可得BD=3，在Rt△BQD中，根據勾股定理可得關于x的方程，解方程即可求解．【詳解】設BQ=x，由折疊的性質可得DQ=AQ=9﹣x，∵D是BC的中點，∴BD=3，在Rt△BQD中，x2+32=（9﹣x）2，解得：x=1．故線段BQ的長為1．故選：C．【點睛】此題考查了翻折變換（折疊問題），折疊的性質，勾股定理，中點的定義以及方程思想，綜合性較強．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】由圖得到男子足球隊的年齡及對應的人數，再根據中位數的概念即可得答案．【詳解】由圖可知：13歲的有2人，14歲的有6人，15歲的有8人，16歲的有3人，17歲的有2人，18歲的有1人，∵∵足球隊共有隊員2+6+8+3+2+1=22人，∴中位數是11名和第12名的平均年齡，∵把這組數據從小到大排列11名和第12名的年齡分別是15歲、15歲，∴這些隊員年齡的中位數是15歲，故答案為：15【點睛】本題考查了求一組數據的中位數．求中位數時一定要先排好順序，然后再根據奇數和偶數個來確定中位數，如果數據有奇數個，則正中間的數字即為所求；如果數據有偶數個，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數；熟練掌握中位數的等于是解題關鍵．14、y=30-4x【解析】試題解析：∵每小時耗油4升，

∵工作x小時內耗油量為4x，

∵油箱中有油30升，

∴剩余油量y=30-4x.15、125°【詳解】∵△ABC中,∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?70°=110°∴BP，CP分別為∠ABC與∠ACP的平分線，∴∠2+∠4=(∠ABC+∠ACB)=×110°=55°∴∠P=180°?(∠2+∠4)=180°?55°=125°故答案為125°.16、60°【分析】由等邊三角形的性質得出AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，由SAS即可證明△ABD≌△CAE，得到∠ABD=∠CAE，利用外角∠BPE=∠BAP+∠ABD，即可解答．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠CAE，∵∠BPE=∠BAP+∠ABD，∴∠BPE=∠BAP+∠CAE=∠BAC=60°．故答案為：60°．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．17、；【分析】由圖得：【詳解】由圖得：∵直線和過軸上的奇數，，，，，，所對應的點A、B、C、D、E、F∴當y=1時，x=-1，故A(-1,1)當y=3時，x=-3，故B(-3,3)當y=5時，x=-5，故C(-5,5)當y=7時，x=-7，故D(-7,7)當y=9時，x=-9，故E(-9,9)當y=11時，x=-11，故F(-11,11)可得：故答案為:4;4(2n-1)【點睛】本題主要考查了一次函數綜合題目，根掘找出規(guī)律，是解答本題的關鍵．18、【分析】設小長方形的長為x，寬為y，根據長方形ABCD的長為17，寬的兩種不同的表達式列出方程組即可得解；【詳解】解：設小長方形的長為x，寬為y，根據題意得：，整理得：；故答案為：【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，根據圖形，找到合適的等量關系列出方程組是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、．【分析】先利用勾股定理計算出，再根據旋轉的性質得，，則可判定為等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質求的長；【詳解】解：點，點，，，，繞點逆時針旋轉，得△，，，為等腰直角三角形，；【點睛】本題考查了旋轉的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是會利用兩點坐標求兩點之間的距離．20、（1）y＝﹣x+6；（2）12；（3）存在滿足條件的點M，其坐標為（1，）或（1，5）或（﹣1，7）【分析】（1）由B、C坐標，根據待定系數法可求得直線AB的解析式；（2）聯立直線AB和直線OA解析式可求得A點坐標，則可求得△OAC的面積；（3）當△OMC的面積是△OAC的面積的時，根據面積公式即可求得M的橫坐標，然后代入解析式即可求得M的坐標．【詳解】解：（1）設直線AB的解析式是y＝kx+b，根據題意得，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+6；（2）聯立直線OA和直線AB的解析式可得，解得，∴A（4，2），∴S△OAC＝×6×4＝12；（3）由題意可知S△OMC＝S△OAC＝×12＝3，設M點的橫坐標為t，則有S△OMC＝×OC?|t|＝3|t|，∴3|t|＝3，解得t＝1或t＝﹣1，當點t＝﹣1時，可知點M在線段AC的延長線上，∴y＝﹣（﹣1）+6＝7，此時M點坐標為（﹣1，7）；當點t＝1時，可知點M在線段OA或線段AC上，在y＝x中，x＝1可得y＝，代入y＝﹣x+6可得y＝5，∴M的坐標是（1，）；在y＝﹣x+6中，x＝1則y＝5，∴M的坐標是（1，5）；綜上可知存在滿足條件的點M，其坐標為（1，）或（1，5）或（﹣1，7）．【點睛】本題考查待定系數法求一次函數解析式、解二元一次方程組和三角形面積，解題的關鍵是掌握待定系數法求一次函數解析式、解二元一次方程組和三角形面積.21、（1）證明見解析；（2）15，26，37，48，59；（3）．【解析】試題分析：（1）對任意一個完全平方數m，設m=n2（n為正整數），找出m的最佳分解，確定出F（m）的值即可；（2）設交換t的個位上數與十位上的數得到的新數為t′，則t′=10y+x，由“吉祥數”的定義確定出x與y的關系式，進而求出所求即可；（3）利用“吉祥數”的定義分別求出各自的值，進而確定出F（t）的最大值即可．試題解析：（1）對任意一個完全平方數m，設m=n2（n為正整數），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴對任意一個完全平方數m，總有F（m）==1；（2）設交換t的個位上數與十位上的數得到的新數為t′，則t′=10y+x，∵t是“吉祥數”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數，∴滿足“吉祥數”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥數”中，F（t）的最大值為．考點：因式分解的應用；新定義；因式分解；閱讀型．22、（1）BE=CD；（2）BE=CD，理由見解析；（3）200．【分析】（1）利用等邊三角形的性質得出，然后有，再利用SAS即可證明，則有；（2）利用正方形的性質得出，然后有，再利用SAS即可證明，則有；（3）根據前（2）問的啟發(fā)，過作等腰直角，連接，，同樣的方法證明，則有，在中利用勾股定理即可求出CD的值，則BE的值可求．【詳解】（1）如圖1所示：和都是等邊三角形，，，即，在和中，，．（2），四邊形和均為正方形，，，，，在和中，，，（3）如圖3，過作等腰直角，，則米，，米，連接，，∴即在和中，，，，，在中，米，米，根據勾股定理得：（米），則米．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質，正方形的性質，等邊三角形的性質和等腰直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．23、±【分析】利用算術平方根、立方根定義求出x與y的值，進而求出2x+y的值，即可求出平方根．【詳解】解：∵2x-1的算術平方根為3，

∴2x-1=9，

解得：x=5，

∵y+3的立方根是-1，

∴y+3=-1，

解得：y=-8,∴2x+y=2×5-8=2，

∴2x+y的平方根是±．