2020年山東省聊城(初三學業(yè)水平考試)中考數(shù)學真題試卷含詳解

2020年山東省聊城市中考數(shù)學試卷2020年山東省聊城初中畢業(yè)生學業(yè)考試

吟虹迎皿

數(shù)學試t-b卷卷

一、選擇題（本題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求）

L在實數(shù)—1,-V2，0,1中，最小的實數(shù)是（）.

1L

A.-1B.-C.0D.-72

2.如圖所示的幾何體的俯視圖是（）

D.

3.如圖，在ABC中，AB=AC,/C=65。，點D是BC邊上任意一點，過點D作DF〃AB交AC于點E,則/FEC

的度數(shù)是（）

A.120°B.130°C.145°D.150°

4.下列計算正確的是().

A.a2.a3=a6B.a6a3

C.卜2加y=_8/廬D.(2a+b)2=4〃+/

5.為了增強學生預防新冠肺炎的安全意識，某校開展疫情防控知識競賽.來自不同年級的30名參賽同學的得分情況

如下表所示，這些成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

成績/分84889296100

人數(shù)/人249105

A.92分，96分B.94分，96分C.96分，96分D.96分，100分

6.計算屈+36xj?的結(jié)果正確的是（）.

5

A.1B.—C.5D.9

3

7.如圖，在4x5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么

sin/ACB的值為（）.

A.拽B.叵C.3

555

8.用配方法解一元二次方程2尤2—3尤-1=0,配方正確是（）.

9.如圖，是。。的直徑，弦CDLAB,垂足為點河.連接OC,￡）6.如果OC勿8,OC=273.那么圖

中陰影部分的面積是（）.

C.3萬D.4萬

10.如圖，有一塊半徑為1m,圓心角為90°的扇形鐵皮，要把它做成一個圓錐形容器（接縫忽略不計），那么這個圓

錐形容器的高為（）.

13「<15、

AA.—mBD.—mC.-------mD.—m

4442

11.人行道用同樣大小的灰、白兩種不同顏色的小正方形地磚鋪設而成，如圖中的每一個小正方形表示一塊地磚.如

果按圖①②③…的次序鋪設地磚，把第九個圖形用圖Q表示，那么圖?中的白色小正方形地磚的塊數(shù)是（）.

12.如圖，在RtZXABC中，AB=2,ZC=30°,將Rt/XABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到RtAA'B'C',使點3對應點B'

落在AC上，在B'C'上取點。，使3力=2,那么點。到的距離等于（）.

c.y/3-1D.V3+1

二、填空題

13.因式分解:x(x-2)-x+2=

14.如圖，在中，四邊形Q46c為菱形，點。在人加。上，則ZADC的度數(shù)是

3+4=_______.

15.計算：1+

1—<7JCl—CI

16.某校開展讀書日活動，小亮和小瑩分別從校圖書館的“科技”、“文學”、“藝術”三類書籍中隨機地抽取一本,

抽到同一類書籍的概率是.

17.如圖，在直角坐標系中，點B（3,3）是第一象限角平分線上的兩點，點C的縱坐標為1,且C4=CB,

在y軸上取一點。，連接AC,BC,AD.6D,使得四邊形ACB￡)的周長最小，這個最小周長的值為

三、解答題

1「3

—x+l<7—x

22

18.解不等式組；c”，并寫出它的所有整數(shù)解.

3x-2、xx-4

----->—+-----

334

19.為了提高學生的綜合素養(yǎng)，某校開設了五門手工活動課.按照類別分為：A“剪紙”、B“沙畫”、C“葫蘆

雕刻”、D“泥塑”、E“插花”.為了了解學生對每種活動課的喜愛情況，隨機抽取了部分同學進行調(diào)查，將調(diào)

查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)本次調(diào)查的樣本容量為；統(tǒng)計圖中的。=b=；

(2)通過計算補全條形統(tǒng)計圖；

(3)該校共有2500名學生，請你估計全校喜愛“葫蘆雕刻”的學生人數(shù).

20.今年植樹節(jié)期間，某景觀園林公司購進一批成捆的A,3兩種樹苗，每捆A種樹苗比每捆3種樹苗多10棵，每

捆A種樹苗和每捆B種樹苗的價格分別是630元和600元,而每棵A種樹苗和每棵B種樹苗的價格分別是這一批樹

苗平均每棵價格的0.9倍和1.2倍.

(1)求這一批樹苗平均每棵的價格是多少元？

(2)如果購進的這批樹苗共5500棵，A種樹苗至多購進3500棵，為了使購進的這批樹苗的費用最低，應購進A種

樹苗和3種樹苗各多少棵？并求出最低費用.

21.如圖，已知平行四邊形A8C。中，E是的中點，連接AE并延長，交。C的延長線于點￡且AE=AD,連接

BF,求證：四邊形是矩形.

D

22.如圖，小瑩在數(shù)學綜合實踐活動中，利用所學的數(shù)學知識對某小區(qū)居民樓AB的高度進行測量.先測得居民樓

AB與CD之間的距離AC為35m,后站在M點處測得居民樓CD的頂端D的仰角為45°.居民樓AB的頂端B的仰

角為55。,已知居民樓CD的高度為16.6m,小瑩的觀測點N距地面1.6m.求居民樓AB的高度(精確到1m).(參

考數(shù)據(jù)：sin55°仁0.82,cos55°^0.57,tan55°^1.43)

R

23.如圖，已知反比例函數(shù)y=-的圖象與直線y=ox+b相交于點4(一2,3),

(1)求出直線丁=ax+b的表達式；

(2)在x軸上有一點p使得△PAB面積為18,求出點P的坐標.

24.如圖，在ABC中，AB=BC,以AABC邊AB為直徑作。0,交AC于點D,過點D作DELBC,垂足為點E.

(1)試證明DE是。。的切線；

(2)若。O的半徑為5,AC=6^/10,求此時DE的長.

25.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點A(-l,0),B(4,0),與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,

其對稱軸與線段BC交于點E,垂直于x軸的動直線1分別交拋物線和線段BC于點P和點F,動直線1在拋物線的

對稱軸的右側(cè)(不含對稱軸)沿x軸正方向移動到B點.

(1)求出二次函數(shù)y=ax2+bx+4和BC所在直線的表達式；

(2)在動直線1移動的過程中，試求使四邊形DEFP為平行四邊形的點P的坐標；

(3)連接CP,CD,在移動直線1移動的過程中，拋物線上是否存在點P,使得以點P,C,F為頂點的三角形與DCE

相似，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，請說明理由.

2020年山東省聊城市中考數(shù)學試卷2020年山東省聊城初中畢業(yè)生學業(yè)考試

吟虹迎皿

數(shù)學試t-b卷卷

一、選擇題（本題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求）

L在實數(shù)—1,-V2，0,1中，最小的實數(shù)是（）.

1L

A.-1B.-C.0D.-72

【答案】D

【分析】

正實數(shù)都大于0,負實數(shù)都小于0,正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可.

【詳解】：工〉?！怠?〉—0，

4

???在實數(shù)—1,-V2,0,1中，最小的實數(shù)是—0,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：正實數(shù)＞0＞負實數(shù)，兩

個負實數(shù)絕對值大的反而小.

2.如圖所示的幾何體的俯視圖是（）

【答案】C

【分析】

找到從幾何體的上面看所得到的圖形即可.

【詳解】從上面看幾何體所得到的圖形為俯視圖，其中看得見的輪廓畫實線，選項C符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，關鍵是掌握俯視圖所看的位置.

3.如圖，在.ABC中，AB=AC,/C=65。，點D是BC邊上任意一點，過點D作DF〃AB交AC于點E,則/FEC

的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/B=/C,利用平行線的性質(zhì)得到/EDC=/B,利用三角形的外角性質(zhì)即可求解.

【詳解】TAB=AC,

；.NB=/C=65。，

；DF〃AB,

.\ZEDC=ZB=65°,

ZFEC=ZEDC+ZC=65°+65°=130°.

故選：B.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，需熟練掌握.

4.下列計算正確的是().

A.a2-a3=a6B.ab+a~2=a~3

C.(_2加?=_鐮3b6D.(2。+勿2=46+/

【答案】C

【分析】

根據(jù)同底數(shù)累的乘法、同底數(shù)累的除法、積的乘方、完全平方公式逐一分析即可.

【詳解】A.儲/3=口2+3=戶該項不符合題意；

B.*+。-2=。6—(一2)=/,該項不符合題意；

c.(~2ab-丫=(—2)3-a3-(b2?=—8"廬,該項符合題意；

D.(2a+b)2=4a2+4ab+b\該項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查同底數(shù)塞的乘法、同底數(shù)騫的除法、積的乘方、完全平方公式等內(nèi)容，解題的關鍵是掌握運算法

則.

5.為了增強學生預防新冠肺炎的安全意識，某校開展疫情防控知識競賽.來自不同年級的30名參賽同學的得分情況

如下表所示，這些成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

成績/分84889296100

人數(shù)/人249105

A.92分，96分B.94分,96分C.96分，96分D.96分，100分

【答案】B

【分析】

根據(jù)中位數(shù)的定義和眾數(shù)的定義分別求解即可.

【詳解】解：由統(tǒng)計表得共有30個數(shù)據(jù)，第15、16個數(shù)據(jù)分別是92,96,

.?.中位數(shù)是-------=94;

2

由統(tǒng)計表得數(shù)據(jù)96出現(xiàn)的次數(shù)最多，

...眾數(shù)為96.

故選：B

【點睛】本題考查了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù).中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)由小到大（由大到?。┡判蚝?，位于中間位

置的數(shù)據(jù)，當有偶數(shù)個數(shù)據(jù)時，取中間兩數(shù)的平均數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

6.計算A+3gx的結(jié)果正確的是（）.

5

A.1B.-C.5D.9

3

【答案】A

【分析】

利用二次根式的乘除法則計算即可得到結(jié)果.

【詳解】解：A/45-3V3X^|

二1,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了二次根式的乘除法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

7.如圖，在4x5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么

sinNAC8的值為（).

A375R國34

D.-------------C.一D.-

5555

【答案】D

【分析】

過點A作于點在Rt^ACD中，利用勾股定理求得線段AC的長，再按照正弦函數(shù)的定義計算即可.

【詳解】解：如圖，過點A作于點。，貝IJNADC=9O°,

AC=yjAD~+CD2=5-

.?.sinZACB=^=|

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理的運用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關鍵.

8.用配方法解一元二次方程2/—3%—1=0,配方正確的是（）.

17

16

13

~4

【答案】A

【分析】

按照配方法的步驟進行求解即可得答案.

【詳解】解:2X2-3X-1=0

移項得2/—3x=l,

故選：A

【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟為（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項

的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

9.如圖，AB是）。的直徑，弦CDLAfi,垂足為點".連接0C,.如果0C加8,0C=2卮那么圖

中陰影部分的面積是（）.

A.兀B.27rC.3萬D.4%

【答案】B

【分析】

根據(jù)A3是。的直徑，弦CD，Afi,由垂徑定理得。以=。0,再根據(jù)證得NMCONCDB,即可

證明△OMC三必以），即可得出S陰影=S扇形.pc.

【詳解】解：QAB是。的直徑，弦CD,Afi,

.-.ZOMC=90°,CM=DM.

ZMOC+ZMCO=90°

OC//DB

:.ZMCO=ZCDB

又ZCDB=-ZBOC

2

ZMOC+-ZMOC=90°

2

.-.ZMOC=60°

在△OMC和中，

ZOCM=ZBDM

<CM=DM

ZOMC=ZBMD

:.AOMC=ABMD,

…S/\OMC=S^BMD

60x?x（2g）

S陰影=S扇形QBC=正。=2〃

故選：B

【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，扇形的面積，等積變換，解此題

的關鍵是證出％OMC=S椀Q,從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBC的面積，題目比較典型，難度適中.

10.如圖,有一塊半徑為1m,圓心角為90°的扇形鐵皮，要把它做成一個圓錐形容器（接縫忽略不計），那么這個圓

錐形容器的高為（）.

13c,巫mD.4

A.—mB.—m

4442

【答案】C

【分析】

首先利用扇形的弧長公式求得圓錐的底面周長，求得底面半徑的長，然后利用勾股定理求得圓錐的高.

【詳解】解：設圓錐的底面周長是/,則/=2匕=電"衛(wèi)=^m,

1801802

jr1

則圓錐的底面半徑是：一?。?萬）=—m,

2v74

則圓錐的高是:

故選：C.

【點睛】本題考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓

錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長.

11.人行道用同樣大小的灰、白兩種不同顏色的小正方形地磚鋪設而成，如圖中的每一個小正方形表示一塊地磚.如

果按圖①②③…的次序鋪設地磚，把第九個圖形用圖而表示，那么圖?中的白色小正方形地磚的塊數(shù)是（）.

【答案】C

【分析】

由圖形可知圖①中白色小正方形地磚有12塊，圖②中白色小正方形地磚有12+7塊，圖③中白色小正方形地磚有

12+7x2塊，…，可知圖川中白色小正方形地磚有12+7（n-l）=7n+5,再令n=50,代入即可.

【詳解】解：由圖形可知圖G）中白色小正方形地磚有12+7（n-l）=7n+5（塊）

當n=50時，原式=7x50+5=355（塊）

故選：C

【點睛】考查了規(guī)律型：圖形的變化，解決這類問題首先要從簡單圖形入手，后一個圖形與前一個圖形相比，在數(shù)

量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論.

12.如圖，在RtZiABC中，AB=2,ZC=30°,將RtZkABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到RtAA'B'C',使點3的對應點8'

落在AC上，在B'C'上取點。，使3'。=2,那么點。到的距離等于（）.

C.73-1D.73+1

【答案】D

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可得A?的長，進而可得5'C的長，過點。作。于點M,過

點8'作B'E，3c于點E,5'產(chǎn)，。必于點F,如圖，則四邊形B'EMR是矩形，解RtAB'EC可得"后的長，

即為EM的長，根據(jù)三角形的內(nèi)角和易得N6'ZW=NC=30。，然后解廠可求出。尸的長，進一步即可求

出結(jié)果.

【詳解】解：在RL^ABC中，?；AB=2,ZC=30°.

：.AC=2.AB=4,

?.?將RtAiABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到RtAA'B'C,使點3的對應點B落在AC上，

/.AB'=AB=2,

：.B'C=2,

過點D作DMLBC于點M,過點B'作BE±3c于點E,B'F±DM于點F,交AC于點N,如圖，則四邊形B'EMF

是矩形，

:?FM=B'E,

在RtZXB'EC中，B,E=B,Csin30°=2x-=l,；.FM=1,

2

ZDB'N=ZCMN=90°,ZB'ND=ZMNC,

：.ZB'DN=ZC=3Q°,

在RtZXB'D尸中，DF=5,Dcos300=2x—=73,

2

DM^FM+DF^l+j3,

即點。到8C的距離等于6+1.

故選：D.

【點睛】本題考查了解直角三角形、矩形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線、熟練掌握解直角

三角形的知識是解題的關鍵.

二、填空題

13.因式分解：了(無一2)—％+2=.

【答案】(x-2)(x-l)

【分析】

先把二、三兩項分為一組，提取一個負號，再提取公因式(尤-2)即可.

【詳解】解:原式=x(x—2)—(%—2)

=(x-2)(x-l)

【點睛】此題主要考查了提公因式法分解因式，關鍵是正確確定公因式.

14.如圖，在,。中，四邊形Q46C為菱形，點。在A,%。上，則ZADC的度數(shù)是

【答案】600

【分析】

連接OB,證明△OAB,△OBC都是等邊三角形，得到/AOC=120°,進而求出/ADC.

【詳解】解：連接OB,

:四邊形QA6C為菱形，OA=OB,

OA=OB=OC=AB=BC,

AAOAB,/XOBC都是等邊三角形，

AZAOB=ZBOC=60°,

.-.ZAOC=120°,

AC=AC.

：.ZADC=-ZAOC=6Q°.

2

故答案為：60。

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，圓的半徑都相等，圓周角定理，等邊三角形性質(zhì)，綜合性較強.解題關鍵是連接

OB,得到△OAB,△OBC都是等邊三角形.

15.計算：l+/一1

v1—ci—a

【答案】—a

【分析】

分式的混合運算，根據(jù)分式的加減乘除混合運算法則可以解答本題，括號里先通分運算，再進行括號外的除法運算,

即可解答本題.

a1

【詳解】解：1+

1-aa2-a

1—aa1

----1----

1—a1-aa2-a

11

1—aa~-a

1

xa(a-1)

1—a

=-a

故答案是：-a

【點睛】本題考查的是分式的混合運算，能正確運用運算法則是解題的關鍵.

16.某校開展讀書日活動，小亮和小瑩分別從校圖書館的“科技”、“文學”、“藝術”三類書籍中隨機地抽取一本，

抽到同一類書籍的概率是.

【答案】-

3

【分析】

先畫出樹狀圖求出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再找出抽到同一類書籍的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：“科技”、“文學”、“藝術”三類書籍分別用A、B、C表示，則所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下圖所示：

ABC

/K/T\

ABCABCABC

由上圖可知：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽到同一類書籍的結(jié)果數(shù)有3種，

抽到同一類書籍的概率=3三=—1

93

故答案為：!

3

【點睛】本題考查了求兩次事件的概率，屬于基礎題型，熟練掌握畫樹狀圖或列表的方法是解題的關鍵.

17.如圖，在直角坐標系中，點B(3,3)是第一象限角平分線上的兩點，點C的縱坐標為1,且C4=Cfi,

在V軸上取一點。，連接AC,BC,AD,BD,使得四邊形的周長最小，這個最小周長的值為

【答案】4+275

【分析】

先求出AC=BC=2,作點B關于y軸對稱的點E,連接AE,交y軸于D,此時AE=AD+BD,且AD+BD值最小，

即此時四邊形的周長最小；作FG〃y軸，AG〃x軸，交于點G,貝UGFLAG,根據(jù)勾股定理求出AE即可.

【詳解】解:：A(l,l)，點C的縱坐標為1,

；.AC〃x軸，

?.?點A(l,l),8(3,3)是第一象限角平分線上的兩點，

.-.ZBAC=45°,

?/CA=CB,

.,.ZBAC=ZABC=45°,

ZC=90°,

；.BC〃y軸,

.-.AC=BC=2,

作點B關于y軸對稱的點E,連接AE,交y軸于D,此時AE=AD+BD,且AD+BD值最小，

...此時四邊形ACBD的周長最小，

作FG〃y軸，AG〃x軸，交于點G,貝GFLAG,

；.EG=2,GA=4,

在RtAAGE中，

AE=7AG2+EG2=A/42+22=2A/5,

四邊形ACS。的周長最小值為2+2+2百=4+26.

【點睛】本題考查了四條線段和最短問題.由于AC=BC=2,因此本題實質(zhì)就是求AD+BD最小值，從而轉(zhuǎn)化為“將

軍飲馬”問題，這是解題關鍵.

三、解答題

1,r3

—x+l<7—x

；2/2并寫出它的所有整數(shù)解.

18.解不等式組

3%—2、xx-4

------->—+------

334

4

【答案】該不等式組的解集是-g?x<3,它的所有整數(shù)解為0,1,2.

【分析】

分別求出兩個不等式，確定不等式組的解集，寫出整數(shù)解即可.

13

—x+l<7——x①

【詳解】解：〈22

------->-+------②

334

解不等式①，得x<3.

4

解不等式②，得尤2=?

在同一數(shù)軸上表示出不等式①，②的解集：

4

所以該不等式組的解集是--<x<3.

5

它的所有整數(shù)解為0,1,2.

【點睛】本題考查了解不等式組，確定不等式組的解集可以借助數(shù)軸分別表示各不等式的解集，確定公共部分即可.

19.為了提高學生的綜合素養(yǎng)，某校開設了五門手工活動課.按照類別分為：A“剪紙”、B“沙畫”、C“葫蘆

雕刻”、D“泥塑”、E“插花”.為了了解學生對每種活動課的喜愛情況，隨機抽取了部分同學進行調(diào)查，將調(diào)

查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

t人數(shù)

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)本次調(diào)查的樣本容量為；統(tǒng)計圖中的。=b=

(2)通過計算補全條形統(tǒng)計圖；

(3)該校共有2500名學生，請你估計全校喜愛“葫蘆雕刻”的學生人數(shù).

【答案】⑴120,12,36；(2)詳見解析；(3)625

【分析】

(1)由A所占的百分比及參加A類活動課的人數(shù)可求得總?cè)藬?shù)，再由總?cè)藬?shù)及B和D所占的百分比即可求得a和

b的值，

(2)先求得E類活動課參加的人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖即可；

(3)先求出抽樣調(diào)查中喜愛“葫蘆雕刻”的學生所占的百分比，即可求得全校喜愛“葫蘆雕刻”的學生人數(shù).

【詳解】解：(1)18-15%=120,?=120x10%=12,Z?=120x30%=36,

故答案為：120,12,36；

⑵E類別的人數(shù)為：120—18—12—30—36=24(人)

補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

(3)C類別所占的百分比為：30+120=25%,

30

—x2500=625(人)

120

答：全校喜愛“葫蘆雕刻”學生人數(shù)約為625人.

【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解

決問題的關鍵,條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)，扇形統(tǒng)計圖可以看出每個量所占的百分比.

20.今年植樹節(jié)期間，某景觀園林公司購進一批成捆的A,3兩種樹苗，每捆4種樹苗比每捆3種樹苗多10棵，每

捆A種樹苗和每捆B種樹苗的價格分別是630元和600元,而每棵A種樹苗和每棵B種樹苗的價格分別是這一批樹

苗平均每棵價格的0.9倍和1.2倍.

（1）求這一批樹苗平均每棵的價格是多少元？

（2）如果購進的這批樹苗共5500棵，A種樹苗至多購進3500棵，為了使購進的這批樹苗的費用最低，應購進A種

樹苗和3種樹苗各多少棵？并求出最低費用.

【答案】（1）這一批樹苗平均每棵的價格是20元；（2）購進A種樹苗3500棵，3種樹苗2000棵，能使得購進這

批樹苗的費用最低為111000元.

【分析】

（1）設這一批樹苗平均每棵的價格是x元，分別表示出兩種樹苗的數(shù)量，根據(jù)“每捆4種樹苗比每捆B種樹苗多

10棵”列方程即可求解；

（2）設購進A種樹苗f棵，這批樹苗的費用為w,得到w與t的關系式，根據(jù)題意得到t的取值范圍，根據(jù)函數(shù)

增減性即可求解.

【詳解】解：（1）設這一批樹苗平均每棵的價格是x元，

根據(jù)題意，得%-陋=10,

0.9%1.2x

解之，得x=20.

經(jīng)檢驗知，尤=20是原分式方程的根，并符合題意.

答：這一批樹苗平均每棵的價格是20元.

（2）由（1）可知A種樹苗每棵價格為20x0.9=18元，種樹苗每棵價格為20x1.2=24元，

設購進A種樹苗7棵，這批樹苗的費用為w,則

w=18/+24（5500-0=~6t+132000.

是/的一次函數(shù)，k=-6<0,W隨著/的增大而減小，?<3500,

.,?當/=3500棵時，w最小.此時，3種樹苗有5500—3500=2000棵，-6x3500+132000=111000.

答：購進4種樹苗3500棵，B種樹苗2000棵，能使得購進這批樹苗的費用最低為111000元.

【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，一次函數(shù)實際應用，不等式應用等問題,根據(jù)題意得到相關“數(shù)量關系”，

根據(jù)數(shù)量關系得到方程或函數(shù)解析式是解題關鍵.

21.如圖，已知平行四邊形ABC。中，E是BC的中點，連接AE并延長，交。C的延長線于點F，且=連接

BF,求證：四邊形A3FC是矩形.

4___________________D

BC

E

【答案】見解析

【分析】

先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得到兩角一邊對應相等，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得

AB=CF,然后根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形ABFC是平行四邊形，又根據(jù)等量代換可得=最后根

據(jù)矩形的判定（對角線相等的平行四邊形是矩形）可得四邊形ABFC是矩形.

【詳解】?.?四邊形ABCD是平行四邊形

AB//CD,AB=CD,AD=BC

NBAE=NCFE,ZABE=ZFCE

：E為BC的中點

EB=EC

NABEsVFCE（AAS）

：.AB=CF

1/AB//CF

：.四邊形ABFC是平行四邊形

AF=AD

BC=AF

平行四邊形ABFC是矩形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、矩形的判定等知識點，熟練運用各

判定與性質(zhì)是解題關鍵.

22.如圖，小瑩在數(shù)學綜合實踐活動中，利用所學的數(shù)學知識對某小區(qū)居民樓AB的高度進行測量.先測得居民樓

AB與CD之間的距離AC為35m,后站在M點處測得居民樓CD的頂端D的仰角為45°.居民樓AB的頂端B的仰

角為55。.已知居民樓CD的高度為16.6m,小瑩的觀測點N距地面1.6m.求居民樓AB的高度（精確到1m）.（參

考數(shù)據(jù)：sin55°心0.82,cos55°?0.57,tan55°?1.43）

R

【答案】約為30m

【分析】

過點N作EF〃AC交AB于點E,交CD于點F,可得AE=MN=CF=L6,EF=AC=35,再根據(jù)銳角三角函數(shù)可得BE

的長，進而可得AB的高度.

【詳解】解：過點N作EF〃AC交AB于點E,交CD于點F.

AC=35,ZBEN=ZDFN=90°,

EN=AM,NF=MC,

貝DF=CD-CF=16.6-1.6=15.

在RtADFN中，VZDNF=45°,

；.NF=DF=15.

AEN=EF-NF=35-15=20.

BE

在RtABEN中,VtanZBNE二——

EN

BE=EN-tanZBNE=20xtan55°~20xl.43=28.6°.

AB=BE+AE=28.6+1.6=30.

答：居民樓AB的高度約為30m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解決本題的關鍵是掌握仰角俯角定義.

23.如圖，已知反比例函數(shù)y=±的圖象與直線y=取+匕相交于點A-2,3),.

X

(1)求出直線丁=融+匕的表達式；

(2)在x軸上有一點p使得△PA3的面積為18,求出點P的坐標.

【答案】(1)y=—3%—3;(2)當點。在原點右側(cè)時，P(3,0),當點尸在原點左側(cè)時，P(-5,0)

【分析】

(1)通過點A的坐標確定反比例函數(shù)的解析式，再求得8的坐標，利用待定系數(shù)法將A,8的坐標代入,即可得到

一次函數(shù)的解析式；

(2)直線y=—3x—3與X軸的交點為E(—LO),過點入，3作x軸的垂線AC,BD,垂足分別為C,D,得到

9

SPAB=-PE=18,即PE=4,分情況討論即可解決.

【詳解】解:⑴：4一2,3)在丁=人的圖象上，

X

，3=g,k=-6,

又點3(1,加)在丁=心的圖象上，m=—6,即5(1,—6).

x

_3=—2a+b

將點A,3的坐標代入y=ox+6得,

-6=a+b

解得'a=-c3-

b=-3

直線的表達式為y=—3x—3.

(2)設直線y=—3x—3與x軸的交點為E,

當y=0時，解得％=—1.即E(—L。).

分別過點4,3作x軸的垂線AC,BD,垂足分別為C,D.

9

又SPAB=18,即5PE=18,PE=4.

當點p在原點右側(cè)時，mo),

當點p在原點左側(cè)時，P(-5,O).

【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的思想.

24.如圖，在ABC中，AB=BC,以AABC的邊AB為直徑作。O,交AC于點D,過點D作DELBC,垂足為點

E.

(1)試證明DE是。O的切線；

(2)若。。的半徑為5,AC=6J而，求此時DE的長.

【分析】

(1)連接OD、BD,求出BDLAD,AD=DC,根據(jù)三角形的中位線得出OD〃:BC,推出ODLDE,根據(jù)切線的判

定推出即可；

(2)先利用勾股定理求出BD的長，證得RtACDE和RtAABD,利用對應邊成比例即可求解.

【詳解】(1)證明：連接OD,BD,

VAB為。O的直徑，

；.BD_LAD,

XVAB=BC,ZkABC是等腰三角形,

；.AD=DC,

，OD是△ABC的中位線，

/.OD/7BC,

XDE1BC,

/.DEXOD,

；.DE是。。的切線；

(2)由⑴知，BD是AC邊上的中線，AC=6癡,

得AD=CD=3加,

V?O半徑為5,

??.AB=10,

在Rt^ABD中，BD=^AB2-AD2=^102-(3A/10)2.

〈AB=BC,

???ZA=ZC,

在RtACDE和RtAABD中,

VZDEC=ZADB=90°,NONA,

RtACDE^RtAABD,

,CDDE3710DE

??----―----，即m------=,----

ABBD10y/10

解得:DE=3.

【點睛】本題綜合考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的判定與性質(zhì).解

題的關鍵是熟練掌握和圓有關的各種性質(zhì)定理，并且能夠熟練運用.

25.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點A(-l,0),B(4,0),與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,

其對稱軸與線段BC交于點E.垂直于x軸的動直線1分別交拋物線和線段BC于點P和點F,動直線1在拋物線的

對稱軸的右側(cè)(不含對稱軸)沿x軸正方向移動到B點.

(1)求出二次函數(shù)y=