用因式分解法求解一元二次方程分層練習(xí)解析版

第二章一元二次方程2.4用因式分解法求解一元二次方程精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2022·河南駐馬店·九年級(jí)期末）關(guān)于x的方程x（x﹣5）＝3（x﹣5）的根是(

)A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝﹣5；x2＝3 D．x1＝5；x2＝3【答案】D【解析】【分析】利用因式分解法求解可得．【詳解】解：∵x（x﹣5）﹣3（x﹣5）＝0，∴（x﹣5）（x﹣3）＝0，則x﹣5＝0或x﹣3＝0，解得x＝5或x＝3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2021·河南洛陽(yáng)·九年級(jí)期末）方程的根為(

)A． B． C． D．或【答案】D【解析】【分析】由提公因式法進(jìn)行因式分解，既而可解一元二次方程．【詳解】解：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，涉及提公因式法，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（2021·廣東·道明外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知三角形其中兩邊之和為10，第三邊長(zhǎng)是是方程的一個(gè)根，則該三角形的周長(zhǎng)為（

）A．11 B．21 C．11或21 D．11或1【答案】A【解析】【分析】先求出方程的根，然后分x＝1和x＝11兩種情況，利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由可得，∴或，解得x＝1或x＝11，當(dāng)x＝1時(shí)，因?yàn)?0＞1，所以能組成三角形，此時(shí)該三角形的周長(zhǎng)為11；當(dāng)x＝11時(shí)，因?yàn)?0＜11，所以不能組成三角形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用因式分解法解方程，下列方法中正確的是（

）A．(2x－2)(3x－4)=0，∴2x－2=0或3x－4=0B．(x+3)(x－1)=1，∴x+3=0或x－1=1C．(x－2)(x－3)=2×3，∴x－2=2或x－3=3D．x(x+2)=0，∴x+2=0【答案】A【解析】【分析】用因式分解法時(shí)，方程的右邊為0，才可以達(dá)到化為兩個(gè)一次方程的目的．【詳解】A：等式右邊為0，分解正確，符合題意；B：等式右邊≠0，不符合題意；C：等式右邊≠0，不符合題意；D：x(x+2)=0，∴x+2=0或x=0；故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法時(shí)，方程的右邊必須為0，根據(jù)兩個(gè)因式的積等于0，則這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)為0，才能將方程降次為兩個(gè)一元一次方程．5．（2022·河南駐馬店·九年級(jí)期末）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一個(gè)根，則m的值為（）A．﹣1或2 B．﹣1 C．﹣2或1 D．1【答案】B【解析】【分析】把代入一元二次方程中即可得到關(guān)于m的方程，解此方程即可求出m的值．由即得到從而得到答案．【詳解】解：是一元二次方程的一個(gè)根，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程解的定義及一元二次方程的解法．掌握能使方程成立的未知數(shù)的值，就是方程的解是解題的關(guān)鍵．6．（2022·廣西貴港·中考真題）若是一元二次方程的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根及m的值分別是（

）A．0， B．0，0 C．， D．，0【答案】B【解析】【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一個(gè)根．【詳解】解：根據(jù)題意，∵是一元二次方程的一個(gè)根，把代入，則，解得：；∴，∴，∴，，∴方程的另一個(gè)根是；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的步驟進(jìn)行計(jì)算．二、填空題7．（2022··八年級(jí)期末）已知長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個(gè)根，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是_____．【答案】6【解析】【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：，解得：，∴這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為2×3=6；故答案為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．8．（2022·山東·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）解方程：1+22x-3x2＝25解得____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)因式分解法進(jìn)行求解一元二次方程即可．【詳解】解：1+22x-3x2＝25解得：；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．9．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0可以化成兩個(gè)一次方程，那么這兩個(gè)一次方程分別是_____或_____．【答案】

x﹣4y＝0

x+2y＝0【解析】【分析】把x2﹣2xy﹣8y2＝0看作是關(guān)于x的一元二次方程，方程左邊進(jìn)行因式分解得到（x﹣4y）（x+2y）＝0，于是得到兩個(gè)一次方程：x﹣4y＝0或x+2y＝0．【詳解】解：∵x2﹣2xy﹣8y2＝0，∴（x﹣4y）（x+2y）＝0，∴x﹣4y＝0或x+2y＝0．故答案為：x﹣4y＝0；x+2y＝0．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程變形為一般式，再把方程左邊進(jìn)行因式分解，然后把方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解．10．（2022·山東聊城·九年級(jí)期末）關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，，則二次三項(xiàng)式可分解因式為________．【答案】【解析】【分析】由題意知，x?1及x?2是的兩個(gè)一次因式，從而可得的因式分解結(jié)果．【詳解】∵關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，∴x?1及x?2是的兩個(gè)一次因式∵的二次項(xiàng)系數(shù)為a∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程與二次三項(xiàng)式因式分解的關(guān)系，即、是一元二次方程的兩個(gè)解，則、是的兩個(gè)一次因式，因而，掌握此關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·山東菏澤·九年級(jí)期末）解下列方程(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）先整理，再利用因式分解法解答，即可求解．(1)解：，∴，解得：；(2)解：，整理得：，∴，解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法——直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法是解題的關(guān)鍵．12．（2022·山東泰安·八年級(jí)期末）按照指定方法解下列方程：(1)（公式法）；(2)（配方法）；(3)（因式分解法）．【答案】(1)，(2)，(3)，【解析】【分析】（1）根據(jù)公式法解一元二次方程；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程；（3）根據(jù)因式分解法解一元二次方程．（1）解：，，，，，；（2）解：方程整理得：，配方得：，即，開方得：，解得：，；（3）解：方程整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．提升篇提升篇一、填空題1．（2022·安徽安慶·八年級(jí)期末）若方程有兩個(gè)相等的根，則方程的根分別是_________．【答案】，##，【解析】【分析】根據(jù)根的判別式求得a＝﹣3，b＝0，把a(bǔ)＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0得：x2﹣3x＝0，解得x1＝0，x2＝3即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣（a﹣3）x﹣3a﹣b2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣3a﹣b2）＝＝（a+3）2+4b2＝0，∴a＝﹣3，b＝0，把a(bǔ)＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0得：x2﹣3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3．故答案為：x1＝0，x2＝3．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的解法，利用方程有兩個(gè)相等的根求出a，b的值是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，則的值是___________．【答案】7【解析】【分析】換元法，令，將原方程化為t（t－1）＝42（t），求解一次方程即可．【詳解】令（t），∴原方程化為t（t－1）＝42，解得t＝7，或t＝－6（舍），∴，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查用換元法求解方程．解題關(guān)鍵是要注意換元之后一定要考慮新未知數(shù)的取值范圍，換元法的實(shí)際應(yīng)用，是解題關(guān)鍵．3．（2022·浙江臺(tái)州·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程（a，b，c為常數(shù)，且），此方程的解為，．則關(guān)于x的一元二次方程的解為______．【答案】或##或【解析】【分析】將和分別代入，可求得，，之間的等量關(guān)系，代入一元二次方程即可消去參數(shù)，從而解一元二次方程即可．【詳解】解：一元二次方程的解為，，，解得，一元二次方程可化為，，，解得，．一元二次方程的解為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程的解求得，，之間的等量關(guān)系，從而代入求解．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若時(shí)，代數(shù)式的為0，則代數(shù)式________．【答案】或##2或-6【解析】【分析】把代入，=0，先求解m的值，再分情況代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：時(shí)，代數(shù)式的為0，解得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元二次方程，代數(shù)式的值，掌握“利用因式分解解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．5．（2022·廣西梧州·八年級(jí)期末）菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，其邊長(zhǎng)是方程x2－8x＋15＝0的一個(gè)根，則該菱形的面積為________．【答案】24【解析】【分析】利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=5，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到菱形的邊長(zhǎng)為5，利用勾股定理計(jì)算出菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算．【詳解】解：x2-8x+15=0，（x-3）（x-5）=0，x-3=0或x-5=0，∴x1=3，x2=5，∵菱形一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，∴菱形的邊長(zhǎng)為5，∵菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)=2×=6，∴菱形的面積=×6×8=24．故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性質(zhì)．二、解答題6．（2022·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)期末）若等腰三角形的一邊長(zhǎng)是4，另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣6x+n＝0的兩個(gè)根，求n的值．【答案】的值為8或9【解析】【分析】當(dāng)4為腰長(zhǎng)時(shí)，將x=4代入原一元二次方程可求出n的值，將n值代入原方程可求出方程的解，利用較小兩邊之和大于第三邊可得出n=8符合題意；當(dāng)4為底邊長(zhǎng)時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出根的判別式=0，解之可得出n值，將n值代入原方程可求出方程的解，利用較小兩邊之和大于第三邊可得出n=9符合題意．【詳解】當(dāng)4為腰長(zhǎng)時(shí)，將代入，得：，解得：，當(dāng)時(shí)，原方程為，解得：，，∵2+4＞4，∴符合題意；當(dāng)4為底邊長(zhǎng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，當(dāng)時(shí)，原方程為，解得：，∵3+3＞4，∴符合題意．∴的值為8或9．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系，分4為腰長(zhǎng)及4為底邊長(zhǎng)兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．7．（2021·河南周口·九年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程兩個(gè)根的差是2，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)1或【解析】【分析】（1）將方程化為一般形式，計(jì)算判別式即可；（2）由因式分解法求出方程的解，根據(jù)兩個(gè)根的差是2方程即可求出m．(1)證明：，∵?≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)解：，∴（x-1）（x-m-2）=0，∴x1=1，x2=m+2，∵方程兩個(gè)根的差是2，∴若，則；若，則．∴實(shí)數(shù)的值為1或．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式得到方程的根的情況，解一元二次方程，正確掌握一元二次方程的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程（m為常數(shù)）．(1)若它的一個(gè)實(shí)數(shù)根是關(guān)于x的