2024-2025學(xué)年福建省金太陽高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省金太陽高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合M={?1,2,3}，N={?1,0,2,5}，則M∪N=(

)A.{?1,2} B.{?1,2,3} C.{?1,0,2,5} D.{?1,0,2,3,5}2.若向量a=(?1,2),b=(m+1,2)，且(a+A.?8 B.8 C.?2 D.23.已知f(x)=xα是冪函數(shù)，則“α是正偶數(shù)”是“f(x)的值域為[0,+∞)”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.若sin(α?π8)=1A.?79 B.?4295.已知f(x)是奇函數(shù)，且f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減，則(

)A.f(?4)?f(4)>0 B.f(?4)+f(4)>0

C.f(?3)+f(4)>0 D.f(?3)+f(4)<06.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示，則f(2)=(

)A.?1

B.?2

C.?7.“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一廣場，是福州市的標志性雕塑.這座雕塑以福州的自然景觀和歷史文化為靈感，通過藝術(shù)的形式展現(xiàn)了福州“三山兩塔一條江”的獨特城市風(fēng)貌和地域文化特色.如圖，為了測量“三山一水”城市雕塑的高度，選取了與該雕塑底部B在同一平面內(nèi)的兩個測量基點C與D.現(xiàn)測得∠CBD=30°，CD=23.8m，在C點測得雕塑頂端A的仰角為45°，在D點測得雕塑頂端A的仰角為30°，則雕塑的高度AB=(

)A.47.6m B.35.7m C.23.8m D.11.9m8.已知函數(shù)f(x)=lnx?(a+1)x+1，g(x)=a(x2+1).當x≥1時，2f(x)+g(x)≥0恒成立，則a的取值范圍為A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,1] D.[1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=(x2?6)(2x?3)，則A.f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減

B.f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增

C.f(x)有3個零點

D.直線y=?3與f(x)的圖象僅有1個公共點10.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且asinB+csinA=5sinA，bc=b+c+1，△ABC的面積為22，則△ABC的周長可能為(

)A.8 B.5+17 C.9 11.已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx+x，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱 B.f(x)的圖象關(guān)于點(?π4,?π4)對稱

C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知tan(α+β)=4，tan(α?β)=?3，則tan2β=______．13.已知a>0，b>0，且ab+2ba=ab，則214.對于任意的x，y∈R，函數(shù)f(x)滿足f(x+y)+f(x?y)=2f(x)f(y)，函數(shù)g(x)滿足g(x+y)=g(x)g(y).若f(2)=?1，g(3)=8，則g(f(2024))=______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x?xlnx?a．

(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=bx+2，求a和b的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與最大值．16.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA?acosB=0．

(1)求角B的大小；

(2)若c=2，b=5，求a；

(3)若c=217.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x+1)=12ax+12a,x<0,ax2+(2a?1)x+a+1,x≥0.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=22cos2x+22sinxcosx．

(1)將f(x)化成f(x)=Acos(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)的形式；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若f(x)在19.(本小題17分)

若函數(shù)f(x)在[a,b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，使得f′(x1)=f(b)?f(a)b?a，f′(x2)=f(b)?f(a)b?a，則稱f(x)是[a,b]上的“雙中值函數(shù)”，其中x1，x2稱為f(x)在[a,b]上的中值點．

(1)判斷函數(shù)f(x)=x3?3x2+1是否是[?1,3]上的“雙中值函數(shù)”，并說明理由．

(2)已知函數(shù)f(x)=12參考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.D

6.B

7.C

8.D

9.ACD

10.AB

11.BD

12.?713.1

8

14.2

15.解：(1)f′(x)=1?(lnx+1)=?lnx，

所以f′(1)=b=0，切線方程為y=2，

又f(1)=1?a，所以1?a=2，則a=?1．

(2)f(x)的定義域為(0,+∞)．

f′(x)=?lnx，當0<x<1時，f′(x)>0，當x>1時，f′(x)<0，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞)，

所以f(x)的最大值為f(1)=1?a．

16.解：(1)由bsinA?acosB=0及正弦定理得，sinBsinA?sinAcosB=0．

因為A∈(0,π)，所以sinA≠0，則sinB?cosB=0，即tanB=1．

因為B∈(0,π)，所以B=π4．

(2)根據(jù)余弦定理得5=a2+2?22a?22，即a2?2a?3=0，解得a=3或?1(舍去)，故a=3．

(3)方法一：由c=22a和正弦定理，得sinC=22sinA，即sin(3π4?A)=22sinA17.解：(1)令t=x+1，得x=t?1，

則f(t)=12a(t?1)+12a,t?1<0a(t?1)2+(2a?1)(t?1)+a+1,t?1≥0，

得f(t)=12at,t<1at2?t+2,t≥1，

即f(x)=12ax,x<1ax2?x+2,x≥1；

(2)當a=0時，f(x)=0,x<1?x+2,x≥1，在R上不單調(diào)，

當f(x)在R18.解：(1)f(x)=22×1+cos2x2+2sin2x=2cos2x+2sin2x+2

=2cos(2x?π4)+2；

(2)令?π+2kπ≤2x?π4≤2kπ,k∈Z，解得?3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z，

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[?3π8+kπ,π8+kπ],k∈Z．

令2kπ≤2x?π4≤π+2kπ,k∈Z，解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k∈Z，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[π8+kπ,5π8+kπ],k∈Z．

(3)f(x)=2cos(2x?π4)+2．

z則f(x)的最小正周期T=2π2=π，

令2x?π4=kπ,k∈Z，解得x=π8+kπ2,k∈Z，

f(x)圖象的對稱軸為直線x=π8+kπ2,k∈Z．

若f(x)在[α,α+π4]上單調(diào)，則α≥π8+kπ19.解：(1)函數(shù)f(x)是[?1,3]上的“雙中值函數(shù)”.理由如下：

因為f(x)=x3?3x2+1，所以f′(x)=3x2?6x．

因為f(3)=1，f(?1)=?3，所以f(3)?f(?1)3?(?1)=1，

令f′(x)=1，得3x2?6x=1，即3x2?6x?1=0，解得x=3±233，

因為?1<3?233<3+233<3，所以f(x)是[?1,3]上的“雙中值函數(shù)”．

(2)①因為f(m)=f(n)，所以f(m)?f(n)m?n=0，

因為f(x)是[n,m]上的“雙中值函數(shù)”，所以f′(x1)=f′(x2)=0．

由題意可得f′(x)=x?lnx?a?1．

設(shè)g(x)=f′(x)=x?lnx?a?1，則g′(x)=1?1x=x?1x，

當x∈(0,1)時，g′(x)<0，則g(x)為減函數(shù)，即f′(x)