河北省邢臺市巨鹿中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考試題含解析

PAGE河北省邢臺市巨鹿中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考試題（含解析）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分別計算集合，再求即可．【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：C2.函數(shù)的零點(diǎn)是（）A.， B.， C.2，4 D.，【答案】D【解析】【分析】干脆解方程，即可得到答案．【詳解】由題知：令，即，解得，，所以函數(shù)的零點(diǎn)是，．故選：D3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)2的范圍，求得的范圍，依據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得a，b，c的范圍，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，，即，，即，所?故選：A.4.溶液酸堿度是通過計算的，的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，若人體胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則胃酸的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)運(yùn)算以及的定義求得此時胃酸的值.【詳解】依題意.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)y＝2x－x2的大致圖象為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用解除法，依據(jù)，函數(shù)有兩個零點(diǎn)2，4，可解除B,C，然后取值-1，簡潔推斷可得結(jié)果.【詳解】由題可知，令，則或，可解除B,C令，則，可解除D，故A正確故選：A【點(diǎn)睛】本題考查推斷函數(shù)的圖象，還考查了求解函數(shù)的零點(diǎn)，細(xì)心視察，簡潔計算，運(yùn)用特別值，簡潔明白，屬基礎(chǔ)題.6.已知，，則“”的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)必要不充分條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義分別進(jìn)行推斷即可．【詳解】由，得，.當(dāng)時，，當(dāng)時，不能得到，故是“”的一個必要不充分條件；.當(dāng)時，，故不是“”的一個必要不充分條件，當(dāng)時，不肯定成立，不滿意條件..當(dāng)時，，則不成立，故選：.7.若，則=（）A. B.2 C.3 D.【答案】D【解析】【分析】令和，分別解得和，代入對應(yīng)的解析式，即可得答案.【詳解】令，因?yàn)椋瑒t，令，則，所以，所以=，故選：D8.已知，若是方程的兩根，則（）A.或 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)韋達(dá)定理可得的和與積關(guān)系,再依據(jù)推斷的范圍.再代入兩角和的正切公式求解,推斷的大小即可.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬筛傻?所以均正數(shù),又,故所以.又.故.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的正切公式的運(yùn)用,包括依據(jù)正切值范圍求解角度范圍的方法等.屬于中等題型.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分．9.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)有（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】先求定義域，后依據(jù)奇偶性定義推斷即可.【詳解】對于A，，，是奇函數(shù)；對于B，，，是非奇非偶函數(shù)；對于C，由得，或，，是偶函數(shù)；對于D，，，偶函數(shù)；故選：CD.【點(diǎn)睛】此題考推斷函數(shù)奇偶性的方法，屬于簡潔題.10.下列各式中值為的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用三角函數(shù)的兩角和差公式，以及二倍角公式，逐個選項(xiàng)驗(yàn)證，即可求解【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，，，C錯誤；對于D，，D正確；故選：BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的兩角和差公式，以及二倍角公式，運(yùn)用到的公式有：，，，，本題難度屬于中檔題11.給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）A.函數(shù)在中存在零點(diǎn)，用二分法求零點(diǎn)時，若要求精確度為0．01，則運(yùn)算次數(shù)至多為7次B.已知函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱D.若，則的值為1【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)二分法的精確度，代入公式，即可推斷A的正誤；依據(jù)a的范圍，可得為減函數(shù)，依據(jù)x的范圍，可求得a的范圍，分別探討和兩種狀況，分析即可推斷B的正誤；依據(jù)與互為反函數(shù)，即可推斷C的正誤；依據(jù)題意，可求得a，b的值，依據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可推斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：二分法精確度為，所以，可得，故至多運(yùn)算7次，故A正確；對于B：因?yàn)?，所以為減函數(shù)，所以，解得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故舍去，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，滿意題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故B錯誤；對于C：函數(shù)與互為反函數(shù)，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于D：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：ACD12.已知函數(shù)，則下列推斷錯誤的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B.要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個單位C.當(dāng)時，函數(shù)最小值為D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】AC【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的圖象性質(zhì)，逐一推斷即可得出結(jié)果.【詳解】A.令，故A錯誤；B.向右平移個單位可得：，故B正確；C.，所以函數(shù)，故C錯誤；D.令當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，故D正確.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是6，則扇形中心角的弧度數(shù)為______．【答案】3【解析】【分析】設(shè)這個扇形中心角的弧度數(shù)為，半徑為．利用弧長公式、扇形的面積計算公式即可得出．【詳解】設(shè)這個扇形中心角的弧度數(shù)為，半徑為．一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是6，且，解得，故答案為：314.已知，且，則______．【答案】【解析】【分析】用同角間的三角函數(shù)關(guān)系計算，用誘導(dǎo)公式化簡后再計算．然后計算，可得．【詳解】∵，且，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查誘導(dǎo)公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系．三角函數(shù)求值問題，首先要進(jìn)行化簡，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡，應(yīng)用同角間的三角函數(shù)關(guān)系化簡，最終才代入求值．應(yīng)用誘導(dǎo)公式應(yīng)牢記：奇變偶不變，符號看象限，應(yīng)用同角間的三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)留意在應(yīng)用平方關(guān)系求函數(shù)值需確定角的范圍，以確定正弦余弦值的正負(fù)．15.已知，，，，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得到，用已知角表示未知角，即，按公式綻開即可．【詳解】∵，∴，又∵，∴.∵，∴，又∵，∴.∵∴，∴.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：給值求值問題一般是正用公式將所求“復(fù)角”綻開，看須要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后依據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入綻開式即可．16.若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為可以取全部正數(shù)，且，由分類探討和基本不等式可得.【詳解】∵函數(shù)的值域?yàn)?，，且，?dāng)時，，故只需即可，解不等式可得，綜上可得的取值范圍為：且.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及恒成立問題和基本不等式求最值，屬中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊在其次象限與單位圓交于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值．（2）若將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到角（即），若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)的坐標(biāo)，得出三角函數(shù)值，由齊次式求值即可；（2）利用兩角差的正切公式求值即可．【詳解】（1）∵在單位圓上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可求得縱坐標(biāo)為，所以，．（2）由題知，則則18.設(shè)，且．（1）求的值及的定義域；（2）求在區(qū)間上的最值．【答案】（1），；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，無最大值．【解析】【分析】（1）依據(jù)，代入數(shù)據(jù)，即可求得a值，即可求得解析式，依據(jù)真數(shù)大于0，即可求得定義域.（2）由（1）得，令，依據(jù)x的范圍，即可求得t的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得：，因?yàn)?，解得，所以，所以，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)椋唬?）由（1）得，令，由得：，則原函數(shù)為，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，無最大值．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭對數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法、考查分析理解，計算求值的實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù)（且）的圖象恒過點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．（1）求的最小值；（2）若，當(dāng)時，求的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出，從而可得，再利用基本不等式即可求解.（2）依據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，令，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，可得，所以函?shù)的圖象恒過點(diǎn)因?yàn)樵诤瘮?shù)的圖象上．所以所以因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)，時等號成立）所以當(dāng)，時，最小值為．（2）當(dāng)時，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時，令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?0.已知函數(shù)，（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求在區(qū)間上的取值范圍．【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】【分析】（1）依據(jù)二倍角公式、協(xié)助角公式，化簡可得，依據(jù)最小正周期公式，即可求得答案.（2）由，，可求得x的范圍，即可求得的單調(diào)遞減區(qū)間.（3）依據(jù)x的范圍，求得的范圍，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）由已知可得．所以的最小正周期為．（2）令，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，．所以，，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，．（3）因?yàn)?，所以，?dāng)或時，，當(dāng)時，，所以，所以，即在區(qū)間上的取值范圍是．21.某同學(xué)在做探討性學(xué)習(xí)時發(fā)覺，在邢臺大峽谷景區(qū)，每年到訪的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的改變．現(xiàn)假設(shè)該風(fēng)景區(qū)每年各個月份游客的人數(shù)（單位：萬人）可近似地用函數(shù)來刻畫．其中：正整數(shù)表示月份且，例如時表示二月份；和是正整數(shù)；．統(tǒng)計發(fā)覺，風(fēng)景區(qū)每年各個月份游客人數(shù)有以下規(guī)律：①每一年相同的月份，該風(fēng)景區(qū)游客人數(shù)大致相同；②該景區(qū)游客人數(shù)最多的八月份和最少的二月份相差約400000人；③二月份該風(fēng)景區(qū)游客大約為100000人，隨后漸漸增加，八月份達(dá)到最多．（1）試依據(jù)已知信息，確定一個符合條件的的表達(dá)式；（2）一般地，當(dāng)該地區(qū)游客超過400000人時，該風(fēng)景區(qū)也進(jìn)入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪幾個月是該風(fēng)景區(qū)的旅游“旺季”？請說明理由．【答案】（1）；（2）一年中的7，8，9，10四個月是該風(fēng)景區(qū)的旅游“旺季”，理由見解析．【解析】【分析】（1）由實(shí)際問題的周期性且周期為、淡旺季數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)學(xué)模型即可求，，進(jìn)而可得表達(dá)式；（2）由（1）結(jié)合已知條件即可求出的范圍，結(jié)合實(shí)際條件即可知旺季所含月份．【詳解】（1）依據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)且周期為12，可得，即，由規(guī)律②③可知，，解得：，綜上可得，；（2）由條件，，可得∴，，即，又，，所以，，故：，8，9，10，即一年中的7，8，9，10四個月是該風(fēng)景區(qū)的旅游“旺季”．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，結(jié)合已知數(shù)據(jù)求數(shù)學(xué)模型，并利用模型求參數(shù)范圍是解題的關(guān)鍵．22.已知，（1）某同學(xué)解決問題“若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍”時，做出如下解答：由，解得，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是．上述解答正確嗎？若正確，請給出理由；若不正確，請給出正確的解答過程．（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）不正確，答案見解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用零點(diǎn)存在性定理的內(nèi)容可知不正確，再結(jié)