北京市重點中學2025屆八年級數(shù)學第一學期期末考試模擬試題含解析

北京市重點中學2025屆八年級數(shù)學第一學期期末考試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，添加下列條件后，還不能使△ABD≌△ACD的是（）A． B． C． D．2．能使分式的值為零的所有x的值是()A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝1或x＝﹣1 D．x＝2或x＝13．若（a+b)2=4，(a-b)2=6，則a2+b2的值為（）A．25 B．16 C．5 D．44．已知是方程的解，則的值是（）A． B． C． D．5．在平面直角坐標系中，過點(-2，3)的直線l經(jīng)過一、二、三象限，若點(0，a)、(-1，b)、(C，-1)都在直線l上，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)<3 C．b<3 D．c<-26．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰直角三角形,則這樣的點C有()A．6個 B．7個 C．8個 D．9個7．如圖，射線平分角，于點，于點，若，則（）A． B． C． D．8．下列說法正確的是()A．(－2)2的平方根是－2 B．－3是－9的負的平方根C．的立方根是2 D．(－1)2的立方根是－19．在平面直角坐標系中，有A（2，﹣1），B（0，2），C（2，0），D（﹣2，1）四點，其中關于原點對稱的兩點為（）A．點A和點B B．點B和點C C．點C和點D D．點D和點A10．等腰△ABC中，∠C＝50°，則∠A的度數(shù)不可能是（）A．80° B．50° C．65° D．45°11．如圖，在平面直角坐標系中，，點、、、在軸上，點、、…在射線上，、、……均為等邊三角形,若點坐標是,那么點坐標是（）A．(6，0) B．(12，0) C．(16，0) D．(32，0)12．在平面直角坐標系中，點P(2，﹣3)關于x軸的對稱點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題（每題4分，共24分）13．若最簡二次根式與是同類二次根式，則a＝_____．14．將函數(shù)的圖象沿軸向下平移2個單位，所得圖象對應的函數(shù)表達式為__________．15．約分：=_____．16．如圖，△ABC中，D為BC邊上的一點，BD：DC=2：3，△ABC的面積為10，則△ABD的面積是_________________17．如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3＝_____．18．把二次根式化成最簡二次根式得到的結(jié)果是______．三、解答題（共78分）19．（8分）解方程組（1）；（2）．20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+＝0，點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AO勻速運動，設點P的運動時間為t秒．(1)求OA、OB的長；(2)連接PB，設△POB的面積為S，用t的式子表示S；(3)過點P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與x軸交于點E，在點P運動的過程中，是否存在這樣的點P，使△EOP≌△AOB？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．21．（8分）（1）計算：；（2）分解因式：．22．（10分）全社會對空氣污染問題越來越重視，空氣凈化器的銷量也大增，商社電器從廠家購進了，兩種型號的空氣凈化器，已知一臺型空氣凈化器的進價比一臺型空氣凈化器的進價多300元，用7500元購進型空氣凈化器和用6000元購進型空氣凈化器的臺數(shù)相同．（1）求一臺型空氣凈化器和一臺型空氣凈化器的進價各為多少元？（2）在銷售過程中，型空氣凈化器因為凈化能力強，噪聲小而更受消費者的歡迎．商社電器計劃型凈化器的進貨量不少于20臺且是型凈化器進貨量的三倍，在總進貨款不超過5萬元的前提下，試問有多少種進貨方案？23．（10分）如圖1，已知直線AO與直線AC的表達式分別為：和．（1）直接寫出點A的坐標；（2）若點M在直線AC上，點N在直線OA上，且MN//y軸，MN=OA，求點N的坐標；（3）如圖2，若點B在x軸正半軸上，當△BOC的面積等于△AOC的面積一半時，求∠ACO+∠BCO的大?。?4．（10分）賽龍舟是端午節(jié)的主要習俗，某市甲乙兩支龍舟隊在端午節(jié)期間進行劃龍舟比賽，從起點駛向終點，在整個行程中，龍舟離開起點的距離(米)與時間(分鐘)的對應關系如圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：（1）起點與終點之間相距．（2）分別求甲、乙兩支龍舟隊的與函數(shù)關系式；（3）甲龍舟隊出發(fā)多少時間時兩支龍舟隊相距200米？25．（12分）（1）因式分解：x3-4x；（2）x2-4x-1226．如圖，在等腰中，，點在線段上運動(不與重合)，連結(jié)，作，交線段于點．（1）當時，=°；點從點向點運動時，逐漸變(填“大”或“小”)；（2）當?shù)扔诙嗌贂r，，請說明理由；（3）在點的運動過程中，的形狀也在改變，判斷當?shù)扔诙嗌俣葧r，是等腰三角形．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理解答即可．【詳解】∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90°若添加AB=AC,又AD=AD則可利用“HL”判定全等，故A正確；若添加BD=CD，又AD=AD則可利用“SAS”判定全等，故B正確；若添加∠B=∠C，又AD=AD則可利用“AAS”判定全等，故C正確；若添加AD=BD，無法證明兩個三角形全等，故D錯誤.故選：D【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法“SSS”、“AAS”、“SAS”、“ASA”“HL”是關鍵．2、B【解析】分析：根據(jù)分式的值為0的條件：分子等于0，分母≠0，構(gòu)成不等式組求解即可.詳解：由題意可知：解得x=-1.故選B.點睛：此題主要考查了分式的值為0的條件，利用分式的值為0的條件：分子等于0，分母≠0，構(gòu)造不等式組求解是解題關鍵.3、C【分析】由可得答案．【詳解】解：①，②①＋②得：故選C．【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，掌握兩個完全平方公式的結(jié)合變形是解題的關鍵．4、D【分析】把代入原方程即可求出m.【詳解】把代入得-2m+5-1=0,解得m=2故選D.【點睛】此題主要考查二元一次方程的解，解題的關鍵是直接代入原方程.5、D【分析】根據(jù)題意畫出圖像解答即可．【詳解】解：由于直線過第一、二、三象限，故得到一個隨增大而增大，且與軸交于點的直線，∴，，故選D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對于一次函數(shù)y=kx+b（k為常數(shù)，k≠0），當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減?。?、A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．【詳解】如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有2個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數(shù)學知識來求解．數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學解題中很重要的解題思想．7、C【分析】根據(jù)題意可知A、B、O、M四點構(gòu)成了四邊形，且有兩個角是直角，直接利用四邊形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：∵于點，于點，，，；故選：C．【點睛】本題考查的是四邊形的內(nèi)角和，這里要注意到構(gòu)造的是90°的角即可求解本題．8、C【分析】根據(jù)平方根的定義和立方根的定義逐一判斷即可．【詳解】A．(－2)2=4的平方根是±2，故本選項錯誤；B．－3是9的負的平方根，故本選項錯誤；C．=8的立方根是2，故本選項正確；D．(－1)2=1的立方根是1，故本選項錯誤．故選C．【點睛】此題考查的是平方根和立方根的判斷，掌握平方根的定義和立方根的定義是解決此題的關鍵．9、D【分析】直接利用關于原點對稱點的特點：縱橫坐標均互為相反數(shù)得出答案．【詳解】∵A（2，﹣1），D（﹣2，1）橫縱坐標均互為相反數(shù)，∴關于原點對稱的兩點為點D和點A．故選：D．【點睛】此題主要考查了關于原點對稱點的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標的關系是解題關鍵．10、D【分析】分類討論后，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的兩個底角相等解答即可．【詳解】當∠C為頂角時，則∠A＝（180°﹣50°）＝65°；當∠A為頂角時，則∠A＝180°﹣2∠C＝80°；當∠A、∠C為底角時，則∠C＝∠A＝50°；∴∠A的度數(shù)不可能是45°，故選：D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)是解題的關鍵．11、D【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，然后利用三角形外角的性質(zhì)得出，從而有，然后進行計算即可．【詳解】∵，，…，均為等邊三角形，．，，，．∵點坐標是，，，同理，，∴點坐標是．故選：D．【點睛】本題主要考查點的坐標的規(guī)律，掌握等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)是解題的關鍵．12、A【分析】應先判斷出所求的點的橫縱坐標，進而判斷所在的象限．【詳解】點P(2，﹣3)滿足點在第四象限的條件．關于x軸的對稱點的橫坐標與P點的橫坐標相同是2；縱坐標互為相反數(shù)是3，則P關于x軸的對稱點是(2，3)，在第一象限．故選：A．【點睛】本題主要考查平面直角坐標系中各象限內(nèi)點的坐標的符號，掌握關于x軸的對稱點橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)是解題關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、-1【分析】根據(jù)同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案．【詳解】解：由最簡二次根式與是同類二次根式，得，解得，故答案為：﹣1．【點睛】本題考查了最簡二次根式、同類二次根式，掌握根據(jù)最簡二次根式、同類二次根式的定義列出方程是解題的關鍵．14、【解析】直接利用一次函數(shù)平移規(guī)律，“上加下減”進而得出即可．【詳解】將函數(shù)y＝3x的圖象沿y軸向下平移1個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)關系式為：y＝3x?1．故答案為：y＝3x?1．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，正確掌握平移規(guī)律是解題關鍵．15、【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，約分化簡到最簡形式即可．【詳解】，故答案為：．【點睛】考查了分式的基本性質(zhì)，注意負號可以提到前面，熟記分式約分的方法是解題關鍵．16、1【分析】利用面積公式可得出△ABD與△ABC等高，只需求出BD與BC的比值即可求出三角形ABD的面積．【詳解】解：∵BD：DC=2：3，

∴BD=BC．

△ABD的面積=BD?h＝×

BC?h=△ABC的面積=×10=1．故答案為：1．【點睛】本題考查了三角形面積公式以及根據(jù)公式計算三角形面積的能力．17、55°【分析】根據(jù)∠BAC＝∠DAE能夠得出∠1＝∠EAC，然后可以證明△BAD≌△CAE，則有∠2＝∠ABD，最后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．【詳解】∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案為：55°．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法及性質(zhì)是解題的關鍵．18、3【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【詳解】解：==3．故答案為：3．【點睛】本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．三、解答題（共78分）19、（1）；（2）【分析】（1）利用加減法解方程組；（2）利用代入法解方程組.【詳解】（1），①-②得：3y=3，y=1，將y=1代入①，解得x=5，∴原方程組的解是；（2），將①代入②得：4y-3y=2，解得y=2，將y=2代入①得x=4，∴原方程組的解是.【點睛】此題考查二元一次方程組的解法，根據(jù)每個方程組的特點選擇適合的解法是解題的關鍵.20、(1)OA=6，OB=3；(2)S＝|6﹣t|(t≥0)；(3)t＝3或1．【分析】（1）根據(jù)算術平方根和絕對值的非負性質(zhì)即可求得m、n的值，即可解題；（2）連接PB，t秒后，可求得OP＝6﹣t，即可求得S的值；（3）作出圖形，易證∠OBA＝∠OPE，只要OP＝OB，即可求證△EOP≌△AOB，分兩種情形求得t的值，即可解題．【詳解】(1)∵|m﹣n﹣3|+＝0，且|m﹣n﹣3|≥0，≥0∴|m﹣n﹣3|＝＝0，∴n＝3，m＝6，∴點A(0，6)，點B(3，0)；(2)連接PB，t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，∴S＝OP?OB＝|6﹣t|；(t≥0)(3)作出圖形，∵∠OAB+∠OBA＝10°，∠OAB+∠APD＝10°，∠OPE＝∠APD，∴∠OBA＝∠OPE，∴只要OP＝OB，即可求證△EOP≌△AOB，∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝1∴t＝3或1．【點睛】本題考查了算術平方根及絕對值非負性的性質(zhì)，全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△EOP≌△AOB是解題的關鍵．21、（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)整式的乘法運算法則即可運算；（2）先提公因式-3y，再利用完全平方工時即可因式分解．【詳解】解：（1）原式==（2）==【點睛】本題考查了整式的乘法運算及因式分解，解題的關鍵是掌握整式的乘法運算法則，提公因式法與公式法進行因式分解．22、(1)每B型空氣凈化器、每臺A型空氣凈化器的進價分別為1200元，1500元；(2)有兩種方案：購B型空氣凈化器為7臺，A型凈化器為21臺；購B型空氣凈化器為8臺，A型凈化器為24臺.【分析】(1)設每臺B型空氣凈化器為x元,A型凈化器為（x+300）元,由題意得,,解方程可得;(2)設購B型空氣凈化器為x臺,A型凈化器為3x臺,由題意得,且,解不等式可得.【詳解】（1）設每臺B型空氣凈化器為x元,A型凈化器為（x+300）元,由題意得,,解得:x=1200,經(jīng)檢驗x=1200是原方程的根,則x+300=1500,答:每B型空氣凈化器、每臺A型空氣凈化器的進價分別為1200元,1500元;(2)設購B型空氣凈化器為x臺,A型凈化器為3x臺,由題意得解得x≤由因為,即所以x的正整數(shù)值是:7,8.所以3x=21或24答:有兩種方案:購B型空氣凈化器為7臺,A型凈化器為21臺;購B型空氣凈化器為8臺,A型凈化器為24臺.【點睛】考核知識點:分式方程應用.理解題列出分式方程,借助不等式分析方案是關鍵.23、（1）A點的坐標為（4，2）；（2）N的坐標為（），（）；（3）∠ACO+∠BCO=45°【分析】（1）利用直線AO與直線AC交點為A即可求解；（2）先求出MN的長，再設設M的坐標為（a，2a-6），則則N的坐標為（a，），表示出MN的長度解方程即可；（3）作∠GCO=∠BCO，把∠ACO+∠BCO轉(zhuǎn)化成∠ACG。題目條件沒出現(xiàn)具體角度，但結(jié)論又要求角度的，這個角度一定是一個特殊角，即∠ACG的度數(shù)一定是個特殊角；即∠ACG處于一個特殊的三角形中，于是有了作DE⊥GC的輔助線思路，運用勾股定理知識即可解答．【詳解】（1）聯(lián)立和得：解得A點的坐標為（4，2）；（2）∵A點的坐標為（4，2）∴OA=，∴MN=OA=2，∵點M在直線AC上，點N在直線OA上，且MN//y軸，∴設M的坐標為（a，2a-6），則N的坐標為（a，），則存在以下兩種情況：①當M在N點下方時，如圖3，

則MN=-（2a-6）=2，解得a=，∴N點的坐標為（）；②當M在N點上方時，如圖4，

則MN=（2a-6）-=2，解得a=，∴N點的坐標為（）；綜上所述，N的坐標為（），（）（3）∵△BOC與△AOC有相同的底邊OC，∴當△BOC的面積等于△AOC的面積一半時，△BOC的高OB的長度是△AOC的高的一半，∴OB=2，設直線AC與x軸的交點為點D，則D（3，0），作點B關于y軸的對稱點G，則OG=0B=2，GD=5，∠BCO=∠GCO，則∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠GCO=∠ACG，連接GC，作DE⊥GC于點E，如圖5

由勾股定理可得：GC=，DC=，在△CGD中，由等面積法可得：OC?DG=DE?GC，可得DE=，在Rt△DEC中，由勾股定理可得EC=，∴ED=EC，∴∠ECD=45°，即∠ACO+∠BCO=45°．【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合運用，坐標結(jié)合勾股定理計算邊長是解題的關鍵.24、（1）3000；（2）甲龍舟隊的與函數(shù)關系式為，乙龍舟隊的與函數(shù)關系式為；（3）甲龍舟隊出發(fā)或10或15或分鐘時，兩支龍舟隊相距200米．【分析】（1）直接根據(jù)圖象即可得出答案；（2）分別用待定系數(shù)法即可求出甲、乙兩支龍舟隊的y與x函數(shù)關系式；（3）先求出兩支龍舟隊相遇的時間，然后結(jié)合圖像分四種情況進行討論，相遇前兩次，相遇后兩次，分別進行計算即可．【詳解】（1）根據(jù)圖象可知，起點與終點之間相距3000m（2）設甲龍舟隊的與函數(shù)關系式為把代入，可得解得∴甲龍舟隊的與函數(shù)關系式為設乙龍舟隊的與函數(shù)關系式為把，代入，可得，解得∴乙龍舟隊的與函數(shù)關系式為（3）令，可得即當時，兩龍舟隊相遇當時，令，則(符合題意)；當時，令，則(符合題意)；當時，令，則(符合題意)；當時，令，則(符合題意)；綜上所述：甲龍舟隊出發(fā)或10或15或分鐘時，兩支龍舟隊相距200米．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的應用，掌握待定系數(shù)法并分情況討論是解題的關鍵．25、（1）x(x+2)(x-2)；（2）(x+2)(x-6)．【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式，即可得到答案；（2）利用十字相乘法，即可分解因式．【詳解】（1）x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2)；（2）x2-4x-12=(x+2)(x-6)．【點睛】本題主要考查分解因式，掌握提取公因式法，公式法以及十字相乘法，是解