第11章解三角形過關(guān)練習(xí)數(shù)學(xué)高一下學(xué)期

第11章解三角形過關(guān)練習(xí)20232024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下學(xué)期蘇教版（2019）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．在中，，，，則（

）A． B． C．7 D．132．在中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．某工業(yè)園區(qū)有、、共3個廠區(qū)，其中，，，現(xiàn)計劃在工業(yè)園區(qū)內(nèi)選擇處建一倉庫，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．設(shè)的面積為，若，則角（

）A． B． C． D．5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，邊上的高等于，則（

）A． B． C． D．6．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則（

）A． B． C．1 D．7．如圖，在中，，，，半圓在內(nèi)，圓心為，半圓的直徑剛好在AC上，弧形部分與AB，BC相切，切點分別為和，在半圓的圓弧部分（含端點）上有一點，且，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．8．在中，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．或二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，，，則符合條件的只有一解B．若，，，則符合條件的只有一解C．若，，，則符合條件的無解D．若，且符合條件的有二解，則的取值范圍為10．在中，角的對邊分別是，若，，則（

）A． B．C． D．的面積為11．南宋數(shù)學(xué)家秦九昭在《數(shù)書九章》中指出：三斜求積術(shù)，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅.開平方得積可用公式（其中為三角形的三邊和面積）表示.在中，分別為角所對的邊，若，且，則下列命題正確的是（

）A．的面積的最大值是 B．C． D．的面積的最大值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知三邊上的高分別為、、，且，則此三角形最大角的余弦值為.13．三內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，設(shè)向量，，若，則角的大小為.14．《海島算經(jīng)》是魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽所著的測量學(xué)著作，書中有一道測量山上松樹高度的題目，受此題啟發(fā)，小李同學(xué)打算用學(xué)到的解三角形知識測量某建筑物上面一座信號塔的高度．把塔底與塔頂分別看作點C，D，CD與地面垂直，小李先在地面上選取點A，B，測得，在點A處測得點C，D的仰角分別為，，在點B處測得點D的仰角為，則塔高CD為m．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，滿足．(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求的周長的取值范圍．16．在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角；(2)若為的中點，且，求.17．在凸四邊形中，.(1)若四點共圓，，求四邊形的面積：(2)若，求的值.18．如圖，設(shè)中角所對的邊分別為為邊上的中線，已知，且．(1)求的值；(2)求的面積；(3)設(shè)點分別為邊上的動點（含端點），線段交于，且的面積為面積的，求的取值范圍．19．2024年是上海浦東開發(fā)開放34周年，浦東始終堅持財力有一分增長，民生有一分改善，全力打造我國超大城市的民生樣板，使寸土寸金的商業(yè)用地變身“城市綠肺”，老碼頭、舊倉庫變身步行道、綠化帶等.現(xiàn)有一足夠大的老碼頭，計劃對其進行改造，規(guī)劃圖如圖中五邊形所示，線段處修建步行道，為等腰三角形，且，，，.(1)求步行道的長度；(2)若沿海的區(qū)域為綠化帶，，，當(dāng)綠化帶的面積最大時，求該綠化帶的周長與面積.參考答案：1．A【分析】利用余弦定理求解可得.【詳解】由余弦定理可得，所以.故選：A2．D【分析】利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合三角恒等變換公式得到，從而，再由正弦定理將邊化角，轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)，由的范圍計算可得.【詳解】因為，則由正弦定理得，又，所以，則，又，，則所以或，即或（舍去），則，所以，解得，則，所以，所以的取值范圍是．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是利用正弦定理將邊化角，得到、，最后將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù).3．B【分析】設(shè)，，利用正弦定理得到，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等變換公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得解.【詳解】法一：設(shè)，，則，，在中由正弦定理，即，所以，在中，（其中），所以當(dāng)時，所以最小值為．法二：如圖，因為，所以點在如圖所示的圓上，圓的直徑為，由圓周角的性質(zhì)可得，所以，．連接，可得（當(dāng)為與圓的交點時取等號）．在中，，，，根據(jù)余弦定理可知，即，所以的最小值為．故選：B4．B【分析】由面積公式及數(shù)量積的定義求出，即可得解.【詳解】由，得，即，因為，所以，因為，所以．故選：B．5．D【分析】在中，利用已知求出即可判斷為的中點，然后可知為等腰三角形，可得，然后可得，或用余弦定理求解.【詳解】作，垂足為D，在中，，，所以，，，，由可知，為的中點，為的垂直平分線，所以為等腰三角形，，所以.故選：D6．C【分析】根據(jù)正弦定理計算可得，代入式子即可求解.【詳解】由，得，所以．故選：C．7．C【分析】根據(jù)三角形的邊角關(guān)系以及相切可得半徑，即可建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算，可得，即可利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由，，可得,故，由于,,所以,故半徑，以為軸，過作，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，,設(shè)，則，由于，所以，故，兩式相減可得，故，由于，故，故選：C

8．A【分析】先利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】在中，若，，，由余弦定理得，即，解得（舍去），所以.故選：A.9．BCD【分析】根據(jù)正弦定理以及三角形的邊角關(guān)系即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，由正弦定理得，則，顯然角不存在，A錯誤；對于B，由正弦定理得，所以，因為，所以，故唯一，為銳角，所以B正確，對于C，由得，而，此時三角形顯然不存在，C正確；若，且符合條件的有兩解，則,故，D正確，故選：BCD．10．AC【分析】根據(jù)及余弦定理可判斷A；根據(jù)及正弦定理可判斷B；由的值及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求，，根據(jù)正弦定理求出，代入求出可判斷C；根據(jù)三角形面積公式可判斷D.【詳解】由余弦定理可得，解得，故A正確；由及正弦定理，可得,化簡可得.因為，所以，所以，即.因為，所以，故B錯誤；因為，所以且，代入，可得，解得，.因為，，，所以由正弦定理可得，由，可得，化簡可得，解得或（舍），故C正確；.故選:AC.11．BD【分析】化簡，利用兩角和的正弦公式，判斷選項B；利用題中所給面積公式并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得面積最大值，判斷選項A，D；假設(shè)，結(jié)合面積公式推出矛盾，判斷選項C.【詳解】由題意，得，即，所以，故B正確；由可得，，所以當(dāng)，即時，的面積最大，最大值是，所以A錯誤，D正確；對于C，假設(shè)，由于，，故，則，這與題中三角形面積公式有意義不相符，所以C錯誤.故選：BD.12．【分析】利用三角形面積公式，將高之比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)邊長之比，利用余弦定理即可求得.【詳解】因的面積，則，故，顯然角為最大角，不妨設(shè)（），則，由余弦定理，.故答案為：.13．/【分析】先利用向量共線的坐標(biāo)運算得，然后利用余弦定理即可求出角.【詳解】因為，，，得，得：，即，由余弦定理，所以.故答案為：14．20【分析】確定每個角的大小，可得均為等腰三角形，在中，設(shè)，通過余弦定理計算即可.【詳解】在中，延長與的延長線交于點E，如圖所示.由題意可知，，因為小李同學(xué)根據(jù)課本書中有一道測量山上松樹高度的題目受此題啟發(fā)，所以三點在同一條直線上.所以，所以為等腰三角形，即.設(shè)，即，，在中，由余弦定理得,即，，所以，又因為，所以.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）邊化角，將變形為的形式，進而求得，可得；（2）法一，應(yīng)用正弦定理將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合為銳角三角形，求得，即可得解；法二，由為銳角三角形，采用余弦定理得到，求出，求得，即可得解.【詳解】（1）已知，由正弦定理得：，，得，又，即，即，又因為，所以，且，所以，即．（2）法一：由正弦定理得：，即，且，，即．而由為銳角三角形，，，得，所以，即．所以，且，所以的周長的取值范圍為．法二：由，不妨設(shè)，由為銳角三角形，只需，由余弦定理得：，即．又．（*）所以，得：，．由（*）式得：，所以，且，所以的周長的取值范圍為．16．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再借助誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式計算即得.（2）利用余弦定理，結(jié)合已知建立方程組，求出邊的關(guān)系，再利用余弦定理計算即得.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，又，于是，而，即有，則，所以.（2）依題意，，顯然，由余弦定理得，整理得，在中，由余弦定理，得，因此，即，則，令，則，所以.17．(1)；(2).【分析】（1）由四點共圓得到，在，中分別利用余弦定理求出，，即可得到和，再由面積公式求出，即可；（2）設(shè)，再在中利用正弦定理得出關(guān)于的方程，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡求解即可.【詳解】（1）因為四點共圓且，所以，則，在中由余弦定理，又，所以，解得（負值舍去），所以，則，在中，由余弦定理，得，又，所以，解得或（舍去），所以，所以，所以.（2）設(shè)，則，則，，又，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以，即，所以，故，又，解得，又由正弦定理有，故，所以.【點睛】關(guān)鍵點睛：1.在求四邊形面積問題時，通常情況下分成兩個三角形，進而利用三角形的面積公式即可求解.2.設(shè)而不求：在第二小問，設(shè)，再在中利用正弦定理得出關(guān)于的方程，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡，而不求與的值得到答案，于是解決此類問題時，要善于利用設(shè)而不求的解題方法.18．(1)(2)(3)【分析】（1）首先利用正弦定理將角化為邊，再根據(jù)余弦定理，即可求解；（2）首先根據(jù)三角形的面積公式求解和的正弦和余弦，再利用兩角和的正弦公式求，最后代入三角形的面積公式；（3）根據(jù)向量的線性關(guān)系，以及平面向量基本定理，表示，再利用所設(shè)變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系求值域.【詳解】（1）由，由正弦定理，可得，由余弦定理，可得，得，且，所以；（2）由為邊上中線，可得，則，由，可得，則，則，則，，則；（3）由，可得，設(shè)，由的面積為面積的，可得，則，則，設(shè)，由為中線，可得，則，由共線可得，，由可得，由，可得，則【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是由面積公式得，從而利用向量轉(zhuǎn)化求數(shù)量積.19．(1)(