（中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類）填空壓軸題：尺規(guī)作圖附解析

專題05填空壓軸題：尺規(guī)作圖

一、填空題

1.（2023?天津?統(tǒng)考中考真題）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等邊三角形A3C內(nèi)接于圓，且

頂點(diǎn)48均在格點(diǎn)上.

（1）線段A8的長(zhǎng)為；

⑵若點(diǎn)〃在圓上，A5與CO相交于點(diǎn)只請(qǐng)用無(wú)刻虐的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)。，使ACPQ為等

邊三角形,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)0的位置是如何找到的（不要求證明）.

【答案】（1）回

（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析;如圖，取ACA5與網(wǎng)格線的交點(diǎn)￡￡連接E尸并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G;連接OB與網(wǎng)格

線相交于點(diǎn)〃連接“F并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)/,連接回并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)（連接CK并延長(zhǎng)與GB的

延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)。即為所求

【分析】（1）在網(wǎng)格中用勾股定理求解即可；

（2）取ACA8與網(wǎng)格線的交點(diǎn)￡￡連接瓦'并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)1％連接MB；連接。8與網(wǎng)格線相交于

點(diǎn)G,連接GF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)〃連接AH并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)/,連接C7并延長(zhǎng)與處的延長(zhǎng)線相

交于點(diǎn)Q則點(diǎn)0即為所求，連接PQ,AO,BK,過(guò)點(diǎn)￡作“網(wǎng)格線，過(guò)點(diǎn)G作GS_L網(wǎng)格線，由圖可得

Rt.A//咨RIa尸（AAS）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得Rt，MiRl.〃NF（ASA）和04/08/V（SAS）,根據(jù)同弧所對(duì)

圓周角相等可得AO=8K,進(jìn)而得至IN1=N2和NPCQ=60。，再通過(guò)證明.CAP^CBQ（ASA）即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：^=V2r7F=>/29；

故答案為：V29.

（2）解：如圖，取AC4B與網(wǎng)格線的交點(diǎn)￡門(mén)連接收并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G;連接。5與網(wǎng)格線相交于

點(diǎn)H,連接HF并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)A連接AI并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)（連接CK并延長(zhǎng)與GB的延長(zhǎng)線相

交于點(diǎn)0,則點(diǎn)。即為所求；

連接PQ,AD,BK,過(guò)點(diǎn)￡作C網(wǎng)格線,過(guò)點(diǎn)C作G5_L網(wǎng)格線，

由圖可得：VZAJF=ZBLF,ZAFJ=ZBFL,AJ=BL,

Rtx.VF^Rt4flLF（AAS）,

:.FJ=FL,AF=BF,

,:MJ=NL,

：.FJ-M.1=FL-NL，即FM=FN,

*：ZJMF=ZHNF,Z/FM=ZHFN,

：,R(!MF叁Rt.〃NF(ASA),

:.Fl=FH、

'：Z4F/=Z.BFH,AF=BF,

：,M/F^rfiHF(SAS),

，ZE4/=Z.FBH,

:.AD=BKf

JZ1=Z2,

???"BC是等邊三角形，

:.ZACB=60°,即Z1+ZPCB=60°,

Z2+ZPCB=60°,KPZ.PCQ=60°,

'：ET=GS,ZETF=Z.GSF,ZEFT=ZGFS,

：,Rt>E7F^RtzGSF(AAS),

:.EF=GF,

VAF=BF,ZAFE=ZBFGt

：,MFE^*eFG(SAS),

???ZEAF=4GBF,

：.NGBF=ZEAF=NCBA=(^,

:.Z.CBQ=1800--ZGBF=60°,

/.NCBQ=NCAB,

9：CA=CB,

：,CAP^,CBQ(ASA),

：.CQ=CP,

?:NPCQ=60。，

???△PC。是等邊三角形,此時(shí)點(diǎn)。即為所求；

故答案為：如圖，取ACAB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)￡￡連接E尸并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)G;連接OB與網(wǎng)格線相

交于點(diǎn)H,連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)I,連接AI并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)A；連接CK并延長(zhǎng)與GB的延長(zhǎng)

線相交于點(diǎn)。則點(diǎn)。即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一復(fù)雜作圖，勾股定理、等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題

關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵.

2.（2922?天津-統(tǒng)考中考真題）如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)4B,。及NDPF的

一邊上的點(diǎn)￡尸均在格點(diǎn)上.

（I）線段E尸的長(zhǎng)等于；

（II）若點(diǎn)機(jī)N分別在射線PD.PF上,滿足NMBN=90。且8M=.請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺,在如圖所示的網(wǎng)

格中，畫(huà)出點(diǎn)制N,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)和,V的位置是如何找到的（不要求證明）.

【答案】屈見(jiàn)解析

【分析】（I）根據(jù)勾股定理,從圖中找出即所在直角三角形的直角邊的長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算；

（II）由圖可找到點(diǎn)。笈2=3。=后尸=3/=由，即四邊形牙制是正方形，因?yàn)榧?8乂NA/BN=90。，

所以ABQM^MFN,點(diǎn)J/在￡0上,8伙酰與圓的交點(diǎn)為直徑端點(diǎn),所以EQ與切交點(diǎn)為此通過(guò)加與圓的交

點(diǎn)G和圓心。連線與圓相交于H,所以，在笈V上,則延長(zhǎng)即與加相交點(diǎn)即為M

【詳解】解：（I）從圖中可知：點(diǎn)反尸水平方向距離為3,豎直方向距離為1,

所以防=疹于=而，

故答案為：M;

（II）連接AC,與豎網(wǎng)格線相交于點(diǎn)0,0即為圓心;取格點(diǎn)0（￡點(diǎn)向右1格，向上3格），連接石。與射線PD

相交于點(diǎn)肥連接力仍與。。相交于點(diǎn)G;連接GO并延長(zhǎng),與相交于點(diǎn)〃;連接并延長(zhǎng),與射線尸尸相交

于點(diǎn)人則點(diǎn)黑、即為所求，

(I)線段AC的長(zhǎng)等于；

(II)以AB為直徑的半圓的圓心為0,在線段48上有一點(diǎn)產(chǎn)，滿足AP=AC,請(qǐng)用不刻度的直尺，在如圖所示

的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)門(mén)并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證明).

【答案】遙見(jiàn)解析

【分析】(I)根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

(II)先將zMCB補(bǔ)成等腰三角形,然后構(gòu)建全等三角形即可.

【詳解】解：(I)???每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,

?*-AC=Vl2+22=>/5>

故答案為：5、

(II)如圖，取BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)〃，則點(diǎn)D為房中點(diǎn)，連接0。并延長(zhǎng)，與半圓相交于點(diǎn)￡連接8E并延長(zhǎng),

與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)片則施為NBFA中位線，且=連接4E交BC于點(diǎn)G,連接AG并延長(zhǎng)，與

AB相交于點(diǎn)P,因?yàn)閯t點(diǎn)？即為所求.

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)雜作圖能力,勾設(shè)定理,中位線定理,全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),

平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)并與己知圖形結(jié)合是解決本題關(guān)鍵.

4.(2923?天津河西?統(tǒng)考一模)如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等腰直角三角形^ABC的頂點(diǎn)

4氏C均落在格點(diǎn)上.

(1)“8C的周長(zhǎng)等于；

⑵有以A8為直徑的半圓，圓心為0,請(qǐng)你在半圓內(nèi)找到一個(gè)點(diǎn)只使得R4=AC,尸8=PC.請(qǐng)用無(wú)刻度的

直尺在如圖所示的網(wǎng)格中畫(huà)出點(diǎn)門(mén)并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)〃的位置是如何找到的(不要求證明).

【答案】4+4人如圖,取格點(diǎn)D,連接OD,再取半圓與格線的交點(diǎn)及連接AE,則AE與的交點(diǎn)即為所求

的點(diǎn)尸.

【分析】(1)利用勾股定理求解即可；

(2)取格點(diǎn)D,連接。。，再取半圓與格線的交點(diǎn)以連接4E,則AE與。。的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)A如圖,證明

^AFE^POA,通過(guò)計(jì)算即可說(shuō)明AP=242=AC.

22

【詳解】⑴CABC=AC+BC+AB=4+2V2+2=4+4x/2,

故答案為：4+4夜；

(2)如圖,取格點(diǎn)連接OD,再取半圓與格線的交點(diǎn)笈連接AE,則AE與OD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.

理由如下：

如圖，連接0邑

則OE=2,MO=1,

:.ME=B

：?A產(chǎn)="產(chǎn)石=1+6,4￡=業(yè)+(2+可=18+46=瓜+壺,

FE//AB,

/.ZFEA=ZPAO,

又：ZAFM=ZAOP=\35°,

二AFESROA,

.EFAO-石+12

AEAPV6+V2AP

工”=2&=AC；

故答案為：取格點(diǎn)〃，連接。。，再取半圓與格線的交點(diǎn)七連接AE,則4E與。D的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是理解題意,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

5.(2D23?天津和平?統(tǒng)考一模)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，。上的點(diǎn)A,圓心0均在格

點(diǎn)上，

⑴OA=；

(2)若點(diǎn)C是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AC,將AC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到CB,連。8,當(dāng)線段OB最長(zhǎng)時(shí),

點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C',點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)*，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)C',川，并簡(jiǎn)

要說(shuō)明點(diǎn)C',"的位置是如何找到的（不要求證明）.

【答案】的作直徑4Q的垂直平分線交半圓于￡連接E4.EQ,則*在以K為圓心，E4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

直徑AQ的垂直平分線交。E于8，過(guò)E作AB1的垂線交OO于C',當(dāng)艮0,H三點(diǎn)共線時(shí)，0B最長(zhǎng),則點(diǎn)B1

即為所求

【分析】（D先根據(jù)垂徑定理確定圓心，連接0A,由勾股定理可求出0A的長(zhǎng)；

（2）作直徑AQ的垂直平分線交半圓于E,連接網(wǎng),EQ,則皆在以E為圓心，EZT為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

￡0,3'三點(diǎn)共線時(shí)，0B,最長(zhǎng)

【詳解】解：（1）如圖,

OA=OC=JfS=&

故答案為：5、

⑵如圖，點(diǎn)c,即為所畫(huà),

作直徑AQ的垂直平分線交半圓于石，連接EA.EQ,則8'在以E為圓心，EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),直徑AQ的垂

直平分線交OE于8',過(guò)E作的垂線交OO于C',當(dāng)B'三點(diǎn)共線時(shí)，08'最長(zhǎng)，則點(diǎn)B'即為所求.

理由如下：

由作圖可得：EA=EQ,ZAEe=90°,ZAEO=45°,

ZAl^O=NCEO=22.5°,

NEAE=45°-22.50=22.5°=ZAffO,

：.EA=EB'=EQ,

:."在以E為圓心，殖'為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，CE是A"的垂直平分線，

???/BCE=ZACE=ZAQE=45°,CB'=CA,

???ZACB=90。，

,當(dāng)￡0,9三點(diǎn)共線時(shí)，08'最長(zhǎng)，則點(diǎn)*即為所求.

故答案為：作直徑AQ的垂直平分線交半圓于E,連接班,￡0,則皆在以E為圓心，￡4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

直徑AQ的垂直平分線交OE于*.過(guò)E作A9的垂線交。。于C,當(dāng)￡Q*三點(diǎn)共線時(shí)，OB最長(zhǎng)，則點(diǎn)*

即為所求.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心的確定，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理以及在網(wǎng)格中確定三角形外接圓圓心，正

確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵.

6.(2023?天津南開(kāi)?統(tǒng)考一模)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格

點(diǎn).圓上的點(diǎn)力，氏。均為格點(diǎn).

(1)圓的直徑長(zhǎng)為；

(2)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺,在如圖所示的網(wǎng)格中,確定格點(diǎn)￡使E4為圓的一條切線,并畫(huà)出過(guò)點(diǎn)￡的另一條切

線EF,切點(diǎn)為F,請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明切線EF的位置是如何找到的(不要求證明)..

【答案】5取格點(diǎn)笈連接AE,取格點(diǎn)G,H,A；連接GM,NH交于點(diǎn)匕連接AP交圓于點(diǎn)/；作射

線政

【分析】⑴連接AC,根據(jù)ZA4C=90。，可得4c為直徑，即可；

(2)取格點(diǎn)E,連接AE,取格點(diǎn)G、H,他N,連接GM,NH交于點(diǎn)火,連接AP交圓于點(diǎn)打作射線放，則射線EF

即為所求.

【詳解】解：(1)如圖，連接4C,

根據(jù)題意得：ZABC=90°.

:.AC為直徑，

,?*AC=732+42=5>

???圓的直徑長(zhǎng)為5;

故答案為：5.

(2)如圖,取格點(diǎn)￡連接AE,取格點(diǎn)G,H,N,連接GM,NH交于點(diǎn)P,連接AP交圓于點(diǎn)F,作射線EF,則射

線石尸即為所求.

G'P'H

理由：取格點(diǎn)工連接",CE,。尸,CP,OE,0E交心于點(diǎn)A；

???CE2=72+12=50,AC2=AE2=32+42=25,

.*.C￡2=AC2+AE2,

JNC4￡=90°,即C4J.AE,

???E4為圓的一條切線，

根據(jù)題意得：四邊形是矩形，

，點(diǎn)戶為矩形GHMN的中心，

，PJ=5.52=30.25,CP2=22+1§=6.25=2.52,

，AP，=AJ1+PJ2=3\25,CP=2.5,

*/AC2=52=25,

AC+CP2=AP2,

???ZACP=ZOl￡=90o,

:.ZCAP+ZAPC=9Q°,

VOA=-AC=2.5=CP,AC=AE=5,

2

J^AC^EAO,

???ZAOE=ZAPC,

???ZG4P+Z4OE=90°,

???NA“>=90°,即QE_LAP,

:.AK=FK,

：.AE=FE,

/.ZEAF=^EFA,

???AO=OF,

???ZOFA-^OAF,

???Z.OFA+ZEFA=ZOAF+ZEAF,

即NOFE=NOAE=90。,

???EF為圓的切線.

故答案為：取格點(diǎn)回連接AE,取格點(diǎn)GJl,M,N,連接GM,NH交于點(diǎn)P,連接加交圓于點(diǎn)￡作射線后尸

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理等知識(shí)，熟練掌握切

線的判定和性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì),勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?天津東麗?統(tǒng)考一模）如圖,在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格

點(diǎn)，點(diǎn)A,B,M均為格點(diǎn)，點(diǎn)A,B,"均在以格點(diǎn)。為圓心的圓上.

（D線段A8的長(zhǎng)等于.

⑵請(qǐng)你只用無(wú)刻度的直尺,在線段AB上畫(huà)點(diǎn)尸，使AM2=AP-AB,并簡(jiǎn)要說(shuō)明P點(diǎn)是如何找到的（不要求

證明）

【答案】4人取格點(diǎn)/,連接M/交A8于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求作

【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

⑵取格點(diǎn)/,連接MJ交AB于點(diǎn)P,點(diǎn).P田為所求作.

【詳解】⑴解：A8=“2+42=4夜,

故答案為：4夜

（2）解：取格點(diǎn)/,連接M7交AB于點(diǎn)P,點(diǎn)、P即為所求作,

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形,解題的關(guān)鍵是

理解題意,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

8.（2923?天津河?xùn)|?一模）如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，NAPC邊上的點(diǎn)4點(diǎn)B,點(diǎn)。及點(diǎn)

〃均落在格點(diǎn)上,且點(diǎn)B,點(diǎn)C是圓上的點(diǎn).

（1）線段A8的長(zhǎng)等于.

（2）在網(wǎng)格內(nèi)有一點(diǎn)E,滿足ZABE=NBCE,在線段A尸上有一點(diǎn)F,當(dāng)。產(chǎn)+EF取得最小值時(shí),請(qǐng)用無(wú)刻度的

直尺,在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)￡點(diǎn)￡并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)E,點(diǎn)尸的位置是如何找到的（不要求證明）.

【答案】3行如圖，取格點(diǎn).伙M連接取格點(diǎn)W、H、K、LX,連接HLWK交于7；連接7X,連接

“交7X于S,連接SO交融于F,連接8交圓于￡則點(diǎn)反產(chǎn)即為所求

【分析】（1）利用勾股定理求解即可；

⑵如圖，取格點(diǎn)風(fēng)/V；連接MN,取格點(diǎn)W、H、K、LX,連接交于7；連接7X,連接OL交7X于

S,連接SD交AP于￡連接O尸交圓于￡則點(diǎn)反尸即為所求.

【詳解】解：（1）由題意得，48=7?工？=30，

故答案為：3五；

⑵如圖，取格點(diǎn)風(fēng)/V；連接MN交BC于0,取格點(diǎn)W、H、K、LX,連接HL交于7；連接7X,連接

OL交7X于5連接S。交小于月連接。尸交圓于￡；則點(diǎn)E、尸即為所求.

如圖，連接AB,AC,

由勾股定理得AB=8C=律方=3應(yīng)，AC=6,

/.AB2+BC2=AC2,

???ZA5C=90°,

同理可證ZCMB=ZNCM=90。，

:?BC，MN是直徑，則點(diǎn)。是圓心，

是。的切線，

,/"EC=90。，

/.^CE+^CBE=90P,

■:ZABE=ZBCE,

：.ZABE+ZCBE=90（,

:.點(diǎn)、E即為BNC上一點(diǎn),

設(shè)點(diǎn)。關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為ZX,點(diǎn)。關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為O'

：-bF=DF,OF=OF,

/.DF+FE=[>F+FE,

???當(dāng)。、以八。四點(diǎn)共線時(shí)，DF+FE域小,

，由對(duì)稱性可知（7D與ODf的交點(diǎn)即為點(diǎn)F,

由網(wǎng)格的特點(diǎn)可知，點(diǎn)。關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)即為點(diǎn)S

???連接SD交A尸于F,點(diǎn)尸即為所求，

???連接。尸交圓于￡點(diǎn)￡即為所求.

故答案為：如圖,取格點(diǎn)風(fēng)網(wǎng)連接MN交3C于。取格點(diǎn)卬、從K、LX,連接MK交于7；連接7%,

連接OL交7X于S,連接SO交AP于￡連接。尸交圓于￡則點(diǎn)E、尸即為所求.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定,圓周角定理，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最

值問(wèn)題,勾股定理和勾股定理的逆定理等等,熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.(2923?天津-校聯(lián)考一模)如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)4B,C,〃均為格點(diǎn),且點(diǎn)A,B

在圓上.

(1)線段AC的長(zhǎng)等于；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。/〃AC,直線。尸與圓交于點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在N的左側(cè))，畫(huà)出MN的中點(diǎn)P,簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)尸的

位置是如何找到的(不要求證明).

【答窠】J萬(wàn)取圓與格線的交點(diǎn)E,連接防，旗與格線的交點(diǎn)為圓心。；取格點(diǎn)F,連接尸D,與圓交于點(diǎn)

M,N;取圓與AC的交點(diǎn)連接4N,兩線交于點(diǎn)/;作射線O/,交MN于點(diǎn)尸，則點(diǎn)P即為所求.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)即可；

(2)取圓與格線的交點(diǎn)E,連接反，EB與格線的交點(diǎn)為圓心。；取格點(diǎn)尸，連接陽(yáng)，與圓交于點(diǎn)"，N;取圓

與AC的交點(diǎn)”，連接，4N,兩線交于點(diǎn)/;作射線OI,交MNF點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求.

【詳解】解：(1)AC=G+F=&j;

故答案為：J萬(wàn)；

(2)取圓與格線的交點(diǎn)E,連接EB,EB與格線的交點(diǎn)為圓心。：取格點(diǎn)F,連接FD,與圓交于點(diǎn)M,N;取圓

與AC的交點(diǎn)H,連接MH,AN,兩線交于點(diǎn)/;作射線OI,交MN于點(diǎn)尸，則點(diǎn)P即為所求.

*/NBAE=90°,

，BE為圓的直徑，

???GK垂直平分48,

???BE魚(yú)GK的交點(diǎn)為圓心0,

MN//AH,

AM=HN、

：.ZANM=NHMN,

：.IM=IN,

*：OM=ON,

/p垂直平分MN,

即

故答案為：取圓與格線的交點(diǎn)￡連接即，與格線的交點(diǎn)為圓心0;取格點(diǎn)心連接加，與圓交于點(diǎn)

M;取圓與AC的交點(diǎn)H,連接MH,AN,兩線交于點(diǎn)/;作射線O/,交MN于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理,圓周角定理,垂直平分線的判定,等腰三角形的判定,垂徑定理,解題的

關(guān)鍵是找出圓心。和點(diǎn)/.

10.（2023-天津?yàn)I海新?統(tǒng)考一模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，.SBC的頂點(diǎn)8,C在格點(diǎn)

上,頂點(diǎn)A是小正方形邊的中點(diǎn).

（DAB的長(zhǎng)等于；

（2）E是線段48與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，戶是外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/在線段距上（點(diǎn)尸的位置不需要在圖上

標(biāo)注）,且滿足PF=2BF.當(dāng)行取得最大值時(shí),請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺,畫(huà)出點(diǎn)尸與

.ABC外接圓的圓心0,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)尸與點(diǎn)。的位置是如何找到的.（不要求證明）

【答案】巨將點(diǎn)3向下平移一個(gè)格點(diǎn)、向右平移6個(gè)格點(diǎn)，得格點(diǎn)〃，連接BQ,與外接圓相交于點(diǎn)

2

P.連接AP,將點(diǎn)3向下平移2個(gè)格點(diǎn)、向右平移1個(gè)格點(diǎn)，得格點(diǎn)G,連接3G并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)〃，連

接與交于。點(diǎn)

【分析】①根據(jù)ABtg+O計(jì)算求解即可;②由題意知，空=：,娑NEB尸=乙的,則

y\2）AB3BP3

dEBFs^ABP，即空=?，可知當(dāng)即最大，即AP最大，則AP為直徑,如圖，取格點(diǎn)。，則比＞與圓交點(diǎn)即為P,

AP3

連接AP,由90。的圓周角所對(duì)的弦為直徑可得AP為直徑,取格點(diǎn)G,連接BG并延長(zhǎng)與圓交點(diǎn)記為H,連接

8,由90。的圓周角所對(duì)的弦為直徑可得C”為直徑，AP與C”的交點(diǎn)即為圓心。.

【詳解】①解：.=小2+（步孚

故答案為：此；

2

RF\BF\

②解：由題意知，不7=彳，==：；,NJ耽=NABP,

AB3BP3

；??FSAABP?

.EF1

?■=一,

AP3

當(dāng)所最大,即最大，

:.AP為直徑，

如圖，取格點(diǎn)〃，連接3。，與J1BC外接圓用交于點(diǎn)P.連接AP,此時(shí)尸=90。，由90。的圓周角所對(duì)的弦

為直徑可得AP為直徑；

取格點(diǎn)G,則NGHC'=90V，連接8G并延長(zhǎng)與圓相文于點(diǎn)“，連接CH,此時(shí)N〃HC'=90。，由91r的圓周角所

對(duì)的弦為直徑可得。”為直徑；

CH與AP交點(diǎn)即為圓心。點(diǎn).

（草圖）（正式圖）

???點(diǎn)。與點(diǎn)P即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與格點(diǎn)，90。的圓周角所對(duì)的弦為直徑,相似三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)

鍵在于對(duì)知識(shí)點(diǎn)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

11.（2023?天津西青?統(tǒng)考一模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)。，A,B均落在格點(diǎn)上，連

接。4,OB.

(1)線段。4的長(zhǎng)等于.

⑵以。為圓心，3為半徑作圓，在0。上找一點(diǎn)M,滿足NBOA/=N4O5.請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示

的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)M,作出/BOM,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)M的位置是如何找到的(不要求證明).

【答案】而■圖見(jiàn)解析,利用垂徑定理找到點(diǎn)M

【分析】(1)利用勾股定理求出04的長(zhǎng)即可；

(2)延長(zhǎng)3。交。。于點(diǎn)C,取格點(diǎn)E,連接AE并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)M,點(diǎn)M即為所求.

【詳解】解：⑴由勾股定理，得：OA=>Ja2+b2=4^+f=4v7：

故答案為：J萬(wàn)；

⑵延長(zhǎng)80交O。于點(diǎn)C,取格點(diǎn)E,連接AE并延長(zhǎng)交OO于點(diǎn)M,點(diǎn)M即為所求.如圖所示:

由圖可知：0A=AE,ZADO=ZOHC=90°,AD=OH=4,OA=OC,

ZAOE=ZAEO,

.??ZOAD=ZHOC,

??,ZAOE+ZCX4￡>=90°,

:./HOC+NAEO=90。,

^OFE=90P,

:.BCLAM,

MC=AC.

ZMOC=ZAOC,

:.NBOM=ZAOB,

，點(diǎn)〃即為所求.

"點(diǎn)是根據(jù)垂徑定理找到的；

故答案為：利用垂徑定理找到點(diǎn)V

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理.掌握并運(yùn)用

相關(guān)知識(shí)點(diǎn),是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?天津河北?統(tǒng)考一模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中..?工是圓的內(nèi)接三角形,

點(diǎn)A在格點(diǎn)上.點(diǎn)B,C在網(wǎng)格線上,且點(diǎn)，是小正方形邊的中點(diǎn).

（I）線段4C的長(zhǎng)度等于；

（II）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺,在圓上找一點(diǎn)6使得/加尸+/蛆4=90°,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P是如何找到的（不要求

證明）.

【答案】亨彳歷延長(zhǎng)AC至￡作砂=質(zhì)'則4=90。，同理作出尸公歷’找到小正方形邊的中

點(diǎn)G,連接CG交C于點(diǎn)尸，點(diǎn)P即為所求.

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格和勾股定理即可求解;

（2）延長(zhǎng)AC至E,作痔=歷，則NE=90。，同理作出FH=歷，找到小正方形邊的中點(diǎn)G,連接CG交圓

于點(diǎn)P,點(diǎn)尸即為所求.

【詳解】解：（1）依題意4C=

故答案沏號(hào)

(2)如圖所示

延長(zhǎng)AC至E,作EF=歷，則"=90。，同理作出尸”=歷

找到小正方形邊的中點(diǎn)G,連接CG交圓于點(diǎn)P

???四邊形C瓦G是矩形，

???ZACP=90°,

:.AP是直徑，

???ZACP=90°

;BP=BP，

：."AP=NBCP

：.NBAP+ZBCA=NBCP++ZBC4=ZACP=90°,

工點(diǎn)P即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角所對(duì)的弦是直徑，同弧所對(duì)的圓周角相等，找到直徑是解題的關(guān)鍵.

13.(2023?天津河西?天津市新華中學(xué)校考一模)如圖,在每個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)48均在格

點(diǎn)上,以4?為直徑作圓，點(diǎn)時(shí)為AB的中點(diǎn).

1.線段力8的長(zhǎng)度等于；

2.請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺,在圓上找一點(diǎn)P,使得ZMAP=3NBMP,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)。的位置是如何找到的（不要

求證明）

【答案】聞見(jiàn)詳解

【分析】選取合適的網(wǎng)格，解直角三角形即可求解力8的長(zhǎng);先找圓心,即選取網(wǎng)格點(diǎn)G、〃連接G"交46于

。點(diǎn)，可知0為圓心，再利用網(wǎng)格選取網(wǎng)格點(diǎn)仄F、Q連接刀0、外;二者相交于〃點(diǎn)，連接做交于點(diǎn)

月產(chǎn)即為所求.

選取網(wǎng)格點(diǎn)G、H,連接力交AB于。點(diǎn),可知。為圓心,

連接布；以4根據(jù)網(wǎng)格間距可知力小5,吩2,

???力8是直徑,

的族90°,

:.在Rt2ABG中，則利用勾股定理可知AB=X/52+22=曬,

如圖:

在（1）的基礎(chǔ)上,選取網(wǎng)格點(diǎn)氏F、0,連接￡0、跖二者相交于〃點(diǎn)，連接〃〃交。。于點(diǎn)A尸即為所求.

工RtAAHB三RtAFQB,

：./FBQ=NABU,AB=BF,

:?/EBe/EB升NFBQ=/EBR/EBA=NAB六900,

：.ABLBF,

???四邊形硒下是是矩形，

???〃為人中點(diǎn),有吩〃

???0為直徑46中點(diǎn)，

0斤BAOR,

又：業(yè)點(diǎn)為4B的中點(diǎn)，

即0?_1_①且乙歷代45°,

則在四邊形ORDB中,OB=BD=ORt且ORIOB,0B1BD,且線段OB、RD在劭同側(cè),

，四邊形ORDB是正方形,

:?NB0IM50=/BOP,

則圓心角/財(cái)對(duì)應(yīng)的圓周角N物片22.5°,

又???乙物生45°,

：?NM4六N麗陰■N班六450+22.5°=67.5°=3/BAP,

又?：ZBM六NBAP,

:.乙的片3N8明

得證.

故答案為：炳；在(1)的基礎(chǔ)上,選取網(wǎng)格點(diǎn)公F、。，連接￡0、皮;二者相交于〃點(diǎn)，連接交。。于點(diǎn)

月一即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角與圓周角的知識(shí)、勾股定理等知識(shí),充分利用網(wǎng)格特點(diǎn)構(gòu)造特殊點(diǎn)是解答本題

的關(guān)鍵.

14.(2023?天津和平?統(tǒng)考二模)如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A,8均在格點(diǎn)上.

(1)線段A8的長(zhǎng)等于；

⑵若點(diǎn)M,N分別在圓上，滿足NAWV=9O。且AM=AN.請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺,在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出

點(diǎn)M,N,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)M,N的位置是如何找到的(不要求證明).

【答案】由取格點(diǎn)E,連接AE,跖，與圓相交于點(diǎn)尸，M;連接M,連接8與所1相交于點(diǎn)0;連接"O

并延長(zhǎng),與OO相交于點(diǎn)N,則點(diǎn)M,N即為所求

【分析】(1)利用勾股定理即可求解；

⑵首先取格點(diǎn)E,連接4E,BE,與圓相交于點(diǎn)尸，連接班?，可證得&AE"包BDA(SAS),可得

/BAE=90°,連接與所相交于點(diǎn)0,再根據(jù)圓周角定理，可得CD與切為直徑，點(diǎn)。為圓心,連接MO并

延長(zhǎng),與。。相交于點(diǎn)N,則點(diǎn)M,N即為所求.

【詳解】解；(1)"二正”二府,

故答案為：曬；

(2)如圖：取格點(diǎn)E,連接AE,8E,與圓相交于點(diǎn)尸，M;連接M,連接C。與M相交于點(diǎn)。；連接并延

長(zhǎng)，與O。相交于點(diǎn)N,則點(diǎn)M,N即為所求.

證明：在△AE”與△的中，

AH=BD

<NAHE=NBDA

EH=AD

.-...AEH^BZM(SAS),

:.Z.EAH=ZABD,

ZABD+ABAD=90°,

:.ZEAH+Z.BAD=9Q0

??.NBAE=180°-90°=90°,

.?.8與M為直徑，點(diǎn)。為圓心，

??.MN為直徑,

:.ZMAN=90P,

???點(diǎn)V,N即為所求，

故答案為：取格點(diǎn)E,連接從石，把，與圓相交于點(diǎn)尸，M;連接BF，連接C。與BF相交于點(diǎn)。；連接MO并

延長(zhǎng)，與O。相交于點(diǎn)N,則點(diǎn)M,N即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，證得C。

與M是圓的直徑是解決本題的關(guān)鍵。。與

15.（2023?天津紅橋?統(tǒng)考二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，,ABC的頂點(diǎn)C在格點(diǎn)上，頂

點(diǎn)8在網(wǎng)格線上，以A8為直徑的0。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

（DNAC8的大小等于（度）；

（2）在如圖所示的網(wǎng)格中，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在。上畫(huà)出點(diǎn)尸，使NW=NPBC,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)尸的位置

是如何找到的（不要求證明）.

【答案】90取。。與網(wǎng)格線的交點(diǎn)M,N,連接MN交A8于點(diǎn)。：取BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)。，連接

人。，。。相交于點(diǎn)6：連接BG并延長(zhǎng)，與AC相交于點(diǎn)E：連接OE并延長(zhǎng)，與。。相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸即

為所求

【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角即可求解；

（2）取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)M,N,連接M,V交A8于點(diǎn)。：取5C與網(wǎng)格線的交點(diǎn)O,連接AO,OC相交于

點(diǎn)G：連接8G并延長(zhǎng)，與AC相交于點(diǎn)E：連接OE并延長(zhǎng)，與相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸即為所求.

【詳解】解：（1）???45為直徑的。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，

???ZACB=9O°,

故答案為:90.

（2）如圖，取OO與網(wǎng)格線的交點(diǎn)M,N,連接MN交A8于點(diǎn)。：取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)O,連接40,OC相

交于點(diǎn)G：連接8G并延長(zhǎng)，與AC相交于點(diǎn)E：連接0E并延長(zhǎng),與相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求;

理由如下，

???/XMCN是直角三角形，，MN是直徑,

丁A3是直徑，

:.0點(diǎn)是圓心，

???。是5c的中點(diǎn)，。是AB的中點(diǎn)，

*,?G點(diǎn)是是SBC的重心，

:.BE是AC的中線，即E是4C的中點(diǎn)，

???0E是"1BC的中位線，

：.OPA.CA,

,PC=PA，

；?NPBA=NPBC.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理,三角形的重心，三角形的中位線的性質(zhì)，垂徑定理及其推論，熟練掌握以上

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

16.（2023-天津南開(kāi)?統(tǒng)考二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,圓上的點(diǎn)A,8,C及點(diǎn)。均

在格點(diǎn)上

（DNA8C的大小為（度）；

⑵。為上一點(diǎn)，連接AP,將AP繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到MN.請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺,在如圖所示的格中,

畫(huà)出線段MN,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)M,N的位置是如何找到的（不要求證明）.

【答案】90見(jiàn)詳解

【分析】（1）利用勾股定理求出BC、BD.8,再利用勾股定理的逆定理證明△股%＞是直角三角形，問(wèn)題

得解；

⑵取網(wǎng)格點(diǎn)S、,MBC中點(diǎn)）、〃根據(jù)⑴可知ZABC=90°,即AC為圓的直徑，連接"，交AC于點(diǎn)。

即。點(diǎn)為圓心，連接5尸并延長(zhǎng)交圓。點(diǎn)月連接EO,交圓。點(diǎn)回連接防，并延長(zhǎng)至G點(diǎn)，連接"C,交6G于

點(diǎn)A；連接MN,問(wèn)題得解.

【詳解】根據(jù)勾股定理可得：而2

（1）8c2=4+2?=20,8>=42+2?=20,2=62+2=40,

BC-+BD2=CD2,

???△BCD是直角三角形，

ZAfiC=90°,

故答案為:90;

⑵如圖，取網(wǎng)格點(diǎn)S、7、做BC中點(diǎn)）、〃連接ST,交AC于點(diǎn)Q即。點(diǎn)為圓心，連接并延長(zhǎng)交圓。點(diǎn)回

連接E。，交圓。點(diǎn)內(nèi)連接班'，并延長(zhǎng)至。點(diǎn)，連接HC,交8G于點(diǎn)兒連接MN,MN即為所求.

證明：根據(jù)（1）可知NABC=9O。，即4C為圓的直徑,

SC=AT,/SCO=NOA7=90。，ZCOS=ZAOT,

：...SCO^^TAO,

???CO=AO,

〈AC為圓的直徑，

???0點(diǎn)為圓心，

???￡F為圓的直徑，

：.ZEBF=90P,

點(diǎn)繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的點(diǎn)在直線8尸上,

?，獷點(diǎn)為8C中點(diǎn)，ZABC=90°,

乂,**BM=BA=\/12+22=\/5,

???A點(diǎn)繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的點(diǎn)為M,

?：CM=HM=4^^=5C/7=VF+F=ViO?

：.CM2+HM2=CH\

???AHCM是直角三角形,且NHCM=45。,

由（1）可知在RlBCD中，BC=BD,

：./BDC=45°=/HCM,

?：ZEBF=90°=ZABC,

：.ZEBF-Z.CBE=ZABC-ZCBE,

???ZFBC=NEBD,

在eCN5和DM中，

BD=BC

?ZFBC=NEBD

NBDC=450=NHCM

:?.CNI涇;DPB,

：.BN=BP,

又???尸點(diǎn)繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的點(diǎn)在直線M上，

???。點(diǎn)繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的點(diǎn)為"，

???MN即為所求，

故答案為：取網(wǎng)格點(diǎn)S、八做BC中點(diǎn)）、拉連接ST,交AC于點(diǎn)0,即。點(diǎn)為圓心，連接8P并延長(zhǎng)交圓。

點(diǎn)￡連接EO,交圓。點(diǎn)月連接防，并延長(zhǎng)至G點(diǎn),連接“C,交BG于點(diǎn)A；連接MN.

【點(diǎn)睛】本題難度較大,考查了勾股定理及其逆定理,圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的

判定與性質(zhì)等知識(shí),靈活運(yùn)用圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵.

17.（2023?天津河?xùn)|?統(tǒng)考二模）如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A,B,C及線段DE

上的點(diǎn)〃均在格點(diǎn)上，

（1）線段比'的長(zhǎng)等于；

（2）圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F,若點(diǎn)"為線段"'的中點(diǎn),在線段應(yīng)上有一點(diǎn)K.當(dāng)初T取得最大值時(shí),請(qǐng)用無(wú)刻度的

直尺,在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)A；并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)4的位置是如何找到的（不要求證明）.

【答案】而如圖所示

【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求得;

⑵根據(jù)點(diǎn)F的軌跡為圓，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡也為圓,確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)的圓心，即可推得.

【詳解】(1)在方格中找到以DE為斜邊的直角三角形

用勾股定理求解為：DE=y122+32=713

(2)如圖：點(diǎn)七即為所求

原理：首先找圓心：連接4C,交網(wǎng)格線于點(diǎn)0;連接0。，找到。。的中點(diǎn)N,在圓上找任意一點(diǎn)尸，連接

OF,確定。產(chǎn)中點(diǎn)M,連接,則在中，點(diǎn)M,N均為邊DF,D0的中點(diǎn),故MN=go,根據(jù)點(diǎn)F

的軌跡為圓，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡也為以點(diǎn)N為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)《在線段。石上，當(dāng)MK取得最大值

時(shí),即連接硒，并延長(zhǎng)與圓N交于一點(diǎn),該點(diǎn)即為MK取得最大值時(shí)/點(diǎn)的位置,此時(shí)點(diǎn)｛在點(diǎn)E上,故點(diǎn)

E即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì).

18.(2023?天津河西?統(tǒng)考二模)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A,C均落在格

點(diǎn)上，點(diǎn)3在網(wǎng)格線上,且A8=1.

(I)線段BC的長(zhǎng)等于；

(II)以8。為直徑的半圓與邊AC相交于點(diǎn)。，若在CO上有一點(diǎn)尸，使其滿足NPCD=NBCD,請(qǐng)用不刻度的

直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)P,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證明).

【答案】返見(jiàn)解析

3

【分析】(I)利用勾肌定理計(jì)算即可；

(II)由8。是圓的直徑,得NBDCW,若NPCD=NBCD,根據(jù)三線合一,可知，點(diǎn)尸應(yīng)在以點(diǎn)，為頂角的等

腰三角形的一腰上,所取格點(diǎn)M、N,使MN〃AC,且兩平行線間距離等于點(diǎn)8到AC的距離,所以等腰三角

形另一頂點(diǎn)8'是30延長(zhǎng)線與MN的交點(diǎn)，再連接"C與圓的交點(diǎn)即是所要求畫(huà)的點(diǎn)只

【詳解】解：(I)由勾股定理，得半，

故答案為：圾；

3

(II)幻圖,取格點(diǎn)M,N,連接MN,連接6。并延長(zhǎng),與MN相交于點(diǎn);連接SC,與半圓相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)

P即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理及其推論,平行線分線段成比例，解題詞關(guān)鍵是

熟練掌握勾股定理,等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理及其推論推論,平行線分線段成比例的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

19.（2023?天津東麗?統(tǒng)考二模）如圖,在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格

點(diǎn)，點(diǎn)A,B,M均為格點(diǎn)，以格點(diǎn)。為圓心，4B為直徑作圓，點(diǎn)M在圓上.

（I）線段AB的長(zhǎng)等于；

（II）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺,在BM上找出一點(diǎn)尸，使PM=AM，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)圖方法（不

要求證明）

【答窠】2則取格點(diǎn)C,連接AC并延長(zhǎng)，交OO于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求

【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；

（2）取格點(diǎn)C,連接AC并延長(zhǎng),交OO于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求.

【詳解】解：（D人3=及+6。=2亞

（2）如圖所示,取格點(diǎn)C,連接AC并延長(zhǎng)，交。O于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸即為所求.

理由如下，

,/tanZ.DOA=tanZCAD=tanNMON=-

3

AMON=NCX。

ZACD4-ZC4D=90°

工ZMON+ZC4D=90°

AC±OM,

,PM=AM-

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，正切的定義，垂徑定理,熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

20.（2023?天津?yàn)I海新?統(tǒng)考二模）如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)4氏。都

在圓上，點(diǎn)48均在格點(diǎn)上，點(diǎn)。在網(wǎng)格線上.

(I)線段48的長(zhǎng)為；

(H)在優(yōu)弧46上找一點(diǎn)R使CP=AB,請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)〃的位置是如何找到的(不要求證明).

【答案】4設(shè)與MN交于點(diǎn)￡連接AE并延長(zhǎng)交8于點(diǎn)￡連接成交圓上于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為

點(diǎn)?

【分析】(I)根據(jù)網(wǎng)格直接得出A8的長(zhǎng)即可；

(11)設(shè)BC與MN交于點(diǎn)E,連接AE并延長(zhǎng)交CO于點(diǎn)F,連接M交圓上于一點(diǎn),該點(diǎn)即為點(diǎn)P.

【詳解】解：(I)根據(jù)網(wǎng)格可知，A3=4;

故答案為:4;

(II)設(shè)BC與MN交于點(diǎn)、￡MN交AC于點(diǎn)G,連接AE并延長(zhǎng)交8于點(diǎn)內(nèi)連接8尸交圓上于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為

點(diǎn)月如圖所示：

?：GE//AB,

：,Z.CGE=NG4&Z.CEG=NCBA,

???ACGE^Z\CAB,

???網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,

???eCGE的邊GE上的高為1,/XCAB的邊AB上的高為2,

.CE1

??---=—,

CB2

:.CE=BE,

'：CF//AB,

：?/FCE=ZABE、ZCFE=ZBAE,

：.^CEF^BEA,

：.CF=AB,

:,四邊形48%為平行四邊形，

BE//AC,

：.NCBP=ZACB,

：.CP=AB.

故答案為：設(shè)BC與MN交于點(diǎn)￡連接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)月連接所交圓上于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)尸.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本知識(shí),平行四邊形的判定和性質(zhì),三角形全等的判定和性質(zhì),三角形相似

的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)格點(diǎn)的特點(diǎn)，作出NCBP=ZACB.

21.（2023?天津和平?統(tǒng)考三模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A在格點(diǎn)上，點(diǎn)8在

格點(diǎn)上，圓心在線段AB上，圓與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作圓的切線與網(wǎng)格線交于點(diǎn)P.

⑴AB=；

（2）過(guò)點(diǎn)尸作圓的切線,切點(diǎn)為M（點(diǎn)M不與點(diǎn)C重合）.請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)

M,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)M的位置是如何找到的（不要求證明）.

【答案】圖見(jiàn)解析，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線交A3于點(diǎn)0,則。為圓心，連接OP,作C用_LOP,與（。交于

點(diǎn)M,點(diǎn)M即為所求

【分析】（1）根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)作出圖,并對(duì)作圖過(guò)程作相應(yīng)的描述即可.

【詳解】解：⑴AB7ys

故答案為：\/13;

（2）如圖所示：

過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線交A8于點(diǎn)0,則0為圓心，連接OP,作0W_LOP,與交于點(diǎn)點(diǎn)M即為所求.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖一作切線，切線的性質(zhì)，垂徑定理,勾股定理,熟練掌握切線的性質(zhì),垂徑

定理，是解題的關(guān)鍵.

22.（2023?天津紅橋?統(tǒng)考三模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A在格點(diǎn)上，3為小正方形

邊的中點(diǎn)，以A8直徑的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且C為A3的中點(diǎn).

（1）/班。的大小等于（度）；

（H）「是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p作直線AC的垂線，交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡>;點(diǎn)Q在AC上,且滿足4。=&3。,

連接PQ.當(dāng)也取得最小值時(shí)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺,畫(huà)出點(diǎn)P,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)尸的位置

是如何找到的（不要求證明）.

【答案】45見(jiàn)解析

【分析】（I）連接BC,證明4ACB是等腰直角三角形即可，

（II）如圖,取格點(diǎn)E,產(chǎn),G,H,連接EF、GH相交于點(diǎn)/;取格點(diǎn)M,N,連接MN與AB相交于點(diǎn)O;連接/O,與

半圓相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸即為所求.

【詳解】(I)連接8C,

A8為圓的直徑，

.-.ZAC8=90°,

C為AB的中點(diǎn)，

AC=BC，

：.AC=BC,即"C8是等腰直角三角形，

.\ZBAC=45°;

(H)如圖,取格點(diǎn)E,F,G,”，

連接相交于點(diǎn)/;取格點(diǎn)M,N,連接"N與相交于點(diǎn)。；連接/。，與半圓相交于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸即為

所求.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用垂線段最短解

決最值問(wèn)題,屬于中考?？碱}型.

23.(2023?天津河北?統(tǒng)考三模)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，3C的頂點(diǎn)A,8在格點(diǎn)

上，C是小正方形邊的中點(diǎn).

(1)48的長(zhǎng)等于；

(2)M是線段BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，2是外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在線段用上,且滿足PN=28N.當(dāng)

取得最大值時(shí)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺,畫(huà)出點(diǎn)尸，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)尸的位置是如何找到

的(不要求證明).

【答案】⑴石

⑵取格點(diǎn)O,連接8。并延長(zhǎng),與圓相交于點(diǎn)E