矩陣初等變換在圖像處理中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

矩陣初等變換在圖像處理中的簡(jiǎn)單應(yīng)用劉鑫天津商業(yè)大學(xué)理學(xué)院08級(jí)03班[內(nèi)容摘要]:矩陣作為研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的一項(xiàng)基礎(chǔ)工具，有著自身特有的性質(zhì)和運(yùn)算方法，而其初等變換則為矩陣?yán)碚撝械闹匾椒?，利用這一特點(diǎn)可針對(duì)問(wèn)題本身進(jìn)行簡(jiǎn)化，也可快速看到問(wèn)題本質(zhì)并加以解決。數(shù)字圖像是計(jì)算機(jī)對(duì)圖像信息進(jìn)行處理顯示的基礎(chǔ)，而數(shù)字圖像的本質(zhì)是m×n（每行m個(gè)像素，總共n行）的矩陣，每個(gè)元素aij對(duì)應(yīng)著（i，j）位置的圖像信息。本文討論了矩陣的初等變換在數(shù)字圖像的平移、旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用，從而說(shuō)明矩陣變換在數(shù)字圖像變換和處理的理論指導(dǎo)地位。[關(guān)鍵詞]:矩陣初等變換數(shù)字圖像鏡像平移旋轉(zhuǎn)[引言]：矩陣的初等變換起源于線性方程組的三類通解變換。我們知道，線性方程組和它的增廣矩陣是唯一對(duì)應(yīng)的，因此當(dāng)矩陣的初等變換這一概念提出后，解線性方程組就等價(jià)與利用矩陣的初等變換來(lái)化簡(jiǎn)一個(gè)增廣矩陣，而這一轉(zhuǎn)化過(guò)程無(wú)疑對(duì)解線性方程組會(huì)帶來(lái)方便。隨著矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展，新概念的不斷產(chǎn)生，新的問(wèn)題也隨之產(chǎn)生，例如求矩陣的秩、求矩陣的特征值以及求標(biāo)準(zhǔn)正交基等，這些問(wèn)題也可利用矩陣的初等變換來(lái)簡(jiǎn)化其求解過(guò)程。20世紀(jì)60年代中期，隨電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展得到普遍應(yīng)用，計(jì)算機(jī)對(duì)圖像的處理和顯示日益成熟圖像。利用數(shù)字圖像處理主要是為了修改圖形，改善圖像質(zhì)量，或是從圖像中提起有效信息，還有利用數(shù)字圖像處理可以對(duì)圖像進(jìn)行體積壓縮，便于傳輸和保存。數(shù)字圖像的本質(zhì)是m×n（每行m個(gè)像素，總共n行）的矩陣，每個(gè)元素aij對(duì)應(yīng)著（i，j）位置的圖像信息。1、矩陣的初等變換矩陣的行及列的初等變換在線性代數(shù)中充當(dāng)十分重要的角色，它有三種類型：(1)互換第i行（列）和第j行（列），稱為對(duì)矩陣實(shí)行了一次初等行（列）變換，其對(duì)應(yīng)的初等矩陣極為P（i，j）；(2)行（列）乘以非零常數(shù)c，稱為對(duì)矩陣實(shí)行了一次初等行（列）變換，其對(duì)應(yīng)的等矩陣記為P（i（c））；(3)第j行（i列）的k倍加到第i行（j列），稱為對(duì)矩陣實(shí)行了一次初等行（列）變換，其對(duì)應(yīng)的矩陣記為P（i，j（k））。2、數(shù)字圖像的矩陣表述數(shù)字圖像的本質(zhì)是m×n（每行m個(gè)像素，總共n行）的矩陣，每個(gè)元素aij對(duì)應(yīng)著（i，j）位置的圖像信息。如圖1所示，圖像為一幅69×56的256色圖像，即圖像的每行有69個(gè)像素，共56行，我們可以用矩陣[aij]表示圖像的信息，aij表示第i行第j列的圖像信息。圖1原始數(shù)字圖像如圖1所示，原始數(shù)字圖像的矩陣信息為：2、數(shù)字圖像的鏡像圖像鏡像是指圖像在平面鏡中成像，形成一個(gè)和鏡面對(duì)稱的圖像，對(duì)于一個(gè)m×n的數(shù)字圖像，進(jìn)行鏡像變換后依然為m×n的矩陣，如果用[aij]表示原始數(shù)字圖像的矩陣，[bij]表示鏡像變換的數(shù)字圖像矩陣，則水平鏡像為：垂直鏡像為：圖1所示的原始數(shù)字圖像，經(jīng)過(guò)鏡像變換后為：圖2水平鏡像圖像和垂直鏡像圖像3、數(shù)字圖像的平移圖像平移是指在同一平面內(nèi)，將圖像沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，移動(dòng)時(shí)，圖像上的每一個(gè)像素都沿該方向移動(dòng)同一距離，因而平移不改變物體的形狀和大小。如果將圖像上的點(diǎn)P(x,y)平移到P’(x’,y’)，也可用一下以下式子表示：這個(gè)矩陣計(jì)算給出了二維像素平移變換的關(guān)系。對(duì)于一個(gè)m×n的數(shù)字圖像，進(jìn)行(p,q)平移變換后變?yōu)闉?p+m)×（q+n）的矩陣，如果用[aij]表示原始數(shù)字圖像的矩陣，[bij]表示平移變換的數(shù)字圖像矩陣，則變換后的元素當(dāng)i>p且j>q時(shí)為：當(dāng)i和j為其他值時(shí)，圖像元素為空白，我們將其顏色設(shè)為黑色，即：圖1所示的原始數(shù)字圖像，經(jīng)過(guò)向左平移10個(gè)像素，向下平移10個(gè)像素后得到的圖像為：圖3平移（10，10）后的圖像4、圖像的旋轉(zhuǎn)圖像的旋轉(zhuǎn)是指在同一平面內(nèi)，將圖像繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖像上的每一個(gè)像素都繞該點(diǎn)向旋轉(zhuǎn)同一角度，因而平移不改變物體的形狀和大小。如圖4所示，如果將圖像上的點(diǎn)P(x,y)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到P’(x’,y’)，旋轉(zhuǎn)的角度為θ，此時(shí)，P和P’到原圖4像素的旋轉(zhuǎn)距離不變，均為r，此時(shí)：可以表示為：對(duì)于一個(gè)m×n的數(shù)字圖像，繞（0，0）點(diǎn)像素進(jìn)行進(jìn)行θ度旋轉(zhuǎn)后，得到旋轉(zhuǎn)矩陣，其行列數(shù)目不等于m×n，和θ有關(guān)。如果用[aij]表示原始數(shù)字圖像的矩陣，[bpq]表示平移變換的數(shù)字圖像矩陣，則變換后的元素滿足以下條件時(shí)：有 因?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)和正弦余弦值相乘時(shí)，得到的是浮點(diǎn)數(shù)，即為整數(shù)，因而確定腳標(biāo)pq的值時(shí)，需要對(duì)其取整，這需要近似計(jì)算和插值，和矩陣的基本變換關(guān)系不大，在這里就不討論了。圖1所示的原始數(shù)字圖像，經(jīng)過(guò)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的圖像為：圖4旋轉(zhuǎn)π/4、π/2、3π/4、π后的圖像[結(jié)論]：矩陣的出現(xiàn)不但簡(jiǎn)化了方程求解的過(guò)程，而且對(duì)現(xiàn)實(shí)生活有理論指導(dǎo)意義。通過(guò)矩陣的變換，我們可以實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)字圖像的變換和處理，能夠滿足計(jì)算機(jī)圖像圖像的要求。同時(shí)，通過(guò)這些變換，讓我們更清楚的知道，科學(xué)的理論是科學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，為其他應(yīng)用科學(xué)提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。這里，我們只簡(jiǎn)單地列舉了幾個(gè)矩陣在數(shù)字圖像變換中的應(yīng)用，更復(fù)雜變換需要的數(shù)學(xué)知識(shí)更多，應(yīng)該需要更堅(jiān)實(shí)的數(shù)理基礎(chǔ)。參考文獻(xiàn)[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，1987．[2]王成，饒從軍．矩陣初等變換的應(yīng)用研究[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2007，10(4)：76—78．[3]宋玉霞，王文省．用矩陣的初等變換求商和余式[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，21(1)：76—78．[4]黃朝軍．矩陣的初等變換的一個(gè)應(yīng)用[J]．黔東南民族師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)[J]．2004，22(6)：l一2．[5]朱秀昌，劉峰，胡棟．?dāng)?shù)字圖像處理與圖像通信[M]．北京：北京郵電大學(xué)出版社，2002．[6][美]KennethRCastleman．?dāng)?shù)字圖像處理[M]．北京：電子工業(yè)出版社，2002．致謝首先感謝李老師，李老師循循善誘、