4.1兩個計數(shù)原理課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

第4章計數(shù)原理4.1兩個計數(shù)原理湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.通過實(shí)例,理解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義;2.能根據(jù)具體問題的特征,選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1分類加法計數(shù)原理如果完成一件事有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,…,在第n類辦法中有mn種不同的方法,每種方法都能獨(dú)立完成這件事,那么完成這件事共有N=

種不同的方法.

m1+m2+…+mn名師點(diǎn)睛1.分類加法計數(shù)原理中的“完成一件事有n類辦法”是指完成這件事的所有方法可以分為n類,每一類中沒有相同的方法,且完成這件事的任何一種方法都在某一類中.2.分類加法計數(shù)原理與集合類比:S=S1∪S2∪…∪Sn且Si∩Sj=?(i≠j,i,j=1,2,…,n),如圖.集合S共有(m1+m2+…+mn)個元素完成事件S共有(m1+m2+…+mn)種方法

過關(guān)自診某校高一年級共8個班,高二年級共6個班,從中選一個班級承擔(dān)學(xué)校星期一早晨的升旗任務(wù),安排方法共有多少種?提示由分類加法計數(shù)原理,得承擔(dān)升旗這一任務(wù)分兩類,安排方法共有8+6=14種.知識點(diǎn)2分步乘法計數(shù)原理如果完成一件事需要分成n個步驟,第一步有m1種不同的方法,第二步有m2種不同的方法,…,第n步有mn種不同的方法,每個步驟都完成才算做完這件事,那么完成這件事共有N=

種不同的方法.

m1×m2×…×mn名師點(diǎn)睛1.分步乘法計數(shù)原理中每個步驟之間是連續(xù)的、缺一不可的,且不能重復(fù)、交叉,簡而言之即為“步驟完整”.2.兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點(diǎn)用來計算完成一件事的方法種類不同點(diǎn)分類完成,類類相加分步完成,步步相乘每類辦法中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每個步驟依次完成才算完成這件事(每個步驟中的一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立,不重不漏步步相依,步驟完整過關(guān)自診如何區(qū)分一個問題是“分類”還是“分步”?提示如果完成這件事,可以分幾種情況,每種情況中任何一種方法都能完成任務(wù),則是分類;若從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務(wù),且只有依次完成各種情況,才能完成這件事,則是分步.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一分類加法計數(shù)原理【例1】某校高三共有三個班,各班人數(shù)如下表.班級男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班252550高三(3)班351550(1)從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,有多少種不同的選法?(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,有多少種不同的選法?分析(1)從每個班任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,每一種選法都能獨(dú)立地完成這件事,因此應(yīng)采用分類加法計數(shù)原理;(2)完成這件事有三類方案,因此也應(yīng)采用分類加法計數(shù)原理.解

(1)從每個班任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,共有3類不同的方案:第1類,從高三(1)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法;第2類,從高三(2)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法;第3類,從高三(3)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,共有50+50+50=150種不同的選法.(2)從高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,共有3類不同的方案:第1類,從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第2類,從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生,有25種不同的選法;第3類,從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生,有15種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從高三(1)班、(2)班男生中或高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,共有30+25+15=70種不同的選法.規(guī)律方法

1.應(yīng)用分類加法計數(shù)原理解題的策略(1)標(biāo)準(zhǔn)明確:明確分類標(biāo)準(zhǔn),依次確定完成這件事的各類方法.(2)不重不漏:完成這件事的各類方法必須滿足既不能重復(fù),又不能遺漏.(3)方法獨(dú)立:確定的每一類方法必須能獨(dú)立地完成這件事.2.利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路變式訓(xùn)練1有三個袋子,里面分別裝有不同編號的紅色小球6個,白色小球5個,黃色小球4個.若從三個袋子中任取1個小球,有

種不同的取法.

15解析

三個袋子中任取1個小球可以分為3類:第1類,從第1個袋子中任取1個小球,有6種不同的取法;第2類,從第2個袋子中任取1個小球,有5種不同的取法;第3類,從第3個袋子中任取1個小球,有4種不同的取法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,從三個袋子中任取1個小球,不同的取法共有6+5+4=15種.探究點(diǎn)二分步乘法計數(shù)原理【例2】一種號碼鎖有4個撥號盤,每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字,這4個撥號盤可以組成多少個四個數(shù)字的號碼?(各位上的數(shù)字允許重復(fù))解

由題可知,可以分四步完成:第1步,第一個撥號盤有10種撥號方式,所以m1=10;第2步,第二個撥號盤有10種撥號方式,所以m2=10;第3步,第三個撥號盤有10種撥號方式,所以m3=10;第4步,第四個撥號盤有10種撥號方式,所以m4=10.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共可以組成N=10×10×10×10=10

000個四個數(shù)字的號碼.變式探究若各位上的數(shù)字不允許重復(fù),那么這個撥號盤可以組成多少個四個數(shù)字的號碼?解

由題可知,可以分四步完成:第1步,第一個撥號盤有10種撥號方式,即m1=10;第2步,去掉第1步撥的數(shù)字,第二個撥號盤有9種撥號方式,即m2=9;第3步,去掉前兩步撥的數(shù)字,第三個撥號盤有8種撥號方式,即m3=8;第4步,去掉前三步撥的數(shù)字,第四個撥號盤有7種撥號方式,即m4=7.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共可以組成N=10×9×8×7=5

040個不重復(fù)的四個數(shù)字的號碼.規(guī)律方法

應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理的解題策略(1)應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時,完成這件事情要分幾個步驟,只有每個步驟都完成了,才算完成這件事情,每個步驟缺一不可.(2)利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路:探究點(diǎn)三兩個原理的綜合應(yīng)用【例3】有A,B,C型高級電腦各一臺,甲、乙、丙、丁4個操作人員的技術(shù)等級不同,甲、乙會操作三種型號的電腦,丙不會操作C型電腦,而丁只會操作A型電腦.從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦,則不同的選派方法有多少種?分析由于4個操作人員可操作的電腦型號不同,因此首先將所選3人分類,然后每一類再分步完成,即解答本題可“先分類,后分步”.解

第1類,選甲、乙、丙3人,由于丙不會操作C型電腦,分3步安排這3人操作電腦,第一步,安排丙,有2種方法;第二步,安排甲,有2種方法;第三步,安排乙,有1種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有2×2×1=4種方法;第2類,選甲、乙、丁3人,由于丁只會操作A型電腦,這時安排3人操作電腦,有2種方法;第3類,選甲、丙、丁3人,這時安排3人操作電腦,有1種方法;第4類,選乙、丙、丁3人,這時安排3人操作電腦,有1種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有4+2+1+1=8種選派方法.規(guī)律方法

1.使用兩個原理的原則使用兩個原理解題時,一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加法計數(shù)原理;“分步”就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟,然后逐步解決,這時可用分步乘法計數(shù)原理.2.應(yīng)用兩個計數(shù)原理計數(shù)的步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計數(shù)原理進(jìn)行計算.變式訓(xùn)練2現(xiàn)有5幅不同的國畫、2幅不同的油畫、7幅不同的水彩畫.從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間,有幾種不同的選法?解

依題意,從這些畫中選出兩幅不同種類的畫可分為三類:第一類,一幅選自國畫,一幅選自油畫,由分步乘法計數(shù)原理知,有5×2=10種不同的選法;第二類,一幅選自國畫,一幅選自水彩畫,由分步乘法計數(shù)原理知,有5×7=35種不同的選法;第三類,一幅選自油畫,一幅選自水彩畫,由分步乘法計數(shù)原理知,有2×7=14種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有10+35+14=59種不同的選法.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)分類加法計數(shù)原理;(2)分步乘法計數(shù)原理.2.方法歸納:完成這件事有若干類不同的辦法,用分類加法計數(shù)原理;完成這件事要依次完成若干個相互依存的步驟,用分步乘法計數(shù)原理;完成這件事既要分類,又要分步,則綜合使用兩個計數(shù)原理.3.注意事項:用分類加法計數(shù)原理要做到分類“不重復(fù)、不遺漏”,而用分步乘法計數(shù)原理要做到不能缺少任何一個步驟.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12345678910111213141516A級必備知識基礎(chǔ)練1.已知a∈{3,4,6},b∈{1,2},r∈{1,4,9,16},則方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示的不同圓的個數(shù)是(

)A.6 B.9

C.16 D.24D解析

確定一個圓的方程可分為三步:第一步,確定a,有3種選法;第二步,確定b,有2種選法;第三步,確定r,有4種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得,表示的不同圓的個數(shù)為3×2×4=24.123456789101112131415162.從甲地到乙地有5種走法,從乙地到丙地有4種走法,從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法,則從甲地到丙地的不同走法種數(shù)為(

)A.5+4+3 B.5×4+3C.5×3+4 D.5×4×3B解析

從甲地到丙地的走法分為兩類:第一類,從甲地經(jīng)乙地到丙地,共有5×4種走法;第二類,直接從甲地到丙地,共有3種走法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有5×4+3種不同的走法.123456789101112131415163.如圖所示,電路中有4個電阻和一個電流表A,若沒有電流流過電流表A,其原因僅為電阻斷路的可能情況共有(

)A.9種

B.10種

C.11種

D.12種C解析

電阻斷路,使得沒有電流流過電流表A的情況,可分為4類:第1類,1個電阻壞,使得沒有電流流過電流表A的情況,有1種;第2類,2個電阻壞,使得沒有電流流過電流表A的情況,有5種;第3類,3個電阻壞,使得沒有電流流過電流表A的情況,有4種;第4類,4個電阻全壞,使得沒有電流流過電流表A的情況,有1種.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,共有1+5+4+1=11種可能情況.故選C.123456789101112131415164.若x,y∈N+,且x+y≤5,則有序自然數(shù)對(x,y)的個數(shù)為(

)A.6 B.8

C.9 D.10D解析

當(dāng)x=1時,y=1,2,3,4,共構(gòu)成4個有序自然數(shù)對;當(dāng)x=2時,y=1,2,3,共構(gòu)成3個有序自然數(shù)對;當(dāng)x=3時,y=1,2,共構(gòu)成2個有序自然數(shù)對;當(dāng)x=4時,y=1,共構(gòu)成1個有序自然數(shù)對.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有N=4+3+2+1=10個有序自然數(shù)對.123456789101112131415165.現(xiàn)有的5名候選籃球隊員中,有2名老隊員和3名新隊員.現(xiàn)從中選出3名隊員參加團(tuán)體比賽,則入選的3名隊員中至少有一名老隊員的選法有

種.(用數(shù)字作答)

9解析

從5名隊員中選3名隊員中至少有一名老隊員,可分2類:第一類,選兩名老隊員、一名新隊員,有3種選法;第二類,選兩名新隊員、一名老隊員,有2×3=6種選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有9種不同選法.123456789101112131415166.已知集合A={0,3,4},B={1,2,7,8},集合C={x|x∈A或x∈B},則當(dāng)集合C中有且只有一個元素時,有

種情況.

7解析

從集合A,B中選1個元素,可以分為2類:第一類,當(dāng)集合C中的元素屬于集合A時,有3種情況;第二類,當(dāng)集合C中的元素屬于集合B時,有4種情況.因為集合A與集合B無公共元素,根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有3+4=7種情況.123456789101112131415167.集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},從集合A,B中各取1個元素,作為點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo).(1)可以得到多少個不同的點(diǎn)?(2)這些點(diǎn)中,位于第一象限的有幾個?解

(1)可分為兩類:第一類,A中元素為x,B中元素為y,共有3×4=12個不同的點(diǎn);第二類,A中元素為y,B中元素為x,共有4×3=12個不同的點(diǎn).根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有12+12=24個不同的點(diǎn).(2)位于第一象限內(nèi)的點(diǎn),即x,y均為正數(shù),所以只能取A,B中的正數(shù).可分為兩類:第一類,A中元素為x,B中元素為y,共有2×2=4個不同的點(diǎn);第二類,A中元素為y,B中元素為z,共有2×2=4個不同的點(diǎn).根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有2×2+2×2=8個不同的點(diǎn).123456789101112131415168.某班聯(lián)歡會原定的3個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了2個新節(jié)目,如果將這2個新節(jié)目插入節(jié)目單中,那么不同的插法種數(shù)為(

)A.12 B.20

C.36

D.120B級關(guān)鍵能力提升練B解析

將2個新節(jié)目插入節(jié)目單中,分2步:第一步,先插入第一個節(jié)目,有4種插法;第二步,插入第二個節(jié)目,有5種插法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有4×5=20種不同的插法.故選B.123456789101112131415169.如圖所示,在A,B間有四個焊接點(diǎn)1,2,3,4,若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路,則電路不通,則焊接點(diǎn)脫落電路不通的情況種數(shù)為(

)A.9 B.11

C.13

D.15C解析

焊接點(diǎn)脫落電路不通的情況,可以分為4類:第1類,若脫落1個,有2種情況;第2類,若脫落2個,有6種情況;第3類,若脫落3個,有4種情況;第4類,若脫落4個,有1種情況.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有2+6+4+1=13種情況.故選C.1234567891011121314151610.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,其和為奇數(shù)的不同取法的種數(shù)為(

)A.30 B.20

C.10

D.9D解析

從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,和為奇數(shù)可分為兩步:第一步,取出的其中一個數(shù)是偶數(shù),共有3種取法;第二步,取出的另一個數(shù)是奇數(shù),共有3種取法.由分步乘法計數(shù)原理得,共有3×3=9種取法.1234567891011121314151611.從集合{1,2,3,4,5}中任取2個不同的數(shù),作為方程Ax+By=0的系數(shù)A,B的值,則形成的不同直線有(

)A.18條

B.20條 C.25條

D.10條A解析

從集合中任取2個不同的數(shù)作為方程系數(shù),可分為2步:第一步,取A的值,有5種取法;第二步,取B的值,有4種取法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有5×4=20條直線.其中當(dāng)A=1,B=2時與A=2,B=4時是相同的直線;當(dāng)A=2,B=1時與A=4,B=2時是相同的直線,故共有5×4-2=18條不同的直線.1234567891011121314151612.[2024甘肅白銀高二期末](多選題)用n種不同的顏色涂圖中的矩形A,B,C,D,要求相鄰的矩形涂色不同,不同的涂色方法總種數(shù)記為s(n),則(

)A.s(3)=12 B.s(4)=36C.s(5)=120 D.s(6)=600AD

12345678910111213141516解析

當(dāng)n=3時,分四步:第一步,涂C處,有3種涂色方案;第二步,涂D處,有2種涂色方案;第三步,涂A處,有2種涂色方案;第四步,涂B處,有1種涂色方案,所以不同的涂色方法共3×2×2×1=12(種),所以s(3)=12,故A正確.當(dāng)n=4時,分四步:第一步,涂C處,有4種涂色方案;第二步,涂D處,有3種涂色方案;第三步,涂A處,有3種涂色方案;第四步,涂B處,有2種涂色方案,所以不同的涂色方法共4×3×3×2=72(種),所以s(4)=72,故B錯誤.12345678910111213141516當(dāng)n=5時,分四步:第一步,涂C處,有5種涂色方案;第二步,涂D處,有4種涂色方案;第三步,涂A處,有4種涂色方案;第四步,涂B處,有3種涂色方案,所以不同的涂色方法共5×4×4×3=240(種),所以s(5)=240,故C錯誤.當(dāng)n=6時,分四步:第一步,涂C處,有6種涂色方案;第二步,涂D處,有5種涂色方案;第三步,涂A處,有5種涂色方案;第四步,涂B處,有4種涂色方案,所以不同的涂色方法共6×5×5×4=600(種),所以s(6)=600,故D正確.故選AD.1234567891011121314151613.[2023新高考Ⅱ,3]某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況,用比例分配