高中數(shù)學(xué)講義微62 點線面位置關(guān)系

微專題62點線面位置關(guān)系的判定

一、基礎(chǔ)知識

(-)直線與直線位置關(guān)系：

1、線線平行的判定

(1)平行公理：空間中平行于同一直線的兩條直線平行

(2)線面平行性質(zhì)：如果一條直線與平面平行，則過這條直線的平面與已知平面的交線和該

直線平行

(3)面面平行性質(zhì)：

2、線線垂直的判定

(1)兩條平行直線，如果其中一條與某直線垂直，則另一條直線也與這條直線垂直

直線與平面位置關(guān)系：

(2)線面垂直的性質(zhì)：如果一條直線與平面垂直，則該直線與平面上的所有直線均垂直

(二)直線與平面的位置關(guān)系

1、線面平行判定定理：

(1)若平面外的一條直線/與平面e上的一條直線平行，則/〃a

(2)若兩個平面平行，則一個平面上的任一直線與另一平面平行

2、線面垂直的判定：

(1)若直線/與平面a上的兩條相交直線垂直，貝

(2)兩條平行線中若其中一條與平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直

(3)如果兩個平面垂直，則一個平面上垂直于交線的直線與另一平面垂直

(三)平面與平面的位置關(guān)系

1、平面與平面平行的判定：

(1)如果一個平面上的兩條相交直線均與另一個平面平行，則兩個平面平行

(2)平行于同一個平面的兩個平面平行

2、平面與平面垂直的判定

如果一條直線與一個平面垂直，則過這條直線的所有平面均與這個平面垂直

(四)利用空間向量判斷線面位置關(guān)系

1、刻畫直線，平面位置的向量：直線：方向向量

平面：法向量

2、向量關(guān)系與線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

設(shè)直線〃力對應(yīng)的法向量為,平面a,/?對應(yīng)的法向量為九孔(其中在a,/?外)

(1)a//ba//b

(2)a.Lba.Lb

(3)aJLaa//m

(4)a//a<=>aLm

(5)a//0om//n

(6)a.L/3om.Ln

3、有關(guān)向量關(guān)系的結(jié)論

(i)若則￡〃"平行+平行一平行

(2)若￡，反否〃"，則平行+垂直一垂直

(3)若￡，&3，乙則2,2的位置關(guān)系不定。

4、如何用向量判斷位置關(guān)系命題真假

(1)條件中的線面關(guān)系翻譯成向量關(guān)系

(2)確定由條件能否得到結(jié)論

(3)將結(jié)論翻譯成線面關(guān)系，即可判斷命題的真假

二、典型例題：

例1：已知a,分是兩個不同的平面，根，〃是兩條不同的直線，現(xiàn)給出下列命題：

①若加uua.m//p.n///?,則a〃/?；

②若a_L/?,根u1,則根_L/?；

③若加_La,加〃，，則a_L/?；

④若根〃〃，冽u。，則〃〃a.

其中正確命題的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

思路：①為面面平行的判定，要求一個平面上兩條相交直線，而①中7%,〃不一定相交。所以

無法判定面面平行；②為面面垂直的性質(zhì)，要求一個平面上垂直交線的直線，才與另一平面

垂直。而②中加不一定與交線垂直。所以不成立；③可用向量判定，設(shè)名夕對應(yīng)法向量為m,n,

直線機方向向量為。，則條件轉(zhuǎn)換為：a//m,a±n,可推得機_1_“，即a_L/?,③正確；

④為線面平行判定，要求〃在a夕卜，所以④錯誤；綜上只有1個命題正確

答案：B

例2：己知根,“，/是不同的直線，出，是不同的平面，以下命題正確的是（）

①若m//n,mua,nu/3,則a〃尸；

②若mua,nu0,a//P，ILm,則/_L〃；

③若〃尸，則

④若aLp,m//a,n//P,則7〃_L〃；

A.②③B.③④C.②④D.③

思路：題目中涉及平行垂直較多，所以考慮利用正方體（舉反例）或向量判斷各個命題

①兩平面各選一條直線，兩直線平行不能判斷出兩個平面平

DiSi

行，例如在正方體中在平面ABCD和平面中，雖然/----------刁

A5〃G。］,但兩個平面不平行，所以①錯誤Al|B1

②例如：平面ABC?！ㄆ矫?D，AC,但3DD.\

AB

與4片不垂直，所以②錯誤

③考慮利用向量幫助解決：m工a=a,〃工B=B=,所以可以推

斷加〃幾，所以可得相〃〃

④考慮利用向量解決：a工0-a'B，m〃anm'a,n〃Bnn,由垂直關(guān)系不

能推出加_L〃，所以④錯誤

答案：D

例3：對于直線犯〃和平面名夕，的一個充分條件為（)

A.mua、nuaB.m//n,m//a,n//0

C.m//n,m-La,n.L)3D.m_Ln,m-La,n1./3

思路：求?！āǖ某浞謼l件，即從A,B,C,D中選出能判定。

的條件，A選項：例如正方體中的平面ABCD和平面CD0C]

可知雖然AB//平面CDD?,GA〃平面ABCD,但這兩個

平面不平行。B選項：也可利用A選項的例子說明無法推出

a//p,C選項可用向量模型進行分析：

m//rmm//n,m工a=>m"a,n工Bnn"§,所以可得：a//(3,即；D選項可利

用A選項的例子：m=BC,n=CC[,可知加_L”,加_L平面C￡）2G,〃_L平面ABCD,但

這兩個平面不平行，綜上所述，只有C為?！ㄊ囊粋€充分條件

答案：C

例4：給定下列四個命題：

①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；

②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.

其中，為真命題的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

思路：分別判斷四個命題：①必須是一個平面內(nèi)兩條“相交”直線與另一個平面平行，才可

判定兩平面平行，所以①錯誤；②該命題為面面垂直的判定，正確；③空間中垂直同一條

直線的兩條直線不一定平行，例如正方體中交于一點的三條棱；④可用反證法確定，假設(shè)該

直線與另一平面垂直，則必然垂直該平面上所有的直線，包括兩平面的交線。所以與條件矛

盾。假設(shè)不成立。綜上所述，正確的命題是②和④

答案：D

例5：已知小，”表示兩條不同直線，a表示平面，下列說法中正確的是（）

A.若加_La,“ua,則加_L〃

B.若加〃a,〃〃a則加〃九

C.若7”_Ltz,mLn,則“〃a

D.若m〃a,m±n,則〃_La

思路：A選項若直線與平面垂直，則直線與這個平面上的所有直線均垂直，所以A正確

B選項可用向量判斷，m//a=>±cr,n//a=>H±?,由〃_La無法判斷出

〃z,〃的關(guān)系，所以不能推出m〃”；C選項并沒有說明直線"是否在平面a上，所以結(jié)論不

正確；D選項也可用向量判斷，冽〃c=>7〃J_tz,±n=>m±n,同理由m

無法判斷〃,a的情況，所以無法推斷出〃J_a,綜上所述：A正確

答案：A

例6：給出下列命題，其中正確的兩個命題是（）

①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行。②夾在兩個平行平面間的兩條異

面線段的中點連線平行于這兩個平面；③直線相，平面a,直線則〃〃a；@a,b

是異面直線，則存在唯一的平面a,使它與。,"都平行且與。，。距離相等

A.①②B.②③C.③④D.②④

答案：D

思路：①到平面距離相等的點可能位于平面的同側(cè)或是異側(cè)，

如果是同側(cè)，則兩點所在直線與平面平行，如果異側(cè)，則直線

與平面相交，且交點為這兩點的中點。②正確，證明如下：

如圖，平面a〃尸,A,Cea,B,Z）e，，且分別為AB,CD

的中點，過C作CG〃A3交夕于G,連接3G,GD,設(shè)H是

CG的中點

:.EH//BG,HF//GDEH//J3,HF//J3

:.a〃內(nèi)EHF〃B???EF//a,EF///3

③命題中沒有說明直線”是否在a上，所以不正確；④正確，設(shè)AB為異面直線。力的公垂

線段，E為AB中點，過E作a,b的平行線a,b,從而由。力確定的平面與a力平行且與a,b

的距離相等。所以該平面即為所求。

答案：D

例7：下列命題正確的個數(shù)是（）

①若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，貝心〃a

②若直線/〃a,則與平面a內(nèi)的任意一條直線都平行

③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行

④若直線/〃a,則與平面a內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點

A.0B.1C.2D.3

思路：①“無數(shù)個點”只是強調(diào)數(shù)量多，并不等同于“任意點”，即使直線與平面相交，直

線上也有無數(shù)個點不在平面內(nèi)。所以①不正確；②若/〃a,說明/與e沒有公共點，所以/

與a上任意一條直線m都沒有公共點，但即使/,機無公共點，/,機的位置關(guān)系不只是有平行,

還有可能異面，所以②不正確；③線面平行的前提是直線在平面外，而命題③中沒有說明“另

一條”直線是否在平面上，所以③不正確；命題④可由②得知，/與a上任意一條直線加都

沒有公共點，命題④正確，綜上所述，正確的有1個

答案：B

例8：直線。，。為兩異面直線，下列結(jié)論正確的是（）

A.過不在a,匕上的任何一點，可作一個平面與。，。都平行

B.過不在a,匕上的任何一點，可作一個直線與。，。都相交

C.過不在a,匕上的任何一點，可作一個直線與。，。都平行

D.過。有且只有一個平面與Z?平行

思路：A選項中，如果尸點與a確定的平面與b平行，則此平面只和b平行，a在此平面上，

所以這樣的P是無法作出符合條件的平面；B選項由A所構(gòu)造出的平面可得，若過P的直線/

與a相交，貝也也在該平面上，所以/與Z?無公共點；若過尸的直線/與b相交，則無法與a相

交，綜上所述對于這樣的尸點無法作出符合條件的直線；C選項如果過P的直線與a力均平行,

則由平行公理可知a〃人，與已知條件矛盾，所以C錯誤；D選項，如果。力異面，則過。只

能做出一個平面與平行。在a上取A,3兩點分別作匕的平行線c,d,則c,d所唯一確定的

平面和Z7平行，且。在此平面上。所以D正確

答案：D

例9：設(shè)/,m是兩條異面直線，P是空間任意一點，則下列命題正確的是（）

A.過尸點必存在平面與兩異面直線都垂直

B.過尸點必存在平面與兩異面直線都平行

C.過P點必存在直線與兩異面直線/,機都垂直

D.過尸點必存在直線與兩異面直線/，機都平行

思路：A選項，若平面與/，加均垂直，則推得/〃加，與/,相異面矛盾；B選項如果P點位于

某條直線上，則平面無法與該直線平行；C選項中直線的垂直包括異面垂直，所以可以講/，機

平移至共面，過尸的直線只需與這個平面線面垂直，即和/，加都垂直，所以C正確；D選項如

果直線與/，機均平行，則由平行公理可得/〃加，與異面矛盾。所以C正確

答案：c

例10：設(shè)/,加,〃是不同的直線，是不重合的平面，則下列命題不正確的是（）

A.若"2〃"，m//J3,“在夕外，則“〃夕

B.若。_L=/,貝!!/_LQ

C.若a〃/==m、，貝U/〃加

D.若3c尸,。€尸,AB〃CD,且AB=CD,則a〃夕

思路：A選項可通過向量來判斷：m//n=>m//n,m//J3=>m-LJ3,由此可得：nL/3,因

為“在夕外，所以可判定〃〃夕，A正確；B選項設(shè)a_L尸=_L尸="，則a上所有點的

投影落在加中，7上所有點的投影落在“中，因為。口7=/,所以/上所有點的投影均在

的交點上，即所以B正確；C選項符合面面平行的性質(zhì)，即兩個平面平行，第三個平

面與這兩個平面相交，則交線平行，所以C正確；D選項中若A,C位于夕同側(cè)，則命題成立；

但如果位于夕兩側(cè)，則滿足條件的a與夕相交。故不正確

答案：D

三、歷年好題精選

1、（2016,山東膠州高三期末）設(shè)。,尸,/為不同的平面，私“，/為不同的直線，則相，尸的

一個充分條件為（）

A.a±/?,?Q/?=Z,m±ZB.a口/=#/

C.aVy,mS_aD.nVa,nL/3,mLa

2、給出下面四個命題：

①“直線a〃直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；

②“直線平面a內(nèi)所有直線”的充要條件是“/，平面a”；

③“直線a,匕為異面直線”的充分不必要條件是“直線a,b不相交”；

④“平面a〃平面夕”的必要不充分條件是“a內(nèi)存在不共線三點到夕的距離相等”.

其中正確命題的序號是（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

3、（2016,大連二十中期中考試）已知三個互不重合的平面a,/3,y,且

a/3=a,a=b,/3=c,給出下列命題（）

①若a_Lb,a_Lc,則Z?J_c②若=則a「c=P

③若a_LZ?,a_Lc,則o_L/④若?！?,則a〃c

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4、（江西中南五校聯(lián)考）已知相，〃是兩條不同的直線，/，,丁是三個不同的平面，則下列命

題中正確的是（）

A.若a_L_LQ,則///4B.若m/ln,mua,nu/3,帆a11/3

C.若加//”,加_1,（/,九1.7?,則1//￡D.若加.//〃,m//。,則九//a

5、（2016,寧波高三期末）已知平面a與平面廣交于直線/,且直線aua,直線則下

列命題埼用的是（）

A.若tz_L/?,a_Lb,且與/不垂直，則a_L/B.若。_L尸，/?_!_/,則a_LZ?

C.若a_Lb,bLl,且a與/不平行，則。_L〃D.若a_L/,b±l,則。，尸

6、（2016,上海閘北12月月考）已知〃2,”是兩條不同直線，a,"是兩個不同平面，給出下列

四個命題:

①若a,夕垂直于同一平面，則a與夕平行

②若和，〃平行于同一平面，則相與〃平行

③若a,萬不平行，則在a內(nèi)不存在與夕平行的直線

④若〃不平行，則加與〃不可能垂直于同一平面

其中真命題的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

7、設(shè)a力為兩條直線，為兩個平面，則下列四個命題中，正確的命題是（）

A.若a_L_L尸,々_Lb,則o_L/?B.a//a,b//P,a///3,則a〃b

C.若a〃a,bu0,a//b,則a〃夕D.箱a〃a,a，B，則a，/?

8、（2015,廣東文）若直線/],，2是異面直線，4在平面a內(nèi)，，2在平面夕內(nèi)，/是平面2與

平面夕的交線，則下列命題正確的是（）

A./至少與/14中的一條相交B./與/]/都相交

C./至多與/]/中的一條相交D./與4,都不相交

9、（2014,遼寧）已知小，"表示兩條不同的直線，a表示平面，下列說法正確的是（）

A.若n?〃a,n//a,則〃z〃“B.若根_Ltz,“u。，則加_|_“

C.若根_L(z,7〃_L",貝！|〃〃aD.若m//a,ml.n,則

習(xí)題答案：

1、答案：D

解析：A選項若加不在￡上，則無法判定加，萬；B選項：若《〃，，則相〃，，所以無法

判定；C選項，如果名尸,/來兩兩垂直，則無法判定D選項，如果“」。,“」尸，

則(/〃，，再由加J_e可判定切_1_尸

2、答案：D

解析：①若。平行于b所在的平面，則。8的關(guān)系為平行或異面，所以不是充要條件；

②由線面垂直定義可知：直線/，平面a當(dāng)且僅當(dāng)直線平面a內(nèi)所有直線，所以②正確；

③中若直線a力不相交，則可能平行。所以不能得到“直線a,b為異面直線”，③錯誤；④

若平面a〃平面夕，則a內(nèi)所有點到夕的距離相等，當(dāng)a內(nèi)存在不共線三點到夕的距離相等,

則兩平面可能相交，這三點位于a的兩側(cè)。所以“a內(nèi)存在不共線三點到夕的距離相等”是

“平面a〃平面夕”的必要不充分條件

3、答案：C

解析：當(dāng)三個平面兩兩相交，交線平行或交于一點，所以若a(nb=P,則三條交線交于一點，

即aCc=P,若。〃6,則三條交線平行，a//c,所以②④正確；當(dāng)三條交線交于一點時，

aLb,a1c,則b,c夾角不確定，所以①錯誤；若a_LZ?,a_Lc,因為反c均在/上，所以可

知a_La,綜上所述，②③④正確

4、答案：C

解析：A選項：垂直同一平面的兩個平面可以平行，也可以相交，所以A錯誤

B選項：在正方體中，右側(cè)面的棱與底面上的棱平行，但是這兩個面不平行，所