6.2.1隨機變量課件高二上學期數(shù)學北師大版選擇性

2.1隨機變量第六章概率北師大版

數(shù)學

選擇性必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

課程標準1.通過實例,了解隨機變量的概念及含義.2.會用隨機變量表示隨機事件.基礎落實·必備知識一遍過知識點

隨機變量的概念在隨機試驗中,我們確定了一個對應關系,使得樣本空間的每一個樣本點都用一個確定的數(shù)值表示.在這個對應關系下,數(shù)值隨著試驗結果的變化而變化.像這種取值隨著試驗結果的變化而變化的量稱為隨機變量.隨機變量常用字母X,Y,ξ,η等表示.

隨機變量是試驗結果數(shù)量化,變量的一個取值代表一個隨機事件名師點睛隨機變量可將隨機試驗的結果數(shù)量化所謂的隨機變量不過是建立起樣本空間與實數(shù)的一個對應關系.如設隨機變量X表示擲骰子擲出的點數(shù),則X=1,2,3,4,5,6,或者說X的取值范圍是{1,2,3,4,5,6}.思考辨析下述現(xiàn)象有哪些共同特點?①某人在射擊訓練中,射擊一次,命中的環(huán)數(shù)X是1,2,3,…,10中的某一個數(shù);②拋擲一顆骰子,向上的點數(shù)Y是1,2,3,4,5,6中的某一個數(shù);③新生嬰兒的性別,抽查的結果可能是男,也可能是女.如果將男嬰用0表示,女嬰用1表示,那么抽查的結果Z是0和1中的某一個數(shù).提示

現(xiàn)象中的X,Y,Z,實際上是把每個隨機試驗的樣本點都對應一個確定的實數(shù),即在試驗結果(樣本點)與實數(shù)之間建立了一個對應關系.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)隨機變量的取值可以是有限個,也可以是無限可列個.(

)(2)某加工廠加工的某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差是隨機變量.(

)(3)袋中有大小相同的紅球6個,白球5個,從袋中無放回地每次任意取出一個球,直到取出的球是白色為止,所需要的取球次數(shù)為隨機變量X,則X的可能取值為1,2,3,4,5,6.(

)√√×2.[人教A版教材習題]下列隨機試驗的結果能否用離散型隨機變量表示?若能,請寫出各隨機變量可能的取值,并說明這些值所表示的隨機試驗的結果.(1)拋擲2枚骰子,所得點數(shù)之和;(2)某足球隊在5次點球中射進的球數(shù);(3)任意抽取一瓶標有1500mL的飲料,其實際含量與規(guī)定含量之差.解

(1)能用離散型隨機變量表示.點數(shù)之和X可能的取值為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.{X=k}表示擲出的點數(shù)之和為k.(2)能用離散型隨機變量表示.進球個數(shù)Y可能的取值為0,1,2,3,4,5.{Y=k}表示射進k個球.(3)不能用離散型隨機變量表示.3.[人教A版教材習題]張同學從學?；丶乙?jīng)過4個紅綠燈路口,每個路口可能遇到紅燈或綠燈.(1)寫出隨機試驗的樣本空間;(2)設他可能遇到紅燈的次數(shù)為X,寫出X的可能取值,并說明這些值所表示的隨機事件.解

(1)樣本空間={(紅,紅,紅,紅),(紅,紅,紅,綠),(紅,紅,綠,紅),(紅,綠,紅,紅),(綠,紅,紅,紅),(紅,紅,綠,綠),(紅,綠,紅,綠),(紅,綠,綠,紅),(綠,綠,紅,紅),(綠,紅,綠,紅),(綠,紅,紅,綠),(紅,綠,綠,綠),(綠,紅,綠,綠),(綠,綠,紅,綠),(綠,綠,綠,紅),(綠,綠,綠,綠)},共含16

個樣本點.(2)X的可能取值為0,1,2,3,4.事件{X=0}表示4個路口遇到的都不是紅燈;事件{X=1}表示路過的4個路口中只有1個路口遇到紅燈;事件{X=2}表示路過的4個路口中只有2個路口遇到紅燈;事件{X=3}表示路過的4個路口中只有3個路口遇到紅燈;事件{X=4}表示4個路口遇到的都是紅燈.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一隨機變量的判定【例1】

判斷下列各個量,哪些是隨機變量,哪些不是隨機變量,并說明理由.(1)某機場候機廳中某日的旅客數(shù)量;(2)某路口在某時間段內查處酒駕的人數(shù);(3)某日濟南到北京的某次長途汽車到北京站的時間;(4)體積為1000cm3的球的半徑長.解

(1)旅客人數(shù)可能是0,1,2,…,出現(xiàn)哪一個結果是隨機的,因此是隨機變量.(2)所查酒駕的人數(shù)可能是0,1,2,…,出現(xiàn)哪一個結果是隨機的,因此是隨機變量.(3)長途汽車到達的時間可在某一區(qū)間內任取一值,是隨機的,因此是隨機變量.(4)當球的體積為1

000

cm3時,球的半徑為定值,不是隨機變量.規(guī)律方法

隨機變量的辨析方法

變式訓練1(1)下列變量中,不是隨機變量的是(

)A.一名射手射擊一次命中的環(huán)數(shù)B.在標準狀態(tài)下,水沸騰時的溫度C.拋擲兩枚骰子,所得點數(shù)之和D.某電話總機在時間區(qū)間(0,T)內收到的呼叫次數(shù)B解析

B選項中標準狀態(tài)下,水沸騰時的溫度是一個確定值.(2)10件產(chǎn)品中有3件次品,從中任取2件,可作為隨機變量的是(

)A.取到產(chǎn)品的件數(shù)B.取到正品的概率C.取到次品的件數(shù)D.取到次品的概率C解析

選項A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個常量不是變量,選項B,D中的量也是一個定值,而選項C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2,是隨機變量.探究點二用隨機變量表示隨機事件的結果【例2】

寫出下列隨機變量可能的取值,并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果.(1)一個袋中裝有8個紅球,3個白球,從中任取5個球,其中所含白球的個數(shù)為X;(2)一個袋中有5個同樣大小的黑球,編號為1,2,3,4,5,從中任取3個球,取出的球的最大號碼記為X.解

(1){X=0}表示“取5個球全是紅球”;{X=1}表示“取1個白球,4個紅球”;{X=2}表示“取2個白球,3個紅球”;{X=3}表示“取3個白球,2個紅球”.(2){X=3}表示“取出的球編號為1,2,3”;{X=4}表示“取出的球編號為1,2,4;1,3,4或2,3,4”;{X=5}表示“取出的球編號為1,2,5;1,3,5;1,4,5;2,3,5;2,4,5或3,4,5”.變式探究本例(2)中,若將“最大”改為“最小”,其他條件不變,應如何解答.解

{X=1}表示“取出的球的編號為1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5或1,4,5”.{X=2}表示“取出的球的編號為2,3,4;2,3,5;2,4,5”.{X=3}表示“取出的球的編號為3,4,5”.規(guī)律方法

解答此類問題的關鍵在于明確隨機變量的所有可能的取值,以及其取每一個值時對應的意義,即一個隨機變量的取值可能對應一個或多個隨機試驗的結果,解答過程中不要漏掉某些試驗結果.變式訓練2寫出下列隨機變量可能的取值,并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果.(1)從學?；丶乙?jīng)過3個紅綠燈路口,可能遇到紅燈的次數(shù)ξ;(2)電臺在每個整點都報時,報時所需時間為0.5分鐘,某人隨機打開收音機對時間,他所等待的時間為ξ分鐘.解

(1)ξ可取0,1,2,3,{ξ=0}表示“遇到紅燈的次數(shù)為0”;{ξ=1}表示“遇到紅燈的次數(shù)為1”;{ξ=2}表示“遇到紅燈的次數(shù)為2”;{ξ=3}表示“遇到紅燈的次數(shù)為3”.(2)ξ的可能取值為區(qū)間[0,59.5]內任何一個值,每一個可能取值表示他所等待的時間.學以致用·隨堂檢測促達標123456789A級必備知識基礎練1.[探究點一]袋中有3個白球、5個黑球,從中任取2個球,下列選項中可以用隨機變量表示的是(

)A.至少取到1個白球 B.至多取到1個白球C.取到白球的個數(shù) D.取到球的個數(shù)C1234567892.[探究點二]拋擲兩枚質地均勻的骰子一次,X為第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差,則X的所有可能取值為(

)A.0≤X≤5,X∈N B.-5≤X≤0,X∈ZC.1≤X≤6,X∈N D.-5≤X≤5,X∈ZD解析

第一枚的最小值為1,第二枚的最大值為6,差為-5,第一枚的最大值為6,第二枚的最小值為1,差為5,故X的所有可能取值是-5≤X≤5,X∈Z,故選D.1234567893.[探究點二]盒中有9個正品和3個次品零件,每次從中取一個零件,如果取出的是次品,則不再放回,直到取出正品為止,設取得正品前已取出的次品數(shù)為ξ.(1)寫出ξ的所有可能取值;(2)寫出{ξ=1}所表示的事件.解

(1)ξ可能取的值為0,1,2,3.(2){ξ=1}表示“第一次取得次品,第二次取得正品”.1234567894.

[探究點二]某籃球運動員在罰球時,命中1球得2分,不命中得0分,且該運動員在5次罰球中命中的次數(shù)ξ是一個隨機變量.(1)寫出ξ的所有取值及每一個取值所表示的結果;(2)若記該運動員在5次罰球后的得分為η,寫出所有η的取值及每一個取值所表示的結果.解

(1)ξ可取0,1,2,3,4,5,表示5次罰球中分別命中0次,1次,2次,3次,4次,5次.(2)η可取0,2,4,6,8,10,表示5次罰球后分別得0分,2分,4分,6分,8分,10分.1234567895.袋中有大小相同的紅球6個,白球5個,不放回地從袋中每次任意取出1個球,直到取出的球是白球為止,所需要的取球次數(shù)為隨機變量X,則X的可能取值為(

)A.1,2,3,…,6 B.1,2,3,…,7C.0,1,2,…,5 D.1,2,…,5BB級關鍵能力提升練1234567896.(多選題)甲、乙兩人下象棋,贏了得3分,平局得1分,輸了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,則{ξ=3}表示的可能結果為(

)A.甲贏三局

B.甲贏一局輸兩局C.甲、乙平局三次 D.甲贏一局平兩局BC1234567897.一用戶在打電話時忘記了最后3個號碼,只記得最后3個數(shù)兩兩不同,且都大于5.于是他隨機撥最后3個數(shù)(兩兩不同),設他撥到正確號碼前撥號的次數(shù)為X,隨機變量X可能的取值有

個.

241234567898.設一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過5盞信號燈,ξ表示汽車首次停下時已通過的信號燈的盞數(shù),寫出ξ所有可能取值,并說明這些值所表示的試驗結果.解

ξ可能取值為0,1,2,3,4,5.{ξ=0}表示“第1盞信號燈就停下”;{ξ=1}表示“通過了1盞信號燈,在第2盞信號燈前停下”;{ξ=2}表示“通過了2盞