2025版高中數(shù)學第二章解三角形本章達標檢測含解析北師大版必修5

PAGEPAGE11本章達標檢測(滿分:150分;時間:120分鐘)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.在△ABC中,B=π4,sinA=528,AC=4,則BC= (A.5B.6C.7D.82.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,則sinBsinC的值為A.85B.C.53D.3.已知銳角三角形的三邊長分別為1,3,a,那么a的取值范圍為 ()A.(8,10)B.(22,10)C.(22,10)D.(10,8)4.已知圓的半徑為4,a,b,c為該圓的內(nèi)接三角形ABC的三邊,若abc=162,則三角形的面積為 ()A.22B.82C.2D.25.已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,則角C的大小為 ()A.π6B.πC.π2D.6.依據(jù)下列條件,推斷三角形解的狀況,其中正確的是 ()A.a=8,b=16,A=30°,有兩解B.b=18,c=20,B=60°,只有一解C.a=5,c=2,A=90°,無解D.a=30,b=25,A=150°,只有一解7.一角槽的橫斷面如圖所示,四邊形ADEB是矩形,且α=50°,β=70°,AC=90mm,BC=150mm,則DE的長為()A.210mmB.200mmC.198mmD.171mm8.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,則角B的值為 ()A.π6B.C.π6或5π6D.π9.已知在△ABC中,sinA+sinB=sinC(cosA+cosB),則△ABC的形態(tài)是 ()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.直角三角形10.在△ABC中,sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,則A= ()A.30°B.60°C.120°D.150°11.在△ABC中,A∶B=1∶2,CD平分∠ACB,且把△ABC的面積分成3∶2兩部分,則cosA= ()A.13B.12C.312.甲船在島B的正南A處,AB=10千米,甲船以每小時4千米的速度向正北航行,同時,乙船自B動身以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛去.當甲、乙兩船相距最近時,它們所航行的時間是 ()A.1507分鐘B.15C.21.5分鐘D.2.15分鐘二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.△ABC為鈍角三角形,且C為鈍角,則a2+b2與c2的大小關系為.

14.鈍角三角形的三邊長為a,a+1,a+2,其最大角不超過120°,則a的取值范圍是.

15.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c.若b(sinA-sinB)=asinA-csinC,且△ABC的面積為312c2,則ba+ab16.如圖所示,某海島上一視察哨A上午11時測得一輪船在海島北偏東60°的C處,12時20分測得船在海島北偏西60°的B處,12時40分輪船到達位于海島正西方向且距海島5km的E港口,假如輪船始終勻速直線前進,那么船速為.

三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asinAsinB+bcos2A=2a.(1)求ba(2)若c2=b2+3a2,求B.18.(本小題滿分12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=2,cosB=35(1)若b=4,求sinA的值;(2)若S△ABC=4,求b,c的值.19.(本小題滿分12分)在△ABC中,∠BAC=3π4,AB=6,AC=32,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長20.(本小題滿分12分)如圖,某城市有一條東西方向的馬路AO,通過市中心O后轉向東偏北α角方向的OB.位于該市的某高校M與市中心O的距離OM=313km,且∠AOM=β.現(xiàn)要修筑一條鐵路L,L在OA上設一站A,在OB上設一站B,鐵路在AB部分為直線段,且經(jīng)過高校M,其中tanα=2,cosβ=31313,AO(1)求高校M與站A之間的距離AM的長;(2)求鐵路AB段的長.21.(本小題滿分12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,cos2C+22cosC+2=0.(1)求角C的大小;(2)若b=2a,△ABC的面積為22sinAsinB,求sinA及c的值22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=msinx+2cosx(m>0)的最大值為2.(1)求函數(shù)f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若△ABC中,fA-π4+fB-π4=46sinAsinB,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且C=60°,本章達標檢測一、選擇題1.A由正弦定理知BCsinA=ACsinB,2.D由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,即72=52+AC2-10AC·cos120°,解得AC=3(AC=-8舍去).由正弦定理得sinBsinC=AC3.B設長為1,3,a的邊所對的角分別為C,B,A,由余弦定理的推論知cos即10-a2>0,a2-8>04.C∵asinA=bsin∴sinC=c8,∴S△ABC=12absinC=abc16=165.B由p∥q得(a+c)·(c-a)-b·(b-a)=0,即c2-a2-b2+ab=0,由余弦定理的推論,得a2+b2-c22ab=126.DA中,∵asinA=∴sinB=16×sin30°∴B=90°,即只有一解;B中,sinC=20sin60°18=c>b,∴C>B,故有兩解;C中,∵A=90°,a=5,c=2,∴b=a2-c2=即有解.故A、B、C都不正確,故選D.7.A由題圖可知,∠ACB=α+β=50°+70°=120°.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=902+1502-2×90×150×-=44100,所以AB=210mm,即DE=210mm.故選A.8.D∵(a2+c2-b2)tanB=3ac,∴a2+c2-b即cosB·tanB=sinB=32∵0<B<π,∴角B的值為π3或2π9.D由正弦定理和余弦定理的推論得a+b=c·b2+c2-a22bc+a2+c2-b22ac,即2a2b+2ab2∴a2b+ab2+a3+b3=ac2+bc2,∴(a+b)(a2+b2)=(a+b)c2,∵a+b≠0,∴a2+b2=c2,∴△ABC為直角三角形,故選D.10.C由正弦定理及已知得,a2=b2+bc+c2,∴b2+c2-a2=-bc,∴cosA=b2+c2-a22bc=-12,又11.C如圖,∵CD平分∠ACB,∴D到AC與D到BC的距離相等,∴△ACD中AC邊上的高與△BCD中BC邊上的高相等.又∵A<B,∴BC<AC,由題意可知,S△ACD∶S△BCD=3∶2,∴ACBC=3由正弦定理得sinBsinA=32,又∵∴sin2AsinA=32,即∴cosA=3412.A如圖所示,設行駛x小時后甲船到點C,乙船到點D,兩船相距y千米,由題意知∠DBC=180°-60°=120°.甲船到達B點之前時,在△BCD中,BC=(10-4x)千米,BD=6x千米,CD=y千米,由余弦定理,得y2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6xcos120°=28x2-20x+100=28x2=28x-514∴當x=514時,y2有最小值,即y有最小值,此時航行的時間是514×60=1507(二、填空題13.答案a2+b2<c2解析∵cosC=a2+b2-∴cosC<0,∴a2+b2-c2<0,∴a2+b2<c2.14.答案32≤a解析由題可知長為a+2的邊所對的角為最大角,且最大角的范圍是(90°,120°],所以a解得32≤a<315.答案4解析由正弦定理及b(sinA-sinB)=asinA-csinC,得ab=b2+a2-c2,所以cosC=b2+a2-c22ab=12①,又C∈(0,π),所以C=π3,所以sinC=32,由△ABC的面積為312c2,得312c2=12absinC,即c2=3ab,代入①,得b16.答案93km/h解析輪船從C到B用時80分鐘,從B到E用時20分鐘,而船始終勻速前進,由此可得,BC=4EB.設EB=xkm,則BC=4xkm,由已知得∠BAE=30°,∠EAC=150°.在△AEC中,由正弦定理得ECsin∠EAC=則sinC=AE·sin∠EACEC=在△ABC中,由正弦定理得BCsin120°=∴AB=BC·sinCsin120°在△ABE中,由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos30°=163+25-2×433×5×32=313,故BE=∴船速v=BEt=31313三、解答題17.解析(1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinB·cos2A=2sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=2sinA,故sinB=2sinA,所以ba=2. (4分(2)由余弦定理的推論和c2=b2+3a2,得cosB=(1+3)a由(1)知b2=2a2,故c2=(2+3)a2,可得cos2B=12,又cosB>0, (8分所以cosB=22,所以B=45°. (10分18.解析(1)∵cosB=35>0,且0<B∴sinB=1-cos2B=由正弦定理得asinA=∴sinA=asinBb=2×454(2)∵S△ABC=12acsinB∴12×2×c×45=4,∴c=5. (8由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=22+52-2×2×5×35=17,∴b=17(負值舍去). (12分19.解析如圖所示,設△ABC的內(nèi)角∠BAC,B,C所對邊分別是a,b,c,則b=32,c=6. (2分)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(32)2+62-2×32×6×cos3π4=18+36-(-36)=90,所以a=310(負值舍去). (4分由正弦定理得sinB=bsin∠BACa=3310=由題設知0<B<π4,所以cosB=1-sin2B=1在△ABD中,因為AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B, (10分)所以AD=AB·sinBsin(π-2B)20.解析(1)在△AOM中,AO=15km,∠AOM=β且cosβ=31313,OM=3由余弦定理得,AM2=AO2+OM2-2AO·OM·cos∠AOM=152+(313)2-2×15×313×31313=72, (4∴AM=62km(負值舍去),即高校M與站A之間的距離AM的長為62km.(6分)(2)∵cosβ=31313,且β∴sinβ=21313, (7在△AOM中,由正弦定理得,AMsinβ=OMsin∠MAO,即∴sin∠MAO=22,∵∠MAO為三角形內(nèi)角∴∠MAO=π4,∴∠ABO=α-π4, (8∵tanα=2,0<α<π4∴sinα=25,cosα=15, (9∴sin∠ABO=sinα-π4=110,又∠AOB=π-α,∴sin∠AOB=sin(π-α)=2在△AOB中,AO=15km,由正弦定理得,ABsin∠AOB=即AB25=15110,∴即鐵路AB段的長為302km. (12分)21.解析(1)∵cos2C+22cosC+2=0,∴2cos2C+22cosC+1=0, (2分)即(2cosC+1)2=0,∴cosC=-22. (4分又C∈(0,π),∴C=3π4. (6分(2)∵c2=a2+b2-2abcosC=3a2+2a2=5a2,∴c=5a(c=-5a舍去),即sinC=5sinA, (7分)∴sinA=15sinC=1010. (8∵S△ABC=12absinC,且S△ABC=22sinAsinB,∴12absinC=22sinAsinB∴absinAsinB·sinC=2∴csinC2sinC=2,解得c=1(負值舍去).22.解析(1)由題可得f(x)=msinx+2cosx=m2+2sin(x+θ)tanθ=因為f(x)的最大值為m2所以m2+2=2. (3又m>0,所以m=2,f(x)=2sinx+π4.由2kπ+π2≤x