專題5-3數(shù)列求和及綜合大題歸類（原卷版）

專題5-3數(shù)列求和及綜合大題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01等差等比公式法求和 1題型02等差、等比、裂項(xiàng)、三角型分組求和 2題型03中心對(duì)稱型倒序求和 3題型04難度較大的錯(cuò)位相消求和 4題型05奇偶討論、正負(fù)相間型求和 5題型06插入數(shù)型求和 6題型07分段型數(shù)列求和 8題型08裂項(xiàng)相消型求和 8題型09裂項(xiàng)歸類：降冪分離型 10題型10裂項(xiàng)歸類：分子是分母差的線性型 10題型11裂項(xiàng)歸類：指數(shù)等差型裂項(xiàng) 11題型12裂項(xiàng)歸類：指數(shù)與等差“同構(gòu)”型 12題型13正負(fù)型裂項(xiàng)：正負(fù)基礎(chǔ)型 13題型14正負(fù)型裂項(xiàng)：等差裂和型 14題型15正負(fù)型裂項(xiàng)：指數(shù)裂和型 14題型16裂項(xiàng)歸類：三角函數(shù)型 15題型17通項(xiàng)分段求和 16高考練場(chǎng) 17題型01等差等比公式法求和【解題攻略】對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解等差數(shù)列有關(guān)公式：通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).等比數(shù)列有關(guān)公式：通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1； (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))【典例1-1】（2024上·四川自貢·高三統(tǒng)考）設(shè)是等差數(shù)列，若．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和及其最值．【典例1-2】（2024上·湖北·高三湖北省武漢市漢鐵高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的最小值.【變式1-1】（2024上·河南·高三校聯(lián)考）已知公比不為1的等比數(shù)列滿足，且是等差數(shù)列的前三項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式1-2】（2023上·海南省直轄縣級(jí)單位·高三?？迹┰诘炔顢?shù)列中，已知：，.(1)求數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值，并指出此時(shí)正整數(shù)的值.題型02等差、等比、裂項(xiàng)、三角型分組求和【解題攻略】分組求和1.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減2.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減3.形如an＝，用分組求和法，分別求和而后相加減【典例1-1】（23·24上·徐匯·）若數(shù)列滿足條件：存在正整數(shù)k，使得對(duì)一切，都成立，則稱數(shù)列為k級(jí)等差數(shù)列；(1)已知數(shù)列為2級(jí)等差數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為2，0，4，3，求的值；(2)若（），且是3級(jí)等差數(shù)列，求的最小正值，及此時(shí)數(shù)列的前3n項(xiàng)和；【典例1-2】（22·23上·廣安·）已知數(shù)列滿足.等比數(shù)列的公比為3，且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式1-1】（23·24上·成都·階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【變式1-2】（23·24上·鹽城·）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，且，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型03中心對(duì)稱型倒序求和【解題攻略】倒序求和如果一個(gè)數(shù)列，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)和與倒著寫(xiě)和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。比較常見(jiàn)于等差數(shù)列，以及具有中心對(duì)成的函數(shù)型數(shù)列求和【典例1-1】（22·23·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．(1)計(jì)算的值．(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【典例1-2】（21·22·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)，且，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；(2)若且求；【變式1-1】（20·21·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.【變式1-2】（20·21·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和．題型04難度較大的錯(cuò)位相消求和【解題攻略】錯(cuò)位相減法：形如an＝，用錯(cuò)位相減法求解．錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）適用條件若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和．（2）基本步驟（3）思維結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖示如下（4）注意事項(xiàng)①在寫(xiě)出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．①②得：．整理得：．（5）萬(wàn)能公式：形如的數(shù)列求和為，其中，，（6）公式秒殺:(錯(cuò)位相減都可化簡(jiǎn)為這種形式,對(duì)于求解參數(shù)與,可以采用將前1項(xiàng)和與前2項(xiàng)和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出結(jié)果或者作為檢驗(yàn)對(duì)錯(cuò)的依據(jù).)【典例1-1】（23·24上·廈門(mén)·）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，，且既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，其中，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【典例1-2】．（23·24上·無(wú)錫·）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，且對(duì)一切都成立．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，將插入的個(gè)數(shù)之和記為，其中．求數(shù)列的前項(xiàng)和．【變式1-1】（23·24上·溫州·）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上，，求以及的最小值.【變式1-2】（23·24上·丹東·）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，數(shù)列是等比數(shù)列，且(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)記，其中，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．題型05奇偶討論、正負(fù)相間型求和【解題攻略】正負(fù)相間求和：1.奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時(shí)候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最后的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)?！镜淅?-1】（2024上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考）已知等差數(shù)列的公差為，且，設(shè)為的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.(1)若，且，求；(2)若數(shù)列也是公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【典例1-2】（2024上·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？迹┮阎獢?shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)n都有．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（），若且，求集合A中所有元素的和．【變式1-1】（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式1-2】（2024上·江蘇·高三）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)一切都成立.若是公差為2的等差數(shù)列，.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型06插入數(shù)型求和【解題攻略】插入數(shù)型1.插入數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，可通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列來(lái)求解個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，公差記為，所以：插入數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，可通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列來(lái)求解個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，公差記為，所以：插入數(shù)混合型混合型插入數(shù)列，其突破口在于：在插入這些數(shù)中，數(shù)列提供了多少項(xiàng)，其余都是插入進(jìn)來(lái)的?！镜淅?-1】（2024·全國(guó)·武鋼三中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，將中的項(xiàng)按原有順序依次插入到數(shù)列中，使與之間插入2項(xiàng)，形成新數(shù)列，求此新數(shù)列前面20項(xiàng)的和.【典例1-2】（2018下·江蘇南京·高三南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？迹┰O(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為；數(shù)列滿足（，）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）①試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；②在①結(jié)論下，若對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，符到一個(gè)數(shù)列．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)．【變式1-1】（2023上·上海普陀·高三上海市晉元高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列滿足（為正整數(shù)，為常數(shù)），則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，為公方差.(1)已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為：，，判斷上述兩個(gè)數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公方差為2的等方差數(shù)列，在（1）的條件下，在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前30項(xiàng)的和.【變式1-2】（2022上·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1=1且滿足，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn+1=3bn.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn；(3)若在bk與bk+1之間依次插入數(shù)列{an}中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求數(shù)列{cn}中前50項(xiàng)的和T50..題型07分段型數(shù)列求和【解題攻略】分段數(shù)列求和：1.分奇偶討論，各自新數(shù)列求和。注意奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各自項(xiàng)數(shù)。2.要注意處理好奇偶數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：（1）可構(gòu)建新數(shù)列；（2）可“跳項(xiàng)”求和【典例1-1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【典例1-2】已知數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，，．(1)求及數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【變式1-1】已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為（），數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【變式1-2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)定義，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.題型08裂項(xiàng)相消型求和【解題攻略】常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消法求和類型(1)；（2）；（3）；（4）；分式型：，，等；【典例1-1】（23·24上·福州·）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)設(shè)為數(shù)列前n項(xiàng)的和，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【典例1-2】（23·24上·威海·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【變式1-1】（23·24上·閔行·）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.(1)求和；(2)設(shè)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式1-2】（23·24上·佛山·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．(1)證明：數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若，證明．題型09裂項(xiàng)歸類：降冪分離型【解題攻略】分離常數(shù)型分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂項(xiàng)，可以考慮通過(guò)分離常數(shù)，把分子次冪降下來(lái)?！镜淅?-1】．（22·23下·十堰·階段練習(xí)）設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，并且對(duì)于所有的正整數(shù)，與2的等差中項(xiàng)等于與2的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求證：.【典例1-2】（22·23下·河池·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【變式1-1】（23·24上·深圳·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求．(3)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，求的最小值．【變式1-2】（23·24上·南昌·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：對(duì)任意的為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).題型10裂項(xiàng)歸類：分子是分母差的線性型【解題攻略】分式型分子裂差法如果數(shù)列通項(xiàng)滿足“分子是分母差的線性關(guān)系”即【典例1-1】（22·23·秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【典例1-2】（23·24上·湖北·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．【變式1-1】（22·23·海口·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足為常數(shù).(1)求及的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列，求前項(xiàng)和的.【變式1-2】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求及；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型11裂項(xiàng)歸類：指數(shù)等差型裂項(xiàng)【解題攻略】指數(shù)裂項(xiàng)法【典例1-1】（2024·福建廈門(mén)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)，且時(shí)，．(1)證明：為等比數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求正整數(shù)的最小值．【典例1-2】（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？迹┮阎獢?shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.【變式1-1】（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【變式1-2】（2023上·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，記.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)記，證明；數(shù)列的前項(xiàng)和.題型12裂項(xiàng)歸類：指數(shù)與等差“同構(gòu)”型【解題攻略】指數(shù)與等差數(shù)列“同構(gòu)”【典例1-1】（22·23·河南·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【典例1-2】（23·24上·合肥·階段練習(xí)）在數(shù)和之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，令.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式1-1】（22·23下·撫順·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式1-2】（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．題型13正負(fù)型裂項(xiàng)：正負(fù)基礎(chǔ)型【解題攻略】正負(fù)相間求和：1.奇偶項(xiàng)正負(fù)相間型求和，可以兩項(xiàng)結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時(shí)候，直接代入偶數(shù)項(xiàng)公式，再加上最后的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)。【典例1-1】（22·23下·德州·）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且滿足，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【典例1-2】（22·23下·武漢·）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，問(wèn)是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式1-1】（22·23高三下·湖北·）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【變式1-2】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求、、的值；（2）求出及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.題型14正負(fù)型裂項(xiàng)：等差裂和型【解題攻略】正負(fù)型等差裂和型【典例1-1】（22·23下·荊州·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和分別為，.若的公差為整數(shù)，且，求.【典例1-2】（22·23·三明·三模）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，證明：.【變式1-1】（22·23下·武漢·）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，問(wèn)是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式1-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．.題型15正負(fù)型裂項(xiàng)：指數(shù)裂和型【解題攻略】正負(fù)型：等指數(shù)裂和型【典例1-1】（21·22高三下·重慶沙坪壩·）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【典例1-2】（22·23高三下·黑龍江哈爾濱·）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍.【變式1-1】（22·23下·武清·階段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列，公比大于，其前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，已知，，，.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.（i）求；（ii）求.【變式1-2】（23·24上·黔東南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前n項(xiàng)和.題型16裂項(xiàng)歸類：三角函數(shù)型【典例1-1】（2023·山東威?！ざ＃┮阎?n＋2個(gè)數(shù)排列構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，其中第1個(gè)數(shù)為1，第2n＋2個(gè)數(shù)為8，設(shè)．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．【典例1-2】（22·23上·蕪湖·）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，．且(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，已知數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)的和【變式1-1】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，的前n項(xiàng)和記作，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和．【變式1-2】（2023上·湖北武漢·高三湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項(xiàng)和，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和題型17通項(xiàng)分段求和【典例1-1】在公差為2的等差數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【典例1-2】在公差不為0的等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前12項(xiàng)和．【變式1-1】（2024上·浙江杭州·高三杭州高級(jí)中學(xué)?？迹┮阎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，的前項(xiàng)和為，求.【變式1-2】（2024上·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考）已知遞增的等比數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.高考練場(chǎng)1.（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和，若，求的最小值.2.（23·24上·六安·階段練習(xí)）已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．3.（20·21上·開(kāi)封·階段練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若記，2，3，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4.（23·24上·邢臺(tái)·）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.5.（2024上·山西晉城·高三晉城市第一中學(xué)校?？迹┮阎獢?shù)列是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，前n項(xiàng)和記為，，()，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前n