甘肅省慶陽(yáng)市環(huán)縣環(huán)縣第一中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題

環(huán)縣一中20222023學(xué)年度高一數(shù)學(xué)5月月考卷滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘一?單選題（每小題5分，共40分）1.若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則z的虛部是（）A B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】，所以z的虛部是3.故選：B2.如圖，是水平放置的直觀圖，其中，軸，軸，則（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】借助余弦定理計(jì)算可得直觀圖中的長(zhǎng)度，結(jié)合斜二測(cè)畫法可知形狀及邊長(zhǎng)，即可得.【詳解】在，，，由余弦定理可得：，即，而，解得，由斜二測(cè)畫法可知：中，，，，故.故選：C.3.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是A中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差【答案】A【解析】【分析】可不用動(dòng)筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案．【詳解】設(shè)9位評(píng)委評(píng)分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，A正確．②原始平均數(shù)，后來(lái)平均數(shù)平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確③由②易知，C不正確．④原極差，后來(lái)極差可能相等可能變小，D不正確．【點(diǎn)睛】本題旨在考查學(xué)生對(duì)中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解.4.蘇軾是北宋著名的文學(xué)家、書法家、畫家，在詩(shī)詞文書畫等方面都有很深的造詣．《蝶戀花春景》是蘇軾一首描寫春景的清新婉麗之作，表達(dá)了對(duì)春光流逝的嘆息詞的下闕寫到：“墻里秋千墻外道．墻外行人，墻里佳人笑．笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無(wú)情惱．”假如將墻看作一個(gè)平面，秋千繩、秋千板、墻外的道路看作直線，那么道路和墻面平行，當(dāng)秋千靜止時(shí)，秋千板與墻面垂直，秋千繩與墻面平行．在佳人蕩秋千的過程中，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.秋千繩與墻面始終平行 B.秋千繩與道路始終垂直C秋千板與墻面始終垂直 D.秋千板與道路始終垂直【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖中秋千繩，墻面，道路的位置關(guān)系以及相關(guān)的線面，線線垂直的判定定理、性質(zhì)定理等即可判斷．【詳解】顯然，在蕩秋千的過程中，秋千繩與墻面始終平行，但與道路所成的角在變化，則秋千繩與道路的位置關(guān)系在發(fā)生變化，而秋千板始終與墻面垂直，故也與道路始終垂直．故選：B.5.如圖，從無(wú)人機(jī)上測(cè)得正前方的峽谷的兩岸，的俯角分別為，，若無(wú)人機(jī)的高度是，則此時(shí)峽谷的寬度是（）A.60 B. C.30 D.【答案】A【解析】【分析】利用銳角三角函數(shù)，得到，，進(jìn)而利用，即可得到答案.【詳解】由已知得，得到，，故選：A6.如圖，在直三棱柱中，D為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)E，連接，易得（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，進(jìn)而求其大小即可.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)E，連接，則，則（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角.由條件知：，則，故選：C.7.在中，已知，，，則向量在方向上的投影為（）．A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形內(nèi)角和及正弦定理求得、，再根據(jù)向量投影的定義求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，則，可得，所以向量在方向上的投影為.故選：C8.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，則（）A.4 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到，然后由，求得，再由正弦定理求解.【詳解】根據(jù)條件，由正弦定理，得，所以，所以．由余弦定理，得，因?yàn)椋裕?，得，所以．由正弦定理，得，所以．故選：C.二?多選題（每小題5分，共20分.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分）9.下列命題正確的是（

）A.平行于同一個(gè)平面的兩直線平行B.兩條平行直線被兩個(gè)平行平面所截得的線段相等C.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行，這兩平面平行D.一條直線與兩平行平面中的一平面平行，則與另一平面也平行【答案】BC【解析】【分析】以長(zhǎng)方體為例，舉例即可判斷A、C、D；根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可證得線線平行，進(jìn)而通過證明平行四邊形，即可得出B項(xiàng).詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如圖1，長(zhǎng)方體中，平面，平面，但是，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，如圖2，已知兩個(gè)平面，，兩條直線，且直線，，，.因?yàn)?，所以可?gòu)成平面，設(shè)為，則由圖可知，，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，.又因?yàn)?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)面面平行的判定定理可知，C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，如圖1，長(zhǎng)方體中，平面，平面平面，但是平面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用兩角和差的正弦公式、正切公式的逆運(yùn)用可以分別計(jì)算出A、D選項(xiàng)，利用二倍角正弦公式的逆運(yùn)用可以計(jì)算出B選項(xiàng)，根據(jù)降冪公式可以化簡(jiǎn)病求出C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以D正確；故選：AD.11.已知向量，，則下列命題正確的是（）A.存在，使得 B.當(dāng)時(shí)，與垂直C.當(dāng)時(shí)， D.對(duì)任意，都有【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系結(jié)合條件可判斷B，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及同角關(guān)系式可判斷C，利用特值可判斷D.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，若，則，即，又，故不存在，使得，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，即與垂直，故B正確；當(dāng)時(shí)，所以，∴，即，所以，即，故C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.平面C.點(diǎn)到平面的距離為 D.與平面所成角的正弦值為【答案】ACD【解析】【分析】連接，根據(jù)，，證得平面，可判定A正確；根據(jù)與是相交直線，可判定B不正確；由平面，得到到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，可判定C正確；取的中點(diǎn)，連接，證得平面，得到為平面與平面所成的角，在直角中，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，連接，在正方形中，可得,又由平面，且平面，所以因?yàn)榍移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以A正確；對(duì)于B中，在平面內(nèi)，可得與不平行，即是相交直線，所以與平面不平行，所以B不正確；對(duì)于C中，在正方體中，同A分析，易得平面，因?yàn)槠矫妫以谏?，所以到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，又因?yàn)?，即到平面的距離為，所以C正確；對(duì)于D中，取的中點(diǎn)，連接及，在正方體中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得平面，所以為平面與平面所成的角，在直角中，，所以，所以D正確.故選：ACD.三?填空題（每小題5分，共20分）13.在立體幾何中，下列結(jié)論一定正確的是_______.（請(qǐng)?zhí)钏姓_結(jié)論的序號(hào)）①一般地，由一個(gè)平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱；②用一個(gè)平面去截棱錐，得到兩個(gè)幾何體，一個(gè)仍然是棱錐，另一個(gè)我們稱為棱臺(tái)；③將直角三角形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體叫做圓錐；④將直角梯形繞著它的垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體叫做圓臺(tái).【答案】①④【解析】【分析】根據(jù)棱柱，棱臺(tái)，圓錐及圓臺(tái)的概念逐項(xiàng)分析即得.【詳解】①一個(gè)平面多邊形沿某一方向平移后兩平面平行，且平移長(zhǎng)度相等，符合棱柱定義，正確；②用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的幾何體為棱臺(tái)，故②錯(cuò)誤；③將直角三角形繞著它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體叫做圓錐，故③錯(cuò)誤；④將直角梯形繞著它的垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體叫做圓臺(tái)，正確.故答案為：①④.14.已知向量，，．若，則實(shí)數(shù)___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算與垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，解得，故答案為?5.已知，則_______．【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為齊次式求解.【詳解】，故答案為：16.正三棱錐中，，，則直線和平面所成的角的正弦值為___．【答案】##【解析】【分析】先作出直線和平面所成的角，進(jìn)而利用三角函數(shù)求得該角的正弦值.【詳解】取正中心為O，連接并延長(zhǎng)交于D，連接，則D為中點(diǎn)，平面，則為直線和平面所成的角，中，，，，則，中，，，，則，則.則直線和平面所成的角的正弦值為.故答案為：四?解答題（17題滿分10分，1822題滿分12分，共70分）17.已知向量，．（1）求；（2）已知，且，求向量與向量的夾角．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)表示，再借助坐標(biāo)計(jì)算向量的模作答.（2）由向量的模，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算律轉(zhuǎn)化求出向量的數(shù)量積，再求出夾角作答.【小問1詳解】向量，，則，所以.【小問2詳解】由，，得，解得，由，得，于是，而，則有，所以向量與向量的夾角.18.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N，P分別為AB，BC，B1C1的中點(diǎn)．（1）求證：AC∥平面B1MN；（2）求證：平面ACP∥平面B1MN．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)．所以MN∥AC，利用線面平行的判定定理即可證明AC∥平面B1MN；（2）由已知，P為B1C1的中點(diǎn)．可證B1P＝CN，B1P∥CN，從而證明四邊形B1PCN是平行四邊形，得到CP∥B1N，利用線面平行的判定定理即可證明CP∥平面B1MN，結(jié)合第（1）問AC∥平面B1MN，利用面面平行的判定定理即可證明平面ACP∥平面B1MN.【小問1詳解】證明：因?yàn)镸，N分別為AB，BC的中點(diǎn)．所以MN∥AC，因?yàn)镸N?平面B1MN，平面B1MN，所以AC∥平面B1MN，得證.【小問2詳解】證明：因?yàn)镻為B1C1的中點(diǎn)．所以B1P＝CN，又因?yàn)锽1P∥CN，所以四邊形B1PCN是平行四邊形，所以CP∥B1N，又因?yàn)锽1N?平面B1MN，平面B1MN，所以CP∥平面B1MN，由第（1）問，AC∥平面B1MN，AC∩CP＝C，AC?平面ACP，CP?平面ACP，所以平面ACP∥平面B1MN．得證.19.某校對(duì)100名高一學(xué)生的某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分成五組，得到如圖所示頻率分布直方圖.（1）求圖中a的值；（2）估計(jì)該校高一學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)；（3）估計(jì)該校高一學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績(jī)的75%分位數(shù).【答案】（1）（2）眾數(shù)為，平均數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可求解；可得，（2）根據(jù)頻率分布直方圖的中眾數(shù)的概念和平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解；（3）因?yàn)?0到80的頻率和為0.65，50到90的頻率和為0.9，結(jié)合百分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，即可求解.【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得.【小問2詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖的中眾數(shù)的概念，可得眾數(shù)為，平均數(shù)為.【小問3詳解】解：因?yàn)?0到80的頻率和為0.65，50到90的頻率和為0.9，所以75%分位數(shù)為.20.在中，．（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).小問1詳解】解：因?yàn)椋瑒t，由已知可得，可得，因此，.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長(zhǎng)為.21.已知函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若f（x）在區(qū)間上的最小值為1，求m的最小值．【答案】（1）．,

．（2）【解析】【分析】（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】（1）由題意，函數(shù)，==，所以的最小正周期：．由，解得即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

．（2）由（1）知，因?yàn)?，所以．要使f（x）在區(qū)間上的最小值為1，即在區(qū)間上的最小值為1．所以，即．所以m的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及