2025年高考數(shù)學一輪復習講義 考點歸納與方法總結 第13講 函數(shù)與方程及函數(shù)模型的應用（精講）（含解析）

2025年高考數(shù)學一輪復習講義及高頻考點歸納與方法總結（新高考通用）第13講函數(shù)與方程及函數(shù)模型的應用（精講）①求函數(shù)的零點和零點所在區(qū)間問題②與零點有關的參數(shù)問題③二分法的應用④常見函數(shù)模型①-二次函數(shù)和分段函數(shù)⑤常見函數(shù)模型②-指對冪函數(shù)一、必備知識整合一、必備知識整合一、函數(shù)的零點對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.二、方程的根與函數(shù)零點的關系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點函數(shù)有零點.三、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內有零點，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法（1）定義：對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.（2）用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟①確定區(qū)間，驗證，給定精度.②求區(qū)間的中點.③計算.若則就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）④判斷是否達到精確度，即若，則函數(shù)零點的近似值為（或）；否則重復第（2）~（4）步.（用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.）五、幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型，為常數(shù)且反比例函數(shù)模型，為常數(shù)且二次函數(shù)模型，，為常數(shù)且指數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，對數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，冪函數(shù)模型，為常數(shù)，六、解函數(shù)應用問題的步驟(1)審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數(shù)學模型;(3)解模：求解數(shù)學模型，得出結論；(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題．函數(shù)的零點相關技巧:①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調函數(shù)，則至多有一個零點.②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點時，函數(shù)值不一定變號.④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點，不一定能推出.二、考點分類精講二、考點分類精講【題型一求函數(shù)的零點和零點所在區(qū)間問題】1.確定函數(shù)零點個數(shù)的方法2.判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法【典例1】（單選題）（2023·陜西西安·模擬預測）函數(shù)的零點為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)零點的定義即可求解.【詳解】令，得，則．故選：A【典例2】（單選題）（23-24高三下·北京·階段練習）函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷的單調性，結合零點存在性定理分析判斷.【詳解】因為的定義域為，且在內單調遞增，可知在內單調遞增，且，所以函數(shù)的唯一一個零點所在的區(qū)間是.故選：B.一、單選題1．（2024高二下·湖南·學業(yè)考試）函數(shù)的零點是（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】令，求解方程即得.【詳解】由，設，則得，解得，從而，所以.故選：C.2．（23-24高三上·浙江寧波·期末）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點存在性定理進行求解.【詳解】由已知，可知為增函數(shù)，且，，根據(jù)零點存在定理，函數(shù)在有零點，且零點是唯一的.故選：B3．（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內的零點個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的性質求解即可.【詳解】令，得，則；故，，所以在共有4個零點，故選：C.4．（23-24高三下·北京海淀·階段練習）已知符號函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先分段寫出的解析式，然后分類求方程的根即可.【詳解】令，則，當時，若，得，符合；當時，若，得，符合；當時，若，得，符合；故函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：C.5．（2023·廣西·一模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個零點，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)、函數(shù)零點的定義，列式求解作答.【詳解】因為是函數(shù)的一個零點，則，于是，即，而函數(shù)是奇函數(shù)，則有，所以.故選：D6．（2023·北京·模擬預測）已知函數(shù)，若方程的實根在區(qū)間上，則k的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)x的取值范圍不同，分別解出根即可得出答案.【詳解】當時，，當時，解得；當時，，其中，，當時，解得，綜上k的最大值是1.故選：C.7．（22-23高一上·四川涼山·期末）函數(shù)，則函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【分析】令，根據(jù)，求得或，再根據(jù)和，結合分段函數(shù)的解析式，即可求解.【詳解】令，由得或，所以或，當時，或，當時，則或，解得，所以函數(shù)的所有零點之和為.故選：D.8．（2024·山東濰坊·二模）已知函數(shù)則圖象上關于原點對稱的點有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】C【分析】作出的圖象，再作出函數(shù)關于原點對稱的圖象，進而數(shù)形結合判斷即可.【詳解】作出的圖象，再作出函數(shù)關于原點對稱的圖象如圖所示.因為函數(shù)關于原點對稱的圖象與圖象有三個交點，故圖象上關于原點對稱的點有3對.

故選：C9．（22-23高一上·陜西西安·期末）已知函數(shù)，則關于的方程實數(shù)解的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．3 D．2【答案】A【分析】由解得或2，再畫出，，的圖象數(shù)交點個數(shù)即可.【詳解】因為，解之得或2，當時，；當時，，當且僅當時等號成立，所以，，的圖象如圖：由圖可知使得或的點有4個.故選：A.10．（22-23高二下·河南焦作·期末）設分別是方程，，的實根，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用零點的存在性定理，求得，，作出與的圖象，結合圖象得到或，即可求解.【詳解】令，可得在上單調遞增，又由，所以；再令，可得在上單調遞增，且，所以；對于，即，則方程的根為與的圖象交點的橫坐標，在同一平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)圖象，如圖所示，由圖可知，或，綜上，.故選：B.11．（23-24高三下·江蘇·階段練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】準確分析函數(shù)性質，在同一平面直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】，所以的最大值為2，當取最大值時，有，即，由，令，解得，當趨于時，趨于正無窮，而，所以在上存在一個零點，根據(jù)上述分析，在同一平面直角坐標系中畫出的圖象與的圖象如圖所示，

由圖可知，在上存在一個零點，在上存在個零點，綜上所述，的圖象與的圖象共有11個交點.故選：C．【點睛】關鍵點點睛：關鍵是對區(qū)間進行適當劃分，從而研究函數(shù)在各個區(qū)間上的性質，由此即可順利得解.二、填空題【題型二與零點有關的參數(shù)問題】已知函數(shù)有零點(方程有根)，求參數(shù)的值或取值范圍【典例1】（單選題）（2023高二下·浙江溫州·學業(yè)考試）設實數(shù)a為常數(shù)，則函數(shù)存在零點的充分必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二次函數(shù)與二次方程之前的關系，以及根的分布列出關于的不等式，解之即可得解.【詳解】因為函數(shù)存在零點，等價于方程在上存在零點，注意到的圖像開口向上，對稱軸為，且，故上述條件等價于，即，解得.所以函數(shù)存在零點的充分必要條件是.故選：A.【典例2】（單選題）（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用參變分離法，將函數(shù)存在兩個零點轉化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導數(shù)探究函數(shù)的圖象及趨勢特征即得參數(shù)范圍.【詳解】由，，可得：，令，依題意，函數(shù)存在兩個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.又，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，故時，取得極大值，且當時，，當時，，故要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.，需使，解得.故選：C.一、單選題1．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用參變分離法，將函數(shù)存在兩個零點轉化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導數(shù)探究函數(shù)的圖象及趨勢特征即得參數(shù)范圍.【詳解】由，，可得：，令，依題意，函數(shù)存在兩個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.又，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，故時，取得極大值，且當時，，當時，，故要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.，需使，解得.故選：C.2．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知m為常數(shù)，函數(shù)，則“”是“有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用函數(shù)零點的意義，結合充分條件、必要條件的定義判斷得解.【詳解】當時，恒成立，即函數(shù)沒有零點，反之，有零點，即有解，因此，則，所以“”是“有零點”的必要不充分條件.故選：B3．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)在內有零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)零點存在性定理，即可列式求解.【詳解】是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是上的增函數(shù).因為在內有零點，所以，解得.故選：A4．（23-24高三上·內蒙古呼和浩特·開學考試）若函數(shù)存在1個零點位于內，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應用零點存在定理結合函數(shù)單調性列不等式求解即可.【詳解】若函數(shù)存在1個零點位于內，單調遞增,又因為零點存在定理，.故選：A.5．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）為函數(shù)的兩個零點，其中，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，由函數(shù)零點的意義可得直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，結合函數(shù)的性質可得，再借助對勾函數(shù)性質及基本不等式逐項分析得解.【詳解】函數(shù)的定義域為，由，得，因此直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，其橫坐標為，而當時，遞減，當時，遞增，于是，對于A，由，得，即，A正確；對于B，，而函數(shù)在上單調遞增，因此，B正確；對于C，，函數(shù)在上單調遞增，因此，C錯誤；對于D，，當且僅當時取等號，D正確.故選：C6．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）若函數(shù)恰有兩個零點,則實數(shù)的取值不可能為（

）A．0 B． C．2 D．3【答案】A【詳解】根據(jù)零點定義，逐個帶入分析判斷即可得解.【點睛】若，可得，此時令可得，只有一個零點，故A不符合；若，可得，此時令可得，恰有兩個零點，故B符合；若，可得，此時令可得，恰有兩個零點，故C符合；若，可得，此時令可得，恰有兩個零點，故D符合；故選：A7．（2024·四川巴中·一模）若函數(shù)在區(qū)間內恰有一個零點，則實數(shù)a的取值集合為（

）A． B．或.C． D．或.【答案】D【分析】根據(jù)題意，分和，結合二次函數(shù)的性質，以及零點存在性定理，列出不等式，即可求解.由函數(shù)，【詳解】由函數(shù)，若，可得，令，即，解得，符合題意；若，令，即，可得，當時，即，解得，此時，解得，符合題意；當時，即且，則滿足，解得且，若，可得，令，即，解得或，其中，符合題意；若，可得，令，即，解得或，其中，符合題意；綜上可得，實數(shù)的取值范圍為或.故選：D.8．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的實根在區(qū)間上，則（

）A． B．2 C．或2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)方程的根與函數(shù)零點的關系轉化為函數(shù)的零點來求解，畫出函數(shù)圖象觀察交點范圍，再用零點存在性定理證明即可.【詳解】方程化為，分別做出方程左右兩邊的圖象，從圖象可知，方程，方程有兩個分別在和之間的根，下面證明：方程在和之間各有一個實根，設，根據(jù)函數(shù)性質得在區(qū)間上是增函數(shù)，又，，則，由零點存在性定理知，在區(qū)間上僅有一個零點，即方程區(qū)間上僅有一個實根，同理可得方程區(qū)間上僅有一個實根，結合題意可知，或，故選：C.9．（2024·安徽合肥·二模）已知函數(shù)，若關于的方程至少有兩個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意可得的圖象與至少有兩個不同的交點，從而得，結合圖象可得，求解即可．【詳解】因為，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由此可知函數(shù)在和上單調遞減，在上單調遞增，且，，又因為關于的方程至少有兩個不同的實數(shù)根，所以至少有兩個不同的實數(shù)根，即的圖象與至少有兩個不同的交點，所以，又因為當時，，令，可得；當時，，令，解得，又因為，所以，解得．故選:D．【題型三二分法的應用】【典例1】（單選題）（2023高三·全國·專題練習）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點，要求精確度為時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由于長度等于1區(qū)間，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，那么?jīng)過次操作后，區(qū)間長度變?yōu)?，若要求精確度為時則，解不等式即可求出所需二分區(qū)間的最少次數(shù).【詳解】因為開區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，所以?jīng)過次操作后，區(qū)間長度變?yōu)?，令，解得，且，故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.故選：C.一、單選題1．（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算得，，則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應計算的函數(shù)值分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理可知零點，結合對二分法的理解即可得出結果.【詳解】因為，由零點存在性知：零點，根據(jù)二分法，第二次應計算，即.故選：B.2．（23-24高一上·湖南長沙·期末）設，用二分法求方程在上的近似解時，經(jīng)過兩次二分法后，可確定近似解所在區(qū)間為（

）A．或都可以 B．C． D．不能確定【答案】B【分析】借助二分法定義計算即可得.【詳解】，，第一次取，有，故第二次取，有，故此時可確定近似解所在區(qū)間為.故選：B.3．（23-24高一上·吉林延邊·期末）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二分法求零點的要求，逐一分析各選項即可得解.【詳解】不能用二分法求零點的函數(shù)，要么沒有零點，要么零點兩側同號；對于A，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側異號，故可用二分法求零點；對于B，有唯一零點，但恒成立，故不可用二分法求零點；對于C，有兩個不同零點，且在每個零點左右兩側函數(shù)值異號，故可用二分法求零點；對于D，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側異號，故可用二分法求零點.故選：B.4．（23-24高一上·湖北襄陽·期末）已知函數(shù)在區(qū)間內存在一個零點，用二分法求方程近似解時，至少需要求（

）次中點值可以求得近似解（精確度為0.01）.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)二分法結合零點的近似值求解.【詳解】由所給區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?jīng)過n次操作后，區(qū)間長度變?yōu)?，故需，解得，所以至少需要操?次.故選：C5．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個近似根精確度為可以是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零點存在性定理及二分法，結合表格計算即可.【詳解】因為，，所以，所以函數(shù)在內有零點，因為，所以不滿足精確度為因為，所以，所以函數(shù)在內有零點，因為，所以不滿足精確度為因為，所以，所以函數(shù)在內有零點，因為，所以不滿足精確度為因為，所以，所以函數(shù)在內有零點，因為，所以不滿足精確度為因為，所以，所以函數(shù)在內有零點，因為，滿足精確度為，所以方程的一個近似根精確度為可以是區(qū)間內任意一個值包括端點值.故選：C.【題型四常見函數(shù)模型①-二次函數(shù)和分段函數(shù)】【典例1】（單選題）（23-24高三上·上海奉賢·期中）某紀念章從某年某月某日起開始上市，通過市場調查，得到該紀念章每1枚的市場價（單位：元）與上市時間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時間天41036市場價元905190根據(jù)上表數(shù)計，從下列函數(shù)中選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)描述該紀念章的市場價與上市時間的變化關系（

）A． B．C． D．；【答案】B【分析】由題意觀察出隨的變化趨勢，對比函數(shù)單調性即可得解.【詳解】∵隨著時間的增加，的值先減后增，而三個函數(shù)中、、顯然都是單調函數(shù)，不滿足題意，∴選擇．故選：B.一、單選題1．（23-24高一上·四川綿陽·期中）紅星幼兒園要建一個長方形露天活動區(qū)，活動區(qū)的一面利用房屋邊墻（墻長），其它三面用某種環(huán)保材料圍建，但要開一扇寬的進出口（不需材料），共用該種環(huán)保材料，則可圍成該活動區(qū)的最大面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設這個活動區(qū)垂直于墻的一邊長是，則平行于墻的一邊是，面積，再利用二次函數(shù)的性質解答即可．【詳解】設這個活動區(qū)垂直于墻的一邊長是，則平行于墻的一邊是，面積，墻長，所以，解得，對稱軸方程，拋物線開口向下，，函數(shù)在上遞減，當時，最大為（），故選：C．2．（22-23高三上·廣東深圳·期末）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)萬件該產(chǎn)品，需另投入成本萬元.其中，若該公司一年內生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價為70元，則該企業(yè)每年利潤的最大值為（

）A．720萬元 B．800萬元C．875萬元 D．900萬元【答案】C【分析】先求得該企業(yè)每年利潤的解析式，再利用分段函數(shù)求最值的方法即可求得該企業(yè)每年利潤的最大值.【詳解】該企業(yè)每年利潤為當時，在時，取得最大值；當時，（當且僅當時等號成立），即在時，取得最大值；由，可得該企業(yè)每年利潤的最大值為.故選：C3．（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）如圖，某小區(qū)內有一個矩形花壇，且矩形的周長是4，設，，則函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知寫出的解析式，利用復合函數(shù)的單調性得出選項．【詳解】由條件，得，在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[1,2)上是增函數(shù)，由題可知選項C適合題意.故選：C.二、解答題4．（23-24高三下·上?！ら_學考試）建設生態(tài)文明是關系人民福祉、關乎民族未來的大計，是實現(xiàn)中國夢的重要內容．習近平指出：“綠水青山就是金山銀山”．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)決定開墾荒地打造生態(tài)水果園區(qū)，其調研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水果樹的產(chǎn)量（單位：千克）與肥料費用（單位：元）滿足如下關系：．此外，還需要投入其它成本（如施肥的人工費等）元．已知這種水果的市場售價為16元千克，且市場需求始終供不應求．記該棵水果樹獲得的利潤為（單位：元）．(1)求的函數(shù)關系式(2)當投入的肥料費用為多少時，該水果樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)當投入的肥料費用為40元時，種植該果樹獲得的最大利潤是430元．【分析】（1）根據(jù)題意可得，則化為分段函數(shù)即可，（2）根據(jù)分段函數(shù)的解析式即可求出最大利潤．【詳解】（1）；（2）當時，，對稱軸為,當時，，當時，當且僅當時等號成立答：當投入的肥料費用為40元時，種植該果樹獲得的最大利潤是430元．5．（23-24高二下·山東德州·期中）某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為萬元，每生產(chǎn)萬箱，需另投入成本萬元，當產(chǎn)量不足萬箱時，；當產(chǎn)量不小于萬箱時，，若每箱產(chǎn)品的售價為200元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品可以全部每售完.(1)求銷售利潤（萬元）關于產(chǎn)量（萬箱）的函數(shù)關系式；(2)當產(chǎn)量為多少萬箱時，該廠在生產(chǎn)中所獲得利潤最大？【答案】(1)(2)當產(chǎn)量為80萬箱時，所獲利潤最大【分析】（1）分和兩種情況討論，分別求出函數(shù)解析式；（2）利用導數(shù)求出函數(shù)在時的最大值，利用基本不等式求出當時的最大值，即可得解.【詳解】（1）由題意可知，銷售收入為萬元，當產(chǎn)量不足萬箱，即時，.當產(chǎn)量不小于萬箱，即時，.綜上可得.（2）設，當時，，則當時，當時，可知在上單調遞增，在上單調遞減.則，當時，由基本不等式可知，當且僅當，即時取等號.又，所以當產(chǎn)量為萬箱時，所獲利潤最大值為萬元.6．（23-24高一下·四川成都·開學考試）行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離稱為剎車距離．在某種路面上，經(jīng)過多次實驗測試，某種型號汽車的剎車距離y（米）與汽車的車速x（千米/時，）的一些數(shù)據(jù)如下表．為了描述汽車的剎車距離y（米）與汽車的車速x（千米/時）的關系，現(xiàn)有三種函數(shù)模型供選擇：①，②，③．x0406080y08.418.632.8(1)請選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，并求出相應的函數(shù)解析式；(2)如果要求剎車距離不超過13米，求行駛的最大速度．【答案】(1)最符合實際的函數(shù)模型；解析式為；(2)行駛的最大速度為千米/時．【分析】（1）結合表格數(shù)據(jù)選出最符合實際的函數(shù)模型，然后列方程組求解即可；（2）令，結合二次不等式的解法求解，再結合，即可求出的取值范圍，即可得解．【詳解】（1）結合表格數(shù)據(jù)可得最符合實際的函數(shù)模型，將，；，；，分別代入上式可得，解得，即所求的函數(shù)解析式為，；（2）令，即，解得，又，所以，即要求剎車距離不超過米，則行駛的最大速度為千米時．【題型五常見函數(shù)模型②-指對冪函數(shù)】【典例1】（單選題）（2023·云南·二模）下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價格：一次購買件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件價格37元32元30元27元25元張師傅準備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件【答案】C【分析】根據(jù)題意，設購買的件數(shù)為，花費為元，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)列出滿足的函數(shù)關系式，當時，求出的最大值即可.【詳解】設購買的件數(shù)為，花費為元，則，當時，，當時，，所以最多可購買這種產(chǎn)品件，故選：C.一、單選題1．（23-24高二下·湖南衡陽·期中）衡陽五一期間某服裝店每天進店消費的人數(shù)每天都在變化，設第天進店消費的人數(shù)為y，且y與（表示不大于的最大整數(shù)）成正比，第1天有15人進店消費，則第2天進店消費的人數(shù)為（）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【分析】利用題中的條件，第1天有15人進店消費，即可得出比例系數(shù)，進而可以解出．【詳解】由題意可設比例系數(shù)為，所以，，，當時，，故選：D．2．（2024·全國·模擬預測）某農業(yè)研究所對玉米幼穗的葉齡指數(shù)與可見葉片數(shù)進行分析研究，其關系可以用函數(shù)（為常數(shù)）表示．若玉米幼穗在伸長期可見葉片為7片，葉齡指