2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 考點歸納與方法總結(jié) 第12講 函數(shù)的圖像（精講）（含解析）

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第12講函數(shù)的圖像（精講）①畫函數(shù)的圖像②已知解析式選圖像③已知圖像選解析式④函數(shù)圖像的平移、對稱、伸縮變換⑤函數(shù)圖像的其他應(yīng)用一、必備知識整合一、必備知識整合一、基本初等函數(shù)的圖像（1）一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)；（3）反比例函數(shù)；（4）指數(shù)函數(shù)；（5）對數(shù)函數(shù)；（6）三角函數(shù)．二、描點法作圖要點描點法作函數(shù)圖象的基本步驟是列表、描點、連線，具體為：(1)①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊點：如零點、最值點、區(qū)間端點以及與坐標(biāo)軸的交點等)．(3)描點、連線．三、函數(shù)圖像變換（1）平移變換提醒：“左加右減”只針對x本身，與x的系數(shù)無關(guān)，“上加下減”指的是在f(x)整體上加減．（2）對稱變換①y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對稱))y＝－f(x)的圖象；②y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對稱))y＝f(－x)的圖象；③y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點對稱))y＝－f(－x)的圖象；④y＝ax(a＞0且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于直線y＝x對稱))y＝logax(a＞0且a≠1)的圖象．（3）含絕對值的對稱變換①的圖像是將函數(shù)的圖像保留軸上方的部分不變，將軸下方的部分關(guān)于軸對稱翻折上來得到的（如圖（a）和圖（b））所示②的圖像是將函數(shù)的圖像只保留軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于軸對稱得到函數(shù)左邊的圖像即函數(shù)是一個偶函數(shù)（如圖（c）所示）．注：的圖像先保留原來在軸上方的圖像，做出軸下方的圖像關(guān)于軸對稱圖形，然后擦去軸下方的圖像得到；而的圖像是先保留在軸右方的圖像，擦去軸左方的圖像，然后做出軸右方的圖像關(guān)于軸的對稱圖形得到．這兩變換又叫翻折變換．（4）伸縮變換①的圖像，可將的圖像上的每一點的縱坐標(biāo)伸長或縮短到原來的倍得到．②的圖像，可將的圖像上的每一點的橫坐標(biāo)伸長或縮短到原來的倍得到．1.若恒成立，則的圖像關(guān)于直線對稱．2.設(shè)函數(shù)定義在實數(shù)集上，則函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱．3.若，對任意R恒成立，則的圖象關(guān)于直線對稱．4.函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．5.函數(shù)....與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．6.函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱．7.函數(shù)平移遵循自變量“左加右減”，函數(shù)值“上加下減”．二、考點分類精講二、考點分類精講【題型一畫函數(shù)的圖像】作函數(shù)圖象的兩種常用方法【典例1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）畫下列函數(shù)的圖象(1)；(2).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）（2）把函數(shù)表達式寫成分段函數(shù)的形式，進一步把每一段函數(shù)圖象畫出來即可.【詳解】（1）由題意，其圖象如圖所示：

（2）由題意，其圖象如圖所示：

一、解答題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）利用函數(shù)f（x）＝2x的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象．①y＝f（－x）;②y＝f（|x|）;③y＝f（x）－1；④y＝|f（x）－1|；⑤y＝－f（x）；⑥y＝f（x－1）.（2）作出下列函數(shù)的圖象．①y＝（）|x|；②y＝|log2（x＋1）|；③y＝.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【詳解】解：（1）①把f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱得到y(tǒng)＝f（－x）的圖象，如圖．②保留f（x）圖象在y軸右邊部分，去掉y軸左側(cè)的，并把y軸右側(cè)部分關(guān)于y軸對稱得到y(tǒng)＝f（|x|）的圖象，如圖．③把f（x）圖象向下平移一個單位長度得到y(tǒng)＝f（x）－1的圖象，如圖．④結(jié)合③，保留x軸上方部分，然后把x軸下方部分關(guān)于x軸翻折得到y(tǒng)＝|f（x）－1|的圖象，如圖．⑤把f（x）圖象關(guān)于x軸對稱得到y(tǒng)＝－f（x）的圖象，如圖．⑥把f（x）的圖象向右平移一個單位長度得到y(tǒng)＝f（x－1）的圖象，如圖．（2）①作出y＝（）x（x≥0）的圖象，再將y＝（）x（x≥0）的圖象以y軸為對稱軸翻折到y(tǒng)軸的左側(cè)，即得y＝（）|x|的圖象，如圖①中實線部分．②將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移1個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2（x＋1）|的圖象，如圖②中實線部分．③因為y＝＝2＋，故函數(shù)圖象可由y＝的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到，如圖③.【考查意圖】基本的函數(shù)圖象變換．2．（23-24高一上·河南濮陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍，【答案】(1)作圖見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式直接畫出函數(shù)圖象；（2）結(jié)合函數(shù)解析式分段得到不等式組，解得即可.【詳解】（1）因為，所以的圖象如圖所示：（2）由題可得或或，解得或或，所以實數(shù)的取值范圍為【題型二已知解析式選圖像】辨析函數(shù)圖象的入手點(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(3)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．(4)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(5)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．【典例1】（單選題）（23-24高二下·云南大理·期中）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的定義域，以及時，且，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且，故排除B,C,當(dāng)時，且，排除A.故選：D.一、單選題1．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象是下列的（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域可排除B；求出的奇偶可排除C，D.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，解得：，故B錯誤.，則函數(shù)為奇函數(shù)，故C，D錯誤；故選：A.2．（2024·四川·模擬預(yù)測）數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一種核心的思想方法，它將數(shù)的概念與幾何圖形的特性相結(jié)合，從而使抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，復(fù)雜的幾何問題直觀化.“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛”是我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授的名言，是對數(shù)形結(jié)合簡潔而有力的表達.數(shù)與形是不可分割的統(tǒng)一體，彼此相互依存.已知函數(shù)，則的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項B?D，再舉特殊區(qū)間，排除C即可.【詳解】對于，因為，所以定義域為R，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除B?D：當(dāng)時，總有，，當(dāng)時，，，所以，排除C，故選：A.3．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】取特值可排除B，C；判斷為奇函數(shù)可排除D，即可得出答案.【詳解】當(dāng)時，，故排除選項C；當(dāng)時，，故排除選項B；令，則在上恒成立，函數(shù)在區(qū)間上是奇函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故排除選項D，A選項正確.故選：A.4．（2024·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)時的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【詳解】，因為當(dāng)時，都為增函數(shù)，所以，在上單調(diào)遞增，故B，C錯誤；又因為，所以不是奇函數(shù)，即圖象不關(guān)于原點對稱，故D錯誤.故選：A5．（2024·四川·模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合函數(shù)的定義域及特殊值的函數(shù)值的符號判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，故排除B項、D項，又因為，故排除C項.故選：A.【題型三已知圖像選解析式】【典例1】（單選題）（2024·天津·二模）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性判斷A；驗證的值判斷B；根據(jù)奇偶性、單調(diào)性判斷C；根據(jù)單調(diào)性判斷D.【詳解】由圖象知，該函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且，對于A，，為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，為奇函數(shù)，當(dāng)時，，因為，在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，故C正確；對于D，當(dāng)時，，，所以時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故D錯誤，故選：C.一、單選題1．（2024·天津·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)排除A，根據(jù)定義域排除B，根據(jù)奇偶性排除C，進而可得答案.【詳解】對于A，在處無意義，故A錯誤；對于B：的定義域為，故B錯誤；對于C：的定義域為，且，則為偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，滿足圖中要求，故D正確.故選：D.2．（2024·廣東廣州·一模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性、定義域結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判定即可.【詳解】觀察圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，對于A，，為奇函數(shù)，排除；對于B，，為奇函數(shù)，排除；同理，C、D選項為偶函數(shù)，而對于C項，其定義域為，不是R，舍去，故D正確.故選：D3．（2024·陜西漢中·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依題意可得為奇函數(shù)，即可排除B、D，由函數(shù)在上的函數(shù)值的特征排除A.【詳解】由圖可知的圖象關(guān)于原點對稱，則為奇函數(shù)，對于A：定義域為，當(dāng)時，，所以，不符合題意，故A錯誤；對于B：定義域為，且，所以為非奇非偶函數(shù)，不符合題意，故B錯誤；對于D：定義域為，且，所以為非奇非偶函數(shù)，不符合題意，故D錯誤；對于C：定義域為，，所以為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，所以，符合題意，故C正確；故選：C4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）華羅庚是享譽世界的數(shù)學(xué)大師，國際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由函數(shù)圖象可知，的圖象不關(guān)軸對稱,而，，即這兩個函數(shù)均關(guān)于軸對稱，則排除選項、；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，由的圖象可知存在一個極小的值，使得在區(qū)間上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由圖象可知符合題意，故選：.5．（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）“家在花園里，城在山水間．半城山色半城湖，美麗惠州和諧家園”一首婉轉(zhuǎn)動聽的美麗惠州唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市環(huán)境．下圖是惠州市風(fēng)景優(yōu)美的金山湖片區(qū)地圖，其形狀如一顆愛心．圖是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”在軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，逐項分析函數(shù)解析式可排除B,D;求得C,D中函數(shù)的最大值可排除C，即可.【詳解】由圖可知，“心形”關(guān)于軸對稱，所以上部分的函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)和都不滿足，故排除B、D；的圖象過點，，，且時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即函數(shù)的最大值為，又“心形”函數(shù)的最大值為，故排除；由的圖象過點，，，且時，，當(dāng)時，等號成立，即函數(shù)的最大值為，滿足題意，故C滿足．故選：．6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，長方形的邊，，是的中點．點沿著邊，與運動，記．將動點到兩點距離之和表示為的函數(shù)，則的圖像大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】借助排除法，計算、可排除C、D，計算時的情況可得時圖像不是線段，可排除A.【詳解】由題意可得，，故，由此可排除C、D；當(dāng)時點在邊上，，，所以，可知時圖像不是線段,可排除A，故選B．故選：B.【題型四函數(shù)圖像的平移、對稱、伸縮變換】【典例1】（單選題）（23-24高三上·北京·階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度B．向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度C．向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度D．向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度【答案】A【分析】先變形得到，故利用“上加下減，左加右減”得到答案.【詳解】，故先向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位得到.故選：A一、單選題1．（23-24高三上·北京·階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度B．向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度C．向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度D．向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度【答案】A【分析】先變形得到，故利用“上加下減，左加右減”得到答案.【詳解】，故先向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位得到.故選：A2．（2024·北京西城·二模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象再關(guān)于軸對稱，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正切函數(shù)圖象的平移變換、對稱變換即可得變換后的函數(shù)的解析式.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得函數(shù)為，則函數(shù)的圖象再關(guān)于軸對稱得函數(shù).故選：D.3．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于點對稱C．關(guān)于點對稱 D．關(guān)于點對稱【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，又，所以為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，又的圖象是由的圖象向右平移個單位，再向上平移個單位得到，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.故選：A4．（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先推導(dǎo)出，即函數(shù)的對稱中心為，再根據(jù)函數(shù)的平移只需將函數(shù)向右平移個單位，向上平移個單位，得到函數(shù)，則該函數(shù)關(guān)于對稱，即可判斷.【詳解】因為定義域為，則，所以函數(shù)的對稱中心為，所以將函數(shù)向右平移個單位，向上平移個單位，得到函數(shù)，該函數(shù)的對稱中心為，故函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.5．（22-23高二上·貴州遵義·期末）已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由函數(shù)的圖象變換得到偶函數(shù)的圖象，再根據(jù)平移變換得到的圖象.【詳解】在軸左側(cè)作函數(shù)關(guān)于軸對稱的圖象，得到偶函數(shù)的圖象，向左平移一個單位得到的圖象.故選：A.6．（2024·遼寧·三模）已知對數(shù)函數(shù)，函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，再將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖像變換法則求出函數(shù)的解析式，由條件列方程，解方程求解即可【詳解】因為將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，所以，即，將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式，因為所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，所以，所以，又且，解得，故選：D【題型五函數(shù)圖像的其他應(yīng)用】函數(shù)圖像的其他應(yīng)用1.利用函數(shù)圖象研究不等式當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法直接求解但其與函數(shù)有關(guān)時，可將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象(圖象易得)的上、下關(guān)系問題，利用圖象法求解．若函數(shù)為抽象函數(shù)，可根據(jù)題目畫出大致圖象，再結(jié)合圖象求解．2.利用函數(shù)圖象研究方程根的個數(shù)當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時，可以通過函數(shù)圖象研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，方程f(x)＝g(x)的根是函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)圖象的交點的橫坐標(biāo)．【典例1】（單選題）（23-24高一上·廣東韶關(guān)·期中）已知函數(shù)若函數(shù)圖象與直線有且僅有三個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】將的圖象向下平移1個單位得到，再將的圖象的軸下方的圖象以軸為對稱軸翻轉(zhuǎn)至軸上方可得到，將的圖象向右平移1個單位得到，所以的圖象如圖所示，

由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)與圖象有且僅有三個不同的交點.故選：B.一、單選題1．（2024高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）如圖，已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】D【分析】利用函數(shù)圖象上取點，求得關(guān)于對稱直線的對稱點，代入函數(shù)求得參數(shù)值，再檢驗即得.【詳解】依題意，在函數(shù)的圖象上取點，點關(guān)于直線的對稱點必在函數(shù)的圖象上，則有，解得，此時函數(shù)即，相當(dāng)于將函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度得到，符合題意.故選：D.2．（2024·廣東江門·二模）若函數(shù)的圖象與圓恰有4個公共點，則的解析式可以為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用絕對值函數(shù)的圖象特征，分別作出選項中的函數(shù)圖象，觀察即可判斷.【詳解】作出的圖象，如圖1所示，作出的圖象，如圖2所示，由圖可知，滿足題意．故選：D.3．（2024·北京昌平·二模）已知函數(shù)若對任意的都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合求實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，令，作出圖象，如圖所示，令，由圖知，要使對任意的都有恒成立，則必有，當(dāng)時，，由，消得到，由，得到，即，由圖可知，故選：B.4．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）定義在上的滿足對，關(guān)于的方程有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．