4.3.3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊(cè)課標(biāo)要求1.通過(guò)具體實(shí)例,了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.2.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a>0且a≠1).基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念:對(duì)數(shù)運(yùn)算

確定了一個(gè)函數(shù),叫作(以a為底的)對(duì)數(shù)函數(shù).

2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)和對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù).兩者的定義域與值域正好互換,圖象關(guān)于直線

對(duì)稱,兩者中一個(gè)遞增另一個(gè)也遞增,一個(gè)遞減另一個(gè)也遞減.

y=logax(x>0,a>0且a≠1)y=x名師點(diǎn)睛1.判斷一個(gè)函數(shù)是不是對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù):(1)形如y=logax;(2)底數(shù)a滿足a>0且a≠1;(3)真數(shù)為x,而不是x的函數(shù).2.根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系知,y=logax可化為ay=x,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知在對(duì)數(shù)函數(shù)中,有a>0且a≠1,x>0,y∈R.過(guò)關(guān)自診下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是(

)A.y=logax+2(a>0且a≠1,x>0)B.y=log2(x>0)C.y=logx3(x>0且x≠1)D.y=log6x(x>0)D知識(shí)點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象與性質(zhì)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax圖象

定義域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)(1,0)增減性a>1時(shí)遞增;0<a<1時(shí)遞減a>1時(shí)遞增;0<a<1時(shí)遞減名師點(diǎn)睛1.對(duì)數(shù)函數(shù)的符號(hào)常受到底數(shù)和真數(shù)的范圍的制約,注意對(duì)底數(shù)a的分類討論.2.當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí),圖象在第一象限內(nèi)越接近x軸,a越大;當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時(shí),圖象在第四象限內(nèi)越接近x軸,a越小.3.分析對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象,需找三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):過(guò)關(guān)自診1.(多選題)若函數(shù)y=logax的圖象如圖所示,則a的值可能是(

)AB2.下列函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)不是增函數(shù)的是(

)A.y=5x

B.y=lgx+2C.y=x2+1 D.y=3.函數(shù)f(x)=loga(x-2)-2x(a>0且a≠1)的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

.

D(3,-6)重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念【例1】

(1)已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=(m2-3m+3)logmx,則m=

.

2解析

由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因?yàn)閙>0,且m≠1,所以m=2.①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.規(guī)律方法

1.對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)形式定義:2.對(duì)數(shù)函數(shù)解析式中只有一個(gè)參數(shù)a,用待定系數(shù)法求對(duì)數(shù)函數(shù)解析式時(shí)只需一個(gè)條件即可求出.變式訓(xùn)練1(1)若函數(shù)f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是對(duì)數(shù)函數(shù),則a=

.

4(2)點(diǎn)A(8,-3)和B(n,2)在同一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象上,則n=

.

解析

設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為f(x)=logax(a>0且a≠1).則由題意可得f(8)=-3,即loga8=-3,探究點(diǎn)二利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小【例2】

比較下列各組中兩個(gè)值的大小:(1)ln0.3,ln2;解

因?yàn)楹瘮?shù)y=ln

x在定義域內(nèi)是增函數(shù),且0.3<2,所以ln

0.3<ln

2.(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);解

當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù),又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是減函數(shù),又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.故當(dāng)a>1時(shí),loga3.1<loga5.2;當(dāng)0<a<1時(shí),loga3.1>loga5.2.(3)log30.2,log40.2;解

(方法1)因?yàn)?>log0.23>log0.24,(方法2)畫(huà)出y=log3x與y=log4x的圖象,如圖所示,由圖可知log40.2>log30.2.(4)log3π,logπ3.解

因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x在定義域內(nèi)是增函數(shù),且π>3,所以log3π>log33=1.同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.規(guī)律方法

比較兩個(gè)對(duì)數(shù)式大小的常用方法(1)當(dāng)?shù)讛?shù)相同、真數(shù)不相同時(shí),直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)不同、真數(shù)相同時(shí),可根據(jù)圖象與底數(shù)的關(guān)系所反映出的規(guī)律比較,常數(shù)形結(jié)合.(3)當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)都不相同時(shí),可考慮引進(jìn)第三個(gè)數(shù)(常用“0”或“1”)分別與之比較,然后通過(guò)第三個(gè)數(shù)的傳遞進(jìn)行比較.變式訓(xùn)練2比較下列各組中兩個(gè)值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).解

(1)(單調(diào)性法)因?yàn)閒(x)=log3x在(0,+∞)上是增函數(shù),且1.9<2,所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32.(2)(中間量法)因?yàn)閘og23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)(分類討論法)當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax在定義域內(nèi)是增函數(shù),則有l(wèi)ogaπ>loga3.141;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax在定義域內(nèi)是減函數(shù),則有l(wèi)ogaπ<loga3.141.綜上所述,當(dāng)a>1時(shí),logaπ>loga3.141;當(dāng)0<a<1時(shí),logaπ<loga3.141.探究點(diǎn)三與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問(wèn)題{x|x>0且x≠1}規(guī)律方法

求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域的方法求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí),除遵循前面已學(xué)過(guò)的求函數(shù)定義域的方法外,還要根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)自身的特點(diǎn)滿足以下要求:一是要對(duì)數(shù)真數(shù)大于零;二是要注意對(duì)數(shù)的底數(shù);三是根據(jù)底數(shù)的取值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為關(guān)于真數(shù)的不等式求解.變式訓(xùn)練3求下列函數(shù)的定義域:探究點(diǎn)四指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用【例4】

已知函數(shù)f(x)=log2x,若函數(shù)g(x)是f(x)的反函數(shù),則f(g(2))=(

)A.1 B.2

C.3

D.4B解析

∵g(x)是f(x)的反函數(shù),∴g(x)=2x.∵g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=log24=2.規(guī)律方法

涉及指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的問(wèn)題,一定注意前提是“同底數(shù)”,且它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱;反之,兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).變式訓(xùn)練4探究點(diǎn)五對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象【例5】

作出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象,并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)區(qū)間.解

先畫(huà)出函數(shù)y=lg

x的圖象(如圖1).再將該函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象(如圖2).圖1圖2最后把y=lg(x-1)的圖象在x軸下方的部分對(duì)稱翻折到x軸上方(原來(lái)在x軸上方的部分不變),即得出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象(如圖3).圖3由圖易知其定義域?yàn)?1,+∞),值域?yàn)閇0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2],單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞).規(guī)律方法

求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象問(wèn)題,首先應(yīng)明確對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象特征,結(jié)合函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象的變換規(guī)律求解.(1)一般地,函數(shù)y=f(x±a)±b(a,b為實(shí)數(shù))的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度,再沿y軸向上或向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.(2)含有絕對(duì)值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過(guò)對(duì)稱變換得到的.一般地,y=f(|x-a|)的圖象是關(guān)于直線x=a對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形;函數(shù)y=|f(x)|的圖象與y=f(x)的圖象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分關(guān)于x軸對(duì)稱.變式訓(xùn)練5畫(huà)出下列函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的定義域與值域以及單調(diào)區(qū)間:(1)y=log3(x-2);(2)y=log5|x|.解

(1)函數(shù)y=log3(x-2)的圖象如圖1.其定義域?yàn)?2,+∞),值域?yàn)镽,在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增.(2)∵f(x)=log5|x|,∴f(x)是偶函數(shù),其圖象如圖2所示.其定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),值域?yàn)镽,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0).圖1圖1學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1234567891011121.若函數(shù)f(x)=log2(x+1)的定義域是[0,1],則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?

)A.[0,1] B.(0,1) C.(-∞,1] D.[1,+∞)A解析

由于0≤x≤1,∴1≤x+1≤2,∴l(xiāng)og21≤log2(x+1)≤log22,即0≤log2(x+1)≤1,故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,1],故選A.1234567891011122.已知函數(shù)f(x)=loga(x-m)(a>0且a≠1)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,0)和(7,1),則f(x)在定義域上是(

)A.增函數(shù) B.減函數(shù)C.奇函數(shù) D.偶函數(shù)A解析

將點(diǎn)(4,0)和(7,1)代入函數(shù)解析式,有

解得a=4和m=3,則有f(x)=log4(x-3).由于定義域是x>3,則函數(shù)不具有奇偶性.函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù).1234567891011123.已知函數(shù)f(x)=log(a-1)(2x+1)在(-

,0)內(nèi)恒有f(x)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(1,+∞) B.(0,1)C.(0,2) D.(1,2)D1234567891011124.[2024甘肅高一統(tǒng)考期末]設(shè)a=log26,b=log312,c=20.6,則(

)A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.c<a<bB1234567891011125.已知函數(shù)f(x)=loga(a-ax)(a>1),則f(x)的定義域?yàn)?/p>

,值域?yàn)?/p>

.

(-∞,1)R解析

令a-ax>0,即ax<a.因?yàn)閍>1,所以x<1.因?yàn)閍-ax>0,所以f(x)=loga(a-ax)∈R,因此,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,1),值域?yàn)镽.1234567891011126.已知對(duì)數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范圍;(3)若函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,求y=g(x)的解析式.123456789101112解

(1)設(shè)f(x)=logax(a>0,且a≠1).由題意得f(9)=loga9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因?yàn)閍>0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因?yàn)?>1,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)<0,即f(x)的取值范圍為(-∞,0).(3)因?yàn)楹瘮?shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=log3x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,123456789101112B級(jí)關(guān)鍵能力提升練7.(多選題)已知a>0且a≠1,函數(shù)y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐標(biāo)系中的圖象不可能是(

)ABD123456789101112解析

函數(shù)y=ax與y=logax的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,又函數(shù)y=ax的圖象過(guò)(0,1),y=logax的圖象過(guò)(1,0),觀察圖象知,只有C正確,故選ABD.1234567891011128.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=g(x)的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,而函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,若f(m)=-1,則m的值是(

)B123456789101112解析

∵函數(shù)y=g(x)的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,∴函數(shù)y=g(x)與y=ex互為反函數(shù),則g(x)=ln

x,又由y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則f(x)=ln(-x).又f(m)=-1,123456789101112D解析

∵當(dāng)x≤2時(shí),f(x)∈[1,+∞),且f(x)的值域?yàn)閇1,+∞),∴當(dāng)x>2時(shí),f(x)的值域是[1,+∞)的子集,此時(shí)logax>loga2≥1,∴1<a≤2,∴a的取值范圍是(1,2].故選D.12345678910111210.已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式log2a=log3b,給出下列五個(gè)關(guān)系式:①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能正確的關(guān)系式是

.

②④⑤123456789101112