2024年全國一卷數(shù)學(xué)新高考題型細(xì)分S13圓錐曲線單選填空5雙曲線（中檔中上）

2024年全國一卷新高考題型細(xì)分S13——圓錐曲線單選填空5雙曲線（中檔、中上）試卷主要是2024年全國一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)202套。其中全國高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！秷A錐曲線——單選填空》題目分類有：橢圓（易~中檔），雙曲線（易~中檔），拋物線（易~中檔），其他等，大概251道題。雙曲線（中檔）：（2024年粵J137梅州二模）8．已知點(diǎn)F為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上（非雙曲線頂點(diǎn)），若對于在雙曲線C上（除頂點(diǎn)外）任一點(diǎn)P，恒是銳角，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為（8．C【分析】設(shè),，，把恒是銳角轉(zhuǎn)化為，將向量坐標(biāo)化可得恒成立，利用二次函數(shù)性質(zhì)分類討論可得．【詳解】由題意可得，所以，設(shè),，，則，，由恒是銳角，得，又，8．C【分析】設(shè),，，把恒是銳角轉(zhuǎn)化為，將向量坐標(biāo)化可得恒成立，利用二次函數(shù)性質(zhì)分類討論可得．【詳解】由題意可得，所以，設(shè),，，則，，由恒是銳角，得，又，，不等式可化為：，整理得：，記，要使恒成立，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)，即時(shí)，，解得；當(dāng)或，即或時(shí)，，解得，綜上，.又點(diǎn)N與雙曲線頂點(diǎn)不重合，所以，所以的取值范圍為.故選：C．（2024年浙J38紹興四月適）8．已知點(diǎn)A，B，C都在雙曲線：上，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，.過A作垂直于x軸的直線分別交，于點(diǎn)M，N.若，則雙曲線的離心率是（8．B【分析】設(shè)，由且軸得，注意到，也就是，而，，即，由此結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)，由且軸，所以，所以，從而，即，設(shè)點(diǎn)，且它在雙曲線上，，即，其中8．B【分析】設(shè)，由且軸得，注意到，也就是，而，，即，由此結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)，由且軸，所以，所以，從而，即，設(shè)點(diǎn)，且它在雙曲線上，，即，其中，，從而，.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到，，，由此即可順利得解.（2024年粵J128深圳二模）14．已知△ABC中，，雙曲線E以B，C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A，則E的兩條漸近線的夾角為14．【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和三角形內(nèi)心性質(zhì)得到垂足的位置，再由得到雙曲線中的關(guān)系，即可得到漸近線的夾角；根據(jù)對所求式進(jìn)行化簡，再根據(jù)基本不等式求得范圍即可.【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為.設(shè)的內(nèi)心為14．【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和三角形內(nèi)心性質(zhì)得到垂足的位置，再由得到雙曲線中的關(guān)系，即可得到漸近線的夾角；根據(jù)對所求式進(jìn)行化簡，再根據(jù)基本不等式求得范圍即可.【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為.設(shè)的內(nèi)心為，過點(diǎn)向三邊作垂線，垂足分別為.

根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，，又因?yàn)殡p曲線E以B，C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)在雙曲線的左支上，所以.而，所以，所以為雙曲線的左頂點(diǎn).所以，所以，即，所以，漸近線的傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角為.又因?yàn)?，所以，而，所?故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的性質(zhì)和三角形的最值.本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)作出三角形的內(nèi)心，從而根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)和雙曲線的定義進(jìn)行求解.（2024年湘J51師附二模）8．如圖，在中，，其內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，且.延長至點(diǎn).使得，連接.設(shè)以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的離心率為，以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的離心率為，則的取值范圍是（

8．D【分析】設(shè)內(nèi)切圓與邊分別相切于點(diǎn)，設(shè)，可得，結(jié)合橢圓和雙曲線的定義可得，利用余弦定理求得，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性分析求解.【詳解】如圖，設(shè)內(nèi)切圓與邊分別相切于點(diǎn)，由切線長定理和的對稱性，可設(shè).由，可得.在中，由余弦定理，.于是根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，.接下來確定的取值范圍.設(shè)，在中，，于是由余弦定理，，整理得，于是，故，又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可知8．D【分析】設(shè)內(nèi)切圓與邊分別相切于點(diǎn)，設(shè)，可得，結(jié)合橢圓和雙曲線的定義可得，利用余弦定理求得，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性分析求解.【詳解】如圖，設(shè)內(nèi)切圓與邊分別相切于點(diǎn)，由切線長定理和的對稱性，可設(shè).由，可得.在中，由余弦定理，.于是根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，.接下來確定的取值范圍.設(shè)，在中，，于是由余弦定理，，整理得，于是，故，又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可知，可得，所以的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法：求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值；2．焦點(diǎn)三角形的作用：在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．（2024年魯J38濟(jì)寧三模）8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分.直線過交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)心分別為，若與的面積之比為，則雙曲線的離心率為（

8．C【分析】利用切線長定理求得直線的方程，再借助雙曲線的切線方程求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合面積關(guān)系求解即得.【詳解】令圓切分別為點(diǎn)，則，，令點(diǎn)，而，因此，解得，又，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，同理點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即直線的方程為，設(shè)，依題意，直線的方程分別為：，，聯(lián)立消去得：，整理得，令直線的方程為，于是，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，8．C【分析】利用切線長定理求得直線的方程，再借助雙曲線的切線方程求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合面積關(guān)系求解即得.【詳解】令圓切分別為點(diǎn)，則，，令點(diǎn)，而，因此，解得，又，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，同理點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即直線的方程為，設(shè)，依題意，直線的方程分別為：，，聯(lián)立消去得：，整理得，令直線的方程為，于是，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此，所以雙曲線的離心率.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.（2024年鄂J22黃石二中三模）8．已知為雙曲線上的動點(diǎn)，，，直線：與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與在同一條漸近線上，則的最小值為（8．D【分析】先證明線是雙曲線的切線，線段的中點(diǎn)為，再根據(jù)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)闉殡p曲線上的動點(diǎn)，所以，則，，聯(lián)立，消得，因?yàn)椋?，所以直線是雙曲線的切線，切點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立，解得，所以8．D【分析】先證明線是雙曲線的切線，線段的中點(diǎn)為，再根據(jù)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)闉殡p曲線上的動點(diǎn)，所以，則，，聯(lián)立，消得，因?yàn)?，且，所以直線是雙曲線的切線，切點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以線段的中點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，實(shí)半軸長為，故，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），由題意可得直線的斜率大于零或不存在，故，當(dāng)且僅當(dāng)為右頂點(diǎn)時(shí)取等號，所以，所以的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明線是雙曲線的切線，線段的中點(diǎn)為，是解決本題的關(guān)鍵.（2024年湘J02邵陽一聯(lián)，末）16.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，它們的離心率分別為，點(diǎn)為它們的一個(gè)交點(diǎn)，且.當(dāng)取最小值時(shí)，的值為【答案】【解析】【分析】設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為．結(jié)合橢圓與雙曲線的定義得，，,在中,根據(jù)余弦定理可得到，，與的關(guān)系式，進(jìn)而可得，由基本不等式求解即可.【答案】【解析】【分析】設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為．結(jié)合橢圓與雙曲線的定義得，，,在中,根據(jù)余弦定理可得到，，與的關(guān)系式，進(jìn)而可得，由基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為：.不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，由題意知：，則，由余弦定理得：，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，..故答案為：.（2024年蘇J09徐州適應(yīng)，末）14.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C的左支交于點(diǎn)P，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為，的面積為，則C的離心率為【答案】或【解析】【分析】先根據(jù)面積關(guān)系求出，設(shè)，垂足為，在中求出，再在中利用余弦定理求出，進(jìn)而可得離心率.【詳解】，【答案】或【解析】【分析】先根據(jù)面積關(guān)系求出，設(shè)，垂足為，在中求出，再在中利用余弦定理求出，進(jìn)而可得離心率.【詳解】，，又，所以，，又到直線的距離為，所以，得，由雙曲線定義得，設(shè)，垂足為，如圖：則，，則在中，，，在中，由余弦定理可得，即，又，整理得，解得或，則離心率或.故答案為：或.（2024年湘J27長沙一中適應(yīng)，末）8.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（【答案】D【解析】【分析】不妨設(shè)漸近線的方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的齊次等式，解方程求，由此可得雙曲線的漸近線的方程.【詳解】設(shè)雙曲線焦距為，則、，不妨設(shè)漸近線的方程為，如圖：因?yàn)橹本€與直線垂直，則直線的方程為，聯(lián)立可得【答案】D【解析】【分析】不妨設(shè)漸近線的方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的齊次等式，解方程求，由此可得雙曲線的漸近線的方程.【詳解】設(shè)雙曲線焦距為，則、，不妨設(shè)漸近線的方程為，如圖：因?yàn)橹本€與直線垂直，則直線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，又，故，所以，，整理可得，所以，又，所以，故該雙曲線的漸近線方程為.故選：D.（2024年湘J26衡陽八中）7.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線分別在第一、二象限交于兩點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑為，若，，則雙曲線的離心率為（【答案】A【解析】【分析】由雙曲線定義結(jié)合已知得，進(jìn)一步由余弦定理列方程，結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為P，Q，R，所以，點(diǎn)A在雙曲線上，，又，，，點(diǎn)B在雙曲線上，，，，【答案】A【解析】【分析】由雙曲線定義結(jié)合已知得，進(jìn)一步由余弦定理列方程，結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為P，Q，R，所以，點(diǎn)A在雙曲線上，，又，，，點(diǎn)B在雙曲線上，，，，設(shè)內(nèi)切圓圓心為I，連接，如圖所示，，，即，為等邊三角形，，在由余弦定理得：，即：，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到，由此即可順利得解.（2024年冀J11衡水一模，末）14.已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，過作x軸的垂線交C于點(diǎn)P﹒于點(diǎn)M（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且有，則C的離心率為_【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示得出關(guān)于的齊次式后可得離心率．【詳解】如圖，易得，，，設(shè)，，由得【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示得出關(guān)于的齊次式后可得離心率．【詳解】如圖，易得，，，設(shè)，，由得，，解得，即，，又，∴，，代入得，因?yàn)楣式獾?，故答案為：．?024年粵J07六校聯(lián)考）7.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線與雙曲線分別在第一、二象限交于兩點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑為，若，，則雙曲線的離心率為（【答案】A【解析】【分析】由雙曲線定義結(jié)合已知得，進(jìn)一步由余弦定理列方程，結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為P，Q，R，所以，點(diǎn)A在雙曲線上，，又，，，點(diǎn)B在雙曲線上，，，，【答案】A【解析】【分析】由雙曲線定義結(jié)合已知得，進(jìn)一步由余弦定理列方程，結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為P，Q，R，所以，點(diǎn)A在雙曲線上，，又，，，點(diǎn)B在雙曲線上，，，，設(shè)內(nèi)切圓圓心為I，連接，如圖所示，，，即，為等邊三角形，，在由余弦定理得：，即：，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到，由此即可順利得解.（2024年湘J06雅禮一模，末）8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過F2作的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點(diǎn)T滿足，則點(diǎn)T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線的離心率，得雙曲線的方程及漸近線的方程，再設(shè)，由雙曲線的方程求點(diǎn)到兩條漸近線的距離之和.【詳解】設(shè)半焦距為c，延長交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且M【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線的離心率，得雙曲線的方程及漸近線的方程，再設(shè)，由雙曲線的方程求點(diǎn)到兩條漸近線的距離之和.【詳解】設(shè)半焦距為c，延長交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中點(diǎn).根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，所以MO是的中位線，所以，又雙曲線的離心率為，所以，，所以雙曲線C的方程為.所以，，雙曲線C的漸近線方程為，設(shè)，T到兩漸近線的距離之和為S，則，由，即，又T在上，則，即，解得，，由，故，即距離之和為.故選：A.【點(diǎn)睛】由平面幾何知識，，依據(jù)雙曲線的定義，可將轉(zhuǎn)化為用a表示，進(jìn)而的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2024年閩J06某市期末，末）16.設(shè)是面積為1的等腰直角三角形，D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)，記與的面積分別為，，且．當(dāng)，且時(shí)，________；記，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【答案】①②.【解析】【分析】以D為原點(diǎn)，為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)已知得，即可得，，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求；根據(jù)確定【答案】①②.【解析】【分析】以D為原點(diǎn)，為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)已知得，即可得，，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求；根據(jù)確定P的軌跡曲線，并寫出方程，利用曲線性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍．【詳解】以D為原點(diǎn)，為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，，即，所以，即，可得（負(fù)值舍），則，故；若，結(jié)合雙曲線定義知：P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上，但不含頂點(diǎn)，該雙曲線為，即，雙曲線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值小于半焦距1，則雙曲線與曲線有交點(diǎn)，即雙曲線的漸近線和曲線有交點(diǎn)，則雙曲線的漸近線斜率的絕對值小于，所以，故，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題空1的關(guān)鍵是設(shè)，從而得到，再結(jié)合得到，空2的關(guān)鍵是利用雙曲線的定義得到其方程，再聯(lián)立，解出即可.（2024年湘J04師大附中，末）8.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（【答案】A【解析】【分析】設(shè)出橢圓的長半軸長，雙曲線的實(shí)半軸長為，然后根據(jù)焦點(diǎn)三角形頂角的余弦定理求解出的關(guān)系式，最后通過“1”的妙用求解出最小值.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，設(shè)，則在中，由余弦定理得，，化簡得，即，則，【答案】A【解析】【分析】設(shè)出橢圓的長半軸長，雙曲線的實(shí)半軸長為，然后根據(jù)焦點(diǎn)三角形頂角的余弦定理求解出的關(guān)系式，最后通過“1”的妙用求解出最小值.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，設(shè)，則在中，由余弦定理得，，化簡得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓、雙曲線的離心率的相關(guān)計(jì)算，涉及到焦點(diǎn)三角形、基本不等式求最值等問題，對學(xué)生的計(jì)算能力要求較高，難度較大.解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：（1）運(yùn)用兩個(gè)曲線的定義，找到離心率之間的關(guān)系；（2）在已知條件等式的情況下，活用“1”的妙用求最值.（2024年魯J07淄博一模，末）8.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P，Q是它們的兩個(gè)公共點(diǎn)，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（【答案】A【解析】【分析】設(shè)出橢圓的長半軸長，雙曲線的實(shí)半軸長為，然后根據(jù)焦點(diǎn)三角形頂角的余弦定理求解出的關(guān)系式，最后通過“1”的妙用求解出最小值.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，設(shè)，根據(jù)橢圓與雙曲線的對稱性知四邊形為平行四邊形，則，則在中，由余弦定理得，，化簡得【答案】A【解析】【分析】設(shè)出橢圓的長半軸長，雙曲線的實(shí)半軸長為，然后根據(jù)焦點(diǎn)三角形頂角的余弦定理求解出的關(guān)系式，最后通過“1”的妙用求解出最小值.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，設(shè)，根據(jù)橢圓與雙曲線的對稱性知四邊形為平行四邊形，則，則在中，由余弦定理得，，化簡得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用余弦定理得到，最后對原式變形再利用基本不等式即可求出其最小值.（2024年魯J05日照一模，末）8.過雙曲線的右支上一點(diǎn)P，分別向和作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（【答案】C【解析】【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)為，，連接，，，，運(yùn)用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和取得最小值，計(jì)算即可得到所求值．【詳解】由雙曲線方程可知：，可知雙曲線方程的左、右焦點(diǎn)分別為，，圓的圓心為（即），半徑為；圓的圓心為【答案】C【解析】【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)為，，連接，，，，運(yùn)用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和取得最小值，計(jì)算即可得到所求值．【詳解】由雙曲線方程可知：，可知雙曲線方程的左、右焦點(diǎn)分別為，，圓的圓心為（即），半徑為；圓的圓心為（即），半徑為．連接，，，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，取得等號，即的最小值為30.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合雙曲線的定義整理得，結(jié)合幾何性質(zhì)分析求解.（2024年粵J25深圳一調(diào)，末）8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，且雙曲線的離心率為，則（【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的定義結(jié)合已知條件求得，從而再得，由余弦定理求得，由誘導(dǎo)公式得，設(shè)，則，再由余弦定理求得，從而利用余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，因?yàn)?，所以，由雙曲線定義可得，所以，在中，由余弦定理得，在【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的定義結(jié)合已知條件求得，從而再得，由余弦定理求得，由誘導(dǎo)公式得，設(shè)，則，再由余弦定理求得，從而利用余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，因?yàn)?，所以，由雙曲線定義可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，，設(shè)，則，由得，解得，所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用，結(jié)合余弦定理與雙曲線的定義，從而得解.（2024年魯J04青島一適，末）8.已知，，設(shè)點(diǎn)P是圓上的點(diǎn)，若動點(diǎn)Q滿足：，，則Q的軌跡方程為（【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)在的平分線上且，由此作出圖形，利用等腰三角形“三線合一”與三角形中位線定理，證出，從而得到的軌跡方程.【詳解】由，可得，而，可知點(diǎn)在的平分線上.圓，圓心為原點(diǎn)，半徑，連接，延長【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)在的平分線上且，由此作出圖形，利用等腰三角形“三線合一”與三角形中位線定理，證出，從而得到的軌跡方程.【詳解】由，可得，而，可知點(diǎn)在的平分線上.圓，圓心為原點(diǎn)，半徑，連接，延長交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榍遥?，且為中點(diǎn)，，因此，，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，設(shè)雙曲線方程為，可知，由，得，故，雙曲線方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是將題中的轉(zhuǎn)化為在的平分線上，進(jìn)而證明為等腰三角形，將轉(zhuǎn)化為得出所求軌跡為雙曲線.（2024年蘇J03南通聯(lián)考）7.已知為橢圓與雙曲線公共的焦點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，若的離心率滿足，則（【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，余弦定理可以得到，利用離心率的定義化簡條件，可得，故可得，解此方程即可求出結(jié)果．【詳解】不妨設(shè)橢圓的方程為：，雙曲線方程為，因?yàn)?，為橢圓與雙曲線公共的焦點(diǎn)，所以；由橢圓的定義知：，兩邊平方得：，中，設(shè)，由余弦定理得：，所以，即【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，余弦定理可以得到，利用離心率的定義化簡條件，可得，故可得，解此方程即可求出結(jié)果．【詳解】不妨設(shè)橢圓的方程為：，雙曲線方程為，因?yàn)?，為橢圓與雙曲線公共的焦點(diǎn)，所以；由橢圓的定義知：，兩邊平方得：，中，設(shè)，由余弦定理得：，所以，即；由雙曲線的定義知：，兩邊平方得：，在中，由余弦定理得：，所以，即；所以，即；因?yàn)椋?，即，所以，所以，解得，由于，所以．故選：C．（2024年鄂J11四月模擬，末）14.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，以實(shí)軸為直徑作圓O，過圓O上一點(diǎn)E作圓O的切線交雙曲線的漸近線于A，B兩點(diǎn)（B在第一象限），若，與一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)幾何關(guān)系證明點(diǎn)必為雙曲線的右頂點(diǎn)，再結(jié)合離心率計(jì)算公式，直接求解即可.【詳解】記與漸近線的交點(diǎn)為，根據(jù)題意，作圖如下：【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)幾何關(guān)系證明點(diǎn)必為雙曲線的右頂點(diǎn)，再結(jié)合離心率計(jì)算公式，直接求解即可.【詳解】記與漸近線的交點(diǎn)為，根據(jù)題意，作圖如下：，，故；則在△中，設(shè)，又，由余弦定理可得，解得，即；在△中，，又，故；又左焦點(diǎn)到直線的距離，即，又，故，則在圓上，即與圓相切；顯然，則，又，又，故可得，根據(jù)對稱性，，故，故三點(diǎn)共線，點(diǎn)是唯一的，根據(jù)題意，必為雙曲線右頂點(diǎn)；此時(shí)顯然有，故雙曲線離心率為.故答案：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是能夠與漸近線垂直，以及，確定點(diǎn)的位置，進(jìn)而求解離心率.（2024年閩J02廈門二檢）6.設(shè)，分別是雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)，