高中數(shù)學新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習：20 數(shù)學歸納法（學生版+解析版）

專題20數(shù)學歸納法

一、單選題

1.（2020?河南省高二月考（理））利用數(shù)學歸納法證明/（〃）=1+2+3+…+（3〃+1乂〃€7*）時，第一步

應(yīng)證明（）

A./⑵=1+2B./（1）=1

C./（1）=1+2+3D./（1）=1+2+3+4

2.（2020.白山市第一中學高二開學考試（理））某個命題與自然數(shù)"有關(guān)，若"=-ZeN*）時命題成立，

那么可推得當〃=%+1時該命題也成立，現(xiàn)已知〃=5時，該命題不成立，那么可以推得

A.〃=6時該命題不成立B.拄=6時該命題成立

C.〃=4時該命題不成立D.〃=4時該命題成立

3.（2020?寧縣第二中學高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明不等式」一+」一+…+」—>”的過程中,

〃+1〃+2〃+〃14

由〃=攵遞推到〃=攵+1時，不等式左邊（）

1

A.增加了一項的

11

B.增加了兩項TTT-n

2k+\2（4+1）

C.增加了A中的一項，但又減少了另一項「一

z+1

D.增加了B中的兩項，但又減少了另一項」一

Z+1

4.（2020?梅河口市第五中學高二月考（理））用數(shù)學歸納法證：1+，+!+…+'一<〃（〃6“"時〃>1）

232"-1

第二步證明中從“火到攵+1”左邊增加的項數(shù)是（）

A.2'1項B.2%-1項C.2*T項D.2"項

5.（2018?黑龍江省哈爾濱市第六中學校高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明

1_〃〃+2

“1+。+/+?..+"m=-------（QW1,〃￡N*）"，在驗證〃=1是否成立時，左邊應(yīng)該是（）

\-a'7

23

A.1B.1+。C.1+Q+Q?D.\+a+a+a

6.（2019?瓦房店市實驗高級中學高二月考（理））用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+九二=匚過，則當

n=k+l時，左端應(yīng)在n=%的基礎(chǔ)上加上（)

A.k2+lB.(k+D2

(k+l)*+(k+l)2

C.(k2+l)+(k:+2)+-+(k+1):D.

7.（2020?江蘇省天一中學高二期中）對于不等式<n+l（nGN*）,某同學應(yīng)用數(shù)學歸納法的證明過程如

⑴當n=l時,+i<1+1,不等式成立.

⑵假設(shè)當n=k（kwN*）時，不等式成立，即Jk?+k<k+l.

那么當n=k+1吐J(k+l)2+(k+l)=A2+3k+2<^(k2+3k+2)+(k+2)=J(k+2>=(k+1)+1,

所以當n=k+l時，不等式也成立.

根據(jù)（1）和（2）,可知對于任何nGN*,不等式均成立.

則上述證法（）

A.過程全部正確B.n=l驗得不正確

C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+l的證明過程不正確

8.（2020?鄭縣第一高級中學高二開學考試（理））用數(shù)學歸納法證明不等式

11g（〃Z2）的過程中，由〃=左遞推到〃=%+1時不等式左邊（）

-----1------F,??H---->

n+ln+22n

11

A.增加了項而B.增加了2k+1+2k+2

c.增加了一!一+1，但減少了」一D.以上各種情況均不對

2k+12k+2女+1

9.（2020.甘肅省蘭州一中高二月考（理））用數(shù)學歸納法證明（“+1）（〃+2>..。+"）=2".13..（2〃-1）（"€乂）時,

由=4+1，，等式兩邊需同乘一個代數(shù)式，它是（）

2k+2口(2-+1)(21+2)

A.2k+2B.(2%+1)(2左+2)C.

左+1k+\

10.（2020?巴楚縣第一中學高二期中（理））在應(yīng)用數(shù)學歸納法證明凸〃邊形的對角線為上〃（〃一3）條時，第

2

一步驗證〃等于（）

A.1

B.2

C.3

D.0

II.（202。河南省高二學業(yè)考試（理））利用數(shù)學歸納法證明

“(〃+1)(〃+2)(〃+3)…(〃+")=2"xlx3x…x(2〃-l),〃eN*"時，從“〃=左"變至『'〃=左+1”時，左

邊應(yīng)增加的因式是（）

2A+1C2&+3口(2A+1X2八2)

A.2k+\B.-----

左+1-Z+1k+1

12.（2018?浙江省諸暨中學高二月考）已知/（〃）=（2〃+7卜3"+9,存在自然數(shù)機,使得對任意〃eN*,都能

使加整除/（〃）,則最大的〃？的值為（）

A.30B.9C.36D.6

二、填空題

13.（2019?邳州市第四中學高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明1+,+!+…<〃（〃eN且〃>1）,

232"-1

第一步要證的不等式是.

1_〃"+2

14.（2016?上海市金山中學高一期末）用數(shù)學歸納法證明金+4+年+...+仁川=1&（0此1），，,在驗證

\-a、7

〃=1成立時，等號左邊的式子是.

15.（2019?江蘇省連云港市錦屏高級中學高二期中（理））利用數(shù)學歸納法證明

++----------=——+-----+…+二-”時從“〃=%”變到"〃=左+1''時，左邊應(yīng)增加的

2342H-12nn+1n+22〃

項是■

16.（2019?江蘇省高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明”當〃eN*時，1+2+2?+23+…+2”i能被31整

除''時，從人到后+1時需添加的項是.

三、解答題

17.（2020?陜西省西安一中高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明：

2

1+5+9+13H-------I-（4H-3）=2n—n（nGN+）.

18.（2020?武威第六中學高二期中（理））已知數(shù)列｛4｝的前及項和為S“，且滿足S“=2a,-〃，

（1）求％,a2,生，并猜想數(shù)列｛q｝的通項公式；

（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.

19.(2020.新疆維吾爾自治區(qū)高二期中(理))已知數(shù)列一匚，」一，」一，…，/'八.........

1x22x33x4n(n+l)

(1)計算￡㈤應(yīng)；

(2)由以上結(jié)果推測計算S”的公式，并用數(shù)學歸納法給出證明.

20.(2020.湖北省高二月考)已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,(4+4)an+I=4a?.

(1)計算生,生，%的值，并猜想數(shù)列通項公式；

(2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想.

s

21.(2020?白山市第一中學高二開學考試(理))已知數(shù)列｛??｝，首項q=1,前〃項和S“足彩=(〃eN)

an

(1)求出^^同同，并猜想s”的表達式；

(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想.

22.(2018?浙江省高三月考)已知｛凡｝是等差數(shù)列,｛%｝是等比數(shù)列,4=〃=2,%=4,4+為=”.設(shè)

C”=anbn,S“是數(shù)列｛%｝的前〃項和.

⑴求見也；

(2)試用數(shù)學歸納法證明：5?=8+(3?-4)-2,,+,.

專題20數(shù)學歸納法

一、單選題

1.(2020?河南省高二月考(理))利用數(shù)學歸納法證明了(")=1+2+3+…+(3"+l)(〃eN*)時，第一步

應(yīng)證明()

A./⑵=1+2B./(1)=1

C.)⑴=1+2+3D./(1)=1+2+3+4

【答案】D

【解析】

〃的初始值應(yīng)為1，而/(1)=1+2+3+4.

故選D

2.（2020?白山市第一中學高二開學考試（理））某個命題與自然數(shù)〃有關(guān)，若〃=A（keN"）時命題成立,

那么可推得當〃=攵+1時該命題也成立，現(xiàn)己知"=5時，該命題不成立，那么可以推得

A.〃=6時該命題不成立B.〃=6時該命題成立

C.〃=4時該命題不成立D.〃=4時該命題成立

【答案】C

【解析】

假設(shè)〃=4時該命題成立，由題意可得〃=5時,該命題成立，而〃=5時，該命題不成立，所以〃=4時,

該命題不成立.而〃=5時，該命題不成立，不能推得〃=6該命題是否成立..故選C.

3.（2020?寧縣第二中學高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明不等式」一+」一+…+—1—>U的過程中,

〃+1n+2〃+〃14

由〃=%遞推到〃二女+1時，不等式左邊（）

1

A.增加了一項行

11

B.增加了兩項二■一,,/一

2攵+12（%+1）

C.增加了A中的一項，但又減少了另一項」一

Z+1

D.增加了B中的兩項，但又減少了另一項」一

k+\

【答案】D

【解析】

111

當〃=%時,左邊=+---------1■…+

I+Tk+2&+左

II1

當〃=攵+1時，左邊=----------1--------------------1-------1--------------------------

(女+1)+1(%+1)+2(女+1)+(%+1)

1111

+--------+■??+-----------h----------+2(^+1)

k+2攵+3k+k2k+1

11

所以，由〃=%遞推到〃=左+1時，不等式左邊增加了-----oz,；減少」----

2k+12(%+1)k+1

故選：D

4.（2020?梅河口市第五中學高二月考（理））用數(shù)學歸納法證：1+,+!+…+」一<〃（〃GM時〃>1）

232"-1

第二步證明中從“％到Z+1”左邊增加的項數(shù)是（）

A.2&+1項B.2”—1項C.2&T項D.2k項

【答案】D

【解析】

當〃=攵時，左邊=1+'+!+*"+-7-----

易知分母為連續(xù)止整數(shù)，所以，共有2*—1項;

232-

當〃=攵+1時，左邊=1+,+!++"+-^—

共有?+1一1項;

232*+1-1

所以從“女到&+1”左邊增加的項數(shù)是2i+l-1-(2*-1)=2^項.

故選D

5.(2018?黑龍江省哈爾濱市第六中學校高二期中(理))用數(shù)學歸納法證明

1_M+2

“1+”+/+…+底+|=：在驗證〃=1是否成立時，左邊應(yīng)該是()

A.1B.\+aC.\+a+a2D.l+a+a2+a3

【答案】C

【解析】

i_〃〃+2

用數(shù)學歸納法證明、+4+。2+?..+〃“+】在驗證〃=1時，把九=1代入，左邊

1一。'7

=1+Q+Cl~-

故選：C.

6.(2019?瓦房店市實驗高級中學高二月考(理))用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+八二=￥，則當

n=k+1時，左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上()

A.k2+lB.(k+I)2

(k+l尸+(k+l)::

C.(H+l)+(H+2)+“?+(k+1)二D.

【答案】C

【解析】

當n=k時，等式左端=1+2+…+端,

當n=k+l時，等式左端=1+2+…+k2+k2+l+k2+2+…+(k+1)2,

增加了項(k2+l)+(k2+2)+(k2+3)+...+(k+1)2.

故選：C.

7.(2020?江蘇省天一中學高二期中)對于不等式J^+n<n+l(nGN*),某同學應(yīng)用數(shù)學歸納法的證明過程如

下:

(1)當n=l時,+1<1+1,不等式成立.

⑵假設(shè)當n=k(kGN*)時，不等式成立，即TlJTk<k+l.

那么當n=k+l時,J(k+l)2+(k+l)=A2+3k+2<+3k+2)+(k+2)=&+2丫=(k+l)+l,

所以當n=k+l時，不等式也成立.

根據(jù)(1)和(2),可知對于任何neN*,不等式均成立.

則上述證法()

A.過程全部正確B.n=l驗得不正確

C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+l的證明過程不正確

【答案】D

【解析】

題目中當!!=1<+1時不等式的證明沒有用到n=k時的不等式，正確的證明過程如下：

在(2)中假設(shè)〃=攵時有+%<%+］成立，即J(「+iy+(左+1)<(女+1)+1成立,即〃=z+i時成

立，故選D.

8.(2020?鄭縣第一高級中學高二開學考試(理))用數(shù)學歸納法證明不等式

」一+」一+…+'->!(〃22)的過程中，由〃=%遞推到〃=左+1時不等式左邊(

)

〃+1n+22n2v

111

A-增加/2(.+1)B.增加了------------1------------

2k+\2k+2

11,但減少了」一

C.增加了----------d-------------D.以上各種情況均不對

2k+\2k+2攵+1

【答案】C

【解析】

1111

當〃=%時,---------1-------+---,??H--->一,

人+1k+22k2

11111

當〃=攵+1時,------+------+???++——>-,

k+2k+32Z+12k+22

11

故增加了2k+l+2k+2,但減少了

k+1

故選：C.

9.（2020?甘肅省蘭州一中高二月考（理））用數(shù)學歸納法證明（〃+1）（〃+2）…（〃+〃）=2"/3..（2"-1）（〃《乂）時,

由“〃=%->〃=4+1”等式兩邊需同乘一個代數(shù)式，它是（）

A.2k+2B.（2々+1）（2左+2）C.D.0"+1）（2'+2）

4+1k+1

【答案】D

【解析】

由題意有，假設(shè)〃=A時，(％+1)(2+2)…(A+Z)=2"i3…(2%-1)/€乂)成立，則

當〃=%+1時，

左邊=(攵+2)(k+3)…[(左+1)+(%+1)]

=(左+1)(%+2)…/+k)-(“+>+D("+l+D

Z+l

=2*-1-3---(2JI-1)?伏+"+D("+l+1+D

A:+l

=2*+,-l-3-..(2jl-l)(2)t+l)

=右邊

/.由數(shù)學歸納法可知上式成立

(2次+1)(2%+2)

,顯然等式兩邊需同乘

?+1

故選：D.

10.（2020?巴楚縣第一中學高二期中（理））在應(yīng)用數(shù)學歸納法證明凸"邊形的對角線為上〃（〃—3）條時，第

2

一步驗證〃等于（）

A.1

B.2

C.3

D.0

【答案】C

【解析】

囚為多邊形的邊數(shù)最少是3,即三角形，，在應(yīng)用數(shù)學歸納法證明凸〃邊形的對角線為（〃—3）條時，第

一步驗證〃等于3,故選C.

11.（2020?河南省高二學業(yè)考試（理））利用數(shù)學歸納法證明

“(〃+1)(〃+2)(〃+3)…(〃+〃)=2"xlx3x…x(2〃一l),〃eN""時，從"〃=變至廣“=&+1”時，左

邊應(yīng)增加的因式是（）

2k+\2k+2(2次+1)(2/+2)

A.2k+1B.-------C.-------

Z+lZ+lk+1

【答案】D

【解析】

由題意“〃=&”時,左邊為（k+1）（&+2）,...伏+&）,

““=Z+1”時，左邊為（Z+2）（Z+3）,...（Z+1+Z+1）,

從而可得增加兩項為（2攵+1）（2左+2）,

且減少項為（％+1），故選D.

12.（2018?浙江省諸暨中學高二月考）已知,f（"）=（2〃+7）?3"+9,存在自然數(shù)加，使得對任意〃eN*,都能

使加整除/（〃）,則最大的加的值為（）

A.30B.9C.36D.6

【答案】C

【解析】

由/(〃)=(2n+7)?3"+9,得/(I)=36,

/⑵=3x36,/(3)=10x36,

"4)=34x36,由此猜想加=36.

下面用數(shù)學歸納法證明：

(1)當〃=1時，顯然成立。

(2)假設(shè)“=%時，f(k)能被36整除,即

/(女)=(2)+7>3&+9能被36整除；

當"=%+1時.

[2(左+1)+7卜31+9

=3[(2&+7>3*+9]-18+2x3*+l

=3[(2左+7>3*+9]+18(3i—l)

?.?31—1是2的倍數(shù),

」.18（3i—1）能被36整除,

二當〃=無+1時，/（〃）也能被36整除.由（1）（2）可知對一切正整數(shù)〃都有/（〃）=（2〃+7）-3"+9能被

36整除，

m的最大值為36.

故選：C.

二、填空題

13.（2019?邳州市第四中學高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明1+,+1+…<〃（〃eN且〃>1）,

232"-1

第一步要證的不等式是.

【答案】

誓髻

【解析】

式子的左邊應(yīng)是分母從1,依次增加1,直到22-1，所以答案為l+g+；<2.

1_〃〃+2

14.（2016?上海市金山中學高一期末）用數(shù)學歸納法證明“1+。+/+...+"用=——（。彳1）”，在驗證

1-a''

”=1成立時，等號左邊的式子是.

【答案】l+a+a2

【解析】

因為左邊的式子是從a°開始，優(yōu)+1結(jié)束，且指數(shù)依次增加1

所以〃=1,左邊的式子為a°+"+=l+a+a?,

故答案為l+a+42.

15.（2019?江蘇省連云港市錦屏高級中學高二期中（理））利用數(shù)學歸納法證明

411--+---+---+------L=」一+」一+…時從“〃=%"變到""=4+1"時，左邊應(yīng)增加的

2342n-l2nn+\n+2In

項是?

1_______1

【答案】

2k+\~2k+2

【解析】

當〃=A:時，等式為1一工+工一工*1---1---111

----+------+???+—

2342k—12k氏+1&+2------2k

11

當〃=z+l時，等式為1---1--------1---1------++2k+2

2342女+12Z+2k+2k+3

因此，從“〃=上”變至時，左邊應(yīng)增加的項是

111

2人+12k+l2k+2

1______1

故答案為:

2Z+1-2Z+2

16.（2019?江蘇省高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明"當〃GN*時，1+2+22+2'+…+251能被31整

除‘時，從上到Z+1時需添加的項是.

【答案】25*+25t+,+25A+2+25*+3+25A+4

【解析】

根據(jù)數(shù)學歸納法，

當”=&時:原式為：l+2+22+23+L+25*-1；

5+15t+35U4

當〃=4+1時,原式為1+2+2?+2?+…++2、*+2*+2*+2+2+2-

5A+35A+4

故需添加的項是：2"+25印+2"+2+2+2.

故答案為：25"+25UI+25A2+25“3+25?+4

三、解答題

17.（2020?陜西省西安一中高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明:

1+5+9+13+-+（4"—3）=2〃2—〃（“€心.

【答案】詳見解析

【解析】

證明（1）當〃=1時，左邊=1，右邊=1,命題成立.

（2）假設(shè)〃=A伏21,左wN+）時，命題成立，即‘1+5+9+13H---1-（4k—3）=-k.

則當”=4+1時，1+5+9+13+…+（4左一3）+（4左+1）=2公一攵+（4左+1）

=2公+3%+1=2伏+1）2—（4+1）.

所以當應(yīng)=%+1時，命題成立.

綜合（I）（2）可知，原命題成立.

18.（2020?武威第六中學高二期中（理））已知數(shù)列｛4,｝的前〃項和為S“，且滿足S.=2a”-〃,

（1）求q,a2,a3,并猜想數(shù)列｛《,｝的通項公式：

（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.

n

【答案】(1)q=l,4=3，4=7,an=2-\；(2)見解析

【解析】

(1)?/5?=2a?-n,當”=1時，4=1,且S“+|=2a,+]-〃一1,

于是4+1=2?！?1,從而可以得到々=3,%=7,猜想通項公式

n

(2)下面用數(shù)學歸納法證明：an=2-l.

①當〃=1時，4=1滿足通項公式；

②假設(shè)當〃=左時，命題成立，即％=2*-1,

+1

由⑴知=24+1=2(2"-1)+1,ai+1=2*-l,即證當〃=k+1時命題成立.

由①②可證。"=2"-1成立.

19.(2020?新疆維吾爾自治區(qū)高二期中(理))已知數(shù)列」一，—,—,

1x22x33x4n(n+l)

(I)計算S“S2，S3；

(2)由以上結(jié)果推測計算S”的公式，并用數(shù)學歸納法給出證明.

【答案】(1)E=-,S,=一,§3=二；(2)s?=—,證明見詳解

234H+1

【解析】

⑴

s,=S1+」-=L!=2,

212x3263

邑=村+，二+工3

323x43124

(2)由(1)猜想S〃=——,下面用數(shù)學歸納法加以證明：檢驗初始值〃=1時等式成立，假設(shè)〃=攵時

〃+1

命題成立，證明當〃=%+1時，命題也成立.

①〃=1時，S=---=—,成立；

]11+12

k

②假設(shè)〃=女時，有Sq=——成立，

則當〃=A+1時,

S,.=Sk4-----------

*+1*伏+1)(&+2)

k1

=-----1------------

k+\(女+1)(左+2)

/+2Z+1

-伏+1)(%+2)

=1+1)2

-伙+1)(4+2)

Z+1

―伏+1)+］，

：.n=k+lBj,猜想也成立，

故由①，②可知，猜想對〃eN*都成立.

20.(2020?湖北省高二月考)已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,(a”+4)a“+i=4a”.

(1)計算生,%，出的值，并猜想數(shù)列通項公式；

(2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想.

4244

【答案】(1)a=—,iZj=—,a――,猜想：a-.....(2)見解析

25374nn+3

【解析】

(1)因為數(shù)列｛4｝滿足q=1，(a“+4)a“+i=4J“，

4

所以當〃=1時，(4+4)%=44，得%=—，

444

"1〃=2時，+4)%=4a,,(—F4)4—4x—,得名=一，

556

4

44-

當〃=3時，(〃3+4)。4=4%，(--卜4)。4=4X—,得。47-

66

4

由此猜想?！?——

〃+3

(2)用數(shù)學歸納法證明如下：

4

①當〃=1時，4=---=1,猜想成立；

1+3

4

②假設(shè)當〃=攵時猜想成立，即4=7—；

?CI

則當〃=4+1時，(％+4)%+]=44

4乂4

人_女+3_4x4.4

"川火+44144+4(%+3)(左+1)+3

1+3

所以當〃=%+1時猜想成立

根據(jù)①