人教版高中數(shù)學(xué)必修1知識點歸納及知識點剖析

人教版高中數(shù)學(xué)必修1知識點歸納及知識點剖析【精】

高中數(shù)學(xué)必修1知識點

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性：

1.元素的確定性；

2元素的互異性；

3.元素的無序性

說明：①對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是

這個給定的集合的元素。

⑵任f可一個給定的集合中，任何W個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集

合時，僅算一個元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較

它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

件集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：｛…｝如｛我校的籃球隊員｝,｛太平洋大西洋,印度洋，北冰洋｝

1.用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊員｝正｛123,45｝

2.集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數(shù)集及其記法：

非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)N正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集

R

關(guān)于“屬于"的概念：集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素,

就說a屬于集合A記作aCA，相反,a不屬于集合A記作a史A

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確

定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法：◎吾言描述法：例：｛不是

直角三角形的三角形｝戮學(xué)式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是｛xeR|

x-3>2｝或｛x|x-3>2｝

4、集合的分類：

1.有限集含有有限個元素的集合

2.無限集含有無限個元素的集合

3.空集不含任^元素的集合例：團占一5｝

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系一子集

注意：AuB有兩種可能⑴A是B的一部分,;⑵A與B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A記作A2B或5A

2.“相等”關(guān)系（5>5,且5<5,則5=5）實例：設(shè)A={X|XMR}B={-1,1}“元素

相同”

結(jié)論：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時，集

合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B,即:A=B

①任何一個集合是它本身的子集。AoA

②真子集:如果Ad,且AWB那就說集合A是集合B的真子集，記作AqB（或BWA）

③^果A理，見C哪么AcC

④如果AU3同時匹A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為中

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1、交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做AB的交集.記

作ACB（讀作"A交B"）,EPAAB=

{x|x€A,且x€B}.

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做

A3的并集。記作：AUB（讀作"A并B"）,即AUB={x|x€A,或x€

B}.

3、交集與并集的，毓：AAA=A,Aricp=（p,AnB=BnA,AUA=AAUkAAUB=B

UA

4、全集與補集

（1）補集：設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集（即AC）,由S/~、

中所有不屬于A的元素組成的（S

集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作：QA即［CSA

0A={xIxeS且xgA}J

（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，一

這個集合就可以看作一個全集。

通來表示。

⑶性質(zhì)：（1l。加=人（ZCMnAMO?（3&A）UA=U

四、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A

中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)權(quán)）和它對應(yīng)，那么就

稱f:A—王為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：尸?。瑇€A.其

中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)

的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{取）|xCA}叫做函數(shù)的值域.

注意：如果只給出解析式尸?。?，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這

個式子有意義的實數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

定義域補充能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列

不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

②偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

?指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(3如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各

書除都有意義的x的值組成的集合

⑥指數(shù)為零底不可以等于零

。實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義(又注意:求出不等式組

的解集即為函數(shù)的定義域。)

構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

再注意：

(1)構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決

定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個函數(shù)相等(或

為同一函數(shù))

(2)兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)

值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:①＜達式相同；②定義域一致斷點必須同

時具給

值域補充⑴、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域

都應(yīng)先考慮其定義域

(2)應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，

它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

2函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)尸Rx),(x€A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐

標的點P&。的集合C,叫做函數(shù)尸Rx),(xCA)的圖象.C上每一點的坐標(x,

y)均滿足函數(shù)關(guān)系尸嶇)，反過來，以滿足尸取)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐

標的點僅，力，均在C上.即記為C={P(X劭I尸危),x€A}。圖象C一般的是一

條光滑的連續(xù)曲線(或直線)，也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交

點的若干條曲線或離散點組成。

②畫法

A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(現(xiàn)為坐標

在坐標系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(、y),最后用平滑的曲線招這些點連接起來

B、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變

換稱變換

@作用:

1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；

2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

3.了解區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；⑵無窮區(qū)間；⑶區(qū)間的數(shù)軸表

示.

4.什么叫做映射

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A

中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f:AfB

為從集合A到集合B的一個映射。記作“f:A—B”

給定一個集合A到B的映射，如果aCAjDCB.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b

叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①集合A、B及對應(yīng)法則f是

確定的；②對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B

到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對于映射f:A—B來說，則應(yīng)滿足：（I）集

合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（11）集合A中不

同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；（ID）不要求集合B中的每一個

元素在集合A中都有原象。

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：

①函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一

個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；

②解析法：必須注明函數(shù)的定義域；

③圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的

彬正；

④列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征.

注意：解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值

補充一：分段函數(shù)：在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍

里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達式。分段函數(shù)的解析式

不能寫成幾個不同的方程,而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一

個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.（1）

分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函

數(shù)的定義1'娓各段定X域的并集，值域^各段M域的并集.

補充二：復(fù)合函數(shù)：如果尸電）向€刈所幽）解出則尸胭刈=股，&WA）稱為￡g

的復(fù)合函數(shù)。例如尸291K^2COS（X2+1）

5.函數(shù)單調(diào)性

（1）增函數(shù)

設(shè)函數(shù)尸⑥的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量

X”x2,當(dāng)X1＜X2時，都有權(quán)不取分，那么就說⑥在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間D稱為

尸f（x）的單調(diào)增區(qū)間（睇清楚課本單調(diào)區(qū)間的概念）

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x“如當(dāng)均＜血時，都有取1）＞取2）,那么

就說收）在這個區(qū)間上是減函數(shù)區(qū)間D稱為尸?。┑膯握{(diào)減區(qū)間.

注意：①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

②必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量X”期當(dāng)過＜出時，總有?。糝x3o

⑵圖象的特點

如果函數(shù)尸取）在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)尸愈）在這一區(qū)間上具有

嚴格的）單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左

到右是下降的.

（3）函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

⑶定義法：

①任取X”XjED,且看＜出；

0作差?。┮魂?；

③變形（通常是因式分解和配方）；

④定號（即判斷差取）一購的正負）；

⑤下結(jié)論（指出函數(shù)?。┰诮o定的區(qū)間D上的單調(diào)性）.

（B）圖象法（從圖象上看升南一

（Q復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)儂切的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g（x）,尸Ru）的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)

律如下:_______________________________________________________________

函數(shù)單調(diào)性

戶如增增減減

尸f(u)增減增減

產(chǎn)?。╔）］增減減增

注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和

在一起寫成其并集

2、還記得我們在選修里學(xué)習(xí)簡單易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎？

6.函數(shù)的奇偶性

（1）偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)Rx）的定義域內(nèi)的任意一個X,都有K—x）=Rx）,那么⑥就叫做偶函

數(shù).

（2）奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)?。┑亩x域內(nèi)的任意一個x,都有f（-x）=f）,那么?。┚徒凶銎?/p>

函數(shù).

注意：①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體

性質(zhì)；函數(shù)可能沒有奇偶，也也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

②由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域

內(nèi)的任意一個x,則一x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點

稱）.

（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.

總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：

①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；

②確定R—x）與權(quán)）的關(guān)系；

③作出相應(yīng)結(jié)論：若Rr）=吩或Rf）T^=O,則取）是（禺函數(shù)；若《泡=一

陶或Rr）%）=0,則⑥是奇函數(shù)

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義

域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)若對稱，（1）再根據(jù)定

義判定②有時判定做尸士?。┍容^困難，可考慮根據(jù)是否有耐士取）=0或

Rx）限x）=±l來判定（3）利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.

7、函數(shù)的解析表達式

（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求

出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域

（2）.求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解

析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法；已知復(fù)合函數(shù)f［g（x）］的表達式時，可用換元法，這

時要注意元的取值范圍；當(dāng)已知表達式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函數(shù)

表達式，則常用解方程組消參的方法求出?。?/p>

8.函數(shù)最大（?。┲?/p>

①利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?/p>

?利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?/p>

③利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值：如果函數(shù)尸?。┰趨^(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增,

在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞減則函數(shù)尸Rx）在x=b處有最大值啦；如果函數(shù)尸?。┰趨^(qū)間［a,

b］上單調(diào)遞減，在區(qū)間也，?上單調(diào)遞增則函數(shù)尸?。┰趚=b處有最小值胴

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

一）指數(shù)與指數(shù)得的運算

1.根式的概念:一般地,如果x"=a,那么X叫做。的〃次方根（nthroot）,其中〃>1,

且“￡N”.

當(dāng)”是奇數(shù)時,正數(shù)的"次方根是一個正數(shù),負數(shù)的"次方根是一個負數(shù).此

時，。的〃次方根用符號后表示.式子揚叫做根式（radical）,這里〃叫做根

指數(shù)（Kdicalexponent）,a叫做被開方數(shù)（radicand）.

當(dāng)"是偶數(shù)時，正數(shù)的〃次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時，正數(shù)

a的正的〃次方根用符號后表示，負的"次方根用符號一標表示.正的“

次方根與負的〃次方根可以合并成士后（?>0）.由此可得：負數(shù)沒有偶

煬根；0的僚T次方根都潁升礴或弱。

注意：當(dāng)〃是奇數(shù)時，吟,當(dāng)n是偶數(shù)席，

2.分數(shù)指數(shù)嘉“.

正數(shù)的分數(shù)指數(shù)塞的意求〈觀徒。"=；=六（a>0,，","eN［">l）

0的正分數(shù)指數(shù)嘉等于0,0的負分數(shù)指數(shù)暴沒有意義"°

指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)嘉的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),

那么整數(shù)指數(shù)累的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)嘉.

3.實數(shù)指數(shù)嘉的運算性質(zhì)

(1)ar?ar=a(a>0,r,seR)

(a>0,r,seR)

(3^)：=aras(a>0,r,seR)

二)指數(shù)函數(shù)及其，性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：

一般地，函數(shù))，=/(&>0,且awl)叫做指數(shù)函數(shù)(exponentialfonction),其中x是自變量,

函數(shù)的定義域為R.

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1.

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和蜥

a>l(Xa<l

/

?,,?

圖象特征函頸

a>10<3<1a>10<a<1

向x、y軸正負方向無限延伸函數(shù)的定義域為R

圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都在X軸上方函數(shù)的值+財R+

函數(shù)圖象都過定點(0,1)a°=l

自左向右看，圖象逐自左向右看，圖象逐

增函數(shù)減函數(shù)

漸上升漸下降

在第一象限內(nèi)的圖在第一象限內(nèi)的圖

象縱坐標都大于象縱坐標都小于x>0,ax>1x>0,ax<1

11

在第二象限內(nèi)的圖在第二象限內(nèi)的圖

貂虺標都小于象縱坐標都大于x<0,ax<1x<0,a'>1

11

函數(shù)值開始增長較函數(shù)值開始減小極

圖社形勢翱圖象上升趨勢是越慢，到了某一值快，到了某一值

來越陡械緩后增長速度極后減小速度較

快；慢；

注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出:

(1)在［a,b］上，曲)=2*8>0且2#1)值:^［￡伯),寅吻或任0)),通)］；

⑵若x*0,則f(x)=l；f(x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)xeR；

(3)對于指數(shù)函數(shù)f(x)=a*(a>0且awl),總有f(1)=a；

⑷當(dāng)a>l時，若X1<X2,則f(xj<f(x,)；

二、對數(shù)函數(shù)

一)對數(shù)

1.對數(shù)的概念：

一般地，如果(a>0,a*l),那么數(shù)X叫做以。為與此徜勺對數(shù)，記作：

(q兩底數(shù)，N—真數(shù)，一對數(shù)式)

說明：①注意底數(shù)的限制a>0,且a卻二偷,N=X；③注意對

數(shù)的書寫格式.

兩個重要對數(shù)：①常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)lgN；②自然對數(shù)：以無理數(shù)

e=2.71828..為底的對數(shù)的對數(shù)inN?

對數(shù)式與指數(shù)式的互化log.N=*0屋=N

對數(shù)式o指數(shù)式對數(shù)底數(shù)-ar能底數(shù)對數(shù)一X-指數(shù)真數(shù)嘉

二)對數(shù)的運算性質(zhì)

如果a>0,且"1,M>0,N>0,那么：

①og?(A/")=log。Mlog,N+

@嗚?=10g?M—10g?N；

③log,M"=nloguM(ne/?)-

注意：換底公曲=^!^*(a>0,且a#1；c>0,且cr1；%>0).

利用換底公式推導(dǎo)榴㈱法嫦1。通康；(2).

三)對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=log_x(a>0,且a*1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，

函數(shù)的私蠅(0,+8).

注意：①對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。

如：〉=2唾押《都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型

函數(shù).

0對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：(“>0,且”1).

圖象特征函數(shù)性質(zhì)

a>10<a<la>10<a<1

函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)函數(shù)的定義域為(0,+8)

圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)

向V軸正負方向無限延伸函數(shù)的值域為R

函數(shù)圖象都過定點(1,0)log1=0

自左向右看，圖象逐自左向右看，圖象逐

增函數(shù)減函數(shù)

漸上升漸下降

第一象限的圖象縱坐第一象限的圖勒坐

x>ljogx>0

才詢大于。標都大于00<x<l,logx>0

第二象限的圖象縱坐第二象限的圖象縱坐

0<x<1,10gx<0x>1,logx<0

標都小于0標都小于0(J

四)嘉函數(shù)

1、能函數(shù)定義：一般地，形如y=-(aCR)的函數(shù)稱為嘉函數(shù)，其中a為常數(shù).

2、得函數(shù)性質(zhì)歸納.

(1)所有的嘉函數(shù)在(0,+OO)都有定義，并且圖象都過點(1,1)；

⑵a>0時，影函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間也+oo)上是增函數(shù).特別地,當(dāng)a>1

時，零函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<a<l時，寡函數(shù)的圖象上凸；

(3)a<0時，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)X從右邊

趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+8時，圖象在

X軸上方無限地逼近X軸正半軸.

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y=/(x)(xe。)，把使/(x)=0成立的實數(shù)X叫做函數(shù)

y=f(x)(xeD)的零乩

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)y="x)的零點就是方程〃X)=0實數(shù)根，亦即函數(shù))，=〃X)的圖

象與X軸交點的橫坐標。即：方程/(x)=0有實數(shù)根o函數(shù)

y="X)的圖象與X軸有交點=函數(shù)y=/(X)有零點.

3、函數(shù)零點的求法：

求函數(shù)y=/(X)的零點：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實數(shù)根；

?(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來,

并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a*0).

1)A>0,方程以2+以+‘=0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，

二次函數(shù)有兩個零點.

2)△=0,方程+bx+c=0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與X軸有一

個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

3)A<0,方程ai+?+c=o無實根，二次函數(shù)的圖象與X軸無交點，二次函數(shù)無

零點.

高一數(shù)學(xué)知識點剖析

映射

1.自1999年以來1999年、2000年兩年連續(xù)考查有關(guān)映射的問題，對此

應(yīng)予以關(guān)注2映射作為函數(shù)的基礎(chǔ)，而函數(shù)是歷屆高考中十分重要的一個內(nèi)

容，因此映射的學(xué)習(xí)必須認真3映射知識可以和集合、方程相聯(lián)系，隨著學(xué)

習(xí)內(nèi)容的增多還可以與排列、組合知識相結(jié)合.同時它可以與整式、分式、指

數(shù)式、對數(shù)式、三角式等運算相聯(lián)系.

核心知識

1.對應(yīng)

(1)對應(yīng)與集合一樣，也是數(shù)學(xué)中的原始概念.我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的

點，坐標平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對之間都具有對應(yīng)關(guān)系，一個人與他的姓名，

某一學(xué)生與他的座位，也可以看作對應(yīng).

對應(yīng)是兩個集合A與B之間的某種關(guān)系.

對于A中每一個元素與之對應(yīng).

(1)B中有唯一元素與之對應(yīng).

(2)B中有不止一個元素與之對應(yīng).

(3)B中沒有元素與之對應(yīng).

同樣，對于B中的每一個元素而言，也有以下三種情況：

(4)A中唯一元素與之對應(yīng).

(5)A中有不止一個元素與之對應(yīng).

(6)A中沒有元素與之對應(yīng).

對一般的對應(yīng)而言，這些情況都是可能發(fā)生的.

2.映射

映射是一種特殊的對應(yīng)，學(xué)習(xí)這一概念時，應(yīng)注意以下兒點：

(1)映射f：A—B是由集合A、B以及從A到B的對應(yīng)法則f所確定.

(2)映射f:A—B中的兩個集合A、B可以是數(shù)集，也可以是點集或其他集

合.再者，集合A、B可以是同一個集合.

(3)集合A到集合B的映射f:A—B與集合B到集合A的映射f：B—A-

般說來是不同的.換言之，映射涉及的兩個集合有先后次序.

(4)映射，A-B之下，集合A中的任一元素在集合B中都有象，且象是

唯一的(簡括之："都有象；象唯一”).這是映射概念的實質(zhì).

(5)給定映射f:A—B,集合中B中的元素在集合A中可能有一個原象，可

能有兩個或多個原象，也可能沒有原象.

因此，象集合(即由全體象構(gòu)成的集合)是B的子集，可記為{f(a)Ia￡A}

匚B

3.一一映射

一般地，設(shè)A、B是兩個集合，f:A—B是集合A到集合B的映射，如果

在這個映射下，對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B

中每一個元素都有原象，那么這個映射叫做A到B上的一一映射.

定義中有兩個特點：

(1)對于集合A中的不同元素，在集合B中不同的象，也就是說不允許“多

對一”.

(2)集合B中的每一個元素都是集合A的某個元素的象，也就是說，集合

B中的每個元素都有原象，B中不允許有剩余的元素.

1.關(guān)于映射.對映射f：A-B的理解，要抓住以下三點：

(1)集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的，是一個整體，是一個系統(tǒng)；

(2)對應(yīng)法則是f具有方向性，即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與集

合B到集合A的對應(yīng)關(guān)系是不同的；

(3)對于A中的任一元素a,在B中有唯一元素b與之對應(yīng)，其要害在“任

一,,、“唯一,，兩詞之上.

2.一一一映射有兩個特征：

(1)對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象(即不可"多對一”)；

(2)集合B中的每一個元素都是集合A中的某個元素的象，即集合B中的

每個元素都有原象(亦即不可“B中?！?

典型例題

例1下列對應(yīng)是不是從A到B的映射？

(1)A=Q,B=Q+,f：x—>IxI.

(2)A=B=N*,f:x.Ix-2I.

(3)A={xGNIx>2),B={yeZIy>0),f:x^y=x2-2x+l.

(4)A={xIxG(O,+oo)},B={y|yGR),f:x-y=土石.

解：(1)中，當(dāng)x=OGA時，IxI=0WB,即A中的元素0在B中沒有

象，故(1)不是映射.

(2)中,當(dāng)x=2WA時,Ix-2|=0*B,與(1)類似,(2)也不是映射.

(3)中，因為y=(x-l)2>0,所以對任意x,總有yK)；又當(dāng)x《N時，x3-2x+l

必為整數(shù)，即y@Z.所以當(dāng)xGA時，X2-2X+1EB,且對A中每一個元素X,

在B中都有唯的y與之對應(yīng)，故(3)是映射.

(4)中，任一個x都有兩個y與之對應(yīng)，故不是映射.

評析判斷某對應(yīng)是否為映射，嚴格按照映射定義中所要求的條件進行判

斷.

例2若人={(x,y)IxGZ,IxI<2,y￡N,x+y<3},B={0,1,

2),從A到B的對應(yīng)關(guān)系f(x,y)-x+y,說明f是A到B的映射，并畫出對

應(yīng)圖，指出2的原象是什么？

解：滿足條件的集合A中的元素共有六個，用列舉法表示為{(-1,2),

(-1,3),(-1,

???集合A中的每一元素，集合B中都有唯一的元素與它對應(yīng)，所以f能

構(gòu)成一個映射.2的原象為(-1,3),(0,2),(1,1).

例3(1)已知集合人={ai,a2)，B={b|,b2]，試問從集合A到集合B

的所有不同的映射有多少種？

(2)已知集合人={ai,a2]，B={bib，b3),試問從集合A到集合B的

所有不同的映射有多少種？

分析當(dāng)所給集合中的元素數(shù)目不大時，可直接用圖示的方法展現(xiàn)所有不

同的映射；若不然，可采用分析的方法解之.

解：(1)用圖示的方法可以清楚地看到從A到B能建立4種不同的映射(見

下圖)

②

(2)分A中元素對應(yīng)B中同一元素和A中元素對應(yīng)B中不同元素兩種情

形考慮.A中2個元素對應(yīng)B中相同元素的對應(yīng)有3個，這時有3種不同的映

射；A中2個元素同時對應(yīng)B中2個不同的元素的對應(yīng)有6個，這時有6種

不同的映射.所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9種.

評析若集合A有m個元素，集合B有n個元素，則A到B的一切可能

的映射共有峻種.

例4已知集合八={1,2,3,a},B={4,7,b4,b2+3b},其中aWN*,b?N*.

若x￡A,yEB,映射f:A—B使B中元素y=3x+l和A中元素x對應(yīng).求a

和b的值.

分析利用原象與象的關(guān)系，建立關(guān)于a和b的方程組.

解：中元素x對應(yīng)B中元素y=3x+l,

，A中元素1的象是4,2的象是7,3的象是10.

.\b4=10,或b2+3b=10.

又b￡N*,

?,.b2+3b-10=0,解之，得b=2.

?；a的象是b4=16,

，3a+l=16,解之，得a=5.

評析正確理解映射的概念，合理處理字母問題是求解本題之關(guān)鍵.如果

將題設(shè)中的集合B換成{4,7,13,b?2+3b},那么請問a的值是多少？

例5判斷下列映射是不是從A到B的一一映射，并說明理由.

(1)A={矩形},B=R,對應(yīng)法則f為矩形到它的面積的對應(yīng).

(2)A=R,B=R,對應(yīng)法則f:x-y=kx+b(kr0).

(3)A=R,B={yIy>0),對應(yīng)法則f:x-y=x2.

分析一一映射是一種特殊的映射.特殊在哪里？

解：(1)這個映射不是一一映射，因為負實數(shù)和零沒有原象.

(2)根據(jù)---映射的定義，所給映射是---映射.

(3)這個映射不是---映射，因為對于A中的兩個不同元素a和-a(ar0),

在B中有相同的象a?.

評析映射f:A—B加上兩個條件:①A中不同的元素在B中有不同的象,

②B中任何一個元素都有原象，便形成A到B上的一一映射.

例6已知集合人={xIx>l},B={xIx>l),試建立一個A到B

上的一一映射.

分析本題的困難在于集合A比集合B“多”了一個元素“1”.為突破這個難

點，我們不妨先考慮特殊情況.

解：考慮兩種特殊情況.

⑴若A中元素x-N*,則令x-y=x；

(2)若A中元素xCN*,則可令x-y=x+L

因此，A到B上的一個---映射為：

xxGA,月.xWN*時，

f：:x—y=

x+1x《A,且x《N*時.

評析從分析到求解是一個先退后進，以退求進的過程，同時也是分解與

組合的過程.(2)中用到了無限集合的性質(zhì)，這是本題求解的又一個關(guān)鍵.

函數(shù)

考試命題的熱點之一是考查函數(shù)的定義域、值域，并考查學(xué)生:

(1)能根據(jù)函數(shù)三要素判斷兩個函數(shù)是否為同--函數(shù).

(2)理解函數(shù)符號(對應(yīng)法則)，掌握函數(shù)的三種表示法.

(3)會求函數(shù)的定義域及某些函數(shù)的值域.

多以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，一般多為容易題與中等題.

核心知識

L函數(shù)的定義

(1)函數(shù)的傳統(tǒng)定義：設(shè)在某變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x在

某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就稱y是

x的函數(shù)，x叫做自變量.

(2)函數(shù)的近代定義：設(shè)A,B都是非空的數(shù)的集合，f:x—y是從A到B

的一個對應(yīng)法則，那么從A到B的映射f:A—B就叫做函數(shù)，記作y=f(x),

其中xEA,yGB,原象集合A叫做函數(shù)f(x)的定義域，象集合C叫做函數(shù)f(x)

的值域.

上述兩個定義實質(zhì)上是一致的，只不過傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出

發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點出發(fā)，側(cè)重點不同.函數(shù)實質(zhì)上是從集

合A到集合B的一個特殊的映射，其特殊性在于集合A、B都是非空數(shù)集.自

變量的取值集合叫做函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合C叫做函數(shù)的值域.

這里應(yīng)該注意的是，值域C并不一定等于集合B,而只能說C是B的一

個子集.

2.函數(shù)的三要素

定義域A,值域C以及從A到C的對應(yīng)法則f,稱為函數(shù)的三要素.由于

值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定，所以也可以說函數(shù)有兩要素：定義域

和對應(yīng)法則.兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對應(yīng)法則分別相同時，才是同一函數(shù).

例如y=x與y=不是同--函數(shù).

丫=*與丫=*也不是同一函數(shù).

而y=Ix|與y=V?是同一函數(shù).

3.函數(shù)的對應(yīng)法則

在函數(shù)的三要素中，對應(yīng)法則是核心.通俗地說，f就是對自變量x進行“操

作”的“程序”或“方法”.按照這一“程序”，從定義域集合A中的任一x,可得出

值域C中的唯一y與之對應(yīng).同一f可以“操作”于不同的變量.如f(x)是對x進

行操作，而fix5是指對x2進行操作.

4.函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域是函數(shù)研究的重要內(nèi)容，在給定函數(shù)的同時應(yīng)該給定函數(shù)

的定義域.

一般地，我們規(guī)定，如果不加說明，函數(shù)的定義域就是使函數(shù)的解析式

有意義的實數(shù)的集合.據(jù)此，我們就可以“求出”函數(shù)的定義域了.

5.求函數(shù)值域的方法

求函數(shù)值域是一個相當(dāng)復(fù)雜的問題，常見的方法有⑴圖像法；(2)反解x；

(3)配方法；(4)換元法.以后還可用(5)單調(diào)性；(6)判別式法等.

6.函數(shù)符號y=f(x),它是抽象符號之一，"y=f(x)”為“y是x的函數(shù)”這句

話的數(shù)學(xué)表示，它僅僅是函數(shù)符號，不是表示“y等于f與x的乘積“，f(x)也

不一定是解析式；f(a)與f(x)既有區(qū)別又有聯(lián)系，f(a)表示當(dāng)自變量x=a時函

數(shù)f(x)的值，是一個常量，而1X)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一

個變量.f(a)是f(x)的一個特殊值.

7.函數(shù)的表示方法主要有三種常用的表示方法，即解析法、列表法和圖像

法.

8.“區(qū)間”與“無窮大”的兩個概念

區(qū)間是數(shù)學(xué)中常用的術(shù)語和符號.必需記住閉區(qū)間、開區(qū)間、半開半閉區(qū)

間的符號及其含義.

對于[a,b],(a,b),[a,b),(a,b],都稱數(shù)a和數(shù)b為區(qū)間的端點：a為

左端點，b為右端點，稱b-a為區(qū)間長度.這樣，某些以實數(shù)為元素的集合就有

三種表示法：集合表示法、不等式表示和區(qū)間表示法.

無窮大是個符號，不是一個數(shù).關(guān)于用+8作為區(qū)間的一端或兩端的區(qū)

間稱為無窮區(qū)間.

9.基礎(chǔ)知識圖表

展示方法Bl

房雙硼附應(yīng)法則

1.要正確理解函數(shù)概念應(yīng)該注意：

(1)關(guān)于函數(shù)的兩個定義域?qū)嵸|(zhì)上是一致的.初中定義的出發(fā)點是運動變化

的觀點，而高中定義卻是從集合、對應(yīng)的觀點出發(fā).

(2)兩個函數(shù)相同的充要條件是它們的定義域與對應(yīng)關(guān)系分別相同，例如

函數(shù)f(x)=Ixl,與f(x)=G"是同一個函數(shù).

(3)函數(shù)的核心是對應(yīng)關(guān)系.在函數(shù)符號y=f(x)中，f是表示函數(shù)的對應(yīng)關(guān)

系，等式y(tǒng)=f(x)表明，對于定義域中的任意x,在對應(yīng)關(guān)系f的作用下，可得

到y(tǒng),因此，f是使“對應(yīng)”得以實現(xiàn)的方法和途徑.

函數(shù)符號y=f(x)是“y是x的函數(shù)”這句話的數(shù)學(xué)表示，它不表示“y等于f

與x的乘積''.f(x)可以是解析式，也可以是圖像或數(shù)表.符號f(a)與f(x)既有區(qū)別

又有聯(lián)系.f(a)表示當(dāng)自變量x=a時函數(shù)f(x)的值，是一個常量；而f(x)是自變

量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個變量.f(a)是f(x)的一個特殊值.

2.值域是全體函數(shù)值所組成的集合.在多數(shù)情況下，一旦定義域和對應(yīng)關(guān)

系確定，函數(shù)的值域也就隨之確定.

典型例題

例1試判斷以下各組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù)？

(l)f(x尸V7,g(x)=V?；

felI1d。

(2)f(x)=X,g(x)=l-lz<0；

⑶f(x)=F55"，g(x)=(F)a(n￡N)；

(4)f(x)=而右轉(zhuǎn),g(x)=S+x

解：(1)由于f(x)=|XI,而g(x)=4了=x.故它們的值域?qū)?yīng)

法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù).

W

(2)由于函數(shù)f(x)=X的定義域為R+UR-,

(I

而g(x)=V1*<°的定義域為R.故它們不是同一函數(shù).

(3)由于當(dāng)n￡N+時，2n±1為奇數(shù)，；.f(x)=F**"*=x,g(x)=(?衽)

z=x,它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).

(4)由于函數(shù)f(x)=QJx+I的定義域為｛xIx>0),而g(x)=Jx'+x

的定義域為｛xIxW-1或xN)｝,它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù).

評析對于兩個函數(shù)y=f(x)和y=g(x)當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對

應(yīng)法則都相同時，y=f(x)和y=g(x)表示同一函數(shù).也就是說，對兩個函數(shù)來講，

只要函數(shù)的三要素當(dāng)中有一要素不相同，則這兩個函數(shù)就不可能是同一函數(shù).

若兩個函數(shù)表示同一函數(shù)時，則它們的圖像完全相同；反之亦然.這些結(jié)論都

可以作為我們判定兩個函數(shù)是否表示同一函數(shù)的依據(jù).

例2已知Rx)=l+*(x￡R且xW-l),g(x)=x2+2(xGR).

⑴求f(2)、g(2)的值.

⑵求f[g(2)J的值.

(3)求f[g(x)J的解析式.

解：(l)f(2)=1+2=3,g(2)=22+2=6.

11

(2)f[g(2)J=f(6)=1+6=7.

I[

(3)fLg(x)]=f(x2+2)=1+(?+4=，+3.

評析在解本題時,要理解對應(yīng)法則嚀'和“g”的含義，在求f[g(x)]時,

一般遵循先里后外的原則.

例3已知f(x)的定義域是[a,b],求F(x)=f(x-l)+f(x+l)的定義域.

解：要使F(x)有意義，必須Rx-1)且f(x+l)都有意義，于是有

[《XU即ja-UxiA-l②

當(dāng)b-aN2時，①與②的交集[a+1,b-1]即是F(x)的定義域；

當(dāng)b-a<2時，①與②的交集是空集.此時F(x)無意義.

2

例4設(shè)f(x)是定義在(1,+8)上的一個函數(shù)，且有f(x)=2f(x)Vx-1,

求f(x).

I

分析欲求f(x),必須消去已知中的f(1)，由方程組中的消元法，不難

22

想到再去尋找一個方程.此事可由x與1的倒數(shù)關(guān)系，用[去替換已知式中

的X便可得到……

解：因為f(x)=2f(工)6-1①

2

用二代換X,又得

1E

f(工)=2f(x)V.]②

I_

將②代入①消去貞工)，得f(x)=4f(x)-2&1,

二1￡1

f(x)—34+3；又因為x￡(l,+8),所以f(x)=m石+W,x€(l,

+oo).

OX-1

例5已知y=必'+5+3的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍.

分析確定a的取值范圍，使之對任意實數(shù)x都有ax2+4ax+3#).

解：當(dāng)a=0時，ax?+4ax+3=3邦對任意x￡R都成立；

當(dāng)a/0時，要使二次三項式ax2+4ax+3對任意實數(shù)x恒不為零，必須滿足:

1T

其判別式△=4a(4a-3)V0,于是，0<a<S.

□

綜上，a￡［0,A).

評析本題是求函數(shù)的定義域的反問題，即已知函數(shù)的定義域求解析式中

所含字母的取值范圍，類似地,可求解下述問題：

JLura-ax*—

若函數(shù)y=1。的定義域是R,求實數(shù)a的取值范圍.

ox+d

例6已知函數(shù)f(x)=一+1的值域為［-1,4］,求實數(shù)a、b的值.

分析由函數(shù)的解析式可確定一個含有a、b的值域，比照已知條件，可

確定a、b的值.

ax^-b

解；設(shè)丫=P7T,去分母、整理得

yx2-ax+y-b=0.

y=0顯然在函數(shù)的值域［-1,4］內(nèi).

若y#)時,由于xWR,A=a2-4y(y-b)>0,

.,.t-by-4<o①

由已知，有-l￡yW4,從而，(y+l)(y-4)S0,

：.^-3y-4<0,②

比較不等式①與②，得b=3,a?=16

(a-4Ja--4

:.或彼3

評析解決此問題的關(guān)鍵在于把求值域的問題與解一元二次不等式的問

題聯(lián)系在一起，最后通過比較同解不等式的系數(shù)，求出a、b的值.

例7設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2-x),且f(x)=O的兩個實根的平方和

為10,f(x)的圖像過點(0,3),求f(x)的解析式.

分析要求的函數(shù)二次函數(shù)，一般可設(shè)其為f(x)=ax2