空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

1.4.1.1

空間中點(diǎn)、線、面的向量表示1.能用向量語(yǔ)言描述點(diǎn)、直線和平面；2.理解直線的方向向量和平面的法向量.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.教學(xué)重點(diǎn)：理解直線的方向向量和平面的法向量.2.教學(xué)難點(diǎn)：建立立體圖形與空間向量之間的聯(lián)系，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題.重難點(diǎn)幾何中點(diǎn)線面向量中？？？探究新知

我們知道，點(diǎn)、直線和平面是空間的基本圖形，點(diǎn)、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素.因此，為了用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，首先要用向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面．如何用向量表示空間中的一個(gè)點(diǎn)？思考1定點(diǎn)OPp向量的坐標(biāo)起點(diǎn)的坐標(biāo)終點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)探究新知

如圖，在空間中，取一定點(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P可以用向量

來(lái)表示，我們把向量

稱為點(diǎn)P的位置向量.點(diǎn)→點(diǎn)+位置向量

根據(jù)空間兩點(diǎn)的距離公式建立方程求解

P幾何中向量中點(diǎn)方向向量aAB點(diǎn)P在直線l上充要條件一個(gè)點(diǎn)一個(gè)方向+如何用向量表示空間中的直線？思考2探究新知l

如圖，a是直線l的方向向量，在直線l上取

=a，設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn)，由向量共線的條件可知：存在實(shí)數(shù)t，使得

，即線→點(diǎn)+方向向量

PaAB進(jìn)一步地，如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，O

①②式稱為空間直線l的向量表示.由此可知，空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.

D

AC

（1）不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面（2）直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面（3）兩條相交直線確定一個(gè)平面（4）兩條平行直線確定一個(gè)平面（5）一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向確定一個(gè)平面？探究新知如何用向量表示空間中的平面？思考3OPab

這樣點(diǎn)O與向量a,b不僅可以確定平面α,還可以具體表示出α內(nèi)的任意一點(diǎn).這種表示在解決幾何問(wèn)題時(shí)有重要作用.abBCPAO探究新知

我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式．由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定．

l如何用向量表示空間中的平面？思考（5）一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向確定一個(gè)平面？（6）一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向確定一個(gè)平面？AP

a

平面的法向量yxzDABCD1A1B1C1M課本例題已知長(zhǎng)方體ABCD--A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M為AB中點(diǎn).以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.（1）求平面BCC1B1的一個(gè)法向量；（2）求平面MCA1的一個(gè)法向量．解:(1)因?yàn)閥軸垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一個(gè)法向量.z是自由變量最好法向量不要出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，方便運(yùn)算求平面法向量的步驟

1、空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示點(diǎn)→點(diǎn)+位置向量