大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)知識(shí)(清華大學(xué))

Contents

差分方程和數(shù)值微分實(shí)驗(yàn)................................................................................4

1.1差分方程的基本定義...........................................................................4

1.2一階線性常系數(shù)差分方程.......................................................................4

1.3高階線性常系數(shù)差分方程.......................................................................4

1.4線性常系數(shù)差分方程組.........................................................................5

1.5非線性差分方程...............................................................................5

2數(shù)值微分........................................................................................5

插值與數(shù)值積分|........................................................................................6

1插值與擬合....................................................................................6

1.1插值與擬合的基本概念.....................................................................6

1.2三種插值方法.............................................................................6

2數(shù)值積分........................................................................................8

2.1數(shù)值積分的基本思路.......................................................................8

2.2三種常用數(shù)值積分方法.....................................................................8

常微分方程數(shù)值儲(chǔ)|.....................................................................................10

常微分方程的初值問(wèn)題............................................................................10

2.初值問(wèn)題的數(shù)值解法.............................................................................10

2.1歐拉方法.................................................................................10

2.2龍格-庫(kù)塔方法............................................................................11

常微分方程組和高階方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法.................................................11

2.3龍格-庫(kù)塔方法的MATLAB實(shí)現(xiàn).............................................................12

2.4算法的收斂性、穩(wěn)定性分析................................................................12

剛性現(xiàn)象與剛性方程.........................................................................13

線性代數(shù)方程組數(shù)值解法|...............................................................................13

線性代數(shù)方程組的一般形式和解法..................................................................13

2.求解線性代數(shù)方程組的直接法...................................................................13

2.1高斯消元法..............................................................................13

2.2LU分解..................................................................................14

2.3解的誤差分析P95..................................................................................................................................................14

3.求解線性代數(shù)方程組的迭代法...................................................................15

3.1雅可比迭代法............................................................................15

3.2高斯-賽德?tīng)柕?.......................................................................15

3.3迭代法的收斂性和收斂速度................................................................15

3.4超松弛迭代..............................................................................16

4.超定線性代數(shù)方程組的最小二乘解..........................................................16

4.1超定線性方程組的概念....................................................................16

4.2最小二乘準(zhǔn)則............................................................................16

4.3最小二乘解..............................................................................16

4.4基函數(shù)的選取............................................................................17

MATLAB實(shí)現(xiàn).....................................................................................17

|非線性方程求解|.......................................................................................17

1非線性方程（組）的定義及特點(diǎn).....................................................................17

2非線性方程的基本解法..........................................................................18

2.1圖形法和二分法..........................................................................18

2.2迭代法...................................................................................18

2.3牛頓法...................................................................................19

3非線性方程組的牛頓法、擬牛頓法................................................................19

4用MATLAB工具箱解非線性方程(組)...............................................................20

4.1fzero的基本用法.........................................................................20

4.2fsolve的基本用法.........................................................................21

4.3roots的基本用法..........................................................................22

無(wú)約束優(yōu)化|...........................................................................................23

1.無(wú)約束優(yōu)化的基本原理、解法.................................................................23

1.1無(wú)約束優(yōu)化的一般形式....................................................................23

1.2最優(yōu)性條件..............................................................................23

1.3下降法的基本思想........................................................................23

1.4用MATLAB優(yōu)化工具箱解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題...................................................23

2.非線性最小二乘擬合的基本原理、解法.........................................................25

2.1非線性最小二乘擬合問(wèn)題..................................................................25

2.2非線性最小二乘擬合問(wèn)題的解法...........................................................25

2.3用MATLAB優(yōu)化工具箱解非線性最小二乘擬合問(wèn)題...........................................26

約束優(yōu)化|.............................................................................................27

11.線性規(guī)劃的基本原理、解法......................................................................28

1.1線性規(guī)劃的圖解法........................................................................28

1.2線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形........................................................................28

1.3基本可行解..............................................................................28

1.4線性規(guī)劃的基本性質(zhì)......................................................................28

1.5單純形法的基本思路......................................................................28

1.6線性規(guī)劃解的幾種可能....................................................................29

1.7用MATLAB優(yōu)化工具包解線性規(guī)劃.........................................................29

2.非線性規(guī)劃的基本原理、解法....................................................................31

2.1非線性規(guī)劃的一般形式....................................................................31

2.2可行方向與下降方向......................................................................31

2.3最優(yōu)解的必要條件........................................................................31

2.4二次規(guī)劃的一般形式......................................................................32

2.5二次規(guī)劃的有效集方法....................................................................32

2.6用MATLAB優(yōu)化工具包解二次規(guī)劃.........................................................33

2.7非線性規(guī)劃的解法........................................................................34

2.8用MATLAB優(yōu)化工具包解非線性規(guī)劃.......................................................34

數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與分羽.....................................................................................36

1統(tǒng)計(jì)的基本概念.................................................................................36

2頻數(shù)表和直方圖.................................................................................37

3統(tǒng)計(jì)量.........................................................................................37

4統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)重要的概率分布......................................................................38

4.1分布函數(shù)、密度函數(shù)和分位數(shù).............................................................38

4.2統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)重要的概率分布...............................................................38

4.3MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱(Toolbox'Stats)中的概率分布P246................................................................................39

5正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布..........................................................................39

6.用隨機(jī)模擬計(jì)算數(shù)值積分........................................................................40

6.1兩種方法................................................................................40

6.2重積分的計(jì)算............................................................................40

6.3MATLAB實(shí)現(xiàn).............................................................................40

統(tǒng)計(jì)推斷.............................................................................................40

1、參數(shù)估計(jì)......................................................................................40

概述.........................................................................................40

1.1點(diǎn)估計(jì)...................................................................................41

1.2點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)........................................................................41

1.3總體均值的區(qū)間估計(jì)......................................................................42

1.4總體方差的區(qū)間估計(jì)......................................................................44

1.5參數(shù)估計(jì)的MATLAB實(shí)現(xiàn)..................................................................44

2、假設(shè)檢驗(yàn)......................................................................................45

概述.........................................................................................45

2.1均值的假設(shè)檢驗(yàn)..........................................................................45

2.2方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）的假設(shè)檢驗(yàn).............................................................46

2.3兩總體的假設(shè)檢驗(yàn)........................................................................46

2.40-1分布總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)..............................................................47

2.5總體分布正態(tài)性檢驗(yàn)......................................................................47

2.6假設(shè)檢驗(yàn)與Matlab命令匯總...............................................................49

差分方程和數(shù)值微分實(shí)驗(yàn)

1.1差分方程的基本定義

差分方程是在離散時(shí)段上描述現(xiàn)實(shí)世界中變化過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。

現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題通常是連續(xù)變化的，但我們常常只能在離散的時(shí)間點(diǎn)上對(duì)其進(jìn)行觀測(cè)和描述。為了表述這一類的

數(shù)學(xué)模型，我們引入了差分方程的方法。

1.2一階線性常系數(shù)差分方程

一階線性常系數(shù)差分方程的一般形式

凝+i=aXk+b9k=0,1,2,---

差分方程的平衡點(diǎn)

代數(shù)方程x=+B的根x=￡

差分方程的解

x.=+b----,k=0,1,2，…

1-a

&b人

=敢=ca+---k=0,1,2,…

1-af

其中c=x。-』-由初始值X。和以&確定

平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件

若尢T8時(shí)敵fX,則平衡點(diǎn)“穩(wěn)定，否則平衡點(diǎn)X不穩(wěn)定。

平衡點(diǎn)穩(wěn)定的充要條件是|&<1

1.3高階線性常系數(shù)差分方程

高階線性常系數(shù)差分方程的一般形式

/線+*+%與+*一1+…+*凝+1+anxk=b,k=\,2,-

特征方程

/兄*++?—F即_]4+a*=0

特征根

4,4,…，4

平衡點(diǎn)

b

X-----------------------

%+-一,+%+%

差分方程的解

X=.才+.港+…+c*若+x,jt=12…其中5q由初始值勺,…,x”確定

平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件所有特征值的模均小于1(用roots(c)——c:多項(xiàng)式的系數(shù)(降幕)P125)

1.4線性常系數(shù)差分方程組

當(dāng)我們研究的對(duì)象是若干變量構(gòu)成的一個(gè)向量的離散動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)，就需要引入差分方程組來(lái)描述，詳見(jiàn)前面對(duì)

一階或高階線性常系數(shù)差分方程的描述。

平衡點(diǎn)----X=Ax+b

穩(wěn)定條件：A的所有特征根小于1(eig)

1.5非線性差分方程

對(duì)于非線性差分方程：%+1=/(線),上=0,1,2,…

平衡點(diǎn)即為代數(shù)方程y=/(y)的根/

對(duì)/在/點(diǎn)作為W”展開，保留線性項(xiàng)，可得近似線性方程：

4+1=/'(/)(九-力+1/,，=0,12…

若|f(丁)|<1M對(duì)近似線性方程和原非線性方程都是穩(wěn)定平衡點(diǎn)

若『⑶">1/對(duì)近似線性方程和原非線性方程都不是穩(wěn)定平衡點(diǎn)

2數(shù)值微分

數(shù)值微分是用離散方法近似地計(jì)算函數(shù)y=f(x)在某點(diǎn)x=a的導(dǎo)數(shù)值。常用公式有：

前差公式

/'(a)三.(*)二誤差為0伊)

h

后差公式

f\a)=■/(-一■/?一劃誤差為。(&)

h

中點(diǎn)公式

/,⑷S.經(jīng)+：)_/(、一二誤差為0(&2)

2h

三點(diǎn)公式

函數(shù)y=/（x）在等間距力的分點(diǎn)而<^<■</上用離散數(shù)值表示為y°Ji，…，入

在中間點(diǎn)內(nèi),…,冬”

八凝）/“二%，左=1,2,…速一1

2k

在兩個(gè)端點(diǎn)而，底

“敵）=%。+”「乃,2-4%1+3%

2h2h

插值與數(shù)值積分

1插值與擬合

1.1插值與擬合的基本概念

插值與插值函數(shù)：已知由g"）（可能未知或非常復(fù)雜）產(chǎn)生的一批離散數(shù)據(jù)（演,乃）,i=…*,且〃+1個(gè)

互異插值節(jié)點(diǎn)a=而<再<叼0??</=",在插值區(qū)間內(nèi)尋找一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)/（X）,使其滿足下列插

值條件：

—=乂2=0,1,…/

再利用已求得的/。）計(jì)算任一非插值節(jié)點(diǎn)/的近似值y,這就是插值。其中稱為插值函

數(shù)，/（乃稱為被插函數(shù)。

最小二乘擬合：已知一批離散的數(shù)據(jù)（X”乃）「=°工…》，號(hào)互不相同，尋求一個(gè)擬合函數(shù)/（X）,

使,（不）與萬(wàn)的誤差平方和在最小二乘意義下最小。在最小二乘意義下確定的/（X）稱為最小二乘擬合函數(shù)。

1.2三種插值方法

1）Lagrange插值法

a.待定系數(shù)法：假設(shè)插值多項(xiàng)式4（力=%/+即_1二-1+-%X+劭，利用待定系數(shù)法即可求得滿足

插值條件4（玉）二必…*的插值函數(shù)。關(guān)鍵在于確定待定系數(shù)即，%一…,即。

b.利用基函數(shù)的構(gòu)造方法首先構(gòu)造北+1個(gè)滿足條件：4（。）=%的%次插值基函數(shù)％（x）,再將其

線性組合即可得如下的Lagrange插值多項(xiàng)式：

JL.(x-X,)

勺⑶=立4_*、

J-0(公一xj)

其中i=0,1，…，修

c.Lagrange插值余項(xiàng)

2伊+1)(??

凡(X)=g。)一4(x)=V—n"一不)^e(a,b)

j-o

注：上述兩種構(gòu)造方法所得的Lagrange插值多項(xiàng)式是一樣的，即滿足插值條件4（石）=必'二°，1，.，閥的

Lagrange插值多項(xiàng)式是唯一的。Lagrange插值會(huì)發(fā)生Runge現(xiàn)象。

2）分段線性插值

作分段線性插值的目的在于克服Lagrange插值方法可能發(fā)生的不收斂性缺點(diǎn)。所謂分段線性插值就是利

用每?jī)蓚€(gè)相鄰插值節(jié)點(diǎn)作線性插值，即可得如下分段線性插值函數(shù)：

X

4（x）=2Mx）

2-0

其中

次①當(dāng)XjiWxV不時(shí)，且7=0時(shí)舍去

xi-X

/式力=<士迎當(dāng)玉WxW%時(shí)，且7=曲舍去

0其它

特點(diǎn)：插值函數(shù)序列“*?｝具有一致收斂性，克服了高次Lagrange插值方法的缺點(diǎn)，故可通過(guò)增加插值節(jié)

點(diǎn)的方法提高其插值精度“但存在于節(jié)點(diǎn)處不光滑、插值精度低的缺點(diǎn)。

3）三次樣條插值

三次樣條插值的目的在于克服Lagrange插值的不收斂性和提高分段線性插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的光滑性。所

謂三次樣條插值方法就是在滿足下列條件：

a式x）eC[a/]

b.式x）在每個(gè)子區(qū)間[工_1，否3=12…,％上是三次多項(xiàng)式的三次樣條函數(shù)中尋找滿足如下插值條件：

S（&）=MJ=0,1,-?,?

一及形如s（而）=S（勺）=0等邊界條件的插值函數(shù)s（x）的方法。

特點(diǎn)：三次樣條插值函數(shù)序列式工)一致收斂于被插函數(shù)，因此可通過(guò)增加節(jié)點(diǎn)的方法提高插值的精度。

4)插值方法的Matlab實(shí)現(xiàn)

a.對(duì)于Lagrange插值必須自編程序

b.低次插值的Matlab命令

分段線性插值：

y=interp1(xO,yO,x),其中輸入離散數(shù)據(jù)xO、yO、x,輸出對(duì)應(yīng)x的插值y。

三次樣條插值：

y=interp1(xO,yO,'spline')

或

y=spline(xO,yO,x)

其中，x0>yO、x和y的意義同上。

2數(shù)值積分

2.1數(shù)值積分的基本思路

我們先來(lái)回憶定積分的定義

/=『/OAx=lun&4=t4

■ak-1?

此處，當(dāng)M充分大時(shí)4就是1的數(shù)值積分

本章中各種數(shù)值積分方法研究的是費(fèi)如何取值，區(qū)間(明毋如何劃分，

使得既能保證求解的精度，又能使計(jì)算量較小。

以后介紹的各種數(shù)值積分方法都基于我們?cè)谝胛⒎e分時(shí)所采用的矩形公式法。

2.2三種常用數(shù)值積分方法

1)梯形公式

悌形公式*=〃號(hào)％+&4+公其中a=三為積分步長(zhǎng)。

悌形公式和矩形公式的區(qū)別在于：

它在計(jì)算面積時(shí)不是單純地取左端點(diǎn)或右端點(diǎn)的函數(shù)值，

而是將每個(gè)小區(qū)間段端點(diǎn)的函數(shù)值取平均。

因此和矩形公式比較，它有更好的精度，

進(jìn)一步的分析表明，梯形公式看的誤差為層階。

2）辛普森公式

為了進(jìn)一步提高精度，可以用分段二次插值函數(shù)代外（X）。

由于每段要用到相鄰兩個(gè)小區(qū)間端點(diǎn)的3個(gè)函數(shù)值，所以小區(qū)間的數(shù)目必須是偶數(shù)，記"=2加承=

對(duì)于第尢段的兩個(gè)小區(qū)間，我們用三個(gè)節(jié)點(diǎn)02上,加）依“1）,小“2J如2S）構(gòu)造二次插值函數(shù)SR（X）,

積分可得S式X"X=I力.+4石“1+力"2）。

“x”3

求切段之和就得到辛昔森公式：

卜M-1M-1h-a

s*=W（/+4,+4Z；4w+2Z4JA=-

3k-oJUI2m

進(jìn)一步的分析表明，辛普森公式乂的誤差是川階的。

3）高斯求積公式

代數(shù)精度

用嘉函數(shù)作為被積函勤，以近似積分與精確值是否相等作為精度的度量指標(biāo)，有如下定義：

設(shè)/（x）=x*，用4=E4/（xQ計(jì)算/=若對(duì)于無(wú)=0,1，…,也都有/*=/,而當(dāng)尢=搐+1

時(shí)4。I,則稱的代數(shù)精度為如

例如梯形公式的代數(shù)精度根=1,因?yàn)檗?1時(shí)=方=?3+“）,二者相等

2

而上=2時(shí),1x%x=g（9-a，，Tx=+a）,二者不等。

類似地，我們可以證明辛普森公式的代數(shù)精度為3。

高斯公式

高斯公式取消了對(duì)節(jié)點(diǎn)的限制，按照代數(shù)精度最大的原則，同時(shí)確定節(jié)點(diǎn)電和系數(shù)4。

對(duì)于/=Cj（xWx,構(gòu)造求積公式G2=4/（X1）+4/（盯）。按照定義，我們要求：

對(duì)?。╔）=1，X，/，「J（x/x=都成立，物（X）代入計(jì)算可得

J-1

A1+A2=2

4勺+4叼=o

4無(wú);+4后=|

/鬲+4勾=o

解出玉=-9，弓=9，4=4=1,即得高斯公式32=/（-爰）+4爰），代數(shù)精度為3。

用*個(gè)節(jié)點(diǎn)，G*的代數(shù)精度可達(dá)2萬(wàn)-1,但是需要解復(fù)雜的非線性方程組，實(shí)用價(jià)值不大。

Gauss-Lobatto公式P60

4)數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn)

trapz(x)

用梯形公式計(jì)算(h=1),輸入數(shù)組X為各區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值。

trapz(x,y)

用梯形公式計(jì)算，輸入x,y為同長(zhǎng)度的數(shù)組，輸出y對(duì)x的積分(步長(zhǎng)可不相等)。

quad(*fun',a,b,tol)

用自適應(yīng)辛普森公式計(jì)算，輸入被積函數(shù)fun可以自定義如exp(-x.八2),也可以是fun.m命名的函數(shù)

M文件，積分區(qū)間(a,b),絕對(duì)誤差tol,輸出積分值。

quadl('fun，,a,b,tol)

用自適應(yīng)的Gauss-Lobatto公式計(jì)算，其余同上。

常微分方程數(shù)值解

常微分方程的初值問(wèn)題

常微分方程初值問(wèn)題是指設(shè)有

<

y(x0)=y0

其中已知函數(shù)對(duì)、滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)￡使|/0，%)-f(x,y2)|<Z|^-%|以保證方

程組的跖=y(x)存在且唯一。在滿足Lipschitz條件下求解方程組稱為一階常微分方程的初值問(wèn)題。

所謂求方程組的數(shù)值解，就是計(jì)算(精確)腌G)在一系列離散點(diǎn)X0Vxi<X?<X；,<…的近似

值,通常我們選取相等的計(jì)算步長(zhǎng)我,于是x*=殉+nh(n=1,2,…)。

2.初值問(wèn)題的數(shù)值解法

2.1歐拉方法

歐拉方法的基本思想

歐拉方法的基本思想是在小區(qū)間風(fēng)6皿］上用差商史立二叢2代替,⑸，麗(xJ(x))中的X取區(qū),小J

h

的某一點(diǎn)，于是y(詬+D=y(xJ+VO,y(x)),xe［%,Xz］。五?。邸?/+J內(nèi)不同的點(diǎn)，可以得到不同的計(jì)算公式。

向前歐拉公式

茍("(*))中的X取區(qū)間區(qū)/2］的左端點(diǎn)X*,即/(Xx，1y(x*))。將的近似值記為W即入NJCG

招則得到向前歐拉公式)丁1=%+/(%〃)。向前歐拉公式為顯式公式，具有一階精度。

向后歐拉公式

茍X”。))中的x取區(qū)間以"J的右端點(diǎn)X”類似可得向后歐拉公弧+i=乃,+怒0"+1以+1)。向后歐

拉公式實(shí)際上是從％iJa向后算出%當(dāng)函數(shù)/(XJ)對(duì)y非線性時(shí)，通常只能用迭代法求解方程，故為隱式

公式，計(jì)算量比向前歐拉公式大得多，它的精度也為一階。

改進(jìn)的歐拉公式

將前面兩種公式平衡一下，即可得到模形公式以"=入+，1/（相,〃）+1/。.”,八+1）］,顯然模形公式也為

隱式公式。但我們不妨用￡“=〃+型（X",凡）來(lái)預(yù)測(cè)等式右邊的八T，就可以油劍改進(jìn)的歐拉公式，它具有

兩階精度。改進(jìn)的歐拉公式：居+1=〃+夕加*,八）+/（%1，%+1）］

精度歸納：

向前1階向后1階梯形2階改進(jìn)歐拉2階

0（h-p+l）----p階精度

2.2龍格-庫(kù)塔方法

龍格-庫(kù)塔方法的基本思想

在前面的歐拉公式中向前向后歐拉公式各自只用了區(qū)間區(qū),x*+J一個(gè)端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，而在梯形公式和改進(jìn)

歐拉公式中，我們把上的兩個(gè)導(dǎo)數(shù)取平均，得到了最高的精度。這就啟發(fā)我們用風(fēng)上若干個(gè)

點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)它們作線性組合得到平均斜率，就可能得到更高階的精度，這就是龍格-庫(kù)塔方法的基本思想。

龍格-庫(kù)塔方法一般形式

龍格一庫(kù)塔方法的一般形式：

%+1=乂+至砧

2-1

A=/（""）

<

質(zhì)=/（5+。2白匕自）

2-1

-=/（/+cihtyn+m2%號(hào)）i=3,4,…,L

川

其中和%為待定參數(shù)，在滿足f4=1,0<Cj<1，號(hào)附=1的條件下使上式的局部截?cái)嗾`差首項(xiàng)中〃的嘉

2-1/?1

次盡量高。若4+1=。陋"1）,則稱上式為￡級(jí)p階龍格-庫(kù)塔公式。

經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法

經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法（4級(jí)4階龍格-庫(kù)塔公式）如下，它具有4階精度，但收斂速度比較慢。

片+1=分+7^1+2占+2k3+kJ

0

的=/（4，居）

店=熱+?必+學(xué)）

芻=川+/+孕I

*4=/（x,+h,yK+hkz）

常微分方程組和高階方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法

P73\74

高階方程，需要先降階化為一階常微分方程組

2.3龍格-庫(kù)塔方法的MATLAB實(shí)現(xiàn)

對(duì)于微分方程(組)的初值問(wèn)題

r

心共丸"%x=(x1,--,x,),/=0；.

[x(4)=x(),X。=(%,…,Xo*)「

龍格一庫(kù)塔方法可用如下Matlab命令實(shí)現(xiàn)其計(jì)算：

[t,x]=ode23(@f,ts,xO,options)

[t,x]=ode45(@f,ts,xO,options)

其中ode23用的是3級(jí)2階龍格-庫(kù)塔公式，ode45用的是以Runge-Kutta-Fehberg命名的5階4階公式。

命令的輸入f是待解方程寫成的函數(shù)M文件：

functiondx=f(t,x)

dx=[fl;f2;...;fn];

若輸入ts=[tO,tl,t2,..tf],則輸出在指定時(shí)刻tO,tl,t2,…,tf的函數(shù)值；若輸入ts=tO:k:tf,

則輸出在[tO,tf]內(nèi)以k為間隔的等分點(diǎn)處的函數(shù)值。xO為函數(shù)初值(n維向量)。0Ptions可用于設(shè)定誤差限

(options默認(rèn)時(shí)設(shè)定相對(duì)誤差I(lǐng)CT',絕對(duì)誤差10考,命令為：

options=odeset('reltol1,rt.'abstol1,at)

其中rt,at分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差.

命令的輸出t為由輸入指定的ts,x為相應(yīng)的函數(shù)值(n維向量)。

注意：計(jì)算步長(zhǎng)h是根據(jù)設(shè)定誤差限自動(dòng)調(diào)整的，并不是輸入中指定的輸出“步長(zhǎng)”k。

2.4算法的收斂性、穩(wěn)定性分析

收斂性分析P81

當(dāng)計(jì)算步長(zhǎng)/70時(shí)，數(shù)值解居無(wú)限接近微分方程初值問(wèn)題的解析曲(覆)。向前向后歐拉公式、改進(jìn)歐

拉公式、4階龍格-庫(kù)塔公式都是收斂的，它們的整體誤差分別為。(》,0(加),0(川)。

穩(wěn)定性分析P81

穩(wěn)定性是討論計(jì)算中舍入誤差是否隨步數(shù)的增加無(wú)限增大。

對(duì)于一種數(shù)值算怯，若乂的誤差q|^|n算法穩(wěn)定

對(duì)于一階微分方程/=/(%>),若在某一點(diǎn)(//?)作二元泰勒展開，略去2階及2階以上項(xiàng)得

y'=/(x,,1/)+工"+力(/,>/)(>-1/),

再經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的代換，可化成如下的方程進(jìn)行討論：y'=-Ay,A>0

它的解析解是y①，其中c是初始條件決定的常數(shù)，4>0保證微分方程本身的穩(wěn)定性。

向前歐拉公式〃+M(x*,M)=。-A㈤匕=J”=(1-砌j

2

|￡屈引￡*|=|1-刈41=匕]

向后歐拉公式乂+]="-切ijkl=j+l=11,q0=為取任意值均可

經(jīng)典龍格-庫(kù)塔公式經(jīng)證明，穩(wěn)定性條件是女x翌

向后歐拉公式無(wú)條件穩(wěn)定

剛性現(xiàn)象與剛性方程

精度一一慢穩(wěn)態(tài)解的特征根決定步長(zhǎng)一一快穩(wěn)態(tài)解

快慢穩(wěn)態(tài)解衰減速度（兩個(gè)特征根）相差懸殊一一剛性現(xiàn)象一一剛性方程

求解ode23s,odel5s

線性代數(shù)方程組數(shù)值解法

線性代數(shù)方程組的一般形式和解法

含n個(gè)未知數(shù)、由n個(gè)方程組成的線性方程組可表示為

+巧*4=4，

<%1演+%HI-=b2,

。"內(nèi)+%與+…+

I辦=（%）*，x=（演,…,x*）r,&=（兄…也）r,則線性方程組也可表示為人*4的形式，其中A為系數(shù)矩陣。

求解線性方程組的方法一般有兩類，直接法和迭代法。

直接法經(jīng)過(guò)有限次算術(shù)運(yùn)算能求出精確解（不考慮舍入誤差）或者判定解不存在的方法.主要包括高斯

消元法和1-吩解。

迭代法從某個(gè)初始近似解出發(fā)，通過(guò)逐次得到的近似解去逼近準(zhǔn)確解的方法。主要包括雅可比方法和高

斯-賽德?tīng)柗椒ā?/p>

2.求解線性代數(shù)方程組的直接法

2.1高斯消元法

高斯消元法

高斯消元法分消元和回代兩個(gè)步驟，先依次消元將原方程組Ax=b的系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化成上三角矩陣，再

依次回代求出方程組的所有解。

高斯消元法的第一次消元過(guò)程如下

再+如M+…+/M”=瓦，4；%+*%+…+檻（=鎮(zhèn),

一式再+%叼+…+%M*=J,碗兀+…+珊x*=6孔

+%通+…+%*演=bxa^x2+…+4?x*=以2）.

類似如上步驟，依次進(jìn)行梢元（每次消元過(guò)程相當(dāng)于在方程組兩邊左乘了一個(gè)對(duì)角線為1的下三角

矩陣），最后可以得到這樣的形式：

?*%+*X2+…+*5=半，

,a的+…+a肛=繆，

喝“漕）

解該方程組中第n個(gè)方程，得到%的值，再依次向上回代即可解出方程組的所有解。值得注意的是在消元

過(guò)程中要保證或（i=l,2,-,?）,等價(jià)于《的所有順序主子式不為0。

列主元消去法

實(shí)際上，在用高斯消元法解線性方程組的過(guò)程中，即使或）wO（左=1,2,…,以但是其絕對(duì)值很小時(shí)，

用它作除數(shù)也會(huì)導(dǎo)致較大的舍入誤差。所以在進(jìn)行第k步消元時(shí)，不論蹴）是否為o,都在第k列選擇w鐘

（i=匕…避）最大的一個(gè)作為主元（稱為列主元），將其所在行與第k行交換后再按上述方法進(jìn)行下去，稱

為列主元消去法。

2.2LU分解

LU分解和Choiesky分解

由上面對(duì)高斯消元法的討論知，若A可逆且順序主子式不為0,則A可分解為一個(gè)單位下三角陣L和一

個(gè)上三角陣U的積，BPA=LU?這種分解是唯一的，稱為矩陣的LU分解。對(duì)應(yīng)地，若A可逆，則存在交換陣

P使PA=LU,其中L為單位下三角陣，U為上三角陣。

對(duì)于某些特殊矩陣，例如正定對(duì)稱矩陣A,它可分解成對(duì)角元素為正下三角陣L與它的轉(zhuǎn)置矩陣之積，

即人=1或人=1譏3,其中L是單位下三角陣，D是元素為正的對(duì)角陣。這種分解稱為三角分解或Choiesky

分解。

求解三對(duì)角線性方程組的追趕法

在三次樣條插值和其他一些計(jì)算中，常常會(huì)遇到系數(shù)矩陣A具有三對(duì)角的形式，這種矩陣的LU分解可

表示為：

Aq

“2”2

%-1%

%

其中L和U的計(jì)算公式為

叫-1

.%=4-匕_1i=2,3,--,n

線性方程組人*=￡可通過(guò)等價(jià)的兩個(gè)三角形線性方程組L尸f和Ux=y求解如下：

x=正

卜=工

［必=/-，1%-1，i=2…，附_"1。內(nèi)+1._1__1

入i-注1,，1