九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練（滬教版）重難點(diǎn)專項(xiàng)突破06相似三角形中的“手拉手”旋轉(zhuǎn)模型（原卷版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破06相似三角形中的“手拉手”旋轉(zhuǎn)模型【知識(shí)梳理】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型模型展示：如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來(lái).Com]【考點(diǎn)剖析】例1.如圖，直角梯形ABCD中，，AD//BC，BC=CD，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)， 且，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，得到，聯(lián)結(jié)EF 交CD于M．已知BC=5，CF=3，則DM:MC的值為（） A． B． C． D．AABCDEFM例2、如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，E為△ABC外一點(diǎn)，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求證：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.例3.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D 與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB 相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證∽，則 此時(shí)______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)間方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其 中，問(wèn)的值是否改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF圖1圖2圖3例4.如圖，已知和是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，且 ，的頂點(diǎn)E與的斜邊BC的中點(diǎn)重合．將繞 點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于 點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：≌；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：∽；并求當(dāng)BP=a， 時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離（用含a的代數(shù)式表示）．AABCDEFABCDEFPPQ圖1圖2Q例5.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說(shuō)明理由．（3）解決問(wèn)題當(dāng)α＝90°時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時(shí)的值．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．填空題（共1小題）1．（2022秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線AC的垂線，垂足為E，過(guò)點(diǎn)E作BE的垂線，交邊AD于點(diǎn)F，如果AB＝3，BC＝5，那么DF的長(zhǎng)是．二．解答題（共7小題）2．（2022秋?楊浦區(qū)期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在邊AC上，聯(lián)結(jié)BD，以BD為斜邊作等腰直角三角形BDE（點(diǎn)E在直線BD右側(cè)），聯(lián)結(jié)CE．（1）如果∠A＝45°，求證：△ABD∽△CBE；（2）如果BC＝12，CD＝5，求線段CE的長(zhǎng)．3．（2021春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠1＝∠2，AD＝AE，∠B＝∠ACE，且B、C、D三點(diǎn)在一條直線上，若∠B＝60°．（1）△BAD與△CAE是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）△ABC是否是等邊三角形，如果是．請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）CE＝AC+CD是否成立，如果成立請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2022?靜安區(qū)二模）如圖①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP，作∠BPF＝∠ADC，設(shè)射線PF交線段BC于E，交射線DC于F．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）如果射線PF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（即點(diǎn)E、F與點(diǎn)C重合，如圖②所示），求AP的長(zhǎng)；（3）設(shè)AP＝x，DF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域．5．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，點(diǎn)D為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），以AD為腰且在AD的右側(cè)作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射線AB與射線FD交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BF．（1）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，①求證：△ACD∽△ABF；②設(shè)CD＝x，tan∠BFD＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）當(dāng)AB＝2BE時(shí)，求CD的長(zhǎng)．6．（2021秋?靜安區(qū)期末）如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交邊BC于點(diǎn)E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB?AD，且DC∥AE．（1）求證：DE2＝AE?DC；（2）如果BE＝9，求四邊形ABCD的面積；（3）如圖2，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，設(shè)BE＝x，EF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域．7．（虹口區(qū)期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（