九年級數(shù)學核心知識點與常見題型通關(guān)講解練（滬教版）重難點專項突破06相似三角形中的“手拉手”旋轉(zhuǎn)模型（解析版）

重難點專項突破06相似三角形中的“手拉手”旋轉(zhuǎn)模型【知識梳理】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型模型展示：如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來.Com]【考點剖析】例1.如圖，直角梯形ABCD中，，AD//BC，BC=CD，E為梯形內(nèi)一點， 且，將繞點C旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，得到，聯(lián)結(jié)EF 交CD于M．已知BC=5，CF=3，則DM:MC的值為（） A． B． C． D．AABCDEFM【答案】C．【解析】旋轉(zhuǎn)后，． ，， ，． 在中，，． ． ， ． 又 ．【總結(jié)】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識，平行的判定、三角形一邊的平行線的知識．例2、如圖，D為△ABC內(nèi)一點，E為△ABC外一點，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求證：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.證明：(1)∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠1＝∠2.又∠3＝∠4，∴△ABD∽△CBE.(2)∵△ABD∽△CBE，∴eq\f(AB,CB)＝eq\f(DB,EB).∴eq\f(AB,DB)＝eq\f(CB,EB).又∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE.例3.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D 與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB 相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．（1）如圖1，當射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證∽，則 此時______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時間方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其 中，問的值是否改變？請說明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF圖1圖2圖3【答案】（1）8；（2）不改變．【解析】（1）略；（2）易證，得：．又，，．【總結(jié)】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識，等腰三角形，“一線三等角”得相似等的相關(guān)知識．例4.如圖，已知和是兩個全等的等腰直角三角形，且 ，的頂點E與的斜邊BC的中點重合．將繞 點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于 點Q．（1）如圖1，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：≌；（2）如圖2，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：∽；并求當BP=a， 時，P、Q兩點間的距離（用含a的代數(shù)式表示）．AABCDEFABCDEFPPQ圖1圖2Q【答案】（1）略；（2）．【解析】（1）是中點，．，． ，．．（2），而，． ，， ，， ， ． 在中，， ，． 在中，．【總結(jié)】本題考查了“一線三等角”相似模型．例5.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當α＝60°時，的值是1，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°．（2）類比探究如圖2，當α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當α＝90°時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值．【分析】（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設(shè)AB交EC于點O．證明△CAP≌△BAD（SAS），即可解決問題．（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點O，BD交PC于點E．證明△DAB∽△PAC，即可解決問題．（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．證明AD＝DC即可解決問題．②如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可證：DA＝DC解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設(shè)AB交EC于點O．∵∠PAD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CAP≌△BAD（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴＝1，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°，故答案為1，60°．（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點O，BD交PC于點E．∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB，∵＝＝，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OABB＝45°，∴直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為45°．（3）如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四點共圓，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，設(shè)AD＝a，則DC＝AD＝a，PD＝a，∴＝＝2﹣．如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可證：DA＝DC，設(shè)AD＝a，則CD＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴＝＝2+．【過關(guān)檢測】一．填空題（共1小題）1．（2022秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，過點D作對角線AC的垂線，垂足為E，過點E作BE的垂線，交邊AD于點F，如果AB＝3，BC＝5，那么DF的長是．【分析】利用矩形的性質(zhì)求出AC，利用三角形的面積、勾股定理求出DE、CE的長，再利用等角的余角相等說明∠BAE＝∠ADE、∠AEB＝∠DEF，得△DEF∽△BEA，最后利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴AC＝＝＝．∵S△ADC＝AD?CD＝AC?DE，∴DE＝．∵DE⊥AC，∴CE＝＝＝．∴AE＝AC﹣CE＝．∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCA．∵∠DCA+∠CDE＝∠CDE+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE．∵BE⊥FE，DE⊥AC，∴∠FEA+∠AEB＝∠DEF+∠FEA＝90°．∴∠AEB＝∠DEF．∴△DEF∽△BEA．∴＝＝．∴DF＝×3＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、三角形的內(nèi)角和定理及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．二．解答題（共7小題）2．（2022秋?楊浦區(qū)期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在邊AC上，聯(lián)結(jié)BD，以BD為斜邊作等腰直角三角形BDE（點E在直線BD右側(cè)），聯(lián)結(jié)CE．（1）如果∠A＝45°，求證：△ABD∽△CBE；（2）如果BC＝12，CD＝5，求線段CE的長．【分析】（1）根據(jù)∠A＝45°可得Rt△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)角的和差得出∠ABD＝∠CBE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得＝＝，即可判定△ABD∽△CBE；（2）點D在線段AC上時，過點E作EM⊥BC于M，作EN⊥AC，交AN的延長線于點N，設(shè)DE、BC交于點F，易得△DCF∽△BEF，＝，可推出△BDF∽△ECF，∠3＝∠4＝45°，可得四邊形CMEN是正方形，設(shè)EM＝x，證明△DEN≌△BEM，得出BM＝DN，即5+x＝12﹣x，求出x，即可得CE的長，同理，可得出點D在線段AC的延長線上時，CE的長；【解答】（1）證明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，Rt△ABC是等腰直角三角形，∴＝，∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，＝，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，＝＝，∴△ABD∽△CBE；（2）解：如圖1，點D在線段AC上時，過點E作EM⊥BC于M，作EN⊥AC，交AN的延長線于點N，設(shè)DE、BC交于點F，∵∠ACB＝90°，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DCF＝∠BEF＝90°，∠3＝45°，∠1＝∠2，∴△DCF∽△BEF，∴，＝∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF，∴∠3＝∠4＝45°，∵∠ACB＝90°，EM⊥BC，EN⊥AC，∴四邊形CMEN是正方形，∠BME＝∠N＝90°，∴CN＝EM＝CM＝NE，在△DEN和△BEM中，，∴△DEN≌△BEM，∴BM＝DN，設(shè)EM＝x，∵BC＝12，CD＝5，∴5+x＝12﹣x，解得：x＝，在Rt△CME中，∠4＝45°，∴CE＝EM＝；同理，如圖2點D在線段AC的延長線上時，CE＝；【點評】此題屬于相似形綜合題綜合題，主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．3．（2021春?徐匯區(qū)校級期末）如圖，∠1＝∠2，AD＝AE，∠B＝∠ACE，且B、C、D三點在一條直線上，若∠B＝60°．（1）△BAD與△CAE是否全等，請說明理由；（2）△ABC是否是等邊三角形，如果是．請說明理由；（3）CE＝AC+CD是否成立，如果成立請說明理由．【分析】（1）先判斷出∠BAD＝∠CAD，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出AB＝AC，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出AB＝AC＝BC，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）△ABD≌△ACE；理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，即∠BAD＝∠CAD，在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）△ABC是等邊三角形，理由：由（1）知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AB＝AC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形；（3）CE＝AC+CD成立，理由如下：由（2）知，△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，由（2）知，BD＝CE，∴BD＝CE＝BC+CD＝AC+CD，即CE＝AC+CD．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，判斷出△ABD≌△ACE是解本題的關(guān)鍵．4．（2022?靜安區(qū)二模）如圖①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，點P是邊AD上的動點，聯(lián)結(jié)BP，作∠BPF＝∠ADC，設(shè)射線PF交線段BC于E，交射線DC于F．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）如果射線PF經(jīng)過點C（即點E、F與點C重合，如圖②所示），求AP的長；（3）設(shè)AP＝x，DF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．【分析】（1）如圖①，過點D作DH⊥BC于點H，則∠DHB＝∠DHC＝90°，再證四邊形ABHD是矩形，利用三角函數(shù)可得∠CDH＝30°，即可求得答案；（2）設(shè)AP＝x，則PD＝6﹣x，可證△DPC∽△PCB，求得：PC＝，BP＝，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；（3）如圖③，在AD上取點G，連接AG，使∠ABG＝30°，則∠AGB＝60°，可證△BPG∽△PFD，即可求得答案．【解答】解：（1）如圖①，過點D作DH⊥BC于點H，則∠DHB＝∠DHC＝90°，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°，∴∠A＝∠ABC＝∠DHB＝90°，∴四邊形ABHD是矩形，∴AD＝BH＝6，DH＝AB＝，∠ADH＝90°，∴CH＝BC﹣BH＝7﹣6＝1，∴tan∠CDH＝＝＝，∴∠CDH＝30°，∴∠ADC＝∠ADH+∠CDH＝90°+30°＝120°；（2）設(shè)AP＝x，則PD＝6﹣x，在圖①Rt△CDH中，CD＝＝＝2，如圖②∵∠BPC＝∠D＝120°，AD∥BC，∴∠DPC＝∠PCB，∴△DPC∽△PCB，∴＝＝，∴＝＝，∴PC＝，BP＝，在RtABP中，AB2+AP2＝BP2，∴（）2+x2＝（）2，整理得：x3﹣6x2+3x+10＝0，∴（x﹣2）（x﹣5）（x+1）＝0，∴x1＝2，x2＝5，x3＝﹣1（舍去），∴AP＝2或5；（3）如圖③，在AD上取點G，連接AG，使∠ABG＝30°，則∠AGB＝60°，∴∠BGP＝120°，∴∠BGP＝∠BPF＝∠ADC＝120°，∵∠BPG+∠PBG＝∠BPG+∠DPF＝60°，∴∠PBG＝∠DPF，∴△BPG∽△PFD，∴＝，即＝，∴y＝x2+x﹣3，根據(jù)題意，0≤x≤6，y≥2，當x2+x﹣3＝2時，解得：x＝2或x＝5，∵＜0，∴當y≥2時，2≤x≤5，故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝x2+x﹣3，定義域為2≤x≤5．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了直角梯形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．5．（2023?靜安區(qū)校級一模）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，點D為射線CB上一動點（點D不與點B、C重合），以AD為腰且在AD的右側(cè)作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射線AB與射線FD交于點E，聯(lián)結(jié)BF．（1）如圖所示，當點D在線段CB上時，①求證：△ACD∽△ABF；②設(shè)CD＝x，tan∠BFD＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（2）當AB＝2BE時，求CD的長．【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性質(zhì)和兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似解答即可；②過點E作EH⊥BD于點H，設(shè)BH＝HE＝m，利用相似三角形的拍等于性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可；（2）利用分類討論的思想方法，畫出圖形，列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF；②解：過點E作EH⊥BD于點H，如圖，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵EH⊥BD，∴BH＝HE．設(shè)BH＝HE＝m，則BE＝m，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝4﹣x﹣m．∵∠ADF＝90°，∴∠ADC+∠FDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠FDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴m＝，∴BH＝HE＝．由①知：△ACD∽△ABF，∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠ABF＝90°．∵∠AED＝∠BEF，∴∠BFD＝∠DAE．∴tan∠BFD＝tan∠DAE＝．∵△ACD∽△DHE，∴，∴y＝tan∠BFD＝＝，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)＝，x的取值范圍：0＜x＜4；（2）①解：當點D在線段CB上時，如圖，由（1）②知：BH＝HE＝．∴BE＝BH＝?．∵AB＝2BE，AB＝AC＝4，∴4＝2×?，∴8+2x＝4x﹣x2，∴x2﹣2x+8＝0．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×8＝4﹣32＝﹣28＜0，∴此方程沒有實數(shù)根，∴當點D在線段CB上時，不存在AB＝2BE；②當點D在線段CB的延長線上時，如圖，過點E作EH⊥BD于點H，∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF．∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠EBH＝∠ABC＝45°．∵EH⊥BD，∴BH＝HE．設(shè)BH＝HE＝n，則BE＝n，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝x﹣4﹣n．∵∠ADF＝90°，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠EDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴n＝．∴BH＝HE＝．∴BE＝BH＝?．∵AB＝2BE，AB＝4，∴4＝2×?．∴8+2x＝x2﹣4x，∴x2﹣6x﹣8＝0，解得：x＝＝3±，∵x＞0，∴x＝3+．∴CD＝3+．綜上，當AB＝2BE時，CD的長為3+．【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)的解析式，一元二次方程的解法，本題是相似三角形的綜合題，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?靜安區(qū)期末）如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交邊BC于點E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB?AD，且DC∥AE．（1）求證：DE2＝AE?DC；（2）如果BE＝9，求四邊形ABCD的面積；（3）如圖2，延長AD、BC交于點F，設(shè)BE＝x，EF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．【分析】（1）先證明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行線性質(zhì)可推出∠ADE＝∠DCE，進而證得△ADE∽△ECD，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）如圖2，過點B作BG⊥AE，運用等腰三角形性質(zhì)可得G為AE的中點，進而可證得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根據(jù)△ABE∽△AED且相似比為3：2，可求得S△AED＝S△CDE＝8，由S四邊形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，進而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，進而求得：CF＝EF，再結(jié)合題意得出答案．【解答】（1）證明：如圖1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB?AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE?DC；（2）解：如圖2，過點B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G為AE的中點，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB?AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比為3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四邊形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如圖3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB?AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE?DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴