北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題1.6特殊平行四邊形章末拔尖卷同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第1章特殊平行四邊形初步章末拔尖卷【北師大版】考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)?？计谥校┰诹庑蜛BCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，再添加一個(gè)條件，仍不能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC2．（3分）（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是同學(xué)們?cè)凇白霏h(huán)保護(hù)航者”的主題班會(huì)課上制作象征“健康快樂(lè)”的綠絲帶（絲帶的對(duì)邊平行且寬度相同），絲帶重疊的部分一定是（

）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．無(wú)法判斷3．（3分）（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，按以下步驟作圖：①以頂點(diǎn)B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑作弧，交AD于點(diǎn)E；②分別以D、E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F，作射線BF交AD于點(diǎn)G，連接CG，若∠BCG=30°，AG=4，則菱形ABCD的面積為（

A．16 B．83 C．1234．（3分）（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在直線l上依次擺放著四個(gè)正方形和三個(gè)等腰直角三角形，已知這三個(gè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)從左到右依次為1，2，3，四個(gè)正方形的面積從左到右依次是S1、S2、S3、S4，則

A．10 B．8 C．6 D．45．（3分）（2023春·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，四邊形AECF是菱形，且菱形AECF的周長(zhǎng)為20，BD為24，則四邊形ABCD的面積為（

）A．24 B．36 C．72 D．1446．（3分）（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，DF⊥AE交AB于點(diǎn)F，以FD，F(xiàn)E為鄰邊構(gòu)造平行四邊形DFEP，連接CP，則∠FAE+∠EPC的度數(shù)的變化情況是（）

A．一直減小 B．一直減小后增大C．一直不變 D．先增大后減小7．（3分）（2023春·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，如果AB=3,AD=4，那么()

A．PE+PF=125 C．PE+PF=5 D．3<PE+PF<48．（3分）（2023春·江西萍鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，且AB=23AC，點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)．分別以AB，DE，BC為邊，在AC同側(cè)作三個(gè)正方形，得到三個(gè)平行四邊形（陰影部分）的面積分別記作S1，S2，S3，若A．355 B．354 C．9．（3分）（2023春·陜西西安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=22，AC=2，BC=10．點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AP中點(diǎn)，連接DF，則線段DF

A．2105 B．255 C．10．（3分）（2023春·河北廊坊·九年級(jí)廊坊市第四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方形ABCD中，E、F分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，DF交于點(diǎn)G，連接

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2023春·山西忻州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段BO上，連接AE，若CD=3BE，∠DAE=∠DEA，EO=1，則線段AE的長(zhǎng)為．

12．（3分）（2023春·河南開(kāi)封·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將圖①中的菱形紙片沿對(duì)角線剪成4個(gè)直角三角形，拼成如圖②中的四邊形ABCD(相鄰紙片之間不重疊，無(wú)縫隙)．設(shè)直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，若(a+b)2=25，四邊形ABCD的面積為13，則中間空白處的四邊形EFGH的面積為

13．（3分）（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考期中）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，∠DCF=2∠BCE，AD=12，AE=4，則線段CE的長(zhǎng)度為_(kāi)__________．

14．（3分）（2023春·廣東東莞·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在面積為36的四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于點(diǎn)P，則DP的長(zhǎng)是15．（3分）（2023春·河南鄭州·九年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)校考期末）如圖所示，ABCD是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)AB=16m，寬AD=9m，中間豎有一堵磚墻高M(jìn)N=1m．一只螞蚱從B點(diǎn)爬到D點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它至少要走16．（3分）（2023春·遼寧營(yíng)口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，AC=4，以BC為邊作正方形BCDE，連接AE，則AE的長(zhǎng)為．

三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2023春·吉林松原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'

(1)當(dāng)∠B'EC=60°時(shí)，(2)連接CB'，當(dāng)△CEB18．（6分）（2023春·湖北恩施·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，其頂點(diǎn)我們稱為格點(diǎn)，△ABC，△ABD為格點(diǎn)三角形．

(1)請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺，在這個(gè)4×4的正方形網(wǎng)格中，畫(huà)出個(gè)以AD為邊的不是正方形的菱形，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；(2)求∠ADB+∠ACB的大?。?9．（8分）（2023春·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交射線CB于點(diǎn)F，連接CE．(1)求證：CE=EF；(2)若BC=2BF，直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)．20．（8分）（2023春·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在?ABCD中，E，F(xiàn)為BC上的兩點(diǎn)，且BE=CF，AF=DE．(1)求證：ΔABF(2)求證：?ABCD是矩形；(3)連接AE，若AF是∠EAD的平分線，BE=2，AF=30，求四邊形ABCD21．（8分）（2023春·四川南充·九年級(jí)?？计谥校┮阎狤，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)G，試探究下列問(wèn)題：

(1)如圖1，若CE=DF，判定AF與DE的關(guān)系為_(kāi)_____________（數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系）(2)如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF，此時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由．(3)如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和EF，若點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，則四邊形MNPQ的形狀為_(kāi)__________．22．（8分）（2023春·湖南婁底·九年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題情境：在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們探究“平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題”，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，O0,0，點(diǎn)A5,0，點(diǎn)操作發(fā)現(xiàn)：以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，得到矩形ADEF，點(diǎn)O，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)繼續(xù)探究：如圖，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，AD與BC交于點(diǎn)H，求證：△ADB≌△AOB；(3)拓展探究：如圖，點(diǎn)M是x軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N使以A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（8分）（2023春·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AB:y=?12x+3與直線CD:y=kx?2相交于點(diǎn)M4,a，分別交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A、B、C、D，點(diǎn)P是線段

(1)求直線CD解析式和點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，將BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到BQ，連接PQ與OQ．點(diǎn)Q隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)所形成的線段所在直線的解析式．(3)在（1）的條件下，直線AB上有任意一點(diǎn)F，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)B、D、F、N為第1章特殊平行四邊形初步章末拔尖卷【北師大版】參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)?？计谥校┰诹庑蜛BCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，再添加一個(gè)條件，仍不能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC【答案】D【分析】根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A、AB＝AD，則?ABCD是菱形，不能判定是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、OA＝OB，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，AC＝BD，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可得?ABCD是矩形，故本選項(xiàng)正確；C、AC＝BD，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項(xiàng)正確；D、DC⊥BC，則∠BCD＝90°，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可得?ABCD是矩形，故本選項(xiàng)正確．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的判定，熟記判定定理才可正確解答.2．（3分）（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是同學(xué)們?cè)凇白霏h(huán)保護(hù)航者”的主題班會(huì)課上制作象征“健康快樂(lè)”的綠絲帶（絲帶的對(duì)邊平行且寬度相同），絲帶重疊的部分一定是（

）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．無(wú)法判斷【答案】B【分析】先證明四邊形ABCD為平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC,AF⊥CD，證明△ABE≌△ADF，得到AB=AD，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC,AF⊥CD，

由題意，得：AD∥BC,AB∥CD,AE=AF，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠ABE=∠ADF，∵∠AEB=∠AFD=90°,AE=AF，∴△ABE≌△ADF，∴AB=AD，∴四邊形ABCD為菱形；【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定．熟練掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形，是解題的關(guān)鍵．3．（3分）（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，按以下步驟作圖：①以頂點(diǎn)B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑作弧，交AD于點(diǎn)E；②分別以D、E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F，作射線BF交AD于點(diǎn)G，連接CG，若∠BCG=30°，AG=4，則菱形ABCD的面積為（

A．16 B．83 C．123【答案】B【分析】由作圖可知：BF⊥AD，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD∥BC,AB=BC=AD，從而可得BF⊥BC，然后設(shè)BG=x，利用勾股定理可得BC=3x，最后在Rt△ABG【詳解】解：由作圖可知：BF⊥AD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC,AB=BC，∴BF⊥BC，設(shè)BG=x，∵在Rt△BCG中，∠BCG=30°∴CG=2BG=2x,BC=C∴AB=3在Rt△ABG中，AG2解得x=22（負(fù)值已舍去），即：BG=2∴AB=3∴AD=26∴菱形ABCD的面積為AD?BG=26【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、基本作圖—作垂線、含30度角的直角三角形，勾股定理，通過(guò)作圖方法，得到BF⊥AD，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（3分）（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在直線l上依次擺放著四個(gè)正方形和三個(gè)等腰直角三角形，已知這三個(gè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)從左到右依次為1，2，3，四個(gè)正方形的面積從左到右依次是S1、S2、S3、S4，則

A．10 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】將已知的等腰直角三角形翻折得到正方形，運(yùn)用勾股定理可知，每?jī)蓚€(gè)相鄰得正方形面積和等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答．【詳解】解：如圖，已知的等腰直角三角形翻折得到正方形，

∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDEAAS∴BC=ED，∵AB∴AB同理可得S3∴S【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，運(yùn)用全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小正方形的面積和是之間的等腰直角三角形的面積的兩倍是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2023春·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖：點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，四邊形AECF是菱形，且菱形AECF的周長(zhǎng)為20，BD為24，則四邊形ABCD的面積為（

）A．24 B．36 C．72 D．144【答案】A【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，證明四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的四條邊都相等求出邊長(zhǎng)AE，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根據(jù)四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，又∵點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴BE＝FD，∴BO＝OD，∵AO＝OC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形；∵四邊形AECF為菱形，且周長(zhǎng)為20，∴AE＝5，∵BD＝24，點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴EF＝8，OE＝12EF＝1由勾股定理得，AO＝AE2?O∴AC＝2AO＝2×3＝6，∴S四邊形ABCD＝12BD?AC＝1【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理以及利用菱形對(duì)角線求面積的方法，熟記菱形的性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，DF⊥AE交AB于點(diǎn)F，以FD，F(xiàn)E為鄰邊構(gòu)造平行四邊形DFEP，連接CP，則∠FAE+∠EPC的度數(shù)的變化情況是（）

A．一直減小 B．一直減小后增大C．一直不變 D．先增大后減小【答案】A【分析】作PH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H，證明CP是∠DCH的角平分線，由∠FAE+∠EPC=∠PEH+∠EPC=∠PCH即可解決問(wèn)題．【詳解】解：作PH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC，∠DAF=∠ABE=∠DCB=∠DCH=90°，∵DF⊥AE，∴∠BAE+∠DAE=90°，∠ADF+∠DAE=90°，∴∠BAE=∠ADF，∴△ADF≌∴DF=AE，∵四邊形DFEP是平行四邊形，∴DF=PE，DF∥PE，∴AE⊥PE，∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠PEH=90°，∴∠BAE=∠PEH，∵∠ABE=∠H=90°，AE=PE，∴△ABE≌∴PH=BE，AB=EH=BC，∴BE=CH=PH，∴∠PCH=45°，∵∠DCH=90°，∴∠DCP=∠PCH，∴CP是∠DCH的角平分線，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是∠DCH的角平分線，∵∠BAE=∠PEH，∴∠FAE+∠EPC=∠PEH+∠EPC=∠PCH，而∠PCH=1∴∠FAE+∠EPC一直不變，【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、余角性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線構(gòu)造全等三角形以及得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線是解答的關(guān)鍵．7．（3分）（2023春·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏魯木齊市第四中學(xué)校考期中）如圖，在矩形ABCD中，P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，如果AB=3,AD=4，那么()

A．PE+PF=125 C．PE+PF=5 D．3<PE+PF<4【答案】D【分析】設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連接OP，根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理求出OA=OD=2.5，再求出△AOD的面積，根據(jù)面積關(guān)系即可求出答案.【詳解】設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連接OP，∵AB=3,AD=4,∴BD=AC=5，∴OA=OD=2.5，∵S△AOD∴S△AOP∵PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，∴1212∴PE+PF=12故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出△AOD的面積是解題的關(guān)鍵.8．（3分）（2023春·江西萍鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，且AB=23AC，點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)．分別以AB，DE，BC為邊，在AC同側(cè)作三個(gè)正方形，得到三個(gè)平行四邊形（陰影部分）的面積分別記作S1，S2，S3，若A．355 B．354 C．【答案】B【分析】設(shè)BE＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)、平行四邊形的面積公式分別表示出S1，S2，S3，根據(jù)題意計(jì)算即可．【詳解】∵AB=23AC∴AB＝2BC，又∵點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴設(shè)BE＝x，則EC＝x，AD＝BD＝2x，∵四邊形ABGF是正方形，∴∠ABF＝45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴BD＝DH＝2x，∴S1＝DH?AD＝5，即2x?2x＝5，∴x2＝54∵BD＝2x，BE＝x，∴S2＝MH?BD＝（3x?2x）?2x＝2x2，S3＝EN?BE＝x?x＝x2，∴S2＋S3＝2x2＋x2＝3x2＝35【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握正方形的四條邊相等、四個(gè)角都是90°是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2023春·陜西西安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=22，AC=2，BC=10．點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AP中點(diǎn)，連接DF，則線段DF

A．2105 B．255 C．【答案】A【分析】由勾股定理逆定理得∠BAC=90°，，再證明DF=12【詳解】解：∵AB=22，AC=2，∴AB∴∠BAC=90°，∵作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC,∴∠PDA=∵點(diǎn)F為AP中點(diǎn)，∴DF=12∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，此時(shí)，S△ABC∴AP=AB?AC∴DF的最小值為105【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理的逆定理、三角形面積、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．10．（3分）（2023春·河北廊坊·九年級(jí)廊坊市第四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方形ABCD中，E、F分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，DF交于點(diǎn)G，連接

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】證明△CBE≌△DCFSAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ECB=∠CDF，CE=DF，故①正確；求得∠CGD=90°，根據(jù)垂直的定義得到CE⊥DF，故②正確；延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AE=BE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=AH=AD，由AG是斜邊的中線，得到AG=12DH=AD，求得∠ADG=∠AGD，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AGE=∠CDF，故③正確；假設(shè)∠EAG=30°，根據(jù)∠AGE=∠CDF，可得∠AGE=∠ECB，結(jié)合∠EAG+∠EGA=∠CEB，∠CEB+∠ECB=90°，可得30°【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴BE=12AB∴BE=CF，在△CBE與△DCF中，BC=CD∠B=∠BCD∴△CBE≌△DCFSAS∴∠ECB=∠FDC，CE=DF，故①正確；∵∠BCE+∠ECD=90∴∠ECD+∠CDF=90∴∠CGD=90∴CE⊥DF，故②正確；∴∠EGD=90°，如圖，延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線于H，

∵AD∥∴∠AHE=∠BCE，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，∵∠AHE=∠BCE，∠AEH=∠CEB，AE=BE，∴△AEH≌△BECAAS∴BC=AH=AD，∵已證明∠EGD=90∴AG是Rt△HGD∴AG=1∴∠ADG=∠AGD，∵∠AGE+∠AGD=90°，∴∠AGE=∠CDF．故③正確；根據(jù)△CBE≌△DCFSAS可得∠BCE=∠CDF若∠EAG=30∵∠AGE=∠CDF，∴∠AGE=∠ECB，∵∠EAG+∠EGA=∠CEB，∠CEB+∠ECB=90∴30°∴∠ECB=30∴在Rt△BEC中，有BE=∵BE=1∴EC=BC，顯然EC≠BC，∴假設(shè)不成立，∴∠EAG≠30故正確的有①②③，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用上述知識(shí)．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2023春·山西忻州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段BO上，連接AE，若CD=3BE，∠DAE=∠DEA，EO=1，則線段AE的長(zhǎng)為．

【答案】6【分析】設(shè)BE=x，則CD=3x，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=AD=CD=3x，OB=OD，AC⊥BD，再證明DE=DA=3x，所以1+x=2x，解得x=1，然后利用勾股定理計(jì)算OA，再計(jì)算AE的長(zhǎng)即可．【詳解】解：設(shè)BE=x，則CD=3x，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=AD=CD=3x，OB=OD，AC⊥BD，∵∠DAE=∠DEA，∴DE=DA=3x，∴BD=DE+BE=4x，∴OB=OD=2x，∵OE+BE=BO，∴1+x=2x，解得x=1，即AB=3，OB=2，在Rt△AOB中，OA=在Rt△AOE中，AE=故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．12．（3分）（2023春·河南開(kāi)封·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將圖①中的菱形紙片沿對(duì)角線剪成4個(gè)直角三角形，拼成如圖②中的四邊形ABCD(相鄰紙片之間不重疊，無(wú)縫隙)．設(shè)直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，若(a+b)2=25，四邊形ABCD的面積為13，則中間空白處的四邊形EFGH的面積為

【答案】1【分析】由菱形的性質(zhì)可得四邊形ABCD是正方形，可得AD2=13=a2+b【詳解】解：由題意得：四邊形ABCD和四邊形EFGH是正方形，∵正方形ABCD的面積為13，∴AD∵a+b2∴2ab=12，∴中間空白處的四邊形EFGH的面積為b?a2故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式等知識(shí)，掌握菱形的性質(zhì)，求出2ab=12是解題的關(guān)鍵．13．（3分）（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，∠DCF=2∠BCE，AD=12，AE=4，則線段CE的長(zhǎng)度為_(kāi)__________．

【答案】4【分析】延長(zhǎng)CF交BA延長(zhǎng)線于M，延長(zhǎng)EB到點(diǎn)N，使BE=EN，連接CN，設(shè)∠BCE=α，證明△DFC≌△AFMAAS，得出AM=CD，∠DCF=∠M=2∠α，再證明MC=MN，設(shè)BE=x，則MC=MN=4+2x+4+x=3x+8，BM=8+2x，在Rt△MCB中，根據(jù)勾股定理，得EB=4，在Rt△ECB【詳解】解：延長(zhǎng)CF交BA延長(zhǎng)線于M，延長(zhǎng)EB到點(diǎn)N，使BE=EN，連接CN，設(shè)∠BCE=α，如圖：

∵點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，AD=12，∴DF=FA=6，在矩形ABCD中，CD∥AB，CD=AB，∴∠DCF=∠M，∵∠DFC=∠MFA，∴△DFC≌△AFMAAS∴AM=CD，∵∠DCF=2∠BCE，∴∠DCF=∠M=2∠α，∵∠ABC=90°，BE=EN，∴CE=CN，∠ECB=∠BCN=∠α，那么∠N=90°?∠α，∴∠MCN=180°?2∠α+90°?∠α則∠MCN=∠N，∴MC=MN，設(shè)BE=x，則MC=MN=4+2x+4+x=3x+8，BM=8+2x，在Rt△MCB中，根據(jù)勾股定理，得C則3x+82解得x1=4，∴EB=4，在Rt△ECB中，根據(jù)勾股定理，得CE=故答案為：410【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用矩形的性質(zhì)，輔助線的作法是解題關(guān)鍵．14．（3分）（2023春·廣東東莞·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在面積為36的四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于點(diǎn)P，則DP的長(zhǎng)是【答案】6【分析】作DE⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于E，如圖，則四邊形BEDP為矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，則可利用“AAS”證明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四邊形BEDP為正方形，S四邊形ABCD=S正方形BEDP，根據(jù)正方形的面積公式得到DP2=36，易得DP=6．【詳解】如圖，作DE⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于E，∵DP⊥AB，ABC=90°，∴四邊形BEDP為矩形，∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，∴∠ADP=∠CDE，在△ADP和△CDE中∠APD＝∠CED∠ADP＝∠CDE∴△ADP≌△CDE，∴DP=DE，S△ADP=S△CDE，∴四邊形BEDP為正方形，S四邊形ABCD=S正方形BEDP，∴DP2=36，∴DP=6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．也考查了正方形和矩形的性質(zhì)．本題的關(guān)鍵的作輔助線構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形．15．（3分）（2023春·河南鄭州·九年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，ABCD是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)AB=16m，寬AD=9m，中間豎有一堵磚墻高M(jìn)N=1m．一只螞蚱從B點(diǎn)爬到D點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它至少要走【答案】9【分析】根據(jù)題意，將長(zhǎng)方形底面和中間墻展開(kāi)為平面圖，并連接BD，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線段最短和勾股定理的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】將長(zhǎng)方形底面和中間墻展開(kāi)后的平面圖如下，并連接BD根據(jù)題意，展開(kāi)平面圖中的AB=16+2=18∴一只螞蚱從B點(diǎn)爬到D點(diǎn)，最短路徑長(zhǎng)度為展開(kāi)平面圖中BD長(zhǎng)度∵ABCD是長(zhǎng)方形地面∴∠A=90°∴BD=A故答案為：95【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形展開(kāi)圖、矩形、兩點(diǎn)之間直線段最短、勾股定理的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握立體圖形展開(kāi)圖、勾股定理的知識(shí)，從而完成求解．16．（3分）（2023春·遼寧營(yíng)口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，AC=4，以BC為邊作正方形BCDE，連接AE，則AE的長(zhǎng)為．

【答案】2【分析】過(guò)B點(diǎn)作BF⊥AB，且BF=AB=2，連接AF，CF，利用勾股定理求解AF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得CF的長(zhǎng)，再利用SAS證明△ABE≌△FBC可得AE=CF，即可求解．【詳解】如圖，過(guò)B點(diǎn)作BF⊥AB，且BF=AB=2，連接AF，CF，

∴∠ABF=90°，∠BAF=45°，在RtABF中，由勾股定理得：AF=∵∠BAC=45°，∴∠FAC=90°，在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF=∵四邊形BCDE是正方形，∴BE=BC，∠CBE=90°，∴∠ABE=∠FBC，在△ABE和△FBC中，AB=BF∠ABE=∠FBC∴△ABE≌△FBC∴AE=CF=26故答案為：26【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2023春·吉林松原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'

(1)當(dāng)∠B'EC=60°時(shí)，(2)連接CB'，當(dāng)△CEB【答案】(1)2(2)32【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠B=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)及平角的定義求出∠AEB=60°，∠BAE=30°，根據(jù)含30°的直角三角形求解即可；（2）當(dāng)△CEB'為直角三角形時(shí)，有兩種情況：i）當(dāng)點(diǎn)B'落在長(zhǎng)方形內(nèi)部時(shí)，ii）當(dāng)點(diǎn)B【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，∠AEB=∠AEB∵∠B'EC=60°∴∠AEB=60°，則∠BAE=30°，在Rt△ABE中，BE=12AE∴AE=23故答案為：23（2）當(dāng)△CEBi）當(dāng)點(diǎn)B'落在長(zhǎng)方形內(nèi)部時(shí)，如圖①所示，連接AC在Rt△ABC中，AB=3，BC=4∴AC=4∵∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'∴∠AB當(dāng)△CEB'為直角三角形時(shí)，只能得到∴點(diǎn)A，B'，C共線，即∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B∴EB=EB'，∴CB設(shè)BE=x，則EB'=x在Rt△CE∵EB∴x解得x=3∴BE=3ii）當(dāng)點(diǎn)B'落在AD邊上時(shí)，如圖②所示，此時(shí)∠

在矩形ABCD中，∠BAC=∠B=90°，由折疊的性質(zhì)得，∠B=∠B'=90°∴四邊形ABEB∴BE=AB=3，綜上所述，BE的長(zhǎng)為32【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了折疊問(wèn)題與勾股定理，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形等問(wèn)題，熟練掌握折疊問(wèn)題與勾股定理，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．（6分）（2023春·湖北恩施·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，其頂點(diǎn)我們稱為格點(diǎn)，△ABC，△ABD為格點(diǎn)三角形．

(1)請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺，在這個(gè)4×4的正方形網(wǎng)格中，畫(huà)出個(gè)以AD為邊的不是正方形的菱形，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；(2)求∠ADB+∠ACB的大?。敬鸢浮?1)圖見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析(2)∠ADB+∠ACB=45°【分析】（1）根據(jù)勾股定理可知AD=AF=FE=DE，再根據(jù)菱形的判定即可解答；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可知△AOF≌△FDCSAS，在根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知△AFC【詳解】（1）解：∵AD=22+∴AD=AF=EF=DE=5∴四邊形ADEF是菱形，∴菱形ADEF即為所求；

（2）解：∵AD=22+∴AD=AF=EF=DE=5∴四邊形ADEF是菱形，∴AE⊥DF，∠FAE=∠EAD，∴∠AOF=90°，∵OA=DF，OF=CD，∴△AOF≌△FDCSAS∴∠AFO=∠DCF，AF=CF∴∠AFO+DFC=90°，∴△AFC是等腰直角三角形，∴∠FAC=45°，∵∠ADB=∠FAE=∠EAD，∠ACB=∠CAE，∴∠CAE+∠FAE=∠ADB+∠ACB，∵∠FAC=∠CAE+∠FAE，∴∠ADB+∠ACB=∠FAE+∠CAE=45°．

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2023春·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交射線CB于點(diǎn)F，連接CE．(1)求證：CE=EF；(2)若BC=2BF，直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2或3【分析】（1）先利用正方形的對(duì)稱性可得到∠BAE=∠BCE，然后在證明又∠BAE=∠EFC，通過(guò)等量代換可得到∠BCE=∠EFC；（2）①當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作MN⊥BC，交AD于M．依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到FN=CN，從而可得到NC的長(zhǎng)，然后可得到MD的長(zhǎng)，在Rt△MDE中可求得ED的長(zhǎng)；②點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后再證明【詳解】（1）①證明：∵正方形ABCD關(guān)于BD對(duì)稱，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE．又∵∠ABC=∠AEF=90°，∴∠BAE=∠EFC，∴∠BCE=∠EFC，∴CE=EF．（2）①當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作MN⊥BC，垂足為N，交AD于M．∵CE=EF，∴N是CF的中點(diǎn)．∵BC=2BF，邊長(zhǎng)為4∴CNBC=1又∵四邊形CDMN是矩形，△DME為等腰直角三角形，∴CN=DM=ME，∴ED=2②點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示：過(guò)點(diǎn)E作MN⊥BC，垂足為N，交AD于M．∵正方形ABCD關(guān)于BD對(duì)稱，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE．又∵∠ABF=∠AEF=90°，∴∠BAE=∠EFC，∴∠BCE=∠EFC，∴CE=EF．∴FN=CN．又∵BC=2BF，∴FC=3∴CN=1∴EN=BN=1∴DE=3綜上所述：DE為2或32【點(diǎn)睛】本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的法則是解題的關(guān)鍵．20．（8分）（2023春·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在?ABCD中，E，F(xiàn)為BC上的兩點(diǎn)，且BE=CF，AF=DE．(1)求證：ΔABF(2)求證：?ABCD是矩形；(3)連接AE，若AF是∠EAD的平分線，BE=2，AF=30，求四邊形ABCD【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)75【分析】（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，然后結(jié)合已知條件用邊邊邊判定三角形全等；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=90（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義以及矩形的面積公式即可計(jì)算出面積．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD∵BE=CF∴BE=CE在ΔABF和ΔAB=CD∴ΔABF（2）證明：∵Δ∴∠B=∠C在平行四邊形ABCD中，∵AB∥∴∠B+∠C=∴∠B=∠C=∴四邊形ABCD是矩形；（3）解：∵AF是∠EAD的平分線∴∠EAF=∠FAD∵?ABCD∴AD∴∠DAF=∠AFE∴∠EAF=∠AFE∴AE=EF設(shè)AE=EF=x，AB=DC=y在Rt△ABE,Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理可得(x解得x=3∴AE=EF=3,AB=CD=∴BC=BE+EF+FC=2+3+2=7∴四邊形ABCD的面積=AB×BC=7×【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義．熟練地掌握矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維．21．（8分）（2023春·四川南充·九年級(jí)校考期中）已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)G，試探究下列問(wèn)題：

(1)如圖1，若CE=DF，判定AF與DE的關(guān)系為_(kāi)_____________（數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系）(2)如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF，此時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由．(3)如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和EF，若點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，則四邊形MNPQ的形狀為_(kāi)__________．【答案】(1)AF=DE，AF⊥DE(2)結(jié)論任然成立，理由見(jiàn)詳解(3)正方形【分析】（1）由四邊形ABCD為正方形，CE=DF，易證得△ADF≌△DCESAS，即可證得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可證得AF⊥DE（2）由四邊形ABCD為正方形，CE=DF，易證得△ADF≌△DCESAS，即可證得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可證得AF⊥DE（3）首先設(shè)MQ，DE分別交AF于點(diǎn)G，O，PQ交DE于點(diǎn)H，由點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，即可得MQ=PN=12DE，PQ=MN=12AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可證得四邊形【詳解】（1）AF=DE，AF⊥DE，理由為：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，DF=CE∠ADC=∠BCD=90°∴△ADF≌△DCESAS∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由為：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，DF=CE∠ADC=∠BCD=90°∴△ADF≌△DCESAS∴AF=DE，∠CDE=∠DAF，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四邊形MNPQ是正方形．理由為：如圖，設(shè)MQ，DE分別交AF于點(diǎn)G，O，PQ交DE于點(diǎn)H，∵點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，∴MQ=PN=12DE，PQ=MN=12∴四邊形OHQG是平行四邊形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四邊形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四邊形MNPQ是正方形．【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．注意證得△ADF≌△DCESAS22．（8分）（2023春·湖南婁底·九年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題情境：在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們探究“平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題”，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，O0,0，點(diǎn)A5,0，點(diǎn)操作發(fā)現(xiàn)：以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC，得到矩形ADEF，點(diǎn)O，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)繼續(xù)探究：如圖，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BE上時(shí)，AD與BC交于點(diǎn)H，求證：△ADB≌△AOB；(3)拓展探究：如圖，點(diǎn)M是x軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N使以A、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)D(2)證明見(jiàn)解析(3)存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為?4,3或6,3或1,?3或(【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AO=5，根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，從而可得BD的長(zhǎng)，由此即可得；（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AO，∠AOB=∠ADE=90°，從而可得∠ADB=90°，再利用HL定理即可得證；（3）分三種情況討論：①當(dāng)