中考數(shù)學專題復習試卷分類匯編解析直角三角形與勾股定理

選擇題1.（2016·廣西百色·3分）如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，則BC=（）A．6B．6C．6D．12【考點】含30度角的直角三角形．【分析】根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12sin30°=12×=6，故答選A．2.（2016·貴州安順·3分）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC、AB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案．【解答】解：如圖：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC為直角三角形，∴tan∠B==，故選：D．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函數(shù)．3．（2016·山東省東營市·3分）在△ABC中，AB＝10，AC＝2EQ\r(,10)，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于()A．10B．8C．6或10D．8或10【知識點】勾股定理、分類討論思想【答案】C.【解析】在圖①中，由勾股定理，得BD＝EQ\r(,AB2－AD2)＝EQ\r(,102－62)＝8;CD＝EQ\r(,AC2－AD2)＝EQ\r(,(2EQ\r(,10))2－62)＝2;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在圖②中，由勾股定理，得BD＝EQ\r(,AB2－AD2)＝EQ\r(,102－62)＝8;CD＝EQ\r(,AC2－AD2)＝EQ\r(,(2EQ\r(,10))2－62)＝2;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故選擇C.【點撥】本題考查分類思想和勾股定理，要分兩種情況考慮，分別在兩個圖形中利用勾股定理求出BD和CD，從而可求出BC的長.4．（2016廣西南寧3分）如圖，廠房屋頂人字形（等腰三角形）鋼架的跨度BC=10米，∠B=36°，則中柱AD（D為底邊中點）的長是（）A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米【考點】解直角三角形的應用．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切進行計算即可得到AD的長度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°，∴tan36°=，即AD=BD?tan36°=5tan36°（米）．故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形的應用．解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題．5．（2016海南3分）如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿著直線AD對折，點C落在點E的位置．如果BC=6，那么線段BE的長度為（）A．6B．6C．2D．3【考點】翻折變換（折疊問題）．【分析】根據(jù)折疊的性質判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．【解答】解：根據(jù)折疊的性質知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE=BD=×3=3，故選D．【點評】本題考查了翻折變換，還考查的知識點有兩個：1、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、等腰直角三角形的性質求解．6.（2016·陜西·3分）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位線，延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點F，則線段DF的長為（）A．7B．8C．9D．10【考點】三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質；勾股定理．【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，得到DF∥BM，再證明EC=EF=AC，由此即可解決問題．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，∵DE是△ABC的中位線，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故選B．7.（2016·四川眉山·3分）把邊長為3的正方形ABCD繞點A順時針旋轉45°得到正方形AB′C′D′，邊BC與D′C′交于點O，則四邊形ABOD′的周長是（）A．B．6C．D．【分析】由邊長為3的正方形ABCD繞點A順時針旋轉45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知識求出BC′的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質，勾股定理可求BO，OD′，從而可求四邊形ABOD′的周長．【解答】解：連接BC′，∵旋轉角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°，∴B在對角線AC′上，∵B′C′=AB′=3，在Rt△AB′C′中，AC′==3，∴B′C=3﹣3，在等腰Rt△OBC′中，OB=BC′=3﹣3，在直角三角形OBC′中，OC=（3﹣3）=6﹣3，∴OD′=3﹣OC′=3﹣3，∴四邊形ABOD′的周長是：2AD′+OB+OD′=6+3﹣3+3﹣3=6．故選：A．【點評】本題考查了旋轉的性質、正方形的性質以及等腰直角三角形的性質．此題難度適中，注意連接BC′構造等腰Rt△OBC′是解題的關鍵，注意旋轉中的對應關系．8.（2016·四川南充）如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，點D，E分別是直角邊BC，AC的中點，則DE的長為（） A．1 B．2 C．D．1+【分析】由“30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”求得AB=2BC=2．然后根據(jù)三角形中位線定理求得DE=AB．【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴AB=2BC=2． 又∵點D、E分別是AC、BC的中點， ∴DE是△ACB的中位線， ∴DE=AB=1． 故選：A．【點評】此題考查的是三角形中位線的性質，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半． 9．（2016·四川內江）已知等邊三角形的邊長為3，點P為等邊三角形內任意一點，則點P到三邊的距離之和為()A．B．C．D．不能確定[答案]B[考點]勾股定理，三角形面積公式，應用數(shù)學知識解決問題的能力。[解析]如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝3，點P是三角形內任意一點，過點P分別向三邊AB，BC，CA作垂線，垂足依次為D，E，F(xiàn)，過點A作AH⊥BC于H．則BH＝，AH＝＝．連接PA，PB，PC，則S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC．∴AB·PD＋BC·PE＋CA·PF＝BC·AH．∴PD＋PE＋PF＝AH＝．故選B．PPBADEF答案圖CH10．（2016·四川宜賓）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，將△ABC繞點A逆時針旋轉，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，則B、D兩點間的距離為（）A．B．2C．3D．2【考點】旋轉的性質．【分析】通過勾股定理計算出AB長度，利用旋轉性質求出各對應線段長度，利用勾股定理求出B、D兩點間的距離．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵將△ABC繞點A逆時針旋轉，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故選：A．11.（2016·黑龍江龍東·3分）若點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，則△ABC的面積為（）A．2+B．C．2+或2﹣D．4+2或2﹣【考點】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質．【分析】根據(jù)題意可以畫出相應的圖形，然后根據(jù)不同情況，求出相應的邊的長度，從而可以求出不同情況下△ABC的面積，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，如右圖所示，存在兩種情況，當△ABC為△A1BC時，連接OB、OC，∵點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，OB=OC，∴△OBC為等邊三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于點D，∴CD=1，OD=，∴=2﹣，當△ABC為△A2BC時，連接OB、OC，∵點O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，OB=OC，∴△OBC為等邊三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于點D，∴CD=1，OD=，∴S△A2BC===2+，由上可得，△ABC的面積為或2+，故選C．12．（2016·湖北荊門·3分）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線．已知AB=5，AD=3，則BC的長為（）A．5B．6C．8D．10【考點】勾股定理；等腰三角形的性質．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質得到AD⊥BC，BD=CD，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故選C．13．（2016·湖北荊州·3分）如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則圖中∠ABC的余弦值是（）A．2B．C．D．【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結論．【解答】解：∵由圖可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴cos∠ABC==．故選D．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．填空題1.（2016·浙江省湖州市·4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分別以點A，B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑作弧，相交于點E，F(xiàn)，過點E，F(xiàn)作直線EF，交AB于點D，連結CD，則CD的長是5．【考點】作圖—基本作圖；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【分析】首先說明AD=DB，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即可解決問題．【解答】解：由題意EF是線段AB的垂直平分線，∴AD=DB，Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB===10，∵AD=DB，∠ACB=90°，∴CD=AB=5．故答案為5．2.（2016·湖北隨州·3分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分別是AB、AC的中點，延長BC至點D，使CD=BD，連接DM、DN、MN．若AB=6，則DN=3．【考點】三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；平行四邊形的判定與性質．【分析】連接CM，根據(jù)三角形中位線定理得到NM=CB，MN∥BC，證明四邊形DCMN是平行四邊形，得到DN=CM，根據(jù)直角三角形的性質得到CM=AB=3，等量代換即可．【解答】解：連接CM，∵M、N分別是AB、AC的中點，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四邊形DCMN是平行四邊形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中點，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案為：3．3.（2016·湖北武漢·3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，則BD的長為_______．【考點】相似三角形，勾股定理【答案】2【解析】連接AC，過點D作BC邊上的高，交BC延長線于點H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝，可知△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°，易證△ABC∽△CHD，則CH＝6，DH＝8，∴BD＝．4.（2016·江西·3分）如圖是一張長方形紙片ABCD，已知AB=8，AD=7，E為AB上一點，AE=5，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片（△AEP），使點P落在長方形ABCD的某一條邊上，則等腰三角形AEP的底邊長是5\sqrt{2}或4\sqrt{5}或5．【考點】矩形的性質；等腰三角形的性質；勾股定理．【分析】分情況討論：①當AP=AE=5時，則△AEP是等腰直角三角形，得出底邊PE=AE=5即可；②當PE=AE=5時，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等邊AP即可；③當PA=PE時，底邊AE=5；即可得出結論．【解答】解：如圖所示：①當AP=AE=5時，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底邊PE=AE=5；②當PE=AE=5時，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底邊AP===4；③當PA=PE時，底邊AE=5；綜上所述：等腰三角形AEP的對邊長為5或4或5；故答案為：5或4或5．5.（2016·四川內江）如圖4，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足為點E，則OE＝______．DDOCEBA圖4[答案][考點]菱形的性質，勾股定理，三角形面積公式。[解析]∵菱形的對角線互相垂直平分，∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°．∴BC＝＝5．∵S△OBC＝OB·OC，又S△OBC＝BC·OE，∴OB·OC＝BC·OE，即3×4＝5OE．∴OE＝．故答案為：．6.（2016·青海西寧·2分）如圖，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于點D，PC=4，則PD=2．【考點】角平分線的性質；含30度角的直角三角形．【分析】作PE⊥OA于E，根據(jù)角平分線的性質可得PE=PD，根據(jù)平行線的性質可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求得PE，即可求得PD．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），∴PD=PE=2，故答案是：2．7．（2016·四川宜賓）在平面直角坐標系內，以點P（1，1）為圓心、為半徑作圓，則該圓與y軸的交點坐標是（0，3），（0，﹣1）．【考點】坐標與圖形性質．【分析】在平面直角坐標系中，根據(jù)勾股定理先求出直角三角形的另外一個直角邊，再根據(jù)點P的坐標即可得出答案．【解答】解：以（1，1）為圓心，為半徑畫圓，與y軸相交，構成直角三角形，用勾股定理計算得另一直角邊的長為2，則與y軸交點坐標為（0，3）或（0，﹣1）．故答案為：（0，3），（0，﹣1）．3．（2016·四川內江）如圖12所示，已知點C(1，0)，直線y＝－x＋7與兩坐標軸分別交于A，B兩點，D，E分別是AB，OA上的動點，則△CDE周長的最小值是______．[答案]10[考點]勾股定理，對稱問題。[解析]作點C關于y軸的對稱點C1(－1，0)，點C關于x軸的對稱點C2，連接C1C2交OA于點E，交AB于點D，則此時△CDE的周長最小，且最小值等于C1C2的長．∵OA＝OB＝7，∴CB＝6，∠ABC＝45°．∵AB垂直平分CC2，∴∠CBC2＝90°，C2的坐標為(7，6)．在△C1BC2中，C1C2＝＝＝10．即△CDE周長的最小值是10．xxyO答案圖CBAEDC1C2故答案為：10．8.（2016·湖北黃石·3分）如圖所示，正方形ABCD對角線AC所在直線上有一點O，OA=AC=2，將正方形繞O點順時針旋轉60°，在旋轉過程中，正方形掃過的面積是2π+2．【分析】如圖，用大扇形的面積減去小扇形的面積再加上正方形ABCD的面積．【解答】解：∵OA=AC=2，∴AB=BC=CD=AD=，OC=4，S陰影=+=2π+2，故答案為：2π+2．【點評】此題考查了扇形的面積公式和旋轉的性質以及勾股定理，能夠把不規(guī)則圖形的面積轉換為規(guī)則圖形的面積是解答此題的關鍵．解答題1.（2016·湖北隨州·10分）愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AN⊥BN于點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如圖1，當tan∠PAB=1，c=4時，a=4，b=4；如圖2，當∠PAB=30°，c=2時，a=，b=；【歸納證明】（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想a2、b2、c2三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結論．【拓展證明】（3）如圖4，?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點G，AD=3，AB=3，求AF的長．【考點】四邊形綜合題．【分析】（1）①首先證明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問題．②連接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性質求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問題．（2）結論a2+b2=5c2．設MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題．（3）取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，首先證明△ABF是中垂三角形，利用（2）中結論列出方程即可解決問題．【解答】（1）解：如圖1中，∵CE=AE，CF=BF，∴EF∥AB，EF=AB=2，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，∴PF=PE=2，PB=PA=4，∴AE=BF==2．∴b=AC=2AE=4，a=BC=4．故答案為4，4．如圖2中，連接EF，，∵CE=AE，CF=BF，∴EF∥AB，EF=AB=1，∵∠PAB=30°，∴PB=1，PA=，在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，∴PE=，PF=，∴AE==，BF==，∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，故答案分別為，．（2）結論a2+b2=5c2．證明：如圖3中，連接EF．∵AF、BE是中線，∴EF∥AB，EF=AB，∴△FPE∽△APB，∴==，設FP=x，EP=y，則AP=2x，BP=2y，∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．（3）解：如圖4中，在△AGE和△FGB中，，∴△AGE≌△FGB，∴BG=FG，取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，同理可證△APH≌△BFH，∴AP=BF，PE=CF=2BF，即PE∥CF，PE=CF，∴四邊形CEPF是平行四邊形，∴FP∥CE，∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，∴△ABF是中垂三角形，由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5×（）2，∴AF=4．2.（2016·四川南充）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點O，OC=1，以點O為圓心OC為半徑作半圓． （1）求證：AB為⊙O的切線； （2）如果tan∠CAO=，求cosB的值． 【分析】（1）如圖作OM⊥AB于M，根據(jù)角平分線性質定理，可以證明OM=OC，由此即可證明． （2）設BM=x，OB=y，列方程組即可解決問題． 【解答】解：（1）如圖作OM⊥AB于M， ∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB， ∴OC=OM， ∴AB是⊙O的切線， （2）設BM=x，OB=y，則y2﹣x2=1①， ∵cosB==， ∴=， ∴x2+3x=y2+y②， 由①②可以得到：y=3x﹣1， ∴（3x﹣1）2﹣x2=1， ∴x=，y=， ∴cosB==． 【點評】本題考查切線的判定、勾股定理、三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是記住圓心到直線的距離等于半徑，這條直線就是圓的切線，學會設未知數(shù)列方程組解決問題，屬于中考?？碱}型． 3．（2016·四川內江）(10分)如圖9，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F(xiàn)．⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交⊙O于點H，連接BD，F(xiàn)H．(1)試判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)當AB＝BE＝1時，求⊙O的面積；(3)在(2)的條件下，求HG·HB的值．DGDGHOCEFBA圖9DGHOCEFBA答案圖[考點]切線的性質與判定定理，三角形的全等，直角三角形斜邊上中線定理、勾股定理。(1)直線BD與⊙O相切．理由如下：如圖，連接OB，∵BD是△ABC斜邊上的中線，∴DB＝DC．∴∠DBC＝∠C．∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB＝∠CED．∵∠C＋∠CED＝90°，∴∠DBC＋∠OBE＝90°．∴BD與⊙O相切； 3分(2)連接AE．∵AB＝BE＝1，∴AE＝．∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝．∴BC＝1＋． 4分∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠DFA．又∠CBA＝∠FBE＝90°，AB＝BE，∴△CAB≌△FEB．∴BF＝BC＝1＋． 5分∴EF2＝BE2＋BF2＝12＋(1＋)2＝4＋2． 6分∴S⊙O＝π·EF2＝π． 7分(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°．∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°． 8分∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°．∵BH平分∠CBF，∴∠EBG＝∠HBF＝45°．∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°．∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1＋． 9分∴GH＝BH－BG＝．∴HB·HG＝×(1＋)＝2＋． 10分4.（2016·黑龍江龍東·6分）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先將△ABC沿一確定方向平移得到△A1B1C1，點B的對應點B1的坐標是（1，2），再將△A1B1C1繞原點O順時針旋轉90°得到△A2B2C2，點A1的對應點為點A2．（1）畫出△A1B1C1；（2）畫出△A2B2C2；（3）求出在這兩次變換過程中，點A經過點A1到達A2的路徑總長．【考點】作圖-旋轉變換；作圖-平移變換．【分析】（1）由B點坐標和B1的坐標得到△ABC向右平移5個單位，再向上平移1個單位得到△A1B1C1，則根據(jù)點平移的規(guī)律寫出A1和C1的坐標，然后描點即可得到△A1B1C1；（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質畫出點A1的對應點為點A2，點B1的對應點為點B2，點C1的對應點為點C2，從而得到△A2B2C2；（3）先利用勾股定理計算平移的距離，再計算以OA1為半徑，圓心角為90°的弧長，然后把它們相加即可得到這兩次變換過程中，點A經過點A1到達A2的路徑總長．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）如圖，△A2B2C2為所作；（3）OA==4，點A經過點A1到達A2的路徑總長=+=+2π．5．（2016·湖北黃石·12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如圖1，若點D關于直線AE的對稱點為F，求證：△ADF∽△ABC；（2）如圖2，在（1）的條件下，若α=45°，求證：DE2=BD2+CE2；（3）如圖3，若α=45°，點E在BC的延長線上，則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根據(jù)兩邊對應成比例，夾角相等兩三角形相似證明；（2）根據(jù)軸對稱的性質可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可；（3）作點D關于AE的對稱點F，連接EF、CF，根據(jù)軸對稱的性質可得EF=DE，AF=AD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可．【解答】證明：（1）∵點D關于直線AE的對稱點為F，∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，又∵∠BAC=2∠DAE，∴∠BAC=∠DAF，∵AB=AC，∴=，∴△ADF∽△ABC；（2）∵點D關于直線AE的對稱點為F，∴EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2；（3）DE2=BD2+CE2還能成立．理由如下：作點D關于AE的對稱點F，連接EF、CF，由軸對稱的性質得，EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2．【點評】本題是相似形綜合題，主要利用了軸對稱的性質，相似三角形的判定，同角的余角相等的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，此類題目，小題間的思路相同是解題的關鍵．6．（2016·湖北荊州·8分）如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移開始后點D′未到達點B時，A′C′交CD于E，D′C′交CB于點F，連接EF，當四邊形EDD′F為菱形時，試探究△A′DE的形狀，并判斷△A′DE與△EFC′是否全等？請說明理由．【分析】當四邊形EDD′F為菱形時，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先證明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判斷△DA′E的形狀．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根據(jù)A′D=DE=EF即可證明．【解答】解：當四邊形EDD′F為菱形時，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵A′C∥AC，∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四邊形DEFD′是菱形，∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC，在△A′DE和△EFC′中，，∴△A′DE≌△EFC′．【點評】本題考查平移、菱形的性質、全等三角形的判定和性質、直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型．7．（2016·湖北荊州·10分）如圖，A、F、B、C是半圓O上的四個點，四邊形OABC是平行四邊形，∠FAB=15°，連接OF交AB于點E，過點C作OF的平行線交AB的延長線于點D，延長AF交直線CD于點H．（1）求證：CD是半圓O的切線；（2）若DH=6﹣3，求EF和半徑OA的長．【分析】（1）連接OB，根據(jù)已知條件得到△AOB是等邊三角形，得到∠AOB=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根據(jù)平行線的性質得到OC⊥CD，由切線的判定定理即可得