第3章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)6種題型2種中考考法與檢測(cè)卷）（解析版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

第3章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)6種題型2種中考考法與檢測(cè)卷）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.利用樹(shù)狀圖或表格求概率（重點(diǎn)）（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2判斷游戲的公平性（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3用頻率估計(jì)概率（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4模擬試驗(yàn)【方法二】實(shí)例探索法題型1.卡片中的概率問(wèn)題題型2.運(yùn)用概率知識(shí)分析游戲問(wèn)題題型3.與概率有關(guān)的綜合型問(wèn)題題型4.用頻率估計(jì)概率題型5.設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)解決問(wèn)題題型6.用計(jì)算器模擬試驗(yàn)估計(jì)概率【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.求某一事件發(fā)生的概率考法2.利用頻率估計(jì)概率【檢測(cè)卷】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)運(yùn)用畫(huà)樹(shù)狀圖和列表的方法計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率，體會(huì)概率是反映現(xiàn)實(shí)生活中事件發(fā)生可能性大小的模型。2.掌握判斷游戲的公平性的方法。3.能利用概率解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。4.能用試驗(yàn)頻率估計(jì)一些隨機(jī)事件發(fā)生的概率，進(jìn)一步體會(huì)概率的意義。5.了解模擬試驗(yàn)，能用模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)一些隨機(jī)事件發(fā)生的概率?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.利用樹(shù)狀圖或表格求概率（重點(diǎn)）（難點(diǎn)）1.樹(shù)狀圖：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)狀圖.樹(shù)狀圖是用樹(shù)狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點(diǎn)詮釋：(1)樹(shù)形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；（2）在用列表法或樹(shù)形圖法求可能事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.2.表格法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用表格法.表格法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點(diǎn)詮釋：（1）表格法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；（2）表格法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.【例1】把一副撲克牌中的張黑桃牌（它們的正面牌面數(shù)字分別是、、）洗勻后正面朝下放在桌面上．（1）如果從中隨機(jī)抽取一張牌，那么牌面數(shù)字是的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戲，游戲規(guī)則如下：先由小王隨機(jī)抽出一張牌，記下牌面數(shù)字后放回，洗勻后正面朝下，再由小李隨機(jī)抽出一張牌，記下牌面數(shù)字．當(dāng)張牌面數(shù)字相同時(shí)，小王贏；當(dāng)張牌面數(shù)字不相同時(shí)，小李贏．現(xiàn)請(qǐng)你利用樹(shù)狀圖或列表法分析游戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平？并說(shuō)明理由.【答案與解析】（1）P（抽到牌面數(shù)字４）=;（2）游戲規(guī)則對(duì)雙方不公平．

理由如下：3453（3，3）（3，4）（3，5）4（4，3）（4，4）（4，5）5（5，3）（5，4）（5，5）P（牌面數(shù)字相同）=；P（牌面數(shù)字不相同）=.【變式】不透明的口袋里裝有白、黃、藍(lán)三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個(gè)，黃球有1個(gè)，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)是白球的概率為.（1）試求袋中藍(lán)球的個(gè)數(shù).（2）第一次任意摸一個(gè)球（不放回），第二次再摸一個(gè)球，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法，求兩次摸到的都是白球的概率.【答案】（1）1個(gè)；（2）P（兩次摸到白球）=.知識(shí)點(diǎn)2判斷游戲的公平性（重點(diǎn)）【例2】（2023春·廣東云浮·九年級(jí)?？计谀┘住⒁覂砂噙M(jìn)行籃球比賽，裁判員采用同時(shí)拋擲兩枚完全相同硬幣的方法選擇比賽場(chǎng)地：若兩枚硬幣朝上的面相同，則甲班先選擇場(chǎng)地；否則乙班先選擇場(chǎng)地．為了判斷這種方法的公平性，明明畫(huà)出樹(shù)狀圖如圖所示，根據(jù)樹(shù)狀圖，這種選擇場(chǎng)地的方法對(duì)兩個(gè)班級(jí)．（填“公平”或“不公平”）

【答案】公平【分析】要判斷這種方法是否公平，只要看所選取的方法，使這兩個(gè)隊(duì)優(yōu)先選擇比賽場(chǎng)地的可能性是否相等即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

由上圖可知，甲班優(yōu)先選擇場(chǎng)地的概率，乙班優(yōu)先選擇場(chǎng)地的概率，故這兩個(gè)隊(duì)優(yōu)先選擇比賽場(chǎng)地的可能性相等，∴這種選擇場(chǎng)地的方法對(duì)兩個(gè)班級(jí)公平．故答案為：公平．【點(diǎn)睛】本題主要考查了游戲規(guī)則公平性的判斷，會(huì)畫(huà)樹(shù)狀圖求等概率事件的概率是做出本題的關(guān)鍵．【變式】（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）小亮和小芳都想?yún)⒓訉W(xué)校社團(tuán)組織的暑假實(shí)踐活動(dòng)，但只有一個(gè)名額，小亮提議用如下的辦法決定誰(shuí)去參加活動(dòng)；將一個(gè)材質(zhì)均勻的轉(zhuǎn)盤(pán)9等分，分別標(biāo)上1至9九個(gè)號(hào)碼，隨意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，若轉(zhuǎn)到4的倍數(shù)，小亮去參加活動(dòng)；轉(zhuǎn)到3的倍數(shù)，小芳去參加活動(dòng)；轉(zhuǎn)到其它號(hào)碼則重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)．(1)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)到4的倍數(shù)的概率是多少？(2)你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不公平，理由見(jiàn)解析【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算可得；（2）利用概率公式計(jì)算出兩人獲勝的概率即可判斷．【詳解】（1）解：∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9這9種等可能的結(jié)果，其中4的倍數(shù)有2個(gè)，∴轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)到4的倍數(shù)的概率為；（2）游戲不公平，∴小亮去參加活動(dòng)的概率為，小芳去參加活動(dòng)的概率為：，∵，∴游戲不公平．【點(diǎn)睛】本題主要考查游戲的公平性，判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．知識(shí)點(diǎn)3用頻率估計(jì)概率（重點(diǎn)）當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來(lái)估計(jì)概率.要點(diǎn)詮釋：用試驗(yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，結(jié)果將較為精確.【例3】某商場(chǎng)設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)(如圖)，并規(guī)定：顧客購(gòu)物10元以上能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：(1)計(jì)算并完成表格：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù)n1001502005008001000落在“鉛筆”的次數(shù)m68111136345546701落在“鉛筆”的頻率(2)請(qǐng)估計(jì)，當(dāng)很大時(shí)，頻率將會(huì)接近多少？

(3)轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，獲得鉛筆的概率約是多少？(4)在該轉(zhuǎn)盤(pán)中，標(biāo)有“鉛筆”區(qū)域的扇形的圓心角大約是多少？(精確到1°)

【答案與解析】(1)0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；(2)0.69；(3)由（1）的頻率值可以得出P（獲得鉛筆）=0.69；(4)0.69×360°≈248°.【總結(jié)升華】(1)試驗(yàn)的次數(shù)越多，所得的頻率越能反映概率的大??；(2)頻數(shù)分布表、扇形圖、條形圖、直方圖都能較好地反映頻數(shù)、頻率的分布情況，我們可以利用它們所提供的信息估計(jì)概率．【變式】（2023·河南洛陽(yáng)·校聯(lián)考一模）如圖是小明的健康綠碼示意圖，用黑白打印機(jī)打印于邊長(zhǎng)為的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計(jì)圖中黑色部分的總面積，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則黑色部分的面積為．【答案】2.4【分析】經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，可得點(diǎn)落入黑色部分的概率為0.6，根據(jù)邊長(zhǎng)為的正方形的面積為，進(jìn)而可以估計(jì)黑色部分的總面積．【詳解】解：∵經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，∴點(diǎn)落入黑色部分的概率為0.6，∵邊長(zhǎng)為的正方形的面積為，設(shè)黑色部分的面積為S，則，解得．∴估計(jì)黑色部分的總面積約為．故答案為：2.4．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，解決本題的關(guān)鍵是掌握概率公式，知道點(diǎn)落入黑色部分的概率為0.6．知識(shí)點(diǎn)4模擬試驗(yàn)【例4】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）某人在做擲硬幣試驗(yàn)，投擲次，正面朝上有次，若正面朝上的頻率，隨著次數(shù)的增加，的值接近．【答案】【分析】頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小，盡管每進(jìn)行一連串（n次）實(shí)驗(yàn)，所得的頻率可以各不相同，但只要n相當(dāng)大，頻率與概率是會(huì)非常接近的．【詳解】解：隨著次數(shù)的增加，的值接近．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了模擬實(shí)驗(yàn)，熟練掌握模擬實(shí)驗(yàn)的頻率與概率的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式1】為了估計(jì)池塘里有多少條魚(yú)，從池塘里捕撈了1000條魚(yú)做上標(biāo)記，然后放回池塘里，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，等有標(biāo)記的魚(yú)完全混合于魚(yú)群中以后，再捕撈200條，若其中有標(biāo)記的魚(yú)有10條，則估計(jì)池塘里有魚(yú)______________條．

【答案】條.【變式2】一個(gè)密封不透明的盒子里有若干個(gè)白球,在不允許將球倒出來(lái)的情況下,為估計(jì)白球的個(gè)數(shù),小剛向其中放入8個(gè)黑球,搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色,再把它放回盒中,不斷重復(fù),共摸球400次,其中88次摸到黑球.估計(jì)盒中大約有白球().

A.28個(gè)B.30個(gè)C.36個(gè)D.42個(gè)

【答案】A.【解析】先求出盒子里所有的球數(shù)為,

再求盒子里的白球數(shù)為36-8=28個(gè).故選A.【總結(jié)升華】通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)由頻率估計(jì)概率的必要性和科學(xué)性.強(qiáng)調(diào)“同樣條件，大量試驗(yàn)”.【方法二】實(shí)例探索法題型1.卡片中的概率問(wèn)題1．（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？计谥校┰谝粋€(gè)不透明的袋子中裝有4張形狀大小質(zhì)地完全相同的卡片.它們上面分別標(biāo)有數(shù)字：、、0、2，隨機(jī)抽取一張卡片，記下數(shù)字為，放回后再隨機(jī)抽取一張卡片，記下數(shù)字為，則落在第三象限的概率是.【答案】【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：列表如下：0202由表知，共有16種等可能結(jié)果，其中落在第三象限的有4種結(jié)果，所以落在第三象限的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是樹(shù)狀圖法求概率以及隨機(jī)事件和不可能事件的概念．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）西安有“碳水之都”的美譽(yù)，現(xiàn)有4張卡片正面分別寫(xiě)著“碳”“水”“之”“都”，卡片除漢字不同其他別無(wú)二致，將卡片正面朝下洗勻，然后同時(shí)隨機(jī)抽取2張，剛好抽到“碳”“水”二字的概率是．【答案】【分析】先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到抽到“碳”“水”二字的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)用A、B、C、D分別表示“碳”“水”“之”“都”這四個(gè)字，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中抽到“碳”“水”二字（即抽到A和B）的結(jié)果數(shù)有2種，∴抽到“碳”“水”二字的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了樹(shù)狀圖法或列表法求解概率，正確列出對(duì)應(yīng)的表格或畫(huà)出樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）張相同的卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取張，將卡片上的數(shù)字記錄下來(lái)；再?gòu)挠嘞碌膹埧ㄆ腥我獬槿垼瑢⒖ㄆ系臄?shù)字記錄下來(lái)．(1)求第一次抽取的卡片上數(shù)字是正數(shù)的概率；(2)明明設(shè)計(jì)了如下游戲規(guī)則：當(dāng)?shù)谝淮斡涗浵聛?lái)的數(shù)字減去第二次記錄下來(lái)的數(shù)字所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝．明明設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）．【答案】(1)(2)公平，理由見(jiàn)解析【分析】（1）列舉出所有可能，再利用概率公式即可求出概率；（2）利用列表法列舉所有可能的結(jié)果，再利用概率公式求出甲、乙的獲勝概率即可得出答案．【詳解】（1）解：第一次抽取卡片共有4種等可能的結(jié)果，其中卡片上數(shù)字是正數(shù)的結(jié)果有2種，第一次抽取的卡片上數(shù)字是正數(shù)的概率是．（2）解：列表如下：?1023?11340?1222?3?213?4?3?1由表可知，共有種等可能結(jié)果，其中結(jié)果為非負(fù)數(shù)的有種結(jié)果，結(jié)果為負(fù)數(shù)的有種結(jié)果，所以甲獲勝的概率乙獲勝的概率，此游戲公平．【點(diǎn)睛】本題考查了概率及利用列表法求概率判斷游戲的公平性，判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．掌握概率的求法是解題關(guān)鍵，即如果在一次試驗(yàn)中，有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件包含其中種結(jié)果，那么事件發(fā)生的概率是．4．（2022秋·吉林白城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在一個(gè)不透明的盒子中裝有三張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字、、，這些卡片除數(shù)字不同外其余均相同，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取一張卡片記下數(shù)字后放回，洗勻后再隨機(jī)抽取一張卡片．用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．【答案】【分析】利用列表法或樹(shù)狀法，即可求出概率．【詳解】解法一：根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

由樹(shù)狀圖可以看出，所有等可能的結(jié)果共有9種，其中兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有5種，所以（兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)）．解法二：根據(jù)題意，列表如下：第一張和第二張由表可以看出，所有等可能的結(jié)果共有9種，其中兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有5種，所以（兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)）．【點(diǎn)睛】本題考查了利用列表法或樹(shù)狀法求概率，根據(jù)題意選擇適合的方法求概率是解題關(guān)鍵．當(dāng)事件的發(fā)生只經(jīng)過(guò)兩個(gè)步驟時(shí)，一般用列表法就能將所有的可能結(jié)果列舉出來(lái)，當(dāng)經(jīng)過(guò)多個(gè)步驟時(shí)，表格就不夠清晰了，而畫(huà)樹(shù)狀圖法的適用面更廣，特別是多個(gè)步驟時(shí)，層次清楚，一目了然．5．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）在張相同的小紙條上，分別寫(xiě)有：①；②；③；④乘法；⑤加法．將這張小紙條做成支簽，①、②、③放在不透明的盒子中攪勻，④、⑤放在不透明的盒子中攪勻．(1)從盒子中任意抽出支簽，抽到無(wú)理數(shù)的概率是______；(2)先從盒子中任意抽出支簽，再?gòu)暮凶又腥我獬槌鲋Ш?，求抽到的個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算后結(jié)果是無(wú)理數(shù)的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）先判斷盒子中無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意畫(huà)出所有的組合情況，再計(jì)算出對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果，得到運(yùn)算結(jié)果是無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，故和均為無(wú)理數(shù)，故盒子中任意抽出支簽，抽到無(wú)理數(shù)的概率是．故答案為：．（2）解：樹(shù)狀圖畫(huà)出所有情況為：即抽簽的組合有種，分別為：組合情況運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算結(jié)果是否是無(wú)理數(shù)第一種組合，，乘法否第二種組合，，加法是第三種組合，，乘法是第四種組合，，加法是第五種組合，，乘法否第六種組合，，加法是第七種組合，，乘法是第八種組合，，加法是第九種組合，，乘法是第十種組合，，加法是第十一種組合，，乘法；是第十二種組合，，加法是對(duì)應(yīng)的組合運(yùn)算結(jié)果共個(gè)，其中運(yùn)算結(jié)果為無(wú)理數(shù)的有個(gè)，故抽到的個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算后結(jié)果是無(wú)理數(shù)的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式求概率，畫(huà)樹(shù)狀圖求概率，無(wú)理數(shù)的定義等，解題的關(guān)鍵是求所有情況下運(yùn)算的結(jié)果，判斷結(jié)果是無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)．6．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）將分別標(biāo)有數(shù)字，，，的四張卡片洗勻后，背面朝上放在桌面上．(1)隨機(jī)地抽取一張，則抽到奇數(shù)的概率是______；(2)隨機(jī)抽取兩張，請(qǐng)利用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求這兩個(gè)數(shù)字之和能被整除的概率是多少？【答案】(1)；(2)．【分析】（）先求出這組數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)，再利用概率公式解答即可；（）首先根據(jù)題意可直接列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再算出這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率．【詳解】（1）隨機(jī)抽取張，抽到卡片數(shù)字是奇數(shù)的概率為；（2）樹(shù)狀圖如下：

，一共有種等可能結(jié)果，兩個(gè)數(shù)字之和能被整除的有種，∴，答：能被整除的概率是．【點(diǎn)睛】此題考查了用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率，列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，熟記概率公式是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┯?張撲克牌，牌面數(shù)字分別為2、3、4、4，其余都相同．小明隨機(jī)從中摸出一張牌，記錄牌面數(shù)字后放回；洗勻后再?gòu)闹忻鲆粡埮?，記錄牌面?shù)字后又放回．小明摸了100次，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：牌面數(shù)字2344次數(shù)26243020(1)上述試驗(yàn)中，小明摸出牌面數(shù)字為3的頻率是；小明摸一張牌，摸到牌面數(shù)字為3的概率是；(2)若小明一次摸出兩張牌，求小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的概率．【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接由頻率定義和概率公式分別求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）上述試驗(yàn)中，小明摸出牌面數(shù)字為3的頻率是；小明摸一張牌，摸到牌面數(shù)字為3的概率是；故答案為：，；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的結(jié)果有4種，∴小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．題型2.運(yùn)用概率知識(shí)分析游戲問(wèn)題8.（2023春·山東日照·九年級(jí)校考期中）下圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，甲轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成3個(gè)扇形，乙轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成4個(gè)扇形，每一個(gè)扇形上都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字．小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規(guī)則：同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10，則小穎獲勝；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和等于10，則為平局；若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于10，則小亮獲勝．如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個(gè)數(shù)字為止．(1)請(qǐng)你通過(guò)畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求小穎獲勝的概率．(2)該游戲規(guī)則是否公平？若公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不公平，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一種公平的游戲規(guī)則．【答案】(1)(2)不公平，公平的游戲規(guī)則見(jiàn)詳解【分析】（1）依據(jù)題意先用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出小穎獲勝的概率即可；（2）判斷游戲的公平性，首先要計(jì)算出游戲雙方贏的概率，概率相等則公平，否則不公平；然后設(shè)計(jì)出公平的游戲規(guī)則（答案不唯一）．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如下所示：由樹(shù)狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的兩數(shù)字之和小于10的有6種，∴小穎獲勝的概率為；（2）該游戲規(guī)則不公平．由（1）可知，共有12種等可能的情況，其和大于10的情況有3種，∴小亮獲勝的概率為，而小穎獲勝的概率為，故該游戲規(guī)則不公平．游戲規(guī)則可修改為以下兩種：①當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于或等于10時(shí)，小亮獲勝；當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10時(shí)，小穎獲勝；②當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)，小亮獲勝；當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為偶數(shù)時(shí)，小穎獲勝．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法求概率以及概率的應(yīng)用，理解題意，正確作出樹(shù)狀圖或列表是解題關(guān)鍵．9.（2023·陜西咸陽(yáng)·?？家荒＃榱藗鞒兄腥A優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強(qiáng)文化自信，某班準(zhǔn)備從甲、乙兩名熱愛(ài)詩(shī)詞的同學(xué)中選出一名參加學(xué)校組織的“弘揚(yáng)民族文化，品味詩(shī)詞精華”活動(dòng)，他們想通過(guò)做游戲的方式來(lái)決定誰(shuí)去參加活動(dòng)，于是讓班長(zhǎng)設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲，規(guī)則如下：現(xiàn)有兩個(gè)不透明的盒子，其中一個(gè)裝入分別標(biāo)有字母A、B、C的三個(gè)小球，另一個(gè)裝入分別標(biāo)有字母B、C、D的三個(gè)小球，這些小球除字母不同外，其余完全相同，從兩個(gè)盒子中分別摸出一個(gè)小球，若所摸出的兩個(gè)小球上的字母相同，則甲去參加活動(dòng)，否則就是乙去．(1)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出乙去的概率；(2)甲說(shuō)：“這個(gè)規(guī)則不公平”，你認(rèn)同他的說(shuō)法嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)同意甲的說(shuō)法，見(jiàn)解析【分析】（1）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有9種等可能的情況，其中字母不同的有7種情況，再由概率公式求解即可；（2）由（1）可知，，，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

由圖可知共有9種情況，其中字母不同的有7種情況，．（2）同意甲的說(shuō)法．理由：，，，這個(gè)規(guī)則不公平．【點(diǎn)睛】本題考查的是游戲公平性的判斷以及樹(shù)狀圖法求概率．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．10．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戲，一人為蒙眼人，捉另外兩人，捉到一人，記為捉一次；被捉到的人成為新的蒙眼人，接著捉……一直這樣玩（每次捉到一人）．請(qǐng)用樹(shù)狀圖解決下列問(wèn)題，(1)若甲為開(kāi)始蒙眼人，捉兩次，求第二次捉到丙的概率；(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，應(yīng)該誰(shuí)為開(kāi)始蒙眼人？【答案】(1)(2)甲【分析】（1）用樹(shù)狀圖法列舉出甲為開(kāi)始蒙眼人，捉兩次所有可能出現(xiàn)的情況，進(jìn)而求出捉2次，捉到丙的概率；（2）用樹(shù)狀圖法列舉出甲為開(kāi)始蒙眼人，捉三次所有可能出現(xiàn)的情況，通過(guò)甲、乙、丙被捉到的次數(shù)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，甲為開(kāi)始蒙眼人，捉兩次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：共有4種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中第2次捉到丙的只有1種，所以甲為開(kāi)始蒙眼人，捉兩次，第二次捉到丙的概率為．（2）如圖2，若甲為開(kāi)始蒙眼人，捉三次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：共有8種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中第3次提到甲的有2種，捉到乙的有3種，捉到丙的有3種，根據(jù)所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，應(yīng)該甲為開(kāi)始蒙眼人．【點(diǎn)睛】本題考查用樹(shù)狀圖法求隨機(jī)事件發(fā)生的概率．列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵．題型3.與概率有關(guān)的綜合型問(wèn)題11．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）一批電子產(chǎn)品的抽樣合格率為75%，當(dāng)購(gòu)買(mǎi)該電子產(chǎn)品足夠多時(shí)，平均來(lái)說(shuō)，購(gòu)買(mǎi)個(gè)這樣的電子產(chǎn)品，可能會(huì)出現(xiàn)1個(gè)次品．【答案】4【分析】根據(jù)“合格率”，“不合格率”的意義，結(jié)合“頻數(shù)與頻率”的意義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵產(chǎn)品的抽樣合格率為，∴產(chǎn)品的抽樣不合格率為∴當(dāng)購(gòu)買(mǎi)該電子產(chǎn)品足夠多時(shí)，平均來(lái)說(shuō)，每購(gòu)4個(gè)這樣的電子產(chǎn)品，就可能會(huì)出現(xiàn)1個(gè)次品故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)與頻率，理解“頻率”“合格率”“不合格率”的意義是正確判斷的前提．12．（2023秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商場(chǎng)，為了吸引顧客，在“元旦”當(dāng)天舉辦了商品有獎(jiǎng)酬賓活動(dòng)，凡購(gòu)物滿200元者，有兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案供選擇：方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次播獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)．規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤(pán)和箭頭組成的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)A、B，這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎(jiǎng)?wù)咄瑫r(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，指針?lè)謩e指向一個(gè)區(qū)域（指針落在分割線上時(shí)重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少．指針指向兩紅一紅一藍(lán)兩藍(lán)禮金券（元）27927(1)請(qǐng)你用列表法（或畫(huà)樹(shù)狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤(pán)指針?lè)謩e指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率．(2)如果一名顧客當(dāng)天在本店購(gòu)物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請(qǐng)你幫助分析選擇哪種方案較為實(shí)惠．【答案】(1)(2)方案一比較實(shí)惠【分析】（1）根據(jù)題意列出表格，然后根據(jù)概率公式求出結(jié)果即可；（2）先分別算出指針指在兩個(gè)紅色區(qū)域，兩個(gè)藍(lán)色區(qū)域的概率，算出按方案二獲得禮金券的平均值，最后進(jìn)行比較即可得出答案．【詳解】（1）解：列表格如下：藍(lán)藍(lán)紅藍(lán)（藍(lán)，藍(lán)）（藍(lán)，藍(lán)）（藍(lán)，紅）紅（紅，藍(lán)）（紅，藍(lán)）（紅，紅）紅（紅，藍(lán)）（紅，藍(lán)）（紅，紅）∵由表格可知，共有9種等可能結(jié)果，其中轉(zhuǎn)盤(pán)指針?lè)謩e指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的情況數(shù)有5種，∴兩款轉(zhuǎn)盤(pán)指針?lè)謩e指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率．（2）解：∵，∴如果選擇方案二，獲得禮金券的平均值為：（元），∵，∴選擇方案一比較實(shí)惠．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出表格或畫(huà)出樹(shù)狀圖，熟練掌握概率的基本公式．13．（2022秋·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┚牛?）班在義賣活動(dòng)中設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，規(guī)定：顧客購(gòu)物元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品，下表是此次活動(dòng)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù)落在“手工”區(qū)域的次數(shù)落在“手工”區(qū)域的頻率(1)求出的值；(2)請(qǐng)估計(jì)當(dāng)很大時(shí)，頻率將會(huì)接近______；假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，你獲得“手工”獎(jiǎng)品的概率約是______．（精確到）【答案】(1)，(2)，【分析】(1)根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)求解即可；(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以估計(jì)頻率是多少以及轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，獲得“手工”的概率．【詳解】（1）解：∵轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù)為，落在“手工”區(qū)域的頻率為，∴，∵轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的次數(shù)為，落在“手工”區(qū)域的頻率為，∴，（2）解：∵根據(jù)表格信息可知：落在“手工”區(qū)域的頻率的平均數(shù)大約為：,∴當(dāng)n很大時(shí)，頻率將會(huì)接近，∴假如你去轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤(pán)一次，你獲得“手工”獎(jiǎng)品的概率約是．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．14．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題再現(xiàn)】(1)課本中有這樣一道概率題：如圖1，這是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針落在藍(lán)色區(qū)域和橙色區(qū)域的概率分別是多少？請(qǐng)你解答．【類比設(shè)計(jì)】(2)在元旦晚會(huì)上班長(zhǎng)想設(shè)計(jì)一個(gè)搖獎(jiǎng)轉(zhuǎn)盤(pán)．請(qǐng)你在圖2中設(shè)計(jì)一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，自由轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，當(dāng)它停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，三等獎(jiǎng)：指針落在紅色區(qū)域的概率為，二等獎(jiǎng)：指針落在白色區(qū)域的概率為，一等獎(jiǎng)：指針落在黃色區(qū)域的概率為．【拓展運(yùn)用】(3)在一次促銷活動(dòng)中，某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)被平均分為10份，顧客每消費(fèi)200元轉(zhuǎn)動(dòng)1次，對(duì)準(zhǔn)紅1份，黃2份、綠3份區(qū)域，分別得獎(jiǎng)金100元、50元、30元購(gòu)物券，求轉(zhuǎn)動(dòng)1次所獲購(gòu)物券的平均數(shù)．【答案】(1)P（藍(lán)色區(qū)域），P（橙色區(qū)域）(2)見(jiàn)解析(3)29元【分析】（1）根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）將轉(zhuǎn)盤(pán)均分成份，根據(jù)概率求出各種顏色所占份數(shù)，即可得解；（3）利用對(duì)準(zhǔn)紅、黃、綠的概率乘以各自對(duì)應(yīng)的錢(qián)數(shù)，即可得解．【詳解】（1）解：根據(jù)幾何概率的意義可知，P（藍(lán)色區(qū)域），P（橙色區(qū)域）．（2）解：根據(jù)題意，將轉(zhuǎn)盤(pán)均分成份，則：紅色占：份；白色占：份；黃色占：份；如圖所示：（答案不唯一）；（3）解：由題意，得：轉(zhuǎn)動(dòng)1次的平均數(shù)為（元）；答：轉(zhuǎn)動(dòng)1次所獲購(gòu)物券的平均數(shù)是29元．【點(diǎn)睛】本題考查概率的應(yīng)用，以及計(jì)算加權(quán)平均數(shù)．熟練掌握概率公式，以及加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法，是解題的關(guān)鍵．15．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）為迎接建黨100周年，甲、乙兩位學(xué)生參加了知識(shí)競(jìng)賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，記錄這8次成績(jī)（單位：分），并按成績(jī)從低到高整理成如下表所示，由于表格被污損，甲的第5個(gè)數(shù)據(jù)看不清，但知道甲的中位數(shù)比乙的眾數(shù)大3．甲78798182x889395乙7580808385909295（1）求x的值；

（2）現(xiàn)要從中選派一人參加競(jìng)賽，從統(tǒng)計(jì)或概率的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）x=84；（2）從統(tǒng)計(jì)的角度考慮，派甲參賽比較合適，理由見(jiàn)解析；從概率的角度考慮，派乙參賽比較合適，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法分別計(jì)算即可；（2）解法1：從平均數(shù)、方差以及數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)分析．解法2：從概率的角度以及數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)分析．【詳解】解：（1）依題意，可知甲的中位數(shù)為，乙的眾數(shù)為80，∴，解得x=84．（2）解法一：派甲參賽比較合適．理由如下：，，，，因?yàn)?，，所以甲的成?jī)較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適．解法二：派乙參賽比較合適．理由如下：從概率的角度看，甲獲得85以上（含85分）的概率，乙獲得85分以上（含85分）的概率，因?yàn)镻1＜P2，所以派乙參賽比較合適．【點(diǎn)睛】考查平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的意義，方差，概率等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)智力挑戰(zhàn)賽需要全部答對(duì)兩道單項(xiàng)選擇題，才能順利通過(guò)第一關(guān).第一道題有個(gè)選項(xiàng)，第二道題有個(gè)選項(xiàng)，這兩道題小新都不會(huì)，不過(guò)小新還有一個(gè)“求助卡”沒(méi)有用，使用“求助卡”可以讓主持人去掉其中一題的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)．（1）如果小新在第--題使用“求助卡”，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或者列表來(lái)分析小新順利通過(guò)第一關(guān)的概率；（2）從概率的角度分析，你建議小新在第幾題使用“求助卡”．為什么．【答案】（1）；（2）建議小新在第二題使用“求助卡”，理由見(jiàn)解析【分析】（1）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小新都選對(duì)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算；（2）如果小新在第二題使用“求助卡”，畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有8種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小新都選對(duì)的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算出小新順利通過(guò)第一關(guān)的概率，然后比較兩個(gè)概率的大小可判斷小新在第幾題使用“求助卡“．【詳解】解:（1）列樹(shù)狀圖如下:共有種等可能的結(jié)果，其中兩道題都正確的結(jié)果有個(gè)，所以小新順利通過(guò)第一關(guān)的概率為（2）建議小明在第二題使用“求助卡”，若第二題使用“求助卡”，可列樹(shù)狀圖如下:此時(shí)小新順利通過(guò)第一關(guān)的概率為因?yàn)?，所以建議小新在第二題使用“求助卡”【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．17．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)開(kāi)展黃梅戲演唱比賽，組委會(huì)將本次比賽的成績(jī)（單位：分）進(jìn)行整理，并繪制成如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖（不完整）．成績(jī)頻數(shù)頻率20.040.16200.40160.324合計(jì)501請(qǐng)你根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）求出,的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖．（2）將此次比賽成績(jī)分為三組：；；若按照這樣的分組方式繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖，則其中組所在扇形的圓心角的度數(shù)是多少？（3）學(xué)校準(zhǔn)備從不低于90分的參賽選手中任選2人參加市級(jí)黃梅戲演唱比賽，求都取得了95分的小欣和小怡同時(shí)被選上的概率．【答案】（1）a=8，b=0.08；補(bǔ)圖見(jiàn)解析；（2）144°；（3）．【分析】（1）根據(jù)題中可得總?cè)藬?shù)為50人，則中人數(shù)所占頻率即可求出a的值，則中出現(xiàn)的頻數(shù)即可求得b的值；（2）根據(jù)圓心角的度數(shù)為所占百分比乘以360°即可求解；（3）根據(jù)概率初步中樹(shù)狀圖的作圖方法作圖求解即可．【詳解】（1），．補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：（2）．故C組所在扇形的圓心角的度數(shù)為．（3）由題意知，不低于90分的學(xué)生共有4人，設(shè)這四名學(xué)生分別為，,,，其中小欣和小怡分別用,表示，根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如下．由樹(shù)狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中小欣和小怡同時(shí)被選上的結(jié)果有2種，故小欣和小怡同時(shí)被選上的概率是．【點(diǎn)睛】本題以實(shí)際生活為背景考查統(tǒng)計(jì)與概率，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角度數(shù)的求法以及概率中樹(shù)狀圖的作法．18．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）有四個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)注，，1，3這四個(gè)數(shù)字．把標(biāo)注后的小球放入不透明的口袋中，從中隨機(jī)拿出兩個(gè)小球，所標(biāo)數(shù)字和的絕對(duì)值為k的概率記作（如：是任取兩個(gè)數(shù)，其和的絕對(duì)值為3的概率）(1)用列表法求；(2)張亮認(rèn)為：的所有取值的眾數(shù)大于它們的平均數(shù)，你認(rèn)為張亮的想法正確嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，請(qǐng)舉例說(shuō)明；若不能找到，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)張亮的想法是錯(cuò)的，見(jiàn)解析(3)【分析】（1）用列表法列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）求出的所有取值的眾數(shù)和平均數(shù)，比較得出答案；（3）根據(jù)的所有取值，是否存在三個(gè)值的和為即可．【詳解】（1）由題得，列表為：第1個(gè)第2個(gè)1331130211043124所以，共有12種等可能結(jié)果，其中和的絕對(duì)值為1的有4種，；（2）由（1）得：，，，，，∴的所有取值的眾數(shù)為，而的所有取值的平均數(shù)為：，∵，所以張亮的想法是錯(cuò)的．（3）∵，∴（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹(shù)狀圖法，眾數(shù)、平均數(shù)，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是計(jì)算概率的前提，掌握眾數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．題型4.用頻率估計(jì)概率19．（2023春·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┎煌该鞔又醒b有15個(gè)紅球和若干個(gè)綠球，這些球除了顏色外無(wú)其他差別．經(jīng)過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在，則綠球的個(gè)數(shù)約是．【答案】35【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從摸到紅球的頻率穩(wěn)定在，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)綠球的個(gè)數(shù)有x個(gè)，根據(jù)題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，∴綠球的個(gè)數(shù)約有35個(gè)．故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．20．（2023秋·山西忻州·九年級(jí)校考期末）黨的二十大報(bào)告中的“深入實(shí)施種業(yè)振興行動(dòng)”將為“中國(guó)種”的選育和發(fā)展打下一針強(qiáng)心劑．山西農(nóng)業(yè)大學(xué)（省農(nóng)科院）玉米研究所育種的“晉糯20號(hào)”已在全國(guó)26個(gè)省市推廣種植，大獲豐收．下面是科研小組在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，對(duì)該糧食種子發(fā)芽率進(jìn)行研究時(shí)所得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)：種子數(shù)307513021048085612502300發(fā)芽287212520045781411872185依據(jù)上面的數(shù)據(jù)，估計(jì)這種糧食種子在該實(shí)驗(yàn)條件下發(fā)芽的概率是．（結(jié)果精確到0.01）【答案】【分析】利用頻率估計(jì)概率求解即可．【詳解】解：由題意知，估計(jì)這種糧食種子在該實(shí)驗(yàn)條件下發(fā)芽的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．21．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平整的地面上有一個(gè)不規(guī)則圖案圖的陰影部分，小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了如下方法：用一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，將不規(guī)則圖案圍起來(lái)，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地朝長(zhǎng)方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)球扔在界線上或長(zhǎng)方形區(qū)域外不計(jì)試驗(yàn)結(jié)果，他將若干次有效試驗(yàn)的結(jié)果繪制成了圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，由此他估計(jì)不規(guī)則圖案的面積大約為．

【答案】7【分析】首先假設(shè)不規(guī)則圖案面積為，根據(jù)幾何概率知識(shí)求解不規(guī)則圖案占長(zhǎng)方形的面積大小，進(jìn)而根據(jù)折線圖用頻率估計(jì)概率，綜合以上列方程求解．【詳解】解：假設(shè)不規(guī)則圖案面積為，根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：.由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為，綜上有：，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率的計(jì)算，用頻率估計(jì)概率，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了題目創(chuàng)新，解題關(guān)鍵在于清晰理解題意，能從復(fù)雜的題目背景當(dāng)中找到考點(diǎn)化繁為簡(jiǎn)，創(chuàng)新題目對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)要求極高．22．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某批足球的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果如下：抽取足球數(shù)1002004006008001000合格的數(shù)量93192384564759950合格的頻率0.930.960.960.94

(1)填寫(xiě)表中的空格（結(jié)果保留0.01）．(2)畫(huà)出合格的頻率的折線統(tǒng)計(jì)圖．(3)從這批足球中任意抽取一個(gè)足球是合格品的概率估計(jì)值是多少？并說(shuō)明理由．(4)若某工廠計(jì)劃生產(chǎn)10000個(gè)足球，試估計(jì)生產(chǎn)出的足球中合格的數(shù)量有________個(gè)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)0.95；理由見(jiàn)解析(4)9500【分析】（1）根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)計(jì)算可得；（2）由表格中數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)用點(diǎn)描出來(lái)，再用線段依次相連即可得；（3）根據(jù)頻率估計(jì)概率，頻率都在0.95左右波動(dòng)，所以任意抽取的一只足球是合格品的概率估計(jì)值是0.95；（4）根據(jù)概率進(jìn)行估算即可．【詳解】（1）解：，，完成表格如下：抽取足球數(shù)n1002004006008001000合格的頻數(shù)m93192384564759950合格的頻率0.930.960.960.940.950.95（2）解：如圖所示：

（3）解：從這批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估計(jì)值0.95，因?yàn)閺恼劬€統(tǒng)計(jì)圖中可知，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0.95附近，所以從這批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估計(jì)值0.95．（4）解：（個(gè)），答：估計(jì)生產(chǎn)出的足球中合格的數(shù)量有9500個(gè)．故答案為：9500．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．也考查了頻率分布折線圖．23．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）某玩具公司承接了第19廟杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物公仔的生產(chǎn)任務(wù)，現(xiàn)對(duì)一批公仔進(jìn)行抽檢，其結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下，請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答問(wèn)題：抽取的公仔數(shù)n10100100020003000優(yōu)等品的頻數(shù)m99696219202880優(yōu)等品的頻率0.90.96a0.96b(1)________；________．(2)估計(jì)從這批公仔中任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率是________．（精確到0.01）(3)若該公司這一批次生產(chǎn)了10000只公仔，估計(jì)這批公仔中優(yōu)等品大約有多少只？【答案】(1)0.962；0.96(2)0.96(3)9600只【分析】（1）用頻數(shù)除以總數(shù)即可；（2）由表中數(shù)據(jù)可判斷頻率在0.96左右擺動(dòng)，利用頻率估計(jì)概率可判斷任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率為0.96．（3）用總數(shù)量乘以優(yōu)等品的概率即可【詳解】（1）解：，，故答案為：0.962，0.96；（2）從這批公仔中，任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率的估計(jì)值是0.96．（3）這批公仔中優(yōu)等品大約有只【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)與頻率，利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨試驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．24．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）從一副張（沒(méi)有大王、小王）的撲克牌中，每次抽出張，然后放回洗勻再抽，在試驗(yàn)中得到下表中部分?jǐn)?shù)據(jù)：試驗(yàn)次數(shù)出現(xiàn)方塊的次數(shù)出現(xiàn)方塊的頻率(1)上表中，；(2)從上表中可以估計(jì)出現(xiàn)方塊的概率是．（精確到）．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)頻率的計(jì)算公式即可求解；（2）根據(jù)頻率與概率的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，解得，，，故答案為：，．（2）解：根據(jù)題意，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于概率附件，∴出現(xiàn)方塊的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率的計(jì)算方法，頻率與概率的關(guān)系，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在一個(gè)不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共50個(gè)，某學(xué)習(xí)小組做摸球?qū)嶒?yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1002003005008001000摸到黑球的次數(shù)m摸到黑球的頻率(1)填空：______；當(dāng)n很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近______(精確到)；(2)某小組成員從袋中拿出1個(gè)黑球，3個(gè)白球放入一個(gè)新的不透明袋子中，隨機(jī)摸出兩個(gè)球，請(qǐng)你用列表或樹(shù)狀圖的方法求出隨機(jī)摸出的兩個(gè)球顏色不同的概率．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)頻率的概念及表中頻率穩(wěn)定的數(shù)值求解即可；（2）根據(jù)列表法，得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1），當(dāng)很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近，故答案為：；（2）列表如下：黑白白白黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中隨機(jī)摸出的兩個(gè)球顏色不同的有6種結(jié)果，所以隨機(jī)摸出的兩個(gè)球顏色不同的概率為【點(diǎn)睛】本題考查了頻率估計(jì)概率，列表法求概率，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．26．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，均勻的正四面體的各面依次標(biāo)有1，2，3，4四個(gè)數(shù)字．小明做了60次投擲試驗(yàn)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

朝下數(shù)字1234出現(xiàn)的次數(shù)13172010(1)計(jì)算上述試驗(yàn)中“3朝下”的頻率是_________;(2)根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，“投擲一次正四面體，出現(xiàn)4朝下的概率是．”的說(shuō)法正確嗎？為什么？(3)隨機(jī)投擲正四面體兩次，請(qǐng)用列表法，求兩次朝下的數(shù)字之和不小于4的概率．【答案】(1)(2)不正確，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由頻率頻數(shù)試驗(yàn)次數(shù)算出頻率；（2）只有當(dāng)試驗(yàn)的總次數(shù)很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率才會(huì)穩(wěn)定在相應(yīng)的事件發(fā)生的概率附近．據(jù)此進(jìn)行解答即可；（3）列表列舉出所有的可能的結(jié)果，然后利用概率公式解答即可．【詳解】（1）“3朝下”的頻率：．故答案為：；（2）這種說(shuō)法不正確．在60次試驗(yàn)中，“4朝下”的頻率為，并不能說(shuō)明“4朝下”這一事件發(fā)生的概率為．只有當(dāng)試驗(yàn)的總次數(shù)很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率才會(huì)穩(wěn)定在相應(yīng)的事件發(fā)生的概率附近．（3）隨機(jī)投擲正四面體兩次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：12341234總共有16種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而兩次朝下數(shù)字之和不小于4的結(jié)果有種．∴．即兩次朝下的數(shù)字之和不小于4的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法求概率、頻率、頻率與概率的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確列出表格，然后用符合條件的情況數(shù)m除以所有等可能發(fā)生的情況數(shù)n即可，即．題型5.設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)解決問(wèn)題27．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（

）

A．暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃C．?dāng)S一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4D．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”【答案】C【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在附近波動(dòng)，即其概率，計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，約為者即為正確答案．【詳解】解：A、暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球的概率為，故A選項(xiàng)不符合題意；B、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是；故B選項(xiàng)不符合題意．C、擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4的概率為，故C選項(xiàng)符合題意；D、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀“的概率為，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．同時(shí)此題在解答中要用到概率公式．28．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在一個(gè)不透明的盒子中裝有個(gè)黑、白兩種顏色的球，小明又放入了個(gè)紅球，這些球大小都相同．若每次將球充分?jǐn)噭蚝螅我饷鰝€(gè)球記下顏色再放回盒子，通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則的值大約為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得摸到紅球的概率為，據(jù)此利用概率計(jì)算公式列出方程求解即可．【詳解】解：∵通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，∴摸到紅球的概率為，∴，解得，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，已知概率求數(shù)量，熟知大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即為概率值是解題的關(guān)鍵．題型6.用計(jì)算器模擬試驗(yàn)估計(jì)概率29．（2023·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）為了解我區(qū)某條斑馬線上機(jī)動(dòng)車駕駛員“禮讓行人”的情況，下表是某志愿者小組6周累計(jì)調(diào)查的數(shù)據(jù)，由此數(shù)據(jù)可估計(jì)機(jī)動(dòng)車駕駛員“禮讓行人”的概率（精確到）為（

）抽查車輛數(shù)200400800150024004000禮讓行人的駕駛員人數(shù)169332689127220473404禮讓行人的頻率0.8450.8300.8610.8480.8530.851A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.86【答案】C【分析】由表格數(shù)據(jù)知，隨著抽查車輛數(shù)的增加，“禮讓行人”的頻率逐漸穩(wěn)定在0.85附近，從而得出答案．【詳解】由表格數(shù)據(jù)知，隨著抽查車輛數(shù)的增加，“禮讓行人”的頻率逐漸穩(wěn)定在0.85附近，所以由此數(shù)據(jù)可估計(jì)機(jī)動(dòng)車駕駛員“禮讓行人”的概率為0.85，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.求某一事件發(fā)生的概率30．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，桌面上有3張卡片，1張正面朝上．任意將其中1張卡片正反面對(duì)調(diào)一次后，這3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上的概率是（）A．1 B． C． D．【分析】用列舉法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出2張正面朝上的結(jié)果數(shù)，利用概率公式求出即可．【解答】解：∵任意將其中1張卡片正反面對(duì)調(diào)一次，有3種對(duì)調(diào)方式，其中只有對(duì)調(diào)反面朝上的2張卡片才能使3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上，∴P＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列舉法求等可能事件的概率，掌握等可能事件的概率公式是解題的關(guān)鍵．31．（2023?鎮(zhèn)江）一只不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除顏色外都相同．將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)球后，不放回，將袋中剩余的球攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球．用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求2次都摸到紅球的概率．【分析】用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出2次都摸到紅球的可能結(jié)果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：一共有6種等可能的結(jié)果，其中2次都摸到紅球有2種可能的結(jié)果，∴P（2次都摸到紅球）＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率，掌握列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．32．（2023?常州）在5張相同的小紙條上，分別寫(xiě)有：①；②；③1；④乘法；⑤加法．將這5張小紙條做成5支簽，①、②、③放在不透明的盒子A中攪勻，④、⑤放在不透明的盒子B中攪勻．（1）從盒子A中任意抽出1支簽，抽到無(wú)理數(shù)的概率是；（2）先從盒子A中任意抽出2支簽，再?gòu)暮凶覤中任意抽出1支簽．求抽到的2個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算后結(jié)果是無(wú)理數(shù)的概率．【分析】（1）由概率公式可得答案；（2）用畫(huà)樹(shù)狀圖法求出所有情況數(shù)，再用概率公式列式計(jì)算．【解答】解：（1）在①；②；③1中，無(wú)理數(shù)有兩個(gè)，∴從盒子A中任意抽出1支簽，抽到無(wú)理數(shù)的概率是；故答案為：；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的2個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算后結(jié)果是無(wú)理數(shù)的有：①②⑤，①③④，①③⑤，②①⑤，②③④，②③⑤，③①④，③①⑤，③②④，③②⑤共10種，∴抽到的2個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算后結(jié)果是無(wú)理數(shù)的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法求概念，解題的關(guān)鍵是能用列表法與樹(shù)狀圖法求出所有的可能情況數(shù)．33．（2023?南通）有同型號(hào)的A，B兩把鎖和同型號(hào)的a，b，c三把鑰匙，其中a鑰匙只能打開(kāi)A鎖，b鑰匙只能打開(kāi)B鎖，c鑰匙不能打開(kāi)這兩把鎖．（1）從三把鑰匙中隨機(jī)取出一把鑰匙，取出c鑰匙的概率等于；（2）從兩把鎖中隨機(jī)取出一把鎖，從三把鑰匙中隨機(jī)取出一把鑰匙，求取出的鑰匙恰好能打開(kāi)取出的鎖的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中取出的鑰匙恰好能打開(kāi)取出的鎖的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵有同型號(hào)的a，b，c三把鑰匙，∴從三把鑰匙中隨機(jī)取出一把鑰匙，取出c鑰匙的概率等于，故答案為：；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中取出的鑰匙恰好能打開(kāi)取出的鎖的結(jié)果有2種，即Aa、Bb，∴取出的鑰匙恰好能打開(kāi)取出的鎖的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．34．（2023?宿遷）某校計(jì)劃舉行校園歌手大賽．九（1）班準(zhǔn)備從A、B、C三名男生和D、E兩名女生中隨機(jī)選出參賽選手．（1）若只選1名選手參加比賽，則女生D入選的概率是；（2）若選2名選手參加比賽，求恰有1名男生和1名女生的概率（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求解）．【分析】（1）共有5名學(xué)生，隨機(jī)選取1名，每個(gè)人被選中的可能性是均等的，根據(jù)概率的定義即可求出答案；（2）用樹(shù)狀圖法列舉出等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）共有5名學(xué)生，隨機(jī)選取1名，每個(gè)人被選中的可能性是均等的，所以女生D被選中的概率為，故答案為：；（2）用樹(shù)狀圖法列舉出等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：共有20種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中選擇的兩人1男1女有12種，所以選2名選手恰有1名男生和1名女生的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法或樹(shù)狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的前提，理解概率的定義是正確解答的關(guān)鍵．35．（2023?泰州）某校組織學(xué)生去敬老院表演節(jié)目，表演形式有舞蹈、情景劇和唱歌3種類型．小明、小麗2人積極報(bào)名參加，從3種類型中隨機(jī)挑選一種類型．求小明、小麗選擇不同類型的概率．【分析】用樹(shù)狀圖列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：用樹(shù)狀圖法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中小明、小麗選擇不同類型的有6種，所以小明、小麗選擇不同類型的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法或樹(shù)狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵．36．（2023?無(wú)錫）為了深入推動(dòng)大眾旅游，滿足人民群眾美好生活需要，我市舉辦中國(guó)旅游日惠民周活動(dòng)，活動(dòng)主辦方在活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)提供免費(fèi)門(mén)票抽獎(jiǎng)箱，里面放有4張相同的卡片，分別寫(xiě)有景區(qū)：A．宜興竹海，B．宜興善卷洞，C．闔閭城遺址博物館，D．錫惠公園．抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：攪勻后從抽獎(jiǎng)箱中任意抽取一張卡片，記錄后放回，根據(jù)抽獎(jiǎng)的結(jié)果獲得相應(yīng)的景區(qū)免費(fèi)門(mén)票．（1）小明獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，他恰好抽到景區(qū)A門(mén)票的概率是．（2）小亮獲得兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門(mén)票的概率．【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫(huà)出樹(shù)狀圖，得出總的結(jié)果數(shù)，和恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門(mén)票的情況即可，再由概率公式計(jì)算．【解答】解：（1）一共有4種情況，恰好抽到景區(qū)A門(mén)票的概率是，故答案為：；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：∴一共有16種等可能得情況，恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門(mén)票的情況有2種，∴他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門(mén)票的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．37．（2023?徐州）甲，乙、丙三人到淮海戰(zhàn)役烈士紀(jì)念塔園林游覽，若每人分別從紀(jì)念塔、紀(jì)念館這兩個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)參觀，且選擇每個(gè)景點(diǎn)的機(jī)會(huì)相等，則三人選擇相同景點(diǎn)的概率為多少？【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有8種等可能的結(jié)果，其中甲，乙、丙三人選擇相同景點(diǎn)的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把紀(jì)念塔、紀(jì)念館這兩個(gè)景點(diǎn)分別記為A、B，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有8種等可能的結(jié)果，其中甲，乙、丙三人選擇相同景點(diǎn)的結(jié)果有2種，∴甲，乙、丙三人選擇相同景點(diǎn)的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．38．（2023?揚(yáng)州）揚(yáng)州是個(gè)好地方，有著豐富的旅游資源．某天甲、乙兩人來(lái)?yè)P(yáng)州旅游，兩人分別從A、B、C三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽．（1）甲選擇A景點(diǎn)的概率為；（2）請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的概率．【分析】（1）由概率公式直接可得答案；（2）先畫(huà)出樹(shù)狀圖，共有9種等可能的情況，再根據(jù)概率公式，計(jì)算即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）甲選擇A景點(diǎn)的概率為，故答案為：；（2）根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖如下：∵共有9種等可能的情況，其中甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的情況有5種，∴甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點(diǎn)的概率是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用樹(shù)狀圖求概率，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)樹(shù)狀圖找出所有等可能的情況數(shù)．概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．39．（2023?蘇州）一只不透明的袋子中裝有4個(gè)小球，分別標(biāo)有編號(hào)1，2，3，4，這些小球除編號(hào)外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，這個(gè)球的編號(hào)是2的概率為；（2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄球的編號(hào)后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球．求第2次摸到的小球編號(hào)比第1次摸到的小球編號(hào)大1的概率是多少？（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法說(shuō)明）【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；（2）用列表法或樹(shù)狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出第2次摸到的小球編號(hào)比第1次摸到的小球編號(hào)大1的結(jié)果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵一共有4個(gè)編號(hào)的小球，編號(hào)為2的有一個(gè)，∴P（任意摸出1個(gè)球，這個(gè)球的編號(hào)是2）＝；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：一共有在16個(gè)等可能的結(jié)果，其中第2次摸到的小球編號(hào)比第1次摸到的小球編號(hào)大1出現(xiàn)了3次，∴P（第2次摸到的小球編號(hào)比第1次摸到的小球編號(hào)大1）＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率公式，列表法和樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率，掌握列表法和樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．40．（2023?連云港）如圖，有4張分別印有Q版西游圖案的卡片：A唐僧、B孫悟空、C豬八戒、D沙悟凈．現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我馊〕?張卡片．求下列事件發(fā)生的概率：（1）第一次取出的卡片圖案為“B孫悟空”的概率為；（2）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的概率．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果，再找出兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）第一次取出的卡片圖案為“B孫悟空”的概率為；故答案為：；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的結(jié)果數(shù)為7，所以兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的概率＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖展示所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．考法2.利用頻率估計(jì)概率41．（2023?揚(yáng)州）某種綠豆在相同條件下發(fā)芽試驗(yàn)的結(jié)果如下：每批粒數(shù)n2510501005001000150020003000發(fā)芽的頻數(shù)m2494492463928139618662794發(fā)芽的頻率（精確到0.001）1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931這種綠豆發(fā)芽的概率的估計(jì)值為（精確到0.01）．【分析】當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定并趨于某一個(gè)值，這個(gè)值作為概率的估計(jì)值．【解答】解：根據(jù)表中的發(fā)芽的頻率，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，發(fā)芽的頻率越來(lái)越穩(wěn)定在0.93左右，所以可估計(jì)這種綠豆發(fā)芽的機(jī)會(huì)大約是0.93．故答案為：0.93．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率；用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨試驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．【檢測(cè)卷】一、單選題1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，這兩名工人恰好都是男工人的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：共有20種等可能的結(jié)果，這兩名工人恰好都是男工人的結(jié)果有6種，∴這兩名工人恰好都是男工人的概率為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）向上拋擲兩枚相同的硬幣，落地后出現(xiàn)一正面、一反面的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)題意列出表格表示出所有等可能的情況，再找出符合出現(xiàn)一正面、一反面的情況，最后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意可列表如下，第二次

第一次正反正正，正反，正反正，反反，反由表格可知共有4種等可能得情況，其中出現(xiàn)一正面、一反面的情況有2種，∴落地后出現(xiàn)一正面、一反面的概率是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．正確的列出表格或畫(huà)出樹(shù)狀圖表示出所有等可能的情況是解題關(guān)鍵．3．（2023春·山東泰安·九年級(jí)?？计谥校┯?、3、4三個(gè)數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列舉法得到所有的三位數(shù)，再找出是偶數(shù)的三位數(shù)，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：用2、3、4三個(gè)數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)有、、、、、，共6種等可能的結(jié)果，其中排出的數(shù)是偶數(shù)有4種，故排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查列舉法求概率，正確列出所有的三位數(shù)是解答的關(guān)鍵．4．（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）某校初三8班準(zhǔn)備舉行班干部競(jìng)選活動(dòng)，張林和王亮準(zhǔn)備從“紀(jì)律委員”“學(xué)習(xí)委員”“衛(wèi)生委員”三個(gè)職務(wù)中隨機(jī)競(jìng)選一個(gè)，則兩人恰好選擇同一個(gè)職務(wù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：把“紀(jì)律委員”“學(xué)習(xí)委員”“衛(wèi)生委員”分別記為A、B、C，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，張林和王亮恰好選擇同一個(gè)職務(wù)有3種結(jié)果，則張林和王亮恰好選擇同一個(gè)職務(wù)的概率為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用樹(shù)狀圖或列表法求等可能事件的概率，方法是用樹(shù)狀圖或列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，找出符合條件的結(jié)果數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示即可，注意每種情況發(fā)生的可能性相等．5．（2023春·河南信陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）紅旗渠是紀(jì)念碑，它記載了林縣人不認(rèn)命、不服輸、敢于戰(zhàn)天斗地的英雄氣概．紅旗渠精神主要是指自力更生、艱苦創(chuàng)業(yè)、團(tuán)結(jié)協(xié)作、無(wú)私奉獻(xiàn)．某學(xué)校為了弘揚(yáng)紅旗渠精神，決定開(kāi)展教育宣講活動(dòng)．準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取兩名進(jìn)行宣講，則恰好選中甲和乙的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖表示出所有等可能的情況，再找到符合題意的情況，最后利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的結(jié)果有2種，恰好選中甲、乙兩名同學(xué)的概率為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹(shù)狀圖法求概率，正確的列出表格或畫(huà)出樹(shù)狀圖是解題關(guān)鍵．6．（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)并排走在一起，則甲乙恰好相鄰的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】用樹(shù)狀圖表示出所有情況，再根據(jù)概率公式求解可得．【詳解】解：用樹(shù)狀圖分析如下：

一共有種情況，甲、乙兩人恰好相鄰有種情況，甲、乙兩人相鄰的概率是．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了樹(shù)狀圖法與列表法求概率．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列表或畫(huà)樹(shù)狀圖，注意列表法與樹(shù)狀圖法可以不重不漏的表示出所有等可能的結(jié)果．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┤鐖D，點(diǎn)C、D在線段上，且．以點(diǎn)A為圓心，分別以線段為半徑畫(huà)同心圓，記以為半徑的圓為區(qū)域Ⅰ，所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅱ，所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅲ．現(xiàn)在此圖形中隨機(jī)撒一把豆子，統(tǒng)計(jì)落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù)．若大量重復(fù)此實(shí)驗(yàn)，則（

）

A．豆子落在區(qū)域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在區(qū)域Ⅱ的概率最小C．豆子落在區(qū)域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同【答案】A【分析】計(jì)算出三個(gè)區(qū)域的面積，面積最小的概率最小，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】解：，設(shè)，則，，，，Ⅰ區(qū)域的面積為：，Ⅱ區(qū)域的面積為：，Ⅲ區(qū)域的面積為：，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域的面積比為：，豆子落在區(qū)域Ⅰ的概率最?。蔬xA．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率，解題的關(guān)鍵是掌握概率公式，理解面積比等于概率比．8．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將分別標(biāo)有“最”、“美”、“宜”、“昌”四個(gè)漢字的小球裝在一個(gè)不透明的口袋中，這些小球除漢字以外其它完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機(jī)摸出一球，不放回，再隨機(jī)摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的結(jié)果有種，兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的概率為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了樹(shù)狀圖法求概率，樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適用于兩步或兩步以上完成的事件．解題時(shí)還要注意是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．（2022秋·云南楚雄·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小明和小芳做一個(gè)“配色”的游戲，下圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，每個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)被分成面積相等的幾個(gè)扇形，并涂上圖中所示的顏色．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，如果轉(zhuǎn)盤(pán)A轉(zhuǎn)出了紅色，轉(zhuǎn)盤(pán)B轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，或者轉(zhuǎn)盤(pán)A轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，轉(zhuǎn)盤(pán)B轉(zhuǎn)出了紅色，則紅色和藍(lán)色在一起配成紫色，這種情況下小芳獲勝；同樣，藍(lán)色和黃色在一起配成綠色，這種情況下小明獲勝；在其它情況下，則小明、小芳不分勝負(fù)，那么小明獲勝的概率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用列表法，求出概率即可．【詳解】解：列表如下：紅黃藍(lán)紅紅，紅紅，黃紅，藍(lán)黃黃，紅黃，黃黃，藍(lán)紅紅，紅紅，黃紅，藍(lán)藍(lán)藍(lán)，紅藍(lán)，黃藍(lán)，藍(lán)共有12種等可能的情況，其中出現(xiàn)藍(lán)色和黃色的情況共有2種，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查列表法求概率．正確的列出表格，熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）四張背面完全相同的卡片上分別寫(xiě)有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字，把卡片背面朝上洗勻后，王明從這四張卡片中隨機(jī)選兩張，則王明選中的卡片中有偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再?gòu)闹姓业椒蠗l件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求解即可．【詳解】解：樹(shù)狀圖如圖所示，一共有12種等可能性，其中王明選中的卡片中有偶數(shù)的可能性有10種可能性，故王明選中的卡片中有偶數(shù)的概率為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率，列表法可以重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．二、填空題11．（2023·山西運(yùn)城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）年月日起至年月日止，“印象長(zhǎng)治詩(shī)畫(huà)太行”主題攝影展進(jìn)行征稿，作品內(nèi)容包括“產(chǎn)業(yè)發(fā)展”“城市建設(shè)”“自然人文”“民生福祉”四部分，展覽按照四部分分類展出，現(xiàn)小文和小樂(lè)兩人各隨機(jī)從中選擇一類展覽先進(jìn)行觀看，則兩人選擇先觀看的展覽作品內(nèi)容恰好是同一類別的概率為．【答案】/0.25【分析】用、、、分別表示“產(chǎn)業(yè)發(fā)展”“城市建設(shè)”“自然人文”“民生福祉”四部分，畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有種等可能的結(jié)果，再找出兩人選擇先觀看的展覽作品內(nèi)容恰好是同一類別的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【詳解】解：用、、、分別表示“產(chǎn)業(yè)發(fā)展”“城市建設(shè)”“自然人文”“民生福祉”四部分．畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有種等可能的結(jié)果，其中兩人選擇先觀看的展覽作品內(nèi)容恰好是同一類別的結(jié)果數(shù)為，所以兩人選擇先觀看的展覽作品內(nèi)容恰好是同一類別的概率．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖展示所有可能的結(jié)果求出，再?gòu)闹羞x出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求出事件或的概率．12．（2022秋·江西吉安·九年級(jí)?？计谥校摹?、0三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則該點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的概率．【答案】【分析】根據(jù)題意列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出剛好在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求出所求的概率．【詳解】解：列表得：0__________0____所有等可能的情