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文檔簡(jiǎn)介
強(qiáng)度計(jì)算.數(shù)值計(jì)算方法:有限差分法(FDM):有限差分法在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中的應(yīng)用1緒論1.1有限差分法的簡(jiǎn)介有限差分法(FiniteDifferenceMethod,FDM)是一種數(shù)值計(jì)算方法,用于求解微分方程。在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中,F(xiàn)DM通過(guò)將連續(xù)的熱傳導(dǎo)方程離散化,將其轉(zhuǎn)化為一系列線性代數(shù)方程,從而可以使用數(shù)值方法求解。這種方法的核心在于用差商代替導(dǎo)數(shù),將微分方程在網(wǎng)格點(diǎn)上的值用差分公式表示,進(jìn)而求解熱傳導(dǎo)問(wèn)題中的溫度分布。1.1.1原理考慮一維熱傳導(dǎo)方程:?其中,ux,tx然后,用差分近似代替導(dǎo)數(shù):??將上述差分公式代入熱傳導(dǎo)方程,得到:u整理得到:u這就是有限差分法在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中的應(yīng)用基礎(chǔ)。1.1.2示例代碼假設(shè)我們有一個(gè)長(zhǎng)度為1m的金屬棒,初始溫度為0°C,兩端分別保持在100°C和0°C,熱擴(kuò)散率為0.01m^2/s,我們使用FDM來(lái)計(jì)算金屬棒在10s后的溫度分布。importnumpyasnp
#參數(shù)設(shè)置
L=1.0#長(zhǎng)度
T=10.0#時(shí)間
alpha=0.01#熱擴(kuò)散率
dx=0.01#空間步長(zhǎng)
dt=0.001#時(shí)間步長(zhǎng)
nx=int(L/dx)#空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)
nt=int(T/dt)#時(shí)間步數(shù)
#初始化溫度分布
u=np.zeros(nx+1)
u[0]=100#左端溫度
#顯式差分格式
forninrange(nt):
foriinrange(1,nx):
u[i]=u[i]+alpha*dt/dx**2*(u[i+1]-2*u[i]+u[i-1])
print(u)1.2熱傳導(dǎo)問(wèn)題的重要性熱傳導(dǎo)問(wèn)題在工程、物理、材料科學(xué)等領(lǐng)域中具有重要地位。例如,在設(shè)計(jì)熱交換器、預(yù)測(cè)材料在高溫下的性能、優(yōu)化電子設(shè)備的散熱設(shè)計(jì)等方面,準(zhǔn)確理解和計(jì)算熱傳導(dǎo)是關(guān)鍵。通過(guò)有限差分法,可以對(duì)復(fù)雜的熱傳導(dǎo)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬,為實(shí)際應(yīng)用提供理論依據(jù)和預(yù)測(cè)結(jié)果。1.3FDM在熱傳導(dǎo)中的應(yīng)用概述有限差分法在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中的應(yīng)用主要包括以下幾個(gè)步驟:?jiǎn)栴}離散化:將連續(xù)的熱傳導(dǎo)方程轉(zhuǎn)化為離散的差分方程。邊界條件處理:根據(jù)問(wèn)題的物理特性,設(shè)置適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。迭代求解:通過(guò)迭代計(jì)算,逐步更新網(wǎng)格點(diǎn)上的溫度值,直到達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)或指定的時(shí)間點(diǎn)。結(jié)果分析:對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析,提取有用信息,如溫度分布、熱流等。有限差分法的靈活性和適用性使其成為解決熱傳導(dǎo)問(wèn)題的常用工具,尤其是在處理復(fù)雜幾何形狀和非線性材料特性時(shí)。通過(guò)調(diào)整網(wǎng)格的大小和時(shí)間步長(zhǎng),可以平衡計(jì)算精度和效率,滿足不同應(yīng)用場(chǎng)景的需求。2有限差分法基礎(chǔ)2.1維熱傳導(dǎo)方程的離散化一維熱傳導(dǎo)方程描述了熱量在單一方向上的傳遞過(guò)程,其基本形式為:?其中,T是溫度,t是時(shí)間,x是空間坐標(biāo),α是熱擴(kuò)散率。為了使用有限差分法求解此方程,我們首先需要將其離散化。2.1.1離散化步驟空間離散化:將連續(xù)的空間x分割成一系列離散的點(diǎn),形成網(wǎng)格。假設(shè)網(wǎng)格間距為Δx時(shí)間離散化:將連續(xù)的時(shí)間t分割成一系列離散的時(shí)刻,形成時(shí)間步。假設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為Δt溫度離散化:在每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)和時(shí)間步上,溫度T被近似為一個(gè)離散值。2.1.2差分格式中心差分:用于空間二階導(dǎo)數(shù)的近似。?向前差分:用于時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)的近似。?將上述差分格式代入熱傳導(dǎo)方程,得到離散化后的方程:T2.1.3代碼示例importnumpyasnp
#參數(shù)設(shè)置
alpha=0.1#熱擴(kuò)散率
L=1.0#材料長(zhǎng)度
T0=100.0#初始溫度
T_left=200.0#左邊界溫度
T_right=50.0#右邊界溫度
dx=0.1#空間步長(zhǎng)
dt=0.001#時(shí)間步長(zhǎng)
nx=int(L/dx)+1#網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)
nt=1000#時(shí)間步數(shù)
#初始化溫度數(shù)組
T=np.zeros(nx)
T[0]=T_left
T[-1]=T_right
T[1:-1]=T0
#顯式差分格式
forninrange(nt):
T_new=T.copy()
foriinrange(1,nx-1):
T_new[i]=T[i]+alpha*dt/dx**2*(T[i+1]-2*T[i]+T[i-1])
T=T_new
#打印最終溫度分布
print(T)2.2邊界條件的處理在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中,邊界條件至關(guān)重要,它們可以是:Dirichlet邊界條件:指定邊界上的溫度值。TNeumann邊界條件:指定邊界上的熱流密度。?2.2.1代碼示例#Neumann邊界條件處理
q_left=0.0#左邊界熱流密度
q_right=0.0#右邊界熱流密度
#更新邊界條件
T[0]=T[1]-q_left*dx/alpha
T[-1]=T[-2]+q_right*dx/alpha2.3顯式與隱式差分格式2.3.1顯式差分格式顯式格式直接使用當(dāng)前時(shí)間步的信息來(lái)計(jì)算下一時(shí)間步的溫度值,計(jì)算簡(jiǎn)單但穩(wěn)定性條件嚴(yán)格。T2.3.2隱式差分格式隱式格式使用下一時(shí)間步的信息來(lái)計(jì)算下一時(shí)間步的溫度值,穩(wěn)定性好但需要解線性方程組。T2.3.3代碼示例#隱式差分格式
A=np.zeros((nx,nx))
b=np.zeros(nx)
#構(gòu)建矩陣A
foriinrange(nx):
A[i,i]=1+2*alpha*dt/dx**2
ifi>0:
A[i,i-1]=-alpha*dt/dx**2
ifi<nx-1:
A[i,i+1]=-alpha*dt/dx**2
#構(gòu)建向量b
b=T+alpha*dt/dx**2*(np.roll(T,1)+np.roll(T,-1))
#解線性方程組
T=np.linalg.solve(A,b)以上代碼示例展示了如何使用Python和NumPy庫(kù)來(lái)實(shí)現(xiàn)一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題的有限差分法,包括顯式和隱式格式的實(shí)現(xiàn)。通過(guò)調(diào)整參數(shù)α、Δx、Δ3有限差分法在熱傳導(dǎo)中的應(yīng)用3.1穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的求解3.1.1原理穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題是指在熱傳導(dǎo)過(guò)程中,溫度分布不隨時(shí)間變化的問(wèn)題。在有限差分法中,我們首先將求解區(qū)域離散化,然后用差分近似代替導(dǎo)數(shù),將偏微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程組。對(duì)于一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程:d其中,k是熱導(dǎo)率,T是溫度,x是空間坐標(biāo)。在離散點(diǎn)上,我們可以用中心差分近似:d3.1.2內(nèi)容對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均勻桿,兩端分別保持在T1和T2溫度,我們可以通過(guò)有限差分法求解內(nèi)部的溫度分布。假設(shè)桿被離散為N個(gè)節(jié)點(diǎn),每個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的距離為3.1.2.1代碼示例importnumpyasnp
#參數(shù)設(shè)置
L=1.0#桿的長(zhǎng)度
N=100#節(jié)點(diǎn)數(shù)
T1=100.0#左端溫度
T2=0.0#右端溫度
k=1.0#熱導(dǎo)率
#離散化
dx=L/(N-1)
x=np.linspace(0,L,N)
T=np.zeros(N)#初始化溫度數(shù)組
#邊界條件
T[0]=T1
T[-1]=T2
#內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的差分方程
foriinrange(1,N-1):
T[i]=(k*dx**2*(T[i+1]-2*T[i]+T[i-1]))/(k*dx**2)+T[i]
#迭代求解
foriterationinrange(1000):
T_new=np.copy(T)
foriinrange(1,N-1):
T_new[i]=0.5*(T[i+1]+T[i-1])
T=T_new
#輸出結(jié)果
print(T)3.1.3描述上述代碼中,我們首先定義了問(wèn)題的參數(shù),包括桿的長(zhǎng)度、節(jié)點(diǎn)數(shù)、兩端的溫度和熱導(dǎo)率。然后,我們離散化了空間,并初始化了溫度數(shù)組。邊界條件被設(shè)置為兩端的溫度。內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的溫度通過(guò)差分方程迭代求解,直到收斂。3.2非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的求解3.2.1原理非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題涉及溫度隨時(shí)間的變化。一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程為:ρ其中,ρ是密度,cp是比熱容,t?3.2.2內(nèi)容對(duì)于一個(gè)初始溫度均勻的桿,當(dāng)一端突然加熱時(shí),我們可以觀察到溫度隨時(shí)間的分布變化。假設(shè)桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng),初始溫度為T0,加熱端的溫度為T3.2.2.1代碼示例importnumpyasnp
#參數(shù)設(shè)置
L=1.0#桿的長(zhǎng)度
N=100#空間節(jié)點(diǎn)數(shù)
T0=0.0#初始溫度
Th=100.0#加熱端溫度
k=1.0#熱導(dǎo)率
rho=1.0#密度
cp=1.0#比熱容
dt=0.001#時(shí)間步長(zhǎng)
t_end=1.0#模擬時(shí)間
#離散化
dx=L/(N-1)
x=np.linspace(0,L,N)
T=np.full(N,T0)#初始化溫度數(shù)組
#邊界條件
T[0]=Th
#時(shí)間迭代
t=0.0
whilet<t_end:
T_new=np.copy(T)
foriinrange(1,N):
T_new[i]=T[i]+(dt/(rho*cp*dx**2))*(k*(T[i-1]-2*T[i]+T[i-1]))
T=T_new
t+=dt
#輸出結(jié)果
print(T)3.2.3描述在非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題中,我們不僅離散化了空間,還離散化了時(shí)間。代碼中,我們首先定義了問(wèn)題的參數(shù),包括桿的長(zhǎng)度、空間節(jié)點(diǎn)數(shù)、初始溫度、加熱端溫度、熱導(dǎo)率、密度、比熱容、時(shí)間步長(zhǎng)和模擬時(shí)間。然后,我們初始化了溫度數(shù)組,并設(shè)置了加熱端的邊界條件。通過(guò)時(shí)間迭代,我們使用差分方程更新每個(gè)時(shí)間步的溫度分布,直到達(dá)到模擬時(shí)間。3.3熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值穩(wěn)定性分析3.3.1原理在使用有限差分法求解熱傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí),數(shù)值穩(wěn)定性是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題,CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)條件是保證數(shù)值穩(wěn)定性的必要條件之一。CFL條件要求:k3.3.2內(nèi)容在非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的求解中,我們可以通過(guò)調(diào)整時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)來(lái)滿足CFL條件,從而保證數(shù)值穩(wěn)定性。如果違反了CFL條件,解可能會(huì)發(fā)散或產(chǎn)生非物理的振蕩。3.3.2.1代碼示例importnumpyasnp
#參數(shù)設(shè)置
L=1.0#桿的長(zhǎng)度
N=100#空間節(jié)點(diǎn)數(shù)
T0=0.0#初始溫度
Th=100.0#加熱端溫度
k=1.0#熱導(dǎo)率
rho=1.0#密度
cp=1.0#比熱容
t_end=1.0#模擬時(shí)間
#離散化
dx=L/(N-1)
x=np.linspace(0,L,N)
T=np.full(N,T0)#初始化溫度數(shù)組
#邊界條件
T[0]=Th
#計(jì)算CFL條件下的最大允許時(shí)間步長(zhǎng)
dt_max=(rho*cp*dx**2)/(2*k)
#選擇時(shí)間步長(zhǎng)
dt=dt_max/2#為了保證穩(wěn)定性,選擇小于最大允許時(shí)間步長(zhǎng)
#時(shí)間迭代
t=0.0
whilet<t_end:
T_new=np.copy(T)
foriinrange(1,N):
T_new[i]=T[i]+(dt/(rho*cp*dx**2))*(k*(T[i-1]-2*T[i]+T[i-1]))
T=T_new
t+=dt
#輸出結(jié)果
print(T)3.3.3描述在上述代碼中,我們首先計(jì)算了CFL條件下的最大允許時(shí)間步長(zhǎng),然后選擇了一個(gè)小于這個(gè)值的時(shí)間步長(zhǎng),以確保數(shù)值穩(wěn)定性。通過(guò)這種方式,我們可以避免在非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的求解中出現(xiàn)發(fā)散或非物理振蕩的現(xiàn)象。4非線性熱傳導(dǎo)問(wèn)題的處理非線性熱傳導(dǎo)問(wèn)題通常出現(xiàn)在材料的熱導(dǎo)率隨溫度變化的場(chǎng)景中。在這些情況下,熱導(dǎo)率不再是常數(shù),而是溫度的函數(shù),這使得熱傳導(dǎo)方程變得非線性。有限差分法(FDM)可以用來(lái)數(shù)值求解這類問(wèn)題,通過(guò)將非線性方程線性化,然后在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)迭代求解。4.1原理考慮一維非線性熱傳導(dǎo)方程:ρ其中,ρ是密度,c是比熱容,T是溫度,kT4.1.1線性化在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi),可以將kT在當(dāng)前溫度Tnk其中,k′Tn是熱導(dǎo)率在4.1.2差分格式將上述線性化后的熱導(dǎo)率代入熱傳導(dǎo)方程,然后應(yīng)用中心差分和向前差分,得到:ρ其中,kTi+1/2n和kTi?4.1.3迭代求解由于kT4.2示例代碼importnumpyasnp
#參數(shù)設(shè)置
rho=1.0#密度
c=1.0#比熱容
k0=1.0#初始熱導(dǎo)率
kT=0.01#熱導(dǎo)率隨溫度變化的系數(shù)
L=1.0#材料長(zhǎng)度
N=100#網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)
dx=L/(N-1)
dt=0.001#時(shí)間步長(zhǎng)
T0=0.0#初始溫度
T_left=100.0#左邊界溫度
T_right=0.0#右邊界溫度
t_end=1.0#模擬結(jié)束時(shí)間
#熱導(dǎo)率函數(shù)
defk(T):
returnk0+kT*T
#熱導(dǎo)率導(dǎo)數(shù)函數(shù)
defdkdT(T):
returnkT
#初始化溫度數(shù)組
T=np.full(N,T0)
T[0]=T_left
T[-1]=T_right
#時(shí)間迭代
t=0.0
whilet<t_end:
T_new=np.copy(T)
foriinrange(1,N-1):
k_left=k(T[i-1])
k_right=k(T[i])
k_i=(k_left+k_right)/2
dki=(k_right-k_left)/dx
T_new[i]=T[i]+dt*(dki/dx-k_i*(T[i+1]-2*T[i]+T[i-1])/dx**2)/(rho*c)
T=T_new
t+=dt
#輸出最終溫度分布
print(T)5對(duì)流和輻射的耦合效應(yīng)在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中,對(duì)流和輻射是兩種常見(jiàn)的熱傳遞方式。當(dāng)它們與熱傳導(dǎo)耦合時(shí),問(wèn)題變得更為復(fù)雜,需要同時(shí)考慮對(duì)流和輻射的邊界條件。5.1原理對(duì)流邊界條件可以表示為:?其中,h是對(duì)流換熱系數(shù),T∞輻射邊界條件可以表示為:?其中,?是發(fā)射率,σ是斯特藩-玻爾茲曼常數(shù)。5.1.1耦合方程在考慮對(duì)流和輻射的耦合效應(yīng)時(shí),熱傳導(dǎo)方程需要與對(duì)流和輻射的邊界條件一起求解。5.2示例代碼importnumpyasnp
#參數(shù)設(shè)置
rho=1.0#密度
c=1.0#比熱容
k0=1.0#初始熱導(dǎo)率
kT=0.01#熱導(dǎo)率隨溫度變化的系數(shù)
L=1.0#材料長(zhǎng)度
N=100#網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)
dx=L/(N-1)
dt=0.001#時(shí)間步長(zhǎng)
T0=0.0#初始溫度
T_left=100.0#左邊界溫度
T_right=0.0#右邊界溫度
t_end=1.0#模擬結(jié)束時(shí)間
h=10.0#對(duì)流換熱系數(shù)
T_inf=20.0#周圍流體溫度
epsilon=0.8#發(fā)射率
sigma=5.67e-8#斯特藩-玻爾茲曼常數(shù)
#熱導(dǎo)率函數(shù)
defk(T):
returnk0+kT*T
#邊界條件函數(shù)
defboundary_condition(T,i):
ifi==0:#左邊界
returnT_left
elifi==N-1:#右邊界
returnT_right
else:
returnT[i]
#初始化溫度數(shù)組
T=np.full(N,T0)
T[0]=T_left
T[-1]=T_right
#時(shí)間迭代
t=0.0
whilet<t_end:
T_new=np.copy(T)
foriinrange(1,N-1):
k_left=k(T[i-1])
k_right=k(T[i])
k_i=(k_left+k_right)/2
dki=(k_right-k_left)/dx
T_new[i]=T[i]+dt*(dki/dx-k_i*(T[i+1]-2*T[i]+T[i-1])/dx**2)/(rho*c)
#對(duì)流邊界條件
T_new[0]=T_left-h*(T_new[1]-T_left)*dt/(rho*c*dx)
T_new[-1]=T_right-h*(T_right-T_new[-2])*dt/(rho*c*dx)
#輻射邊界條件
T_new[0]=T_left-epsilon*sigma*(T_new[0]**4-T_inf**4)*dt/(rho*c*dx)
T_new[-1]=T_right-epsilon*sigma*(T_new[-1]**4-T_inf**4)*dt/(rho*c*dx)
T=T_new
t+=dt
#輸出最終溫度分布
print(T)6多維熱傳導(dǎo)問(wèn)題的有限差分法在多維熱傳導(dǎo)問(wèn)題中,溫度不僅隨時(shí)間變化,還隨空間的多個(gè)坐標(biāo)變化。有限差分法可以擴(kuò)展到多維空間,通過(guò)在每個(gè)維度上應(yīng)用差分,來(lái)求解多維熱傳導(dǎo)方程。6.1原理考慮二維熱傳導(dǎo)方程:ρ其中,kxT和kyT分別是溫度依賴的熱導(dǎo)率在x和6.1.1差分格式在二維空間中,可以應(yīng)用中心差分,得到:ρ6.1.2迭代求解在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi),需要在x和y方向上迭代求解,直到收斂。6.2示例代碼importnumpyasnp
#參數(shù)設(shè)置
rho=1.0#密度
c=1.0#比熱容
k0=1.0#初始熱導(dǎo)率
kT=0.01#熱導(dǎo)率隨溫度變化的系數(shù)
Lx=1.0#x方向長(zhǎng)度
Ly=1.0#y方向長(zhǎng)度
Nx=100#x方向網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)
Ny=100#y方向網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)
dx=Lx/(Nx-1)
dy=Ly/(Ny-1)
dt=0.001#時(shí)間步長(zhǎng)
T0=0.0#初始溫度
T_left=100.0#左邊界溫度
T_right=0.0#右邊界溫度
T_top=50.0#上邊界溫度
T_bottom=0.0#下邊界溫度
t_end=1.0#模擬結(jié)束時(shí)間
#熱導(dǎo)率函數(shù)
defk(T):
returnk0+kT*T
#初始化溫度數(shù)組
T=np.full((Nx,Ny),T0)
T[0,:]=T_left
T[-1,:]=T_right
T[:,0]=T_bottom
T[:,-1]=T_top
#時(shí)間迭代
t=0.0
whilet<t_end:
T_new=np.copy(T)
foriinrange(1,Nx-1):
forjinrange(1,Ny-1):
k_left=k(T[i-1,j])
k_right=k(T[i+1,j])
k_top=k(T[i,j+1])
k_bottom=k(T[i,j-1])
k_i=(k_left+k_right)/2
k_j=(k_top+k_bottom)/2
dki=(k_right-k_left)/dx
dkj=(k_top-k_bottom)/dy
T_new[i,j]=T[i,j]+dt*(dki/dx+dkj/dy-k_i*(T[i+1,j]-2*T[i,j]+T[i-1,j])/dx**2-k_j*(T[i,j+1]-2*T[i,j]+T[i,j-1])/dy**2)/(rho*c)
T=T_new
t+=dt
#輸出最終溫度分布
print(T)以上代碼示例展示了如何使用有限差分法處理非線性熱傳導(dǎo)問(wèn)題、對(duì)流和輻射的耦合效應(yīng)以及多維熱傳導(dǎo)問(wèn)題。通過(guò)調(diào)整參數(shù)和邊界條件,可以模擬不同的物理場(chǎng)景。7案例研究與實(shí)踐7.1熱傳導(dǎo)問(wèn)題的實(shí)例分析在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中,有限差分法(FDM)是一種廣泛使用的數(shù)值方法,用于求解偏微分方程??紤]一個(gè)簡(jiǎn)單的熱傳導(dǎo)問(wèn)題,即一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo),其基本方程為:d其中,k是熱導(dǎo)率,T是溫度,x是空間坐標(biāo)。在穩(wěn)態(tài)條件下,熱流在任何點(diǎn)上都是恒定的,這意味著熱量的流入等于流出。7.1.1示例:一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)假設(shè)我們有一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的金屬棒,兩端分別保持在不同的溫度T1和T7.1.1.1數(shù)據(jù)樣例L=T1T2k=7.1.1.2代碼實(shí)現(xiàn)#導(dǎo)入必要的庫(kù)
importnumpyasnp
#定義參數(shù)
L=1.0#長(zhǎng)度
T1=100.0#左端溫度
T2=50.0#右端溫度
k=50.0#熱導(dǎo)率
n=100#網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)
#創(chuàng)建網(wǎng)格
x=np.linspace(0,L,n+1)
dx=x[1]-x[0]
#初始化溫度數(shù)組
T=np.zeros(n+1)
#設(shè)置邊界條件
T[0]=T1
T[-1]=T2
#使用有限差分法求解內(nèi)部溫度
foriinrange(1,n):
T[i]=T[i-1]+(T2-T1)*(x[i]-0)/L
#打印溫度分布
print(T)7.1.2結(jié)果驗(yàn)證為了驗(yàn)證我們的計(jì)算結(jié)果,我們可以檢查溫度是否線性變化,因?yàn)樵谶@個(gè)簡(jiǎn)單的一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題中,溫度應(yīng)該沿著金屬棒線性分布。此外,我們還可以通過(guò)比較計(jì)算結(jié)果與解析解來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證。7.2FDM在實(shí)際工程中的應(yīng)用有限差分法在實(shí)際工程問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用,特別是在解決復(fù)雜的熱傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí)。例如,在核反應(yīng)堆設(shè)計(jì)、電子設(shè)備熱管理、建筑熱性能分析等領(lǐng)域,F(xiàn)DM都是首選的數(shù)值方法。7.2.1示例:二維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)考慮一個(gè)二維矩形區(qū)域,初始溫度為T0,邊界條件為恒定溫度Tb。熱源在區(qū)域內(nèi)部以q的形式分布。我們使用7.2.1.1數(shù)據(jù)樣例Lx=1T0Tbq=k=ρ=cpΔtΔx7.2.1.2代碼實(shí)現(xiàn)importnumpyasnp
#定義參數(shù)
Lx=1.0
Ly=1.0
T0=30.0
Tb=50.0
q=100.0
k=50.0
rho=7800.0
cp=500.0
dt=0.01
dx=dy=0.1
#創(chuàng)建網(wǎng)格
nx=int(Lx/dx)+1
ny=int(Ly/dy)+1
x=np.linspace(0,Lx,nx)
y=np.linspace(0,Ly,ny)
X,Y=np.meshgrid(x,y)
#初始化溫度數(shù)組
T=np.full((nx,ny),T0)
#設(shè)置邊界條件
T[0,:]=T[-1,:]=T[:,0]=T[:,-1]=Tb
#使用有限差分法求解瞬態(tài)溫度
alpha=k/(rho*cp)
fortinrange(1000):#迭代次數(shù)
Tn=T.copy()
foriinrange(1,nx-1):
forjinrange(1,ny-1):
T[i,j]=Tn[i,j]+alpha*dt/(dx**2)*(Tn[i+1,j]-2*Tn[i,j]+Tn[i-1,j]+Tn[i,j+1]-Tn[i,j-1])+q*dt/(rho*cp*dx**2)
#打印溫度分布
print(T)7.2.2結(jié)果驗(yàn)證結(jié)果驗(yàn)證可以通過(guò)比較計(jì)算結(jié)果與解析解或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行。在二維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題中,解析解可能較為復(fù)雜,因此通常使用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或更
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