專題23三角函數(shù)的概念6種常見考法歸類（47題）

專題23三角函數(shù)的概念6種常見考法歸類（47題）考點一利用定義求某角的三角函數(shù)值考點二由終邊或終邊上的點求三角函數(shù)值考點三由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)考點四三角函數(shù)值符號的應(yīng)用考點五公式一的簡單應(yīng)用考點六圓上的動點與旋轉(zhuǎn)點知識點1：任意角的三角函數(shù)的定義條件如圖，設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓交于點P(x，y)定義正弦點P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y＝sinα余弦點P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x＝cosα正切點P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)三角函數(shù)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z注：三角函數(shù)值是比值，是一個實數(shù)，它的大小與點P在終邊上的位置無關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．知識點2：正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號（1）圖示：（2）口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知識點3：公式一終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．即(sinα＋2kπ＝sinα，cosα＋2kπ＝cosα，tanα＋2kπ＝tanα，其中k∈Z.注意：（1）利用誘導(dǎo)公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0～2π(或0°～360°)范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值．（2）上面三個公式也可以統(tǒng)一寫成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．知識點4：特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010－110－1001－10知識點5(拓展）：三角函數(shù)線設(shè)角的終邊與單位圓相交點；④由點向軸做垂線，垂足為點；⑤由點作單位圓的切線與終邊相交于點。如下圖所示：在中：為正弦線，長度為正弦值。為余弦線，長度為余弦值。在中：。為正切線，長度為正切值。解題策略1、利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值有以下幾種情況(1)若已知角，則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)，即可求出各三角函數(shù)值．(2)若已知角α終邊上一點P(x，y)(x≠0)是單位圓上一點，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).(3)若已知角α終邊上一點P(x，y)不是單位圓上一點，則先求r＝eq\r(x2＋y2)，再求sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).(4)若已知角α終邊上的點的坐標(biāo)含參數(shù)，則需進(jìn)行分類討論．注：1、已知角的終邊上一點的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值方法：先求出點到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解；2、已知角的一個三角函數(shù)值和終邊上的點P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角有關(guān)的三角函數(shù)值方法：先求出點到原點的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問題；3、已知角的終邊所在的直線方程（，），求角的三角函數(shù)值方法：先設(shè)出終邊上的一點，求出點到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解（注意的符號，對分類討論）2、判斷三角函數(shù)值符號的兩個步驟(1)定象限：確定角α所在的象限．(2)定符號：利用三角函數(shù)值的符號規(guī)律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”來判斷．3、利用誘導(dǎo)公式一進(jìn)行化簡求值的步驟(1)定形：將已知的任意角寫成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.(2)轉(zhuǎn)化：根據(jù)誘導(dǎo)公式一，轉(zhuǎn)化為求角α的某個三角函數(shù)值．(3)求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值．考點一利用定義求某角的三角函數(shù)值1．（2024·全國·高一課堂例題）求角的正弦、余弦和正切值．【答案】，，．【分析】在角的終邊上取點，使的長為1，利用定義求三角函數(shù)的值.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中作，在終邊上取點，使的長為1．

由于點在第四象限，與軸正方向的夾角為，因此可得點的坐標(biāo)為．因為，所以，，．2．（2024·全國·高一課堂例題）利用定義求的正弦、余弦和正切值．【答案】，，．【分析】利用單位圓以及三角函數(shù)的定義求得正確答案.【詳解】如圖所示，的終邊與單位圓的交點為，過點作軸于點，在中，，，則，，則．所以，，．

3．（2023下·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊關(guān)于原點對稱.若角的終邊與單位圓⊙交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對稱可得，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】角與角終邊關(guān)于原點對稱，且若角的終邊與單位圓⊙交于點，所以角的終邊與單位圓⊙交于點，故，故選：B4．（2023下·湖南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由三角函數(shù)的定義求解，【詳解】由題意得，故選：C5．（2023上·四川眉山·高一?？计谀┮阎堑氖歼吪cx軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓的交點為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義求值.【詳解】角的終邊與單位圓的交點為，則.故選：A6．（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期中）已知角以坐標(biāo)系中為始邊，終邊與單位圓交于點，則下列各式正確的有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的三角函數(shù)值，再逐一判斷即可.【詳解】因為角以坐標(biāo)系中為始邊，終邊與單位圓交于點，所以，所以，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：C.7.（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知角的終邊與單位圓交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】的終邊與單位圓交于點,故，故，所以，故選：B.8.（2023春·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）已知角的頂點在原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在第三象限且與單位圓交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在單位圓上即終邊在第三象限所以，，所以所以.故選：C9．（2023上·高一?？颊n時練習(xí)）如果，那么下列不等式成立的是（

）A．sin<cos<tanB．tan<sin<cosC．cos<sin<tanD．cos<tan<sin【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】如圖所示，

在單位圓中作出與單位圓的交點為,由于，則，所以，故．故選：C考點二由終邊或終邊上的點求三角函數(shù)值10．（2024·全國·高一課堂例題）如圖已知角的終邊經(jīng)過點，求的正弦、余弦和正切值．

【答案】，，．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意可得，，則，所以，，．11．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)角α的終邊經(jīng)過下列各點，求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)正弦函數(shù)值為，余弦函數(shù)值為(2)正弦函數(shù)值為，余弦函數(shù)值為(3)正弦函數(shù)值為，余弦函數(shù)值為(4)正弦函數(shù)值為，余弦函數(shù)值為【分析】利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解.【詳解】（1）由三角函數(shù)定義可知，；（2）由三角函數(shù)定義可知，；（3）由三角函數(shù)定義可知，；（4）由三角函數(shù)定義可知，12．（2023上·上海閔行·高三校聯(lián)考期中）已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且終邊經(jīng)過點，則.【答案】/【分析】根據(jù)終邊上的點及三角函數(shù)的定義求即可.【詳解】由題設(shè)及正切函數(shù)的定義知：.故答案為：13．（2023上·黑龍江·高三黑龍江實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角α的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由任意角的三角函數(shù)的定義求解.【詳解】由題意可知點到原點的距離，由任意角的三角函數(shù)的定義，，所以.故選：D14．（2023上·廣東東莞·高一校考期中）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，點在角的終邊上，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)正弦定義相關(guān)知識可求.【詳解】因為角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，點在角的終邊上，所以，故選：D15．（2023上·上海靜安·高三上海市回民中學(xué)校考期中）已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在軸的正半軸上，終邊上一點，則.【答案】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)余弦定義計算即可.【詳解】因為終邊上一點，則.故答案為：.16．（2023上·河南周口·高三周口市文昌中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角θ的終邊經(jīng)過點，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，則【答案】－【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計算即可.【詳解】角θ的終邊經(jīng)過點；θ與α的終邊關(guān)于x軸對稱，由題意得α的終邊經(jīng)過點，.故答案為：17.（2023秋·云南大理·高二大理白族自治州民族中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)直線上任意一點P的坐標(biāo)為（），則（O為坐標(biāo)原點），根據(jù)正弦函數(shù)的定義得：，時，；時，，所以選項D正確，選項A，B，C錯誤，故選：D.18．（2024·高一課時練習(xí)）已知角的終邊落在直線上，求的值．【答案】答案見解析【分析】在角的終邊上任取一點，分、兩種情況，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，求出的值．【詳解】在角的終邊上任取一點，則．當(dāng)時，，，，．當(dāng)時，，，，．19．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知角的終邊落在直線上，且，求，，的值．【答案】，，.【分析】根據(jù)給定條件，求出角α的終邊上一個點的坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)定義求解即得.【詳解】角的終邊落在直線上，且，取角的終邊上的點，則，所以，；.考點三由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)20．（2023上·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？计谥校┮阎堑慕K邊經(jīng)過點，則．【答案】/【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】∵角的終邊經(jīng)過點，∴，，，∴．故答案為：．21．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是角的終邊上一點，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行求值即可.【詳解】由三角函數(shù)的定義知:，所以.故選：A.22．（2023上·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為軸的正半軸，若角終邊有一點，且，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)正弦定義即可得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得，故選：B.23．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┮阎堑慕K邊上一點，且，則.【答案】【分析】利用正弦函數(shù)的定義列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】由角的終邊上一點，且，可得，解之得或（舍）故答案為：24.【多選】（2023秋·江西贛州·高二江西省全南中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知角的終邊經(jīng)過點，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】已知角的終邊經(jīng)過點所以，則當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；所以的值可能為或.故選：CD.25．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點，且，求和的值．【答案】或【分析】利用三角函數(shù)的定義可得出關(guān)于的等式，求出的值，再結(jié)合三角函數(shù)的定義可求得的值.【詳解】解：因為角的終邊經(jīng)過點，且，解得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上所述，或.26.（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知角的終邊上有一點，且，則實數(shù)m取值為．【答案】0或【詳解】因為角的終邊上有一點，所以，解得或.故答案為：0或.27．（2023下·高一課時練習(xí)）若是第二象限角，為其終邊上一點，，則值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再結(jié)合三角函數(shù)的定義，即可求得的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義，可得，解得，即，則，所以.故選：C.28．【多選】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義列方程可求出的值，從而可求出角的其它三角函數(shù)值.【詳解】因為角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點，且，所以，所以，由，可知，所以角為第二象限的角，所以，所以，所以A錯誤，B正確，所以，，所以CD正確，故選：BCD考點四三角函數(shù)值符號的應(yīng)用29.（2023·全國·高一假期作業(yè)）求（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由，又，則，所以.故選：C30．（2024·全國·高一專題練習(xí)）確定下列正弦、余弦、正切值的符號：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】利用誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的象限符號即可求解.【詳解】（1）因為是第二象限角，所以；（2）因為，即是第三象限角，所以；（3）因為，即是第四象限角，所以.31．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）確定下列各三角函數(shù)值的符號：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)負(fù)(2)負(fù)(3)負(fù)(4)正(5)負(fù)(6)負(fù)【分析】首先確定角所在象限，再根據(jù)三角函數(shù)的符號規(guī)律逐個判斷即可．【詳解】（1）因為為第三象限角，可得為負(fù)；（2）因為，而為第三象限角，所以為第三象限角，可得為負(fù)，（3）因為，而為第四象限角，所以為第四象限角，可得為負(fù)；（4）因為，而為第一象限角，所以為第一象限角，所以為正，（5）因為，而為第三象限角，所以為第三象限角，所以為負(fù)，（6）因為，而為第二象限角，所以為第二象限角，所以為負(fù)．32．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）確定下列三角函數(shù)值的符號：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】先判斷角的象限，再結(jié)合誘導(dǎo)公式.【詳解】（1）（2）（3）（4），所以該角在第二象限，33.（2023春·貴州畢節(jié)·高一?？计谥校┤簦?，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【詳解】由，，得，，所以是第四象限角.故選:D.34．（2023下·四川南充·高一四川省南充高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)所給條件得到、，，即可判斷.【詳解】因為，即，又，所以，即，所以，所以角的終邊在第三象限.故選：C35．（2023上·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知角終邊上有一點，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)所在象限可判斷點P所在象限，然后根據(jù)對稱性可得.【詳解】因為是第二象限角，所以，所以點P在第四象限，即角為第四象限角，所以為第一象限角，所以為第三象限角.故選：C36.點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】C【解析】，，所以點位于第三象限.故選：C37．（2023上·北京海淀·高三統(tǒng)考期中）“”是“為第一或第三象限角”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系化簡，根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號，結(jié)合充分條件、必要條件即可得解.【詳解】因為時，則，所以為第一或第三象限角，反之，當(dāng)為第一或第三象限角時，，所以，綜上，“”是“為第一或第三象限角”的充分必要條件，故選：C38.（2023·全國·高一專題練習(xí)）所有可能取值的集合為．【答案】【詳解】解：因為，由已知可得角的終邊不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)角的終邊在第一象限，則原式，當(dāng)角的終邊在第二象限，則原式，當(dāng)角的終邊在第三象限，則原式，當(dāng)角的終邊在第四象限，則原式，故所有可能取值的集合為，故答案為：39.（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則點P所在象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】因為1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角，所以，所以點P所在象限為第四象限.故選：D.考點五公式一的簡單應(yīng)用40．（2023上·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）的值為.【答案】【分析】利用三角的誘導(dǎo)公式求解.【詳解】，故答案為:.41．（2023下·廣東深圳·高一校考階段練習(xí)）．【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡可得出所求值.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得.故答案為：.42．（2024·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）