1.1.3集合的交與并課件高一上學期數(shù)學

第1章集合與邏輯集合的交與并湘教版

數(shù)學

必修第一

冊課標要求1.理解兩個集合的交集與并集的含義.2.會求兩個集合的交集與并集.3.能使用Venn圖或數(shù)軸表達集合之間的運算,體會圖形對理解抽象概念的作用.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎落實·必備知識一遍過知識點一兩個集合的交既屬于A又屬于B的元素{x|x∈A且x∈B}名師點睛1.對交集概念的理解(1)對于“A∩B={x|x∈A且x∈B}”,包含以下兩層意思:①A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素;②A與B的公共元素都屬于A∩B,這就是文字定義中“所有”二字的含義,如A={1,2,3},B={2,3,4},則A∩B={2,3},而不是{2}或{3}.(2)當A=B時,A∩B=A和A∩B=B同時成立.2.求兩集合交集的注意點(1)求兩集合的交集時,首先要化簡集合,使集合元素的性質特征盡量明顯化,然后根據(jù)交集的含義寫出結果.(2)在求與不等式有關的集合的交集運算時,數(shù)軸分析法直觀清晰,因此應重點考慮.過關自診1.已知集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},則M∩N等于(

)A.{0} B.{1}C.{0,1,2} D.{0,1}D解析

按照交集的定義求解即可.M∩N={x|-2≤x<2}∩{0,1,2}={0,1}.2.兩個非空集合的交集可能是空集嗎?提示

兩個非空集合的交集可能是空集,即A與B無公共元素時,A與B的交集仍然存在,只不過這時A∩B=?.反之,若A∩B=?,則A,B這兩個集合可能至少有一個為空集,也可能這兩個集合都是非空的,如A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},此時A∩B=?.知識點二兩個集合的并集合A,B中的元素放在一起A∪BA并B{x|x∈A或x∈B}名師點睛對并集的理解(1)A∪B仍是一個集合,A∪B由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成.(2)并集符號語言中的“或”與生活中的“或”字含義有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”連接的并列成分之間不一定是互斥的,“x∈A或x∈B”包括下列三種情況:①x∈A,且x?B;②x?A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.(3)對概念中的“所有”的理解,不能認為A∪B是由A的所有元素和B的所有元素組成的集合,即簡單拼湊,還要注意滿足集合中元素的互異性,相同的元素(即A與B的公共元素)只能算作并集中的一個元素.例如,A={1,2,4},B={1,4,5,7},A∪B={1,2,4,5,7},而不能寫成A∪B={1,2,4,1,4,5,7}.過關自診1.設集合A={1,2},B={2,3},則A∪B等于(

)A.{1,2,2,3} B.{2}C.{1,2,3} D.?C2.(1)集合A∪B中的元素個數(shù)如何確定?提示

①當兩個集合無公共元素時,A∪B的元素個數(shù)為這兩個集合元素個數(shù)之和.②當兩個集合有公共元素時,根據(jù)集合元素的互異性,同時屬于A和B的公共元素,在并集中只列舉一次,所以A∪B的元素個數(shù)為兩個集合元素個數(shù)之和減去公共元素的個數(shù).(2)A∩B與A∪B是什么關系?提示

(A∩B)?(A∪B).當且僅當A=B時,A∩B=A∪B;當且僅當A≠B時,(A∩B)?(A∪B).知識點三交集與并集的運算性質交集的運算性質并集的運算性質A∩B

B∩A

A∪B

B∪A

A∩A=

A∪A=

A∩?=?∩A=

A∪?=?∪A=

如果A?B,則A∩B=

,反之也成立如果A?B,則A∪B=

,反之也成立

==AA

?AAB過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若A∩B=?,則A=?或B=?.(

)(2)A∪B=?,則A=B=?.(

)2.若集合A={x|x>0},B={x|1<x<3},則A∪B等于

.

×√{x|x>0}解析

∵A?B,∴A∪B=A={x|x>0}.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一兩個集合的交集運算【例1】

設A={x|x2-7x+6=0},B={x|4<x<9,x∈N},求A∩B.解

A={1,6},B={5,6,7,8},用Venn圖表示集合A,B,如圖所示,依據(jù)交集的定義,觀察可得A∩B={6}.規(guī)律方法

求兩個集合的交集的解題策略求兩個集合的交集時,首先要識別所給集合,其次要簡化集合,即明確集合中的元素,使集合中的元素明朗化,最后再依據(jù)交集的定義寫出結果.有時要借助于Venn圖或數(shù)軸寫出交集.變式訓練1已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a}.(1)若A∩B=?,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若A∩B={x|3<x<4},求實數(shù)a的值.解

(1)有兩類情況,一類是B≠?,即a>0,①B在A的左邊,②B在A的右邊,如圖.B或B'位置均使A∩B=?成立.由于2?A,4?A,故當3a=2或a=4時,A∩B=?仍成立.(2)因為A={x|2<x<4},A∩B={x|3<x<4},如下圖.集合B若要符合題意,顯然要a=3,此時,B={x|3<x<9},所以a=3.探究點二兩個集合的并集運算【例2】

設集合A={x|x+1>0},B={x|-2<x<2},求A∪B.解

A={x|x>-1},在數(shù)軸上分別表示集合A,B,如圖所示,由數(shù)軸可知A∪B={x|x>-2}.變式探究本例條件不變,如何求A∩B?(用區(qū)間表示)解

A∩B=(-1,2).

規(guī)律方法

求兩個集合的并集時,若用描述法給出的集合,要先明確集合中的元素是什么,有時直接觀察可寫出并集,有時則需借助Venn圖或數(shù)軸寫出并集;若用列舉法給出集合,則依據(jù)并集的定義,可直接觀察或借助于Venn圖寫出并集.探究點三集合運算性質的運用【例3】

設A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范圍;(2)若A∪B=B,求a的值.解

由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B?A,B=?,{0},{2},{0,2}.當B=?時,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;綜上所述,得a的取值范圍是{a|a=1或a≤0}.(2)∵A∪B=B,∴A?B.∵A={0,2},而B中方程至多有兩個根,∴A=B,由(1)知a=1.規(guī)律方法

利用交、并集運算求參數(shù)的思路(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的問題,可利用集合的運算性質,轉化為相關集合之間的關系求解,要注意空集的特殊性.(2)將集合中的運算關系轉化為兩個集合之間的關系.若集合中的元素能一一列舉,則可用觀察法得到不同集合中元素之間的關系,這時要注意集合中元素的互異性;與不等式有關的集合,則可利用數(shù)軸得到不同集合之間的關系.變式訓練2[2024甘肅永昌第一高級中學?？计谥衇已知集合M={x|2≤x≤4},N={x|2+m≤x≤1-2m}.(1)若M?N,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若M∩N=?,求實數(shù)m的取值范圍.探究點四交集、并集、補集的綜合運算【例4】

已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3<x≤3},求?UA,A∩B,?U(A∩B),(?UA)∩B.解

把全集U和集合A,B在數(shù)軸上表示(如圖所示),由圖可知?UA={x|x≤-2,或3≤x≤4},A∩B={x|-2<x<3},?U(A∩B)={x|x≤-2,或3≤x≤4},(?UA)∩B={x|-3<x≤-2,或x=3}.規(guī)律方法

集合運算的解題技巧(1)對于無限集,常借助于數(shù)軸,先把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上,再根據(jù)交、并、補的定義求解,這樣處理比較形象直觀,解答過程中注意端點的“取”與“舍”.(2)對于有限集,應先把集合中的元素一一列舉出來,再結合交、并、補集的定義來求解,另外針對此類問題,在解答過程中也常常借助于Venn圖來求解,這樣處理起來,相對來說比較直觀、形象,且解答時不易出錯.變式訓練3已知集合U={x|1≤x≤7},A={x|2≤x≤5},B={x|3≤x≤7}.求:(1)A∩B;(2)(?UA)∪B;(3)A∩(?UB).解

(1)由A={x|2≤x≤5},B={x|3≤x≤7},可得A∩B={x|3≤x≤5}.(2)由U={x|1≤x≤7},A={x|2≤x≤5},故?UA={x|1≤x<2或5<x≤7},所以(?UA)∪B={x|1≤x<2或3≤x≤7}.(3)由U={x|1≤x≤7},B={x|3≤x≤7},故?UB={x|1≤x<3},所以A∩(?UB)={x|2≤x<3}.學以致用·隨堂檢測促達標A級必備知識基礎練12345678910111213141516171.(多選題)若集合A={x|-2<x<1},B={x|0<x<2},則A∩B=(

)A.(0,1) B.{x|-2<x<1}C.(-2,1) D.{x|0<x<1}AD解析

在數(shù)軸上分別表示出集合A,B,如圖所示,由數(shù)軸可知,A∩B={x|0<x<1}=(0,1).12345678910111213141516172.(多選題)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3,或4<x<6},集合B={x|2≤x<5},下列集合運算正確的是(

)A.?UA={x|x<1,或3<x<4,或x>6}B.?UB={x|x<2,或x≥5}C.A∩?UB={x|1≤x<2,或5≤x<6}D.(?UA)∪B={x|x<1,或2<x<5,或x>6}BC1234567891011121314151617解析

因為全集U=R,集合A={x|1≤x≤3,或4<x<6},所以?UA={x|x<1,或3<x≤4,或x≥6},故A錯誤;因為全集U=R,集合B={x|2≤x<5},所以?UB={x|x<2,或x≥5},故B正確;因為集合A={x|1≤x≤3,或4<x<6},?UB={x|x<2,或x≥5},所以A∩(?UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6},故C正確;因為?UA={x|x<1,或3<x≤4,或x≥6},B={x|2≤x<5},所以(?UA)∪B={x|x<1,或2≤x<5,或x≥6},故D錯誤.12345678910111213141516173.設集合A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},則實數(shù)m等于(

)A.-1 B.1

C.0 D.2A解析

由于

A∪B={-1,0,2},則-1∈A或-1∈B.因為A={0},所以-1?A.所以必有-1∈B.又B={2,m},則m=-1.12345678910111213141516174.已知集合A={x|y=2x-1},集合B={y|y=x2,x∈R},則集合A∩B=(

)A.(1,1) B.{(1,1)}C.{1} D.[0,+∞)D解析

∵集合A={x|y=2x-1},∴A=R.∵集合B={y|y=x2},∴集合B=[0,+∞),∴A∩B=[0,+∞).12345678910111213141516175.(多選題)[2024甘肅武威第一中學高一校考階段練習]已知全集U,集合A,B如圖所示,則圖中的陰影部分表示的集合可以為(

)A.(?UA)∩B B.?U(A∩B)C.?B(A∩B) D.A∩?UBAC1234567891011121314151617解析

如圖,對于A,?UA=③+④,則(?UA)∩B=③,故A正確;對于B,A∩B=②,則?U(A∩B)=①+③+④,故B錯誤;對于C,A∩B=②,則?B(A∩B)=③,故C正確;對于D,?UB=①+④,則A∩?UB=①,故D錯誤.故選AC.12345678910111213141516176.(多選題)已知全集U=Z,集合A={x∈Z|2x+1≥0},B={-1,0,1,2},則(

)A.A∩B={0,1,2}B.A∪B={x|x≥0}C.(?UA)∩B={-1}D.A∩B的真子集個數(shù)是7ACD解析

因為集合A={x∈Z|2x+1≥0}={x∈Z∣x≥-

},B={-1,0,1,2},所以A∩B={0,1,2},故A正確;A∪B={x∈Z|x≥-1},故B錯誤;因為?UA={x∈Z∣x<-

},所以(?UA)∩B={-1},故C正確;因為A∩B={0,1,2},所以A∩B的真子集個數(shù)為23-1=7,故D正確.故選ACD.12345678910111213141516177.已知集合A={x|x≥5},集合B={x|x≤m},且A∩B={x|5≤x≤6},則實數(shù)m等于

.

6解析

在數(shù)軸上分別表示出集合A,B,如圖所示,由于A∩B={x|5≤x≤6},則m=6.12345678910111213141516178.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},則2a-b=

.

-412345678910111213141516179.已知集合A={x|3-x>0且3x+6>0},集合B={m|3>2m-1},求A∩B,A∪B.則A={x|-2<x<3},解不等式3>2m-1,得m<2,則B={m|m<2},在數(shù)軸上分別表示出集合A,B,如圖所示,則A∩B={x|-2<x<2},A∪B={x|x<3}.1234567891011121314151617B級關鍵能力提升練10.已知集合A={x|2x-1≤3},集合B={y|y=x2},則A∩B=(

)A.{x|x≤1} B.{x|0≤x≤1}C.{x|x≤2} D.{x|0≤x≤2}D解析

由題得A={x|x≤2},B={y|y≥0},所以A∩B={x|0≤x≤2}.123456789101112131415161711.設集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},則(A∩C)∪B=(

)A.{2} B.{2,3}C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}D解析

∵A∩C={1,2},∴(A∩C)∪B={1,2,3,4}.

123456789101112131415161712.(多選題)已知集合P={x|x=m2+3m+1},T={x|x=n2-3n+1},下列判斷正確的是(

)C.P∩T=?D.P=TABD123456789101112131415161713.[2024甘肅白銀高一?？计谀已知a∈R,集合A={x|x>a},B={x|-1<x<2},A∪?RB=R,則a的取值范圍是

.

(-∞,-1]解析

因為B={x|-1<x<2},所以?RB={x|x≤-1或x≥2}.又因為A∪?RB=R,A={x|x>a},觀察?RB與A在數(shù)軸上表示的范圍,如圖所示,所以當a≤-1時,A∪?RB=R.123456789101112131415161714.若集合P={x|3<x≤22},非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5},則能使Q?(P∩Q)成立的所有實數(shù)a的取值集合為

.

{a|6<a≤9}1234567891011121314151617(1)求A∩B;(2)若C≠?,且C?(A∩B),求實數(shù)a的取值范圍.1234567891011121314151617123456789101112131415161716.設U=R,集合A={x|x2-x-2=0},