北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列1.6三角形的證明章末題型過關(guān)卷(北師大版)同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第1章三角形的證明章末題型過關(guān)卷【北師大版】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022秋·北京西城·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列條件中，能判定△ABC是直角三角形的是（

）A．a(chǎn)2=(c?b)(c+b) B．a(chǎn)=1，b=2C．∠A=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52．（3分）（2022春·重慶合川·八年級期末）如圖，等邊△ABC中，BD是AC邊上的高，DE⊥AB交AB于點E，若BE=3，則△ABC的邊長為（

）A．3 B．4 C．5 D．無法確定3．（3分）（2022春·吉林長春·九年級吉林省第二實驗學(xué)校期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以A、C為圓心，大于AC長的一半為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，連接MN，與AC、BC分別相交于點D、E，連接AE，當AB=3，AC=5時，△ABE周長為（

A．6 B．7 C．8 D．94．（3分）（2022春·吉林長春·七年級吉林省第二實驗學(xué)校期末）如圖，CA⊥AB，垂足為點A，AB＝12米，AC＝6米，射線BM⊥AB，垂足為點B，動點E從A點出發(fā)以2米/秒沿射線AN運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED＝CB，當點E經(jīng)過t秒時，由點D、E、B組成的三角形與△BCA全等．請問t有幾種情況？（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種5．（3分）（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在一塊地中，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，則這塊地的面積為（

）A．24平方米 B．26平方米 C．28平方米 D．30平方米6．（3分）（2022春·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校校考期末）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上AD⊥BC于點D，則AD的長為（

）A．5 B．3 C．5 D．27．（3分）（2022春·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，則下列結(jié)論：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP.其中結(jié)論正確的是（A．①②③ B．①② C．① D．①③8．（3分）（2022春·廣東惠州·八年級期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，動點P在斜邊AB所在的直線m上運動，連結(jié)PC，那點P在直線m上運動時，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點P的位置有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個9．（3分）（2022秋·江蘇無錫·九年級階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點A（2，2），點B（2，-3）．在坐標軸上找一點C，使得△ABC為直角三角形，這樣的點C共有（

）個．A．5 B．6 C．7 D．810．（3分）（2022春·全國·八年級期末）如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，∠AOB=30°，則△PMNA．4cm B．5cm C．8cm二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD是△ABC的中線，若AB=13，BC=10，AD=12，則AC=___________．12．（3分）（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADB=90°，點E是BD上一點，若AB=CE，∠BCD=2∠DCE=45°，則13．（3分）（2022春·福建福州·八年級?？计谀┤鐖D，在等腰△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，且∠ADB=60°，若AD=5，CD=4，則BC的長是______．14．（3分）（2022春·北京·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，則15．（3分）（2022春·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線L為線段AB的垂直平分線，交AB于M，在直線L上取一點C1，使得MC1＝MB，得到第一個三角形ABC1；在射線MC1上取一點C2，使得C1C2＝BC1；得到第二個三角形△ABC216．（3分）（2022·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，BE、CE分別平分∠ABC和∠ACD且∠BEC=30度，則∠EAC=______度．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022秋·重慶南川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形的邊長都為1，四邊形ABCD的頂點都在小正方形的頂點上．(1)求四邊形ABCD的面積；(2)求證：∠ADC=90°．18．（6分）（2022春·廣東惠州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求證：∠AFC＝2∠ADC.19．（8分）（2022春·湖南株洲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M．(1)若∠ABC=70°，求∠BAC的大小．(2)連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長是14①求BC的長；②在直線MN上是否存在點P，使PB+CP的值最小，若存在，標出點P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，說明理由．20．（8分）（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BM是Rt△ABC的一個外角的平分線，點D在CB的延長線上，連接DM，AM，AD，且(1)若BC=3，求AB的長；(2)求證：△AMD是等邊三角形；(3)求BM，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系．21．（8分）（2022秋·山東東營·七年級校考期末）如圖，△ABC是邊長是12cm的等邊三角形，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別沿AB，BC方向勻速移動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t(1)當點Q到達點C時，PQ與AB的位置關(guān)系如何？請說明理由.(2)在點P與點Q的運動過程中，△BPQ是否能成為等邊三角形？若能，請求出t(3)則當t為何值時，△BPQ22．（8分）（2022春·遼寧大連·八年級期末）△ABC是等邊三角形，點D是AC上一點，點E在BC的延長線上，且AD=CE．(1)如圖1，當點D是AC的中點時，求證：DB=DE；(2)如圖2，當點D是AC上任意一點時，取BD的中點F，連接AF,AE．求∠FAE的度數(shù)23．（8分）（2022春·福建福州·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=3第1章三角形的證明章末題型過關(guān)卷【北師大版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022秋·北京西城·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列條件中，能判定△ABC是直角三角形的是（

）A．a(chǎn)2=(c?b)(c+b) B．a(chǎn)=1，b=2C．∠A=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:5【答案】D【分析】求出a2＋b2＝c2，根據(jù)勾股定理即可判斷選項A；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷選項B；根據(jù)直角三角形的判定即可判斷選項C；求出最大角∠C的度數(shù)，即可判斷選項D．【詳解】解：A、根據(jù)選項a2=(c?b)(c+b)，化簡得a2＝c2?b2，即a2＋b2＝c∴△ABC是直角三角形，故本選項符合題意；B、根據(jù)選項中a=1，b=2，c=3，可得a2∴12＋22≠32，即a2∴△ABC不是直角三角形，故本選項不符合題意；C、根據(jù)選項∠A＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本選項不符合題意；D、根據(jù)選項中∠A：∠B：∠C＝3：4：5，設(shè)∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x，則由三角形內(nèi)角和定理∠A＋∠B＋∠C＝180°得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴最大角∠C＝5×15°＝75°＜90°，∴△ABC不是直角三角形，故本選項不符合題意；【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理，能熟記勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個三角形是直角三角形．2．（3分）（2022春·重慶合川·八年級期末）如圖，等邊△ABC中，BD是AC邊上的高，DE⊥AB交AB于點E，若BE=3，則△ABC的邊長為（

）A．3 B．4 C．5 D．無法確定【答案】B【分析】設(shè)AE=x，則AB=x+3，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得AD=12AB=【詳解】解：設(shè)AE=x，∵BE=3，∴AB=AE+BE=x+3，∵△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，∴∠A=60°,∠ABD=30°,∠ADB=90°，∴AD=1∵DE⊥AB，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE，即x+32解得x=1，則AB=x+3=1+3=4，即△ABC的邊長為4，【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（3分）（2022春·吉林長春·九年級吉林省第二實驗學(xué)校期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以A、C為圓心，大于AC長的一半為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，連接MN，與AC、BC分別相交于點D、E，連接AE，當AB=3，AC=5時，△ABE周長為（

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理計算BC=AC2?AB2=52?3【詳解】因為∠B=90°，AB=3，AC=5，所以BC=A根據(jù)題意，得MN是AC的垂直平分線，所以AE=EC，因為△ABE周長為AB+AE+BE=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7，故選B．【點睛】本題考查了勾股定理，線段的垂直平分線性質(zhì)及其基本作圖，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（3分）（2022春·吉林長春·七年級吉林省第二實驗學(xué)校期末）如圖，CA⊥AB，垂足為點A，AB＝12米，AC＝6米，射線BM⊥AB，垂足為點B，動點E從A點出發(fā)以2米/秒沿射線AN運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED＝CB，當點E經(jīng)過t秒時，由點D、E、B組成的三角形與△BCA全等．請問t有幾種情況？（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】D【分析】首先分兩種情況：當E在線段AB上和當E在BN上，然后再分成兩種情況：AC＝BE和AB＝EB，分別進行計算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：①當E在線段AB上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12﹣6＝6米，∴點E的運動時間為6÷2＝3（秒）；②當E在BN上，AC＝BE時，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12+6＝18米，∴點E的運動時間為18÷2＝9（秒）；③當E在線段AB上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE，這時E在A點未動，因此時間為0秒；④當E在BN上，AB＝EB時，△ACB≌△BDE，∵AB＝12米，∴BE＝12米，∴AE＝12+12＝24米，∴點E的運動時間為24÷2＝12（秒），綜上所述t的值為：0，3，9，12．共4中情況．故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，解本題的關(guān)鍵在找到所有符合題意的情況．5．（3分）（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在一塊地中，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，則這塊地的面積為（

）A．24平方米 B．26平方米 C．28平方米 D．30平方米【答案】D【分析】連接AC，利用勾股定理及其逆定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面積減去△ACD的面積就是所求的面積．【詳解】解：連接AC，∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，又∵AC＞0，∴AC=5，又∵BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=52+122=169，又∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴S四邊形ABCD=S△ABC-S△ADC=12×5×12?1故選：D．【點睛】本題考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．6．（3分）（2022春·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上AD⊥BC于點D，則AD的長為（

）A．5 B．3 C．5 D．2【答案】D【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三邊長，從而有AB2+AC2=BC2，得∠BAC=90°，再根據(jù)SΔ【詳解】解：由勾股定理得：AB=∵AB2+AC2=25，BC2=25，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∴S∴5×2∴AD=2，故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的的逆應(yīng)用，通過勾股定理計算出三邊長度，判斷出∠BAC=90°是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2022春·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，則下列結(jié)論：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP.其中結(jié)論正確的是（A．①②③ B．①② C．① D．①③【答案】D【分析】根據(jù)已知，易證△ARP≌△ASP，所以AS=AR；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)知，∠1=∠2，∠3=∠2，所以∠1=∠3，內(nèi)錯角相等，所以QP∥AR；根據(jù)①②的結(jié)論，易證【詳解】解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，∴點P在∠A的平分線上；AQ=PQ，①正確，∵點P在∠BAC的平分線上，∴∠2=∠3，∵PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，∴∠ARP=∠ASP又∵AP=AP，∴△ARP≌△ASPAAS∴AS=AR．②正確，∵點P在∠A的平分線上；∴∠2=∠3．又∵AQ=PQ，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴QP∥③正確，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C．又∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，∴∠BRP=∠CSP．又∵BP=CP，∴△BRP≌△QSPAAS【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（3分）（2022春·廣東惠州·八年級期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，動點P在斜邊AB所在的直線m上運動，連結(jié)PC，那點P在直線m上運動時，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點P的位置有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的定義利用作圖的方法找出符合條件的點即可．【詳解】解：如圖所示：以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交直線m于點P1，P3；以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交直線m于點P4，P2；以C為圓心，BC為半徑畫弧，交直線m于點P5與P1兩點重合．因此出現(xiàn)等腰三角形的點P的位置有4個．【點睛】此題考查等腰三角形的定義和判定，利用作圖找等腰三角形是一種常見的方法．9．（3分）（2022秋·江蘇無錫·九年級階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點A（2，2），點B（2，-3）．在坐標軸上找一點C，使得△ABC為直角三角形，這樣的點C共有（

）個．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】試題解析：（1）∠BAP=90°易得P1（0，2）；（2）∠ABP=90°易得P2（0，-3）；（3）∠BAP=90°；（如圖）以AB為直徑畫⊙O′與x軸，y軸分別交于P3、P4、P5、P6，AB與x軸交于C，過點O′作O′D⊥y軸，在Rt△OO′p3中易知O′D=2，O′p3=52，則P3D=25OP3=P3D-OD=32-12=1，則P3（0，1）易知P3D=P則P5（0，-2），連接O′P4，O′P6，易求出P4（2-6，0）P6（2+6，0）綜上所述P1（0，2），P2（0，-3），P3（0，1），P4（2-6，0），P5（0，-2），P6（2+6，0）．故選B.考點：1.勾股定理；2.坐標與圖形性質(zhì)．10．（3分）（2022春·全國·八年級期末）如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，OP=5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，∠AOB=30°，則△PMNA．4cm B．5cm C．8cm【答案】B【分析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN，求出∠COD=60°，證明△COD是等邊三角形，可得CD=OC=OD=OP=5cm，然后根據(jù)△PMN周長的最小值為CD【詳解】解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN．∵點P關(guān)于OA的對稱點為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點P關(guān)于OB的對稱點為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=OP=5cm∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5cm【點睛】此題考查了軸對稱最短路線問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD是△ABC的中線，若AB=13，BC=10，AD=12，則AC=___________．【答案】13【分析】根據(jù)AD是△ABC的中線，BC=10，得到BD=CD=5，從而得到BD2+AD2=AB2，得到∠ADC=∠ADB=90°，利用SAS證明△【詳解】因為AD是△ABC的中線，BC=10，所以BD=CD=5．因為BD所以∠ADC=∠ADB=90°，所以AD=AD∠ADC=∠ADB所以△ADB≌△ADC，所以AB=AC=13，故答案為：13．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形的中線對邊中點與對邊頂點的連線，熟練掌握勾股定理的逆定理，靈活運用三角形全等判定定理是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADB=90°，點E是BD上一點，若AB=CE，∠BCD=2∠DCE=45°，則【答案】112.5°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，可以得到∠ADB=∠EBC=90°，∠BCE=12∠BCD，再根據(jù)HL可以判定Rt△ADB≌Rt【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC=90°，∵∠BCD=2∠DCE=45°，∴∠BCD=∠BDC=45°，∠BCE=22.5°，∴BC=BD，在Rt△ADB和Rt△EBC中，∴Rt△ADB≌∴∠ABD=∠ECB=22.5°，∴∠ABC=∠ABD+∠EBC=112.5°，故答案為：112.5°．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，等腰三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．13．（3分）（2022春·福建福州·八年級?？计谀┤鐖D，在等腰△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，且∠ADB=60°，若AD=5，CD=4，則BC的長是______．【答案】11【分析】過A點作AE⊥BC于E，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過A點作AE⊥BC于E，∵∠ADB=60°，∴∠DAE=30°，∵AD=5，∴DE=1∴CE=DE+CD=2.5+3=5.5，在等腰△ABC中，AB=AC，∴BC=2CE=11．故答案為：11．【點睛】此題考查了含30度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握含30度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．14．（3分）（2022春·北京·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，則【答案】2【分析】利用角平分線以及平行線的性質(zhì)，得到∠ABG=∠EGB和∠DCF=∠DFC，利用等邊對等角得到BE=EG，CD=DF，最后通過邊與邊之間的關(guān)系即可求解．【詳解】解：如下圖所示：∵BG、CF分別是∠ABC與∠ACB的角平分線∴∠ABG=∠CBG，∠BCF=∠DCF∵ED∴∠EGB=∠CBG，∠DFC=∠BCF∴∠ABG=∠EGB，∠DCF=∠DFC∴BE=EG=3，CD=DF=4∴FG=EG+DF?ED=2故答案為：2．【點睛】本題主要是考查了等角對等邊以及角平分線和平行的性質(zhì)，熟練根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)，得到相等角，這是解決該題的關(guān)鍵．15．（3分）（2022春·黑龍江齊齊哈爾·八年級校考階段練習(xí)）如圖，直線L為線段AB的垂直平分線，交AB于M，在直線L上取一點C1，使得MC1＝MB，得到第一個三角形ABC1；在射線MC1上取一點C2，使得C1C2＝BC1；得到第二個三角形△ABC2【答案】90°【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理進行解答即可．【詳解】∵直線L為線段AB的垂直平分線，∠AMC1=∠BMC∵C1C2∴C1C2＝B∴∠C1C∴∠AC同理，∴∠AC3B＝12∠AC2B∴∠AC4B＝12∠AC3B＝1∴∠AC5B＝12∠AC4B＝12×…∴∠AC2022B＝122021故答案為：90°【點睛】本題考查圖形類規(guī)律探究，涉及線段的垂直平分線，等腰三角形、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，得出角之間的變化規(guī)律是正確解答的前提．16．（3分）（2022·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，BE、CE分別平分∠ABC和∠ACD且∠BEC=30度，則∠EAC=______度．【答案】60【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，根據(jù)角平分線的定義可得∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，然后整理得到∠BEC=【詳解】解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECD=1∴∠BEC+∠EBC=12∴∠BEC=12∵∠BEC=30°，∴∠BAC=60°，過點E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延長線于H，∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACD，∴EF=EH，EF=EG，∴EF=EG=EH，∴AE平分∠CAH，∴∠EAC=12（180°?∠BAC）=12（180°故答案為：60°．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022秋·重慶南川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形的邊長都為1，四邊形ABCD的頂點都在小正方形的頂點上．(1)求四邊形ABCD的面積；(2)求證：∠ADC=90°．【答案】(1)12.5(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意和圖形，可知四邊形ABCD的面積=△ADC的面積+△ABC的面積，然后代入數(shù)據(jù)計算即可；（2）根據(jù)勾股定理可以求得AD、DC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解．(1)解：S=25?1?4?4.5?3=12.5；故四邊形ABCD的面積是12.5；(2)解：在△ADC中，如圖：由勾股定理，則∵AD2=5，D∴AC∴△ADC是直角三角形∴∠ADC＝90°；【點睛】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．18．（6分）（2022春·廣東惠州·八年級校考階段練習(xí)）已知：如圖，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求證：∠AFC＝2∠ADC.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)HL證明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根據(jù)外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】證明：在Rt△ABD與Rt△AED中，{AD=AD∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴∠BAD＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∴∠EAD＝∠ADC，∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，∴∠AFC＝2∠ADC.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2022春·湖南株洲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M．(1)若∠ABC=70°，求∠BAC的大?。?2)連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長是14①求BC的長；②在直線MN上是否存在點P，使PB+CP的值最小，若存在，標出點P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，說明理由．【答案】(1)40°(2)①BC=6cm，②當P點和M點重合時，PB+CP【分析】（1）根據(jù)等邊對等角以及三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)有AM=BM，即根據(jù)△MBC的周長可以求出AC+BC，問題得解；②根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知當P與M點重合時，PB+CP有最小值，最小值為AC，問題得解．【詳解】（1）∵AB=AC，∠ABC=70°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=40°；（2）①∵MN垂直平分線段AB，∴AM=BM，∵△MBC的周長是14cm∴MC+BM+BC=14，∴MC+AM+BC=14，AC+BC=14，∵AB=AC，AB=8cm∴BC=14?AC=14?AB=14?8=6cm②存在，即P與M點重合時，PB+CP有最小值，即：P與M點重合時，∵MN垂直平分線段AB，∴AP=BP，∴PB+CP=PA+CP，∵點P與M點重合，∴A、P、C三點共線，∴PB+CP=PA+CP=AC，∴根據(jù)兩點直線線段最短，可知此時PB+CP有最小值，最小值為AC，∵AB=8cm，AB=AC∴PB+CP最小值為8cm即：當P點和M點重合時，PB+CP最小且最小值為8cm．【點睛】本題考查已知等腰三角形性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，兩點之間線段最短以及三角形內(nèi)角和定理等知識，靈活運用垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（8分）（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BM是Rt△ABC的一個外角的平分線，點D在CB的延長線上，連接DM，AM，AD，且(1)若BC=3，求AB的長；(2)求證：△AMD是等邊三角形；(3)求BM，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)6；(2)見解析；(3)BM=2BC+BD．【分析】（1）利用含30°的直角三角形的性質(zhì)即可得到答案；（2）過點M作MN⊥BD，垂足為N，作MG⊥AB，垂足為G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得MN=MG與∠GMN=60°，再證明Rt△AMG≌Rt△DMN，∠AMG=∠DMN（3）延長BC至點Q，使得QC=BC，連接AQ，則QB=2BC，AQ=AB，然后判定△ABQ是等邊三角形，再證明△QAD≌△BAM，得QD=BM，從而得到結(jié)論：BM=2BC+BD．【詳解】（1）解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°∴∠ACB=30°在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3∴AB=2BC=6；（2）證明：如圖，過點M作MN⊥BD，垂足為N，作MG⊥AB，垂足為G，∵BM平分∠ABD，∠ABC=60°，∴MN=MG，∠ABM=∠MBD=60°，∴∠BMG=∠BMN=30°，∴∠GMN=60°，在Rt△AMG和RtAM=DMMG=MN∴Rt△AMG∴∠AMG=∠DMN，∴∠AMD=∠AMG+∠GMD=∠DMN+∠GMD=∠GMN=60°，∵AM=MD∴△AMD是等邊三角形；（3）解：延長BC至點Q，使得QC=BC，連接AQ，則QB=2BC，AQ=AB∵∠ABC=60°∴△ABQ是等邊三角形，∴∠BAQ=60°∵由（2）知：△AMD是等邊三角形，∴∠MAD=60°，AD=AM∴∠BAQ=∠MAD=60°∴∠BAQ+∠BAD=∠MAD+∠BAD即∠QAD=∠BAM在△QAD和△BAM中AQ=AB∠QAD=∠BAM∴△QAD≌△BAM(SAS∴QD=BM∵QD=QB+BD∴BM=2BC+BD．【點睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)、適當添加輔助線是解答此題的關(guān)鍵．21．（8分）（2022秋·山東東營·七年級校考期末）如圖，△ABC是邊長是12cm的等邊三角形，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別沿AB，BC方向勻速移動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t(1)當點Q到達點C時，PQ與AB的位置關(guān)系如何？請說明理由.(2)在點P與點Q的運動過程中，△BPQ是否能成為等邊三角形？若能，請求出t(3)則當t為何值時，△BPQ【答案】(1)PQ與AB垂直，見解析(2)能，4(3)t=2.4秒或t【分析】（1）根據(jù)題意求出AP的長度，則可知點P為AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）若△BPQ是等邊三角形，則BP（3）分兩種情況進行討論：當∠BQP=90°時；當（1）當點Q到達點C時，PQ與AB垂直，理由如下：∵AB=∴當點Q到達點C時，可得AP=6cm∴點P為AB的中點，∴PQ⊥（2）假設(shè)在點P與點Q的運動過程中，△BPQ∴BP=∴12-t=2t∴當t=4時，△（3）根據(jù)題意得AP=t，∴BP=12-當∠BQP∵∠PBQ∵∠BPQ∴BQ=12BP，即當∠BPQ=90°時，同理可得12-t∴當t=2.4秒或t=6秒，【點睛】本題考查了三角形綜合題，考查了含30°的直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，幾何動點問題，讀懂題意，根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程是解本題的關(guān)鍵．22．（8分）（2022春·遼寧大連·八年級期末）△ABC是等邊三角形，點D是AC上一點，點E在BC的延長線