（新教材）【人教A版】20版必修二622（數(shù)學(xué)）

6.2平面向量的運(yùn)算6.2.2向量的減法運(yùn)算1.相反向量定義：我們規(guī)定，與向量a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.性質(zhì)：(1)對(duì)于相反向量有：a+(-a)=0.(2)若a，b互為相反向量，則a=-b，a+b=0.(3)零向量的相反向量仍是零向量.【思考】有人說(shuō)：相反向量即方向相反的向量，定義中“長(zhǎng)度相等”是多余的，對(duì)嗎？提示：不對(duì)，相反向量要從“模長(zhǎng)”與“方向”兩個(gè)方面去理解，不僅是方向相反，還必須長(zhǎng)度相等.2.向量的減法(1)定義：a-b=a+(-b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.(2)作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=b，則

=a-b，如圖所示.(3)幾何意義：a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.【思考】(1)由向量減法的定義，你認(rèn)為向量的減法與加法有何聯(lián)系？提示：向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算.利用相反向量的定義，，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法.(2)由向量減法作圖方法，求差的兩個(gè)向量的起點(diǎn)是怎樣的？差向量的方向如何？提示：求差的兩個(gè)向量是共起點(diǎn)的，差向量連接兩向量終點(diǎn)，方向指向被減向量.【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)向量a-b當(dāng)它們起點(diǎn)重合時(shí)可以看作從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量. (

)(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量. (

)(3)向量與向量是相反向量. (

)提示：(1)√.由向量減法法則知正確.(2)×.由平行向量與相反向量的定義可知，相反向量必為平行向量，平行向量不一定是相反向量.(3)√.向量與向量長(zhǎng)度相等，方向相反.2.在△ABC中，若=a，=b，則等于 (

)

A.a B.a+b

C.b-a D.a-b【解析】選D.=a-b.3.設(shè)b是a的相反向量，則下列說(shuō)法正確的有________.(填序號(hào))

①a與b的長(zhǎng)度必相等；②a∥b；③a與b一定不相等；④a是b的相反向量.【解析】因?yàn)?的相反向量是0，故③不正確.其他均正確.答案：①②④類(lèi)型一向量的減法【典例】1.(2019·汕頭高一檢測(cè))在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)，則等于 (

)

2.如圖，已知向量a，b，c，求作a-b-c.【思維·引】1.結(jié)合圖形，利用向量減法的三角形法則求解.2.先作a-b，再作(a-b)-c即可.【解析】1.選D.如圖所示，2.如圖，以A為起點(diǎn)分別作向量，使=a，

=b.連接CB，得向量，再以C為起點(diǎn)作向量，使=c.連接DB，得向量.則向量即為所求作的向量a-b-c.【內(nèi)化·悟】1.作向量減法時(shí)若所給向量不共起點(diǎn)，應(yīng)如何解決？提示：平移向量使它們共起點(diǎn).2.在本例2中能否先作向量b+c，再作a-(b+c)呢？提示：可以.【類(lèi)題·通】關(guān)于向量的減法(1)作兩向量的差的步驟(2)求兩個(gè)向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+(-b)即可.(3)向量減法的三角形法則對(duì)共線(xiàn)向量也適用.【習(xí)練·破】如圖所示，O是四邊形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a，b，c，d的方向(用箭頭表示)，使a+b=，c-d=，并畫(huà)出b-c和a+d.【解析】因?yàn)閍+b=，c-d=，所以a=，b=，c=，d=.如圖所示，作平行四邊形OBEC，平行四邊形ODFA.根據(jù)平行四邊形法則可得b-c=，a+d=.類(lèi)型二向量加減法運(yùn)算【典例】1.(2019·衡水高一檢測(cè))下列各式：其中結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是 (

)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)2.(2019·臨沂高一檢測(cè))設(shè)點(diǎn)M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線(xiàn)BC外，則||=世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(

)【思維·引】利用三角形法則或平行四邊形法則求解.【解析】1.選D.①=0；②

=0；③

=0；④=0.2.選C.由可知，垂直，故△ABC為直角三角形，||即斜邊BC的中線(xiàn)，所以||=2.【內(nèi)化·悟】平行四邊形ABCD中，||與||分別是指什么？若||=||，說(shuō)明該平行四邊形是什么圖形？提示：||與||分別是指兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，若||=||，說(shuō)明該平行四邊形是矩形.【類(lèi)題·通】1.向量減法運(yùn)算的常用方法2.向量加法與減法的幾何意義的聯(lián)系如圖所示，平行四邊形ABCD中，若=a，=b，則

=a+b，=a-b.【發(fā)散·拓】已知向量a，b，那么|a|-|b|與|a±b|及|a|+|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？提示：它們之間的關(guān)系為||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(1)當(dāng)a，b有一個(gè)為零向量時(shí)，不等式顯然成立.(2)當(dāng)a，b不共線(xiàn)時(shí)，作=a，=b，則a+b=，如圖(1)所示，根據(jù)三角形的性質(zhì)，有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可證||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.(3)當(dāng)a，b非零且共線(xiàn)時(shí)，①當(dāng)向量a與b同向時(shí)，作法如圖(2)所示，此時(shí)|a+b|=|a|+|b|.②當(dāng)向量a，b反向時(shí)，不妨設(shè)|a|>|b|，作法如圖(3)所示，此時(shí)|a+b|=|a|-|b|.綜上所述，得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.【延伸·練】若||=8，||=5，則||的取值范圍是________.

【解析】由及||=||=8，當(dāng)與同向時(shí)，|BC|max=13，當(dāng)與反向時(shí)，|BC|min=3，所以3≤||=|+|≤13，即||∈[3，13].答案：[3，13]【習(xí)練·破】化簡(jiǎn)下列各式：【解析】(1)方法一：原式=方法二：原式=(2)方法一：原式=方法二：原式=【加練·固】下列各式中不能化簡(jiǎn)為的是 (

)【解析】選D.選項(xiàng)A中，選項(xiàng)B中，選項(xiàng)C中，類(lèi)型三向量加減運(yùn)算幾何意義的應(yīng)用角度1利用已知向量表示未知向量【典例】如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點(diǎn)，且=a，=b，=c，試用向量a，b，c表示向量世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】注意相等向量，利用向量加減運(yùn)算的三角形法則求解.【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可知=c，由向量的減法可知：=b-a，由向量的加法可知

=b-a+c.【習(xí)練·破】本例中的條件“點(diǎn)B是該平行四邊形外一點(diǎn)”若換為“點(diǎn)B是該平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)”，其他條件不變，其結(jié)論又如何呢？【解析】如圖，因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，所以=c，=b-a，

=b-a+c.角度2求解或證明幾何問(wèn)題【典例】(2019·臨沂高一檢測(cè))已知非零向量a，b滿(mǎn)足|a|=+1，|b|=-1，且|a-b|=4，則|a+b|的值為_(kāi)_______. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【思維·引】作出圖形，利用向量加減法的幾何意義求解.【解析】如圖，=a，=b，則||=|a-b|.以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則||=|a+b|.由于(+1)2+(-1)2=42.故，所以△OAB是∠AOB為90°的直角三角形，從而OA⊥OB，所以?OACB是矩形.根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)相等有=4，即|a+b|=4.答案：4【內(nèi)化·悟】已知△ABC中，||=+1，||=-1，=4，我們能否判斷該幾何圖形的形狀？提示：能.是直角三角形.【類(lèi)題·通】利用向量加、減法求解或證明問(wèn)題的一般步驟(1)由題意作出相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，構(gòu)造有關(guān)向量.(2)利用三角形法則和平行四邊形法則，對(duì)向量的加、減法進(jìn)行運(yùn)算.(3)構(gòu)造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的邊、角關(guān)系解題.【習(xí)練·破】1.在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，則=________.

【解析】因?yàn)椤螪AB=60°，AB=AD，所以△ABD為等邊三角形.又因?yàn)閨|=2，所以O(shè)B=1.在Rt△AOB中，所以答案：22.如圖，在△ABC中，D，E分別為邊AC，BC上的任意一點(diǎn)，O為AE，BD的交點(diǎn)，已知=a，=b，=c，

=e，用a，b，c，e表示向量.【解析】在△OBE中，有=e-c，在△ABO中，

=e-c-a，在△ABD中，

=a+b，所以在△OAD中，

=e-c-a+a+b=e-c+b.【加練·固】如圖所示，已知=a，