樣本空間與事件

5.3概率

5.3.1

樣本空間與事件人教版高中數(shù)學(xué)B版必修二第五章統(tǒng)計與概率一二三一、現(xiàn)象的相關(guān)概念1.今天早上,烏云密布,燕子低飛,可知今天一定下雨,你覺得這種分析對嗎提示:不對.今天下雨是一種隨機(jī)現(xiàn)象,但考慮到烏云密布,燕子低飛,只能說今天下雨的可能性很大而已.2.填空.(1)隨機(jī)現(xiàn)象(或偶然現(xiàn)象):一定條件下,發(fā)生的結(jié)果事先不能確定的現(xiàn)象.(2)必然現(xiàn)象(或確定性現(xiàn)象):一定條件下,發(fā)生的結(jié)果事先能夠確定的現(xiàn)象.一二三3.隨機(jī)現(xiàn)象有什么特點(diǎn)提示:在相同的條件下多次觀察同一現(xiàn)象,每次觀察到的結(jié)果不一定相同,事先很難預(yù)料哪一種結(jié)果出現(xiàn),但隨機(jī)現(xiàn)象不是一種雜亂無章的現(xiàn)象,是有一定規(guī)律可循的.4.做一做:下列現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象的是()①當(dāng)x是實(shí)數(shù)時,x-|x|=2;②某班一次數(shù)學(xué)測試,及格率低于75%;③從分別標(biāo)有0,1,2,3,…,9這十個數(shù)字的紙團(tuán)中任取一個,取出的紙團(tuán)上的數(shù)是偶數(shù);④體育彩票某期的特等獎號碼.A.①②③ B.①③④C.②③④ D.①②④答案:C解析:由于方程x-|x|=2無解,故①不可能發(fā)生,不是隨機(jī)現(xiàn)象,由隨機(jī)現(xiàn)象的定義知②③④是隨機(jī)現(xiàn)象.一二三二、樣本點(diǎn)和樣本空間1.填空.(1)隨機(jī)試驗(yàn)(試驗(yàn)):在相同條件下,對隨機(jī)現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或?qū)嶒?yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)(簡稱為試驗(yàn)).(2)樣本點(diǎn):隨機(jī)試驗(yàn)中每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果,都稱為樣本點(diǎn).(3)樣本空間:由所有樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間.2.做一做:拋擲兩枚骰子,點(diǎn)數(shù)之和為8所含的樣本點(diǎn)有

個.

答案:5解析:所含的樣本點(diǎn)有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2).一二三三、隨機(jī)事件1.填空.(1)不可能事件、必然事件、隨機(jī)事件(2)事件:一般地,不可能事件、隨機(jī)事件、必然事件都可簡稱為事件,通常用大寫英文字母A,B,C,…來表示事件.特別地,只含有一個樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.一二三2.從集合的角度,你是如何理解隨機(jī)事件的舉例說明.提示:我們可以把隨機(jī)事件理解為樣本空間的子集.如擲一枚骰子觀察擲出點(diǎn)數(shù)的試驗(yàn)中,樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6}.若設(shè)A={2,4,6},則A?Ω,A是Ω的一個子集,事件A表示“擲出偶數(shù)點(diǎn)”這一結(jié)果.若設(shè)B={5,6},則B?Ω,B也是Ω的一個子集,事件B表示“擲出點(diǎn)數(shù)大于4”.3.事件的分類是確定的嗎提示:事件的分類是相對于條件來講的,在不同的條件下,必然事件、隨機(jī)事件、不可能事件可以相互轉(zhuǎn)化.一二三4.做一做:給出下列事件:①如果a,b是實(shí)數(shù),那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北風(fēng);③當(dāng)x是實(shí)數(shù)時,x2≥0;④一個電影院某天的上座率超過50%.其中是隨機(jī)事件的有(

)個個個個答案:B解析:由題意易知①③是必然事件,②④是隨機(jī)事件.故選B.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測必然現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象例1判斷下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象還是隨機(jī)現(xiàn)象:(1)小明在校學(xué)生會主席競選中成功;(2)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)的結(jié)果;(3)某人購買的彩票號碼恰好是中獎號碼;(4)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,把水加熱至100℃沸騰.分析:根據(jù)必然現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象的定義進(jìn)行判斷.解:(1)隨機(jī)現(xiàn)象.因?yàn)楦傔x能否成功是不可預(yù)知的;(2)隨機(jī)現(xiàn)象.因?yàn)槌霈F(xiàn)的結(jié)果可能是正面,也可能是反面,結(jié)果并不確定.(3)隨機(jī)現(xiàn)象.因?yàn)椴势碧柎a是否為中獎號碼,本身無法預(yù)測,是不可知的.(4)必然現(xiàn)象.因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水加熱至100

℃時沸騰這個結(jié)果一定會發(fā)生,是確定的.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測反思感悟隨機(jī)現(xiàn)象的判斷方法判斷某一現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象還是必然現(xiàn)象的關(guān)鍵是看在一定條件下,現(xiàn)象的結(jié)果是否可以預(yù)知、確定,若在一定條件下,出現(xiàn)的結(jié)果是可以預(yù)知的,這類現(xiàn)象為必然現(xiàn)象;若在一定條件下,出現(xiàn)哪種結(jié)果是無法預(yù)知、無法事先確定的,這類現(xiàn)象為隨機(jī)現(xiàn)象.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1判斷下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象還是隨機(jī)現(xiàn)象:(1)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);(2)行人在十字路口看到的交通信號燈的顏色;(3)在10個同類產(chǎn)品中,有8個正品、2個次品,從中任意抽出2個檢驗(yàn)的結(jié)果.解:(1)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子有可能出現(xiàn)1~6點(diǎn),不能確定,因此是隨機(jī)現(xiàn)象.(2)行人在十字路口看到交通信號燈的顏色有可能是紅色,有可能是黃色,也有可能是綠色,故是隨機(jī)現(xiàn)象.(3)抽出的2個產(chǎn)品中有可能全部是正品,也有可能是一個正品一個次品,還有可能是兩個次品,故此現(xiàn)象為隨機(jī)現(xiàn)象.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測樣本點(diǎn)與樣本空間例2(1)一個家庭有兩個小孩,則樣本空間Ω是()A.{(男,女),(男,男),(女,女)}B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}(2)同時轉(zhuǎn)動如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤,記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為x,轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為y,結(jié)果為(x,y).①寫出這個試驗(yàn)的樣本空間;②求這個試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù);③“x+y=5”這一事件包含哪幾個樣本點(diǎn)“x<3,且y>1”呢④“xy=4”這一事件包含哪幾個樣本點(diǎn)“x=y”呢探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測分析:解答本題要根據(jù)日常生活的經(jīng)驗(yàn),有條不紊地逐個列出所要求的結(jié)果.(1)答案:C解析:兩個小孩有男、女之分,所以(男,女)與(女,男)是不同的基本事件.故選C.(2)解:①Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.②樣本點(diǎn)的總數(shù)為16.③“x+y=5”包含以下4個樣本點(diǎn):(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).“x<3,且y>1”包含以下6個樣本點(diǎn):(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).④“xy=4”包含以下3個樣本點(diǎn):(1,4),(2,2),(4,1).“x=y”包含以下4個樣本點(diǎn):(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測反思感悟隨機(jī)事件的結(jié)果是相對于條件而言的,要確定樣本空間,(1)必須明確事件發(fā)生的條件;(2)根據(jù)題意,按一定的次序列出所有樣本點(diǎn).特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會是均等的,按規(guī)律去寫,要做到既不重復(fù)也不遺漏.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測延伸探究1將例2(2)中條件不變,改為求“x+y是偶數(shù)”這一事件包含哪些樣本點(diǎn)解:“x+y是偶數(shù)”包括兩種情況,①x,y都是奇數(shù);②x,y都是偶數(shù),故“x+y是偶數(shù)”這一事件包含以下8個樣本點(diǎn):(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4).延伸探究2在例2(2)的條件下,“xy是偶數(shù)”這一事件是必然事件嗎解:當(dāng)x,y均是奇數(shù)時,xy是奇數(shù);當(dāng)x,y中至少有一個是偶數(shù)時,xy是偶數(shù),故“xy是偶數(shù)”這一事件是隨機(jī)事件,而不是必然事件.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測事件類型的判斷例3判斷下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是隨機(jī)事件.(1)“拋一石塊,下落”;(2)“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,溫度低于0℃時,冰融化”;(3)“某人射擊一次,中靶”;(4)“如果a>b,那么a-b>0”;(5)“擲一枚硬幣,出現(xiàn)正面”;(6)“導(dǎo)體通電后,發(fā)熱”;(7)“從分別標(biāo)有號數(shù)1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽中任取一張,得到4號簽”;(8)“某機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫”;(9)“沒有水分,種子能發(fā)芽”;(10)“在常溫下,焊錫熔化”.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測分析:根據(jù)在一定條件下必然事件必然發(fā)生,不可能事件不可能發(fā)生,隨機(jī)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生判斷.解:事件(1)(4)(6)是必然事件;事件(2)(9)(10)是不可能事件;事件(3)(5)(7)(8)是隨機(jī)事件.反思感悟事件類型的判斷方法要判定某事件是何種事件,首先要看清條件,因?yàn)槿N事件都是相對于一定條件而言的.其次再看它是一定發(fā)生,是不一定發(fā)生,還是一定不發(fā)生.一定發(fā)生的是必然事件,不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件,一定不發(fā)生的是不可能事件.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2下列事件中的隨機(jī)事件為(

)A.若a,b,c都是實(shí)數(shù),則a(bc)=(ab)cB.沒有水和空氣,人也可以生存下去C.拋擲一枚硬幣,反面向上D.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,溫度達(dá)到60℃時水沸騰答案:C解析:A中的等式是實(shí)數(shù)乘法的結(jié)合律,對任意實(shí)數(shù)a,b,c是恒成立的,故A是必然事件.在沒有空氣和水的條件下,人是絕對不能生存下去的,故B是不可能事件.拋擲一枚硬幣時,在沒得到結(jié)果之前,并不知道會是正面向上還是反面向上,故C是隨機(jī)事件.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,只有溫度達(dá)到100

℃,水才會沸騰,當(dāng)溫度是60

℃時,水是絕對不會沸騰的,故D是不可能事件.故選C.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測列舉法確定樣本空間——數(shù)學(xué)方法典例連續(xù)擲3枚硬幣,觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.(1)寫出這個試驗(yàn)的樣本空間;(2)求這個試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù);(3)“恰有兩枚正面向上”這一事件包含哪幾個樣本點(diǎn)解:(1)這個試驗(yàn)的樣本空間Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.(2)樣本點(diǎn)的總數(shù)是8.(3)“恰有兩枚正面向上”包含以下3個樣本點(diǎn):(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).方法點(diǎn)睛當(dāng)基本事件的總數(shù)比較大時,首先要列舉基本事件,然后查個數(shù),得出總數(shù).在列舉時要按照一定的順序,才能確?；臼录恢?、不漏.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1個盒子中裝有5個完全相同的球,分別標(biāo)有號碼1,2,3,4,5,從中一次任取兩球.(1)寫出這個試驗(yàn)的樣本空間;(2)求這個試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù);(3)寫出“取出的兩球上的數(shù)字之和是6”這一事件所包含的樣本點(diǎn).解:(1)Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}.(2)樣本點(diǎn)總數(shù)為10.(3)“取出的兩球上的數(shù)字之和是6”這一事件所包含的樣本點(diǎn)為(1,5),(2,4).探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測1.下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象的是(

)A.某路口單位時間內(nèi)通過的車輛數(shù)B.n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°C.某同學(xué)在期末考試中數(shù)學(xué)成績高于60分D.一名籃球運(yùn)動員每場比賽所得的分?jǐn)?shù)答案:B2.下列事件中,不可能事件是(

)A.三角形的內(nèi)角和為180°B.平行四邊形的對邊相等C.銳角三角形中兩內(nèi)角和小于90°D.三角形中任意兩邊之和大于第三邊答案:C解析:銳角三角形中兩內(nèi)角和大于90°.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測3.在10名學(xué)生中,男生有x名,現(xiàn)從10名學(xué)生中任選6人去參加某項(xiàng)活動.有以下事件:①至少有1名女生;②5名男生,1名女生;③3名男生,3名女生.若要使①為必然事件,②為不可能事件,③為隨機(jī)事件,則x=(

)或或6答案:C解析:依題意知,10名同學(xué)中,男生人數(shù)小于5,大于等于3,故x=3或4.故選C.探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測4.寫出下列試驗(yàn)的樣本空間:(1)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場足球賽,觀察甲隊(duì)比賽結(jié)果(包括平局)