2024-2025學年高中數學 第2章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法（教師用書）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學年高中數學第2章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.2反證法（教師用書）教案新人教A版選修2-2主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：高中數學-推理與證明

2.教學年級和班級：2024-2025學年，高中二年級，1班

3.授課時間：2024年10月15日，星期一，第3節(jié)課

4.教學時數：45分鐘

教學內容和目標：

-學習反證法的概念和基本步驟

-能夠運用反證法證明一些基本的數學命題

教學資源和材料：

-課本：《新人教A版選修2-2》

-教學PPT

-練習題和案例分析題核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的數學邏輯推理能力和數學思維能力。通過學習反證法，使學生能夠理解并掌握反證法的基本概念和步驟，培養(yǎng)學生運用反證法解決問題的能力。同時，通過案例分析和練習題的實踐，提高學生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的數學抽象和數學建模素養(yǎng)。此外，通過小組討論和互動交流，培養(yǎng)學生的合作意識和溝通表達能力。重點難點及解決辦法重點：

1.反證法的概念和基本步驟。

2.運用反證法證明數學命題的方法和技巧。

難點：

1.反證法的第一步，即假設結論不成立，對于學生來說較為抽象，難以理解。

2.如何引導學生從假設出發(fā)，通過邏輯推理得出矛盾，進而證明原命題的正確性。

解決辦法：

1.通過具體的案例分析，讓學生感受反證法的思維過程，從而理解反證法的概念。

2.采用循序漸進的教學方法，先從簡單的命題開始，逐步引導學生掌握反證法的步驟。

3.在課堂上組織學生進行小組討論，分享各自的解題思路，互相學習，共同進步。

4.提供充足的練習題，讓學生在實踐中熟悉并掌握反證法的運用。

5.教師應及時給予學生反饋，指導他們發(fā)現并修正推理過程中的錯誤，幫助他們更好地理解和掌握反證法。學具準備Xxx課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學方法與手段1.教學方法：

-講授法：教師通過講解反證法的概念和例子，引導學生理解反證法的思維過程。

-討論法：學生分組討論練習題，分享解題思路，互相學習，培養(yǎng)合作和溝通能力。

-實踐法：學生通過解決實際問題，運用反證法證明命題，提高解決問題的能力。

2.教學手段：

-多媒體設備：使用PPT展示反證法的步驟和案例，增強教學直觀性和生動性。

-教學軟件：運用數學軟件或在線平臺，進行實時演示和互動，幫助學生更好地理解反證法。

-練習題和案例分析：提供豐富的練習題和案例，讓學生在實踐中掌握反證法的應用。教學過程設計1.導入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-教師通過PPT展示一個有趣的數學問題：“是否存在這樣的三個正整數，它們的和等于它們的乘積？”讓學生思考并討論。

-學生積極參與討論，嘗試尋找解答。

-教師總結學生的解答，引出反證法的概念，激發(fā)學生的學習興趣。

2.講授新課（15分鐘）

-教師講解反證法的概念和基本步驟，強調反證法的第一步是假設結論不成立。

-教師通過PPT展示反證法的例子，引導學生理解反證法的思維過程。

-學生跟隨教師的講解，積極參與思考和討論。

3.鞏固練習（10分鐘）

-教師發(fā)放練習題，讓學生獨立完成。

-學生在課堂上完成練習題，教師巡回指導，及時給予反饋。

-學生之間進行小組討論，分享解題思路，互相學習。

4.課堂提問（5分鐘）

-教師針對本節(jié)課的內容提出問題，引導學生思考和鞏固所學知識。

-學生積極回答問題，展示自己對反證法的理解和掌握。

-教師根據學生的回答，進行點評和指導。

5.總結與拓展（5分鐘）

-教師對本節(jié)課的內容進行總結，強調反證法的應用和重要性。

-教師提出一個拓展問題，引導學生思考反證法在實際問題中的應用。

-學生思考并討論拓展問題，分享自己的見解。

6.課后作業(yè)（課后自主完成）

-教師發(fā)放課后作業(yè)，要求學生運用反證法解決實際問題。

-學生獨立完成作業(yè)，鞏固對反證法的理解和掌握。

總計用時：40分鐘

教學創(chuàng)新點：

-通過有趣的數學問題導入，激發(fā)學生的學習興趣。

-結合PPT和數學軟件，生動展示反證法的思維過程。

-組織學生進行小組討論和課堂提問，促進師生互動和生生互動。

-提供豐富的練習題和課后作業(yè)，讓學生在實踐中掌握反證法的應用。教學資源拓展1.拓展資源：

（1）反證法在數學競賽中的應用案例：教師可提供一些數學競賽中的題目，讓學生嘗試運用反證法解決，從而提高學生的應用能力和解題技巧。

（2）反證法在實際問題中的應用：教師可引導學生思考反證法在實際問題中的應用，如邏輯推理、證明爭議問題等，讓學生感受反證法的價值。

（3）反證法與其他證明方法的對比：教師可引導學生探討反證法與其他證明方法（如直接證明、歸納法等）的區(qū)別和聯(lián)系，讓學生了解各種證明方法的優(yōu)缺點。

2.拓展建議：

（1）讓學生閱讀數學論文或書籍：教師可推薦一些涉及反證法的數學論文或書籍，讓學生自主閱讀，了解反證法在數學研究中的應用。

（2）舉辦數學講座或研討會：邀請數學專家或學者來校舉辦講座或研討會，讓學生深入了解反證法及其在數學領域的應用。

（3）開展數學實踐活動：組織學生參加數學實踐活動，如數學建模、數學競賽等，讓學生在實際操作中運用反證法解決問題。

（4）小組合作研究：讓學生分組合作，研究反證法在特定領域的應用，如邏輯推理、證明爭議問題等，并進行匯報交流。

（5）網上資源搜索：指導學生利用網絡資源，搜索與反證法相關的學習資料，拓寬視野，提高自主學習能力。

（6）開展課后討論：鼓勵學生在課后針對本節(jié)課的學習內容，進行深入討論，鞏固所學知識，提高分析問題和解決問題的能力。課后拓展1.拓展內容：

（1）閱讀材料：《數學分析中的反證法應用》、《反證法在幾何證明中的應用》等，讓學生進一步了解反證法在不同數學領域的應用。

（2）視頻資源：《反證法的證明過程解析》、《數學悖論與反證法》等，幫助學生形象地理解反證法的原理和應用。

2.拓展要求：

（1）學生自主閱讀拓展材料，了解反證法在不同領域的應用，提高學生的數學閱讀能力。

（2）學生觀看拓展視頻，加深對反證法的理解，培養(yǎng)學生的數學思維能力。

（3）學生結合本節(jié)課所學，嘗試解決一些實際問題，運用反證法進行證明，提高學生的應用能力。

（4）學生撰寫課后拓展心得，總結自己在拓展學習中的收獲和感悟，提高學生的自我反思能力。

（5）教師在課后提供必要的指導和幫助，如解答學生的疑問、給予反饋等，促進學生的全面發(fā)展。教學反思與改進首先，我意識到導入環(huán)節(jié)的重要性。通過引入一個有趣的數學問題，激發(fā)了學生的學習興趣和求知欲。在今后的教學中，我將繼續(xù)運用這種方式，引導學生主動參與課堂。

其次，我在講授新課時，注重了與學生的互動，鼓勵他們積極參與討論。這種方式有助于學生更好地理解和掌握反證法的概念。今后，我將繼續(xù)采用這種教學方法，提高學生的課堂參與度。

在鞏固練習環(huán)節(jié)，我及時給予學生反饋，并組織小組討論。這有助于學生發(fā)現并修正自己的錯誤，提高解題能力。今后，我將更加關注學生的學習情況，及時調整教學策略。

然而，我也發(fā)現了一些需要改進的地方。例如，在課堂提問環(huán)節(jié)，我應該更加注重引導學生思考，培養(yǎng)他們的數學邏輯思維能力。此外，在課后拓展環(huán)節(jié)，我需要提供更多的資源和建議，幫助學生進行自主學習。

針對這些反思，我制定了以下改進措施：

1.繼續(xù)優(yōu)化導入環(huán)節(jié)，通過有趣的問題或案例，激發(fā)學生的學習興趣。

2.增加課堂互動，鼓勵學生提問和發(fā)表自己的見解，培養(yǎng)他們的數學思維能力。

3.注重課后拓展，提供豐富的學習資源和指導，幫助學生自主學習，提高他們的數學素養(yǎng)。

4.加強學生學習情況的關注，及時調整教學策略，滿足學生的個性化需求。

5.不斷提高自己的專業(yè)素養(yǎng)，參加教育培訓，提升教學水平。課堂小結，當堂檢測1.課堂小結：

本節(jié)課我們學習了反證法的概念和基本步驟，通過具體的例子了解了反證法的思維過程。反證法是一種重要的證明方法，它在數學推理中有著廣泛的應用。我們需要注意，運用反證法時，首先要合理地提出假設，然后通過邏輯推理得出矛盾，從而證明原命題的正確性。

2.當堂檢測：

（1）判斷題：

1.反證法的第一步是假設結論不成立。（）

2.反證法是一種證明方法，它的目的是通過假設結論不成立，然后找到矛盾，從而證明結論成立。（）

（2）選擇題：

1.以下哪個選項是反證法的第一步？（）

A.歸納推理

B.假設結論不成立

C.尋找反例

D.證明結論成立

2.在運用反證法證明命題時，以下哪個選項是正確的步驟？（）

A.先證明結論，再假設結論不成立

B.先假設結論不成立，然后找到矛盾

C.先找到矛盾，再假設結論不成立

D.先假設結論不成立，再證明結論成立

（3）解答題：

請運用反證法證明下列命題：

1.任意正整數a、b、c，若a+b+c=abc，則a、b、c中至少有一個數為1。

2.任意正整數n，若n^2+1是奇數，則n是偶數。板書設計（1）反證法的概念和步驟

-反證法：假設結論不成立，通過邏輯推理找到矛盾，從而證明原命題的正確性。

-步驟：

-假設結論不成立

-推導出矛盾

-得出原命題成立

（2）反證法的應用

-反證法在數學證明中的重要性

-反證