人教二項式定理-典型例題解析

概念篇【例1】展開(2x－)5.分析一：直接用二項式定理展開式.解法一：(2x－)5=C(2x)5+C(2x)4(－)+C(2x)3(－)2+C(2x)2(－)3+C(2x)(－)4+C(－)5=32x5－120x2+－+－.分析二：對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開.解法二：(2x－)5==［C(4x3)5+C(4x3)4(－3)+C(4x3)3(－3)2+C(4x3)2(－3)3+C(4x3)(－3)4+C(－3)5］=(1024x15－3840x12+5760x9－4320x6+1620x3－243)=32x5－120x2+－+－.說明：記準(zhǔn)、記熟二項式(a+b)n的展開式是解答好與二項式定理有關(guān)問題的前提條件.對較復(fù)雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便.【例2】求二項式(a－2b)4分析：直接利用二項式定理展開.解：根據(jù)二項式定理得(a－2b)4=Ca4+Ca3(－2b)+Ca2(－2b)2+Ca(－2b)3+C(－2b)4=a4－8a3b+24a2b2－32ab3+16b說明：運用二項式定理時要注意對號入座，本題易誤把－2b中的符號“－”忽略.【例3】在(x－)10的展開式中，x6的系數(shù)是.解法一：根據(jù)二項式定理可知x6的系數(shù)是C.解法二：(x－)10的展開式的通項是Tr+1=Cx10－r(－)r.令10－r=6，即r=4，由通項公式可知含x6項為第5項，即T4+1=Cx6(－)4=9Cx6.∴x6的系數(shù)為9C.上面的解法一與解法二顯然不同，那么哪一個是正確的呢？問題要求的是求含x6這一項系數(shù)，而不是求含x6x6的二項式系數(shù)，解法一就正確了，也即是C.說明：要注意區(qū)分二項式系數(shù)與指定某一項的系數(shù)的差異.二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同的概念，前者僅與二項式的指數(shù)及項數(shù)有關(guān)，與二項式無關(guān)，后者與二項式、二項式的指數(shù)及項數(shù)均有關(guān).【例4】已知二項式(3－)10，(1)求其展開式第四項的二項式系數(shù)；(2)求其展開式第四項的系數(shù)；(3)求其第四項.分析：直接用二項式定理展開式.解：(3－)10的展開式的通項是Tr+1=C(3)10－r(－)r(r=0，1，…，10).(1)展開式的第4項的二項式系數(shù)為C=120.(2)展開式的第4項的系數(shù)為C37(－)3=－77760.(3)展開式的第4項為－77760()7，即－77760.說明：注意把(3－)10寫成［3+(－)］10，從而湊成二項式定理的形式.【例5】求二項式(x2+)10的展開式中的常數(shù)項.分析：展開式中第r+1項為C(x2)10－r()r，要使得它是常數(shù)項，必須使“x”的指數(shù)為零，依據(jù)是x0=1，x≠0.解：設(shè)第r+1項為常數(shù)項，則Tr+1=C(x2)10－r()r=Cx()r(r=0，1，…，10)，令20－r=0，得r=8.∴T9=C()8=.∴第9項為常數(shù)項，其值為.說明：二項式的展開式的某一項為常數(shù)項，就是這項不含“變元”，一般采用令通項Tr+1中的變元的指數(shù)為零的方法求得常數(shù)項.【例6】(1)求(1+2x)7展開式中系數(shù)最大項；(2)求(1－2x)7展開式中系數(shù)最大項.分析：利用展開式的通項公式，可得系數(shù)的表達式，列出相鄰兩項系數(shù)之間關(guān)系的不等式，進而求出其最大值.解：(1)設(shè)第r+1項系數(shù)最大，則有即化簡得又∵0≤r≤7，∴r=5.∴系數(shù)最大項為T6=C25x5=672x5.(2)解：展開式中共有8項，系數(shù)最大項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得.又因(1－2x)7括號內(nèi)的兩項中后兩項系數(shù)的絕對值大于前項系數(shù)的絕對值，故系數(shù)最大值必在中間或偏右，故只需比較T5和T7兩項系數(shù)的大小即可.=＞1，所以系數(shù)最大項為第五項，即T5=560x4.說明：本例中(1)的解法是求系數(shù)最大項的一般解法，(2)的解法是通過對展開式多項分析，使解題過程得到簡化，比較簡潔.【例7】(1+2x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.分析：根據(jù)已知條件可求出n，再根據(jù)n的奇偶性確定二項式系數(shù)最大的項.解：T6=C(2x)5，T7=C(2x)6，依題意有C25=C26，解得n=8.(1+2x)8的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5=C(2x)4=1120x4.設(shè)第r+1項系數(shù)最大，則有∴5≤r≤6.∴r=5或r=6.∴系數(shù)最大的項為T6=1792x5，T7=1792x6.說明：(1)求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大；n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.(2)求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.應(yīng)用篇【例8】若n∈N*，(+1)n=an+bn(an、bn∈Z)，則bn的值()bna有相同的奇偶性分析一：形如二項式定理可以展開后考查.解法一：由(+1)n=an+bn，知an+bn=(1+)n=C+C+C()2+C()3+…+C()n.∴bn=1+C()2+C()4+…∴bn為奇數(shù).答案：A分析二：選擇題的答案是唯一的，因此可以用特殊值法.解法二：n∈N*，取n=1時，(+1)1=(+1)，有b1=1為奇數(shù).取n=2時，(+1)2=2+5，有b2=5為奇數(shù).答案：A【例9】若將(x+y+z)10展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為()A.11 B.33 分析：(x+y+z)10看作二項式展開.解：我們把x+y+z看成(x+y)+z，按二項式將其展開，共有11“項”，即(x+y+z)10==(x+y)10－kzk.這時，由于“和”中各項z的指數(shù)各不相同，因此再將各個二項式(x+y)10－k展開，不同的乘積C(x+y)10－kzk(k=0，1，…，10)展開后，都不會出現(xiàn)同類項.下面，再分別考慮每一個乘積C(x+y)10－kzk(k=0，1，…，10).其中每一個乘積展開后的項數(shù)由(x+y)10－k決定，而且各項中x和y的指數(shù)都不相同，也不會出現(xiàn)同類項.故原式展開后的總項數(shù)為11+10+9+…+1=66.答案：D說明：化三項式為二項式是解決三項式問題的常用方法.【例10】求(｜x｜+－2)3展開式中的常數(shù)項.分析：把原式變形為二項式定理標(biāo)準(zhǔn)形狀.解：∵(｜x｜+－2)3=(－)6，∴展開式的通項是Tr+1=C()6－r(－)r=(－1)rC()6－2r.若Tr+1為常數(shù)項，則6－2r=0，r=3.∴展開式的第4項為常數(shù)項，即T4=－C=－20.說明：對某些不是二項式，但又可化為二項式的題目，可先化為二項式，再求解.【例11】求(－)9展開式中的有理項.分析：展開式中的有理項，就是通項公式中x的指數(shù)為整數(shù)的項.解：∵Tr+1=C(x)9－r(－x)r=(－1)rCx.令∈Z，即4+∈Z，且r=0，1，2，…，9.∴r=3或r=9.當(dāng)r=3時，=4，T4=(－1)3Cx4=－84x4.當(dāng)r=9時，=3，T10=(－1)9Cx3=－x3.∴(－)9的展開式中的有理項是第4項－84x4，第10項－x3.說明：利用二項展開式的通項Tr+1可求展開式中某些特定項.【例12】若(3x－1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求(1)a1+a2…+a7；(2)a1+a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6.分析：所求結(jié)果與各項系數(shù)有關(guān)可以考慮用“特殊值”法，整體解決.解：(1)令x=0，則a0=－1，令x=1，則a7+a6+…+a1+a0=27=128. ①∴a1+a2+…+a7=129.(2)令x=－1，則a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=(－4)7. ②由得：a1+a3+a5+a7=［128－(－4)7］=8256.(3)由得a0+a2+a4+a6=［128+(－4)7］=－8128.說明：(1)本解法根據(jù)問題恒等式特點來用“特殊值”法，這是一種重要的方法，它用于恒等式.(2)一般地，對于多項式g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，g(x)各項的系數(shù)和為g(1)，g(x)的奇數(shù)項的系數(shù)和為［g(1)+g(－1)］，g(x)的偶數(shù)項的系數(shù)和為［g(1)－g(－1)］.【例13】證明下列各式(1)1+2C+4C+…+2n－1C+2nC=3n(2)(C)2+(C)2+…+(C)2=C；(3)C+2C+3C+…+nC=n2n－1.分析：(1)(2)與二項式定理的形式有相同之處可以用二項式定理，形如數(shù)列求和，因此可以研究它的通項尋求規(guī)律.證明：(1)在二項展開式(a+b)n=Can+Can－1b+Can－2b2+…+Cabn－1+Cbn中，令a=1，b=2，得(1+2)n=1+2C+4C+…+2n－1C+2nC1+2C+4C+…+2n－1C+2nC=3n(2)(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，∴(1+Cx+Cx2+…+Cxr+…+xn)(1+Cx+Cx2+…+Cxr+…+xn)=(1+x)2n.而C是(1+x)2n的展開式中xn的系數(shù)，由多項式的恒等定理，得CC+CC+…+CC+CC=C.∵C=C，0≤m≤n，∴(C)2+(C)2+…+(C)2=C.(3)證法一：令S=C+2C+3C+…+nC. ①令S=C+2C+…+(n－1)C+nC=nC+(n－1)C+…+2C+C=nC+(n－1)C+…+2C+C. ②由①+②得2S=nC+nC+nC+…+nC=n(C+C+C+C+…+C)=n(C+C+C+C+…+C)=n2n.∴S=n2n－1，即C+2C+3C+…+nC=n2n－1.證法二：觀察通項：kC=k.∴原式=nC+nC+nC+nC+…+nC=n(C+C+C+C+…+C)=n2n－1，即C+2C+3C+…+nC=n2n－1.說明：解法二中kC=nC可作為性質(zhì)記住.5精確到0.001的近似值.分析：準(zhǔn)確使用二項式定理應(yīng)把1.997拆成二項之和形式如1.997=2－0.003.5=(2－0.003)5=25－C240.003+C232－C223+…≈≈31.761.說明：利用二項式定理進行近似計算，關(guān)鍵是確定展開式中的保留項，使其滿足近似計算的精確度.【例15】求證：5151－1能被7整除.分析：為了在展開式中出現(xiàn)7的倍數(shù)，應(yīng)把51拆成7的倍數(shù)與其他數(shù)的和(或差)的形式.證明：5151－1=(49+2)51－1=C4951+C49502+…+C49·250+C251－1，易知除C251－1以外各項都能被7整除.又251－1=(23)17－1=(7+1)17－1=C717+C716+…+C7+C－1=7(C716+C715+…+C).顯然能被7整除，所以5151－1能被7整除.說明：利用二項式定量證明有關(guān)多項式(數(shù)值)的整除問題，關(guān)鍵是將所給多項式通過恒等變形變?yōu)槎検叫问?，使其展開后的各項均含有除式.創(chuàng)新篇【例16】已知(xlgx+1)nx.分析：本題看似較繁，但只要按二項式定理準(zhǔn)確表達出來，不難求解！解：由已知C+C+C=22，即n2+n－42=0.又n∈N*，∴n=6.T4為中間一項，T4=C(xlgx)3=20000，即(xlgx)3=1000.xlgx=10.兩邊取常用對數(shù)，有l(wèi)g2x=1，lgx=±1，∴x=10或x=.說明：當(dāng)題目中已知二項展開式的某些項或某幾項之間的關(guān)系時，常利用二項式通項公式，根據(jù)已知條件列出等式或不等式進行求解.【例17】設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m，n∈N*)，若其展開式中關(guān)于x的一次項的系數(shù)和為11，問m，n為何值時，含x2項的系數(shù)取最小值？并求這個最小值.分析：根據(jù)已知條件得到x2的系數(shù)是關(guān)于x的二次表達式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問題.解：C+C=n+m=11.C+C=(m2－m+n2－n)=，∵n∈N*，∴n=6或5，m=5或6時，x2項系數(shù)最小，最小值為25.說明：本題是一道關(guān)于二次函數(shù)與組合的綜合題.【例18】若(x+－2)n的展開式的常數(shù)項為－20，求n.分析：題中x≠0，當(dāng)x＞0時，把三項式(x+－2)n轉(zhuǎn)化為(－)2n；當(dāng)x＜0時，同理(x+－2)n=(－1)n(－)2n.然后寫出通項，令含x的冪指數(shù)為零，進而解出n.解：當(dāng)x＞0時，(x+－2)n=(－)2n，其通項為Tr+1=C()2n－r(－)r=(－1)rC()2n－2r.令2n－2r=0，得n=r，∴展開式的常數(shù)項為(－1)rC；當(dāng)x＜0時，(x+－2)n=(－1)n(－)2n.同理可得，展開式的常數(shù)項為(－1)rC.無論哪一種情況，常數(shù)項均為(－1)rC.令(－1)rCn=1，2，3，…，逐個代入，得n=3.說明：本題易忽略x＜0的情況.【例19】利用二項式定理證明()n－1＜.分析：不易從二項展開式中得到，可以考慮其倒數(shù).證明：欲證()n－1＜成立，只需證()n－1＜成立.而()n－1=(1+)n－1=C+C+C()2+…+C()n－1=1++C()2+…+C()n－1＞.說明：本題目的證明過程中將()n－1轉(zhuǎn)化為(1+)n－1，然后利用二項式定理展開式是解決本問題的關(guān)鍵.【例20】求證：2≤(1+)n＜3(n∈N*).分析：(1+)n與二項式定理結(jié)構(gòu)相似，用二項式定理展開后分析.證明：當(dāng)n=1時，(1+)n=2.當(dāng)n≥2時，(1+)n=1+C+C+…+C()n=1+1+C+…+C()n＞2.又C()k=≤，所以(1+)n≤2+++…+＜2+++…+=2+(1－)+(－)+…+(－)=3－＜3.綜上有2≤(1+)n＜3.說明：在此不等式的證明中，利用二項式定理將二項式展開，再采用放縮法和其他有關(guān)知識，將不等式證明到底.【例21】求證：對于n∈N*，(1+)n＜(1+)n+1.分析：結(jié)構(gòu)都是二項式的形式，因此研究二項展開式的通項是常用方法.證明：(1+)n展開式的通項Tr+1=C===(1－)(1－)…(1－).(1+)n+1展開式的通項T′r+1=C===(1－)(1－)…(1－).由二項式展開式的通項可明顯地看出Tr+1＜T′r+1所以(1+)n＜(1+)n+1說明：本題的兩個二項式中的兩項均為正項，且有一項相同.證明時，根據(jù)題設(shè)特點，采用比較通項大小的方法完成本題證明.【例22】設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，且a、b、c成等差數(shù)列，n∈N*，求證：an+cn＞2bn.分析：題中雖未出現(xiàn)二項式定理的形式，但可以根據(jù)a、b、c成等差數(shù)列創(chuàng)造條件使用二項式定理.證明：設(shè)公差為d，則a=b－d，c=b+d.an+cn－2bn=(b－d)n+(b+d)n－2bn=［bn－Cbn－1d+Cbn－2d2+…+(－1)ndn］+［bn+Cbn－1d+Cbn－2d2+…+dn］=2(Cbn－2d2+Cbn－4d4…)＞0.說明：由a、b、c成等差，公差為d，可得a=b－d，c=b+d，這就給利用二項式定理證明此問題創(chuàng)造了可能性.問題即變?yōu)?b－d)n+(b+d)n＞2bn，然后用作差法改證(b－d)n+(b+d)n－2bn＞0.【例23】求(1+2x－3x2)6的展開式中x5項的系數(shù).分析：先將1+2x－3x2分解因式，把三項式化為兩個二項式的積，即(1+2x－3x2)6=(1+3x)6(1－x)6.然后分別寫出兩個二項式展開式的通項，研究乘積項x5的系數(shù)，問題可得到解決.解：原式=(1+3x)6(1－x)6，其中(1+3x)6展開式之通項為Tk+1=C3kxk，(1－x)6展開式之通項為Tr+1=C(－x)r.原式=(1+3x)6(1－x)6展開式的通項為CC(－1)r3kxk+r.現(xiàn)要使k+r=5，又∵k∈{0，1，2，3，4，5，6}，r∈{0，1，2，3，4，5，6}，必須或故x5項系數(shù)為C30C(－1)5+C31C(－1)4+C32C(－1)3+C33C(－1)說明：根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)特征靈活運用二項式定理是本題的關(guān)鍵.【例24】(2004年全國必修+選修1)(－)6展開式中的常數(shù)項為()A.15 B.－15 C.20 D