湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（暨入學(xué)檢測(cè)） 數(shù)學(xué)試題（含解析）

名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三第一次聯(lián)考（暨入學(xué)檢測(cè)）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A.2B.3C.4D.53.已知等差數(shù)列中，，前5項(xiàng)和，則數(shù)列的公差為（）A.-2B.C.-1D.-44.馬德堡半球?qū)嶒?yàn)是17世紀(jì)50年代由馬德堡市長(zhǎng)進(jìn)行的一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，其主要目的是證明大氣壓的存在.實(shí)驗(yàn)使用兩個(gè)直徑為14英寸的半球殼，將兩個(gè)半球內(nèi)的空氣抽掉，球不容易被分開，以證明大氣壓的存在.若把直徑為14英寸的一個(gè)實(shí)心球分割為兩個(gè)半球，則這兩個(gè)半球的表面積之和為（）A.平方英寸B.平方英寸C.平方英寸D.平方英寸5.已知向量，若滿足，則（）A.-3B.2C.-5D.46.已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.7.已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線左支上一點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（）A.3B.2C.D.8.若，且，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.中國(guó)作為全球最大的產(chǎn)茶國(guó)和茶葉消勢(shì)市場(chǎng)，茶葉行業(yè)長(zhǎng)期保持平穩(wěn)問好發(fā)展的趨勢(shì)，下表為2014年—2023年中國(guó)茶葉產(chǎn)量（單位：萬噸），根據(jù)該表，則（）年份2014201520162017201820192020202120222023產(chǎn)量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中國(guó)茶葉產(chǎn)量年增長(zhǎng)率大于B.2014年—2023年中國(guó)茶葉產(chǎn)量的極美是150.1C.2014年—2023年中國(guó)茶葉產(chǎn)量的分位數(shù)是277.7D.2019年—2023年中國(guó)茶葉產(chǎn)量的平均數(shù)大于31010.已知，且，則（）A.若，則B.若，則的最大值為C.若，則D.若，則11.已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.為等比數(shù)列B.C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為__________.13.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則__________.14.在三棱錐中，，二面角的大小為，則最小時(shí)，三棱錐的體積為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.（1）求；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，求的面積.16.（15分）某機(jī)構(gòu)為了了解某地區(qū)中學(xué)生的性別和喜愛游泳是否有關(guān)，隨機(jī)抽取了100名中學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：喜歡游泳不喜歡游泳合計(jì)男生25女生35合計(jì)已知在這100人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.（1）請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)聯(lián)；（3）將樣本頻率視為總體概率，在該地區(qū)的所有中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記抽取的3人中喜歡游泳的人數(shù)為.求隨機(jī)變量的分布列和期望.附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82817.（15分）已知橢圓的焦距為，且的離心率為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.的面積為，求的值.18.（17分）已知正四棱柱底面為邊長(zhǎng)為3的正方形，，點(diǎn)分別在線段上，且，點(diǎn)在線段上且.（1）求銳二面角的余弦值；（2）求平面將四棱柱分割成兩個(gè)多面體的體積比.19.（17分）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且存在非零常?shù)，使得對(duì)任意，都有，則稱是類周期為的“類周期函數(shù)”.（1）若函數(shù)是類周期為1的“類周期函數(shù)”，證明：是周期函數(shù)；（2）已知是“類周期函數(shù)”，求的值及的類周期；（3）若奇函數(shù)是類周期為的“類周期函數(shù)”，且，求的值，并給出符合條件的一個(gè).名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三第一次聯(lián)考（暨入學(xué)檢測(cè)）數(shù)學(xué)參考答案一?二?選擇題題號(hào)1234567891011答案ADCBADDDABDACDACD1.A【解析】因?yàn)?，所?故選A.2.D【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則.故選D.3.C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，又.故選C.4.B【解析】易知球的半徑，則兩個(gè)半球的表面積之和為平方英寸.故選B.5.A【解析】設(shè)向量，則，因?yàn)?，所以，?故選A.6.D【解析】由可知，，又在區(qū)間上有最小值，所以在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，令，則在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，所以解得，故選D.7.D【解析】設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，由余弦定理可得，所以，由雙曲線的定義可得，即，故雙曲線的離心率.故選D.8.D【解析】由，得，所以，兩式平方相加得，所以，因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選D.9.ABD【解析】對(duì)于年中國(guó)茶葉產(chǎn)量年增長(zhǎng)率為，A正確；對(duì)于B，2014年—2023年中國(guó)茶葉產(chǎn)量的極差是355.0-，B正確；對(duì)于C，所以分位數(shù)是2019年與2020年茶葉產(chǎn)量的平均數(shù)，即，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，2019年-2023年中國(guó)茶葉產(chǎn)量的平均數(shù)為，D正確.故選ABD.10.ACD【解析】對(duì)于A，由得，又，可得，所以，，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于，，所以，所以，整理得，C正確；對(duì)于D，由，得，D正確.故選ACD.11.ACD【解析】由題意可得，即，得或，若，則，則，這與矛盾，所以不成立，若，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為9的等比數(shù)列，即，故A正確；由可得，兩式相減得，，并且時(shí)，，即，得，那么，故故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，符合上式，故，即，故C正確；易得時(shí)，，故D正確.故選ACD.三?填空題12.21【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng).所以的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.13.14【解析】由題意可得，設(shè)，拋物線的準(zhǔn)線：，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，根據(jù)拋物線的定義，得，故，的中點(diǎn)為，，可得，.14.【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)，則，，因?yàn)槭嵌娼堑钠矫娼牵裕谥?，由余弦定理可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)三棱錐的體積..四?解答題15.【解析】（1）因?yàn)?，設(shè)，則，聯(lián)立解得，所以.（2）在中，，由余弦定理得，解得（負(fù)值舍去），所以，因?yàn)椋?，所?16.【解析】（1）喜歡游泳不喜歡游泳合計(jì)男生252550女生351550合計(jì)6040100（2）零假設(shè)為：喜歡游泳與性別無關(guān)，，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為喜歡游泳與性別無關(guān).（3）的可能取值為.，，，.的分布列為0123.17.【解析】（1）由題意得：，即，則，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由題意設(shè)，聯(lián)立消去得：，則，則，可得，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，且，則，故，解得.18【解析】（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得，，，設(shè)，.平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得令，則，.故銳二面角的余弦值為.（2）易知與位似，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，.，體積比（亦給分.19.【解析】（1）證明