高二數(shù)學(xué)同步備課(人教A版2019選修第一冊(cè))1.4.1空間中直線、平面的垂直(第3課時(shí))(分層作業(yè))(原卷版+解析)

1.4.1空間中直線、平面的垂直（第3課時(shí)）（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·浙江·高二期中）已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則等于（

）A．1 B．-1 C．2 D．-22．（2021·全國(guó)·高二期中）若直線，的方向向量分別為，，則這兩條直線（

）A．平行 B．垂直 C．異面垂直 D．垂直相交3．（2021·北京海淀·高二期中）過(guò)點(diǎn)且與向量垂直的向量（

）A．有且只有一個(gè) B．有無(wú)數(shù)個(gè)且共面C．只有兩個(gè)且方向相反 D．有無(wú)數(shù)個(gè)且共線4．（2021·湖北·武漢市第十四中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)，是兩條直線，，分別為直線a，b的方向向量，α，β是兩個(gè)平面，且，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若空間兩直線與的方向向量分別為和，則兩直線與垂直的充要條件為（

）A．，，（）B．存在實(shí)數(shù)k，使得C．D．二、多選題6．（2022·江蘇宿遷·高二期中）給定下列命題，其中正確的命題是（

）A．若是平面的法向量，且向量是平面內(nèi)的直線的方向向量，則B．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則C．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則D．若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直三、填空題7．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高二期末（理））設(shè)分別是平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)的值是________．8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）兩條直線垂直的充要條件是___________.直線和平面垂直的充要條件是___________；兩個(gè)平面垂直的充要條件是___________.四、解答題9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，O是AC與BD的交點(diǎn)，M是的中點(diǎn)．求證：平面MBD．10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間四邊形中，，求證：.11．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz中，底面ABCD為矩形，P（0，0，2），．（1）求證：；（2）求．12．（2021·湖南·懷化五中高二期中）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，、分別、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.13．（2021·廣西·欽州一中高二期中（理））如圖，在多面體中，四邊形是梯形，四邊形為矩形，面，，，．(1)求證：平面；(2)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證面．14．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E在棱上，，D，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，EF與相交于點(diǎn)H．(1)求證：平面ABD．(2)求證：平面平面ABD．15．（2022·江蘇·濱?？h五汛中學(xué)高二階段練習(xí)）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，分別是棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到直線的距離.16．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方體中，，判斷滿足下列條件的點(diǎn)M，N是否存在：.17．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是平面的一條斜線且B為斜足，設(shè)的射影是，而l是與平面平行的一條直線.判斷下列命題是否成立，并用空間向量證明：(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，.18．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E?F分別是棱AB?BC上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求證：；(2)若?E?F?四點(diǎn)共面，求證：.【能力提升】一、單選題1．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期末（理））如圖，下列正方體中，O為下底面的中心，M，N為正方體的頂點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線的是（

）A． B．C． D．2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱中，底面是以B為直角項(xiàng)點(diǎn)，邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一點(diǎn)E使得，那么（

）A．1 B．2 C． D．3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，O是底面正方形ABCD的中心，M是的中點(diǎn)，N是上的動(dòng)點(diǎn)，則直線NO?AM的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直二、多選題4．（2021·河北·唐山市第十一中學(xué)高二期中）(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM（

）A．和AC垂直B．和AA1垂直C．和MN垂直D．與AC，MN都不垂直三、解答題5．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）如圖，三棱柱的底面為菱形，，為的中點(diǎn)，且.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，點(diǎn)，分別在對(duì)角線，上，且，．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是?的中點(diǎn).(1)判斷向量與?是否共面；(2)求證：平面.8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，DB的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn)．(1)證明：.(2)求.(3)求FH的長(zhǎng)．9．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.1.4.1空間中直線、平面的垂直（第3課時(shí)）（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·浙江·高二期中）已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則等于（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】C【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】由題知：，解得.故選：C2．（2021·全國(guó)·高二期中）若直線，的方向向量分別為，，則這兩條直線（

）A．平行 B．垂直 C．異面垂直 D．垂直相交【答案】B【分析】根據(jù)方向向量的位置關(guān)系判斷直線的位置關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B.3．（2021·北京海淀·高二期中）過(guò)點(diǎn)且與向量垂直的向量（

）A．有且只有一個(gè) B．有無(wú)數(shù)個(gè)且共面C．只有兩個(gè)且方向相反 D．有無(wú)數(shù)個(gè)且共線【答案】B【分析】以向量為法向量，且過(guò)點(diǎn)的平面有且只有一個(gè)，設(shè)為平面，則平面中過(guò)點(diǎn)的向量都符合題意，從而得到結(jié)果．【詳解】由題意可知，以向量為法向量，且過(guò)點(diǎn)的平面有且只有一個(gè)，設(shè)為平面，則平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)的向量都與向量垂直，這樣的向量有無(wú)數(shù)個(gè)且共面，故選：B．4．（2021·湖北·武漢市第十四中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)，是兩條直線，，分別為直線a，b的方向向量，α，β是兩個(gè)平面，且，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合面面垂直的向量證明方法，即可求解.【詳解】由題意可得，分別是平面α，β的法向量，所以等價(jià)于，即“”是“”的充要條件．故選：C.5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若空間兩直線與的方向向量分別為和，則兩直線與垂直的充要條件為（

）A．，，（）B．存在實(shí)數(shù)k，使得C．D．【答案】C【分析】由空間直線垂直時(shí)方向向量，即可確定充要條件.【詳解】由空間直線垂直的判定知：.當(dāng)時(shí)，即，兩直線與垂直.而A、B、D說(shuō)明與平行.故選：C二、多選題6．（2022·江蘇宿遷·高二期中）給定下列命題，其中正確的命題是（

）A．若是平面的法向量，且向量是平面內(nèi)的直線的方向向量，則B．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則C．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則D．若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，由線面垂直的定義可判斷正確；B選項(xiàng)，兩平面平行，則它們的法向量平行；C選項(xiàng)，兩平面平行，則它們的法向量平行；D選項(xiàng)，兩平面垂直，則它們的法向量垂直.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由線面垂直的定義若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)所有的直線都垂直，我們稱直線和平面垂直，所以，∴，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，兩平面平行，則它們的法向量平行，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，兩平面平行，則它們的法向量平行，∴或∴，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，兩平面垂直它們的法向量垂直，所以兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直，D正確.故選：ACD.三、填空題7．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高二期末（理））設(shè)分別是平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)的值是________．【答案】4【解析】根據(jù)分別是平面的法向量，且，則有求解.【詳解】因?yàn)榉謩e是平面的法向量，且所以所以解得故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量垂直，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）兩條直線垂直的充要條件是___________.直線和平面垂直的充要條件是___________；兩個(gè)平面垂直的充要條件是___________.【答案】

它們的方向向量垂直

直線的方向向量為平面的法向量

它們的法向量垂直【分析】根據(jù)直線的方向向量、平面的法向量、線線垂直的定義、線面垂直的定義和面面垂直的定義即可得出答案.【詳解】根據(jù)直線的方向向量和線線垂直的定義知：兩條直線垂直的充要條件是它們的方向向量垂直；根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量的定義和線面垂直的定義知：直線和平面垂直的充要條件是直線的方向向量為平面的法向量；根據(jù)平面的法向量的定義和面面垂直的定義知：兩個(gè)平面垂直的充要條件是它們的法向量垂直.故答案為：它們的方向向量垂直；直線的方向向量為平面的法向量；它們的法向量垂直.四、解答題9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，O是AC與BD的交點(diǎn)，M是的中點(diǎn)．求證：平面MBD．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)證得平面.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，，，由于，所以平面.10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間四邊形中，，求證：.【分析】利用向量垂直的運(yùn)算法則證明線線垂直.【詳解】證明：設(shè)則于是可得，即11．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz中，底面ABCD為矩形，P（0，0，2），．（1）求證：；（2）求．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3.【分析】（1）根據(jù)題意求出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量與垂直證明；（2）寫(xiě)出向量坐標(biāo)，然后根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出答案.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所?（2）因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所?12．（2021·湖南·懷化五中高二期中）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，、分別、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，易知平面的一個(gè)法向量為，，則，平面，故平面；（2）設(shè)平面的法向量為，，，由，得，取，可得，所以，，故平面.13．（2021·廣西·欽州一中高二期中（理））如圖，在多面體中，四邊形是梯形，四邊形為矩形，面，，，．(1)求證：平面；(2)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證面．【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系，由線面垂直的判定定理可證面，可知為面的法向量，又，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)果；（2）由（1）可知，，可證，，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)果.(1)證明：如圖，建立空間坐標(biāo)系，則，，，，，面，，且，又，面，為面的法向量，，，又平面，平面．(2)證明：由（1）可知，，，，，，，又，面．14．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E在棱上，，D，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，EF與相交于點(diǎn)H．(1)求證：平面ABD．(2)求證：平面平面ABD．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量證明出，，進(jìn)而證明出平面ABD；（2）用空間向量的證明出和，進(jìn)而出平面平面ABD(1)證明：（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，所以，，，所以，，所以，，所以，．又，所以平面ABD．(2)由（1）可得，，，，所以，，所以，．所以，．因?yàn)槠矫?，平面所以平面同理可證：平面又，所以平面平面ABD．15．（2022·江蘇·濱?？h五汛中學(xué)高二階段練習(xí)）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，分別是棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明和即可；(2)利用向量投影即可求解.(1)∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，∵，分別是棱的中點(diǎn)，∴，,∵，，∴，，∵,平面,平面，∴平面.(2)∵，∴，,∴，∴，故點(diǎn)到直線的距離為.16．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方體中，，判斷滿足下列條件的點(diǎn)M，N是否存在：.【答案】存在點(diǎn)滿足【分析】建立直角坐標(biāo)系利用空間向量垂直的求解方法進(jìn)行求證.【詳解】解：假設(shè)存在滿足條件.在長(zhǎng)方體中以D為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)則在中，，又解得：即存在點(diǎn)滿足17．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是平面的一條斜線且B為斜足，設(shè)的射影是，而l是與平面平行的一條直線.判斷下列命題是否成立，并用空間向量證明：(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)成立，證明見(jiàn)解析(2)成立，證明見(jiàn)解析【分析】（1）依題意：，，∴，再假設(shè)相應(yīng)的方向向量，利用向量中兩個(gè)向量垂直的表示方法即可證明.（2）與（1）的分析方法相同.(1)按照題意，作圖如下：∵，是的一個(gè)法向量，設(shè)l的方向向量為，則，由已知，，由圖可知，∴，即，故命題成立；(2)按照題意，作圖如下：∵，是的一個(gè)法向量，設(shè)l的方向向量為，由題可知=0，∴，而，∴，故命題成立；18．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E?F分別是棱AB?BC上的動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求證：；(2)若?E?F?四點(diǎn)共面，求證：.【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，由即可證明；（2）分別求出，，，設(shè)，解出，即可證明.(1)如圖所示，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以?與的方向?yàn)閤?y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，其中.由已知條件???，則，，所以，所以，即；(2)，，，設(shè)，解得，.所以.【能力提升】一、單選題1．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期末（理））如圖，下列正方體中，O為下底面的中心，M，N為正方體的頂點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，再對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理作答.【詳解】在正方體中，對(duì)各選項(xiàng)建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，令正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)，對(duì)于A，，，，與不垂直，A不是；對(duì)于B，，，，，B是；對(duì)于C，，，，與不垂直，C不是；對(duì)于D，，，，與不垂直，D不是.故選：B2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱中，底面是以B為直角項(xiàng)點(diǎn)，邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，若在棱上有唯一的一點(diǎn)E使得，那么（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，根據(jù)垂直和唯一的點(diǎn)E得到方程由唯一解，根據(jù)二次函數(shù)根的分布問(wèn)題求出.【詳解】如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，則，則，因?yàn)樵诶馍嫌形ㄒ坏囊稽c(diǎn)E使得，所以在上有唯一的解，令，可知，故要想在上有唯一的解，只需，因?yàn)椋越獾茫汗蔬x：B3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，O是底面正方形ABCD的中心，M是的中點(diǎn)，N是上的動(dòng)點(diǎn)，則直線NO?AM的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．異面垂直 D．異面不垂直【答案】C【分析】N是上的動(dòng)點(diǎn)，O是底面正方形ABCD的中心，設(shè)分別是中點(diǎn)，證明，并證明后，即可判定直線NO?AM的位置關(guān)系.【詳解】解：在正方體中，O是底面正方形ABCD的中心，M是的中點(diǎn)，N是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，設(shè)分別是中點(diǎn)，則共線，且與與平行且相等，也即與平行且相等，是平行四邊形，所以，在正方形，，所以，所以，所以，所以直線，因?yàn)樗鼈儾幌嘟?故選：C.二、多選題4．（2021·河北·唐山市第十一中學(xué)高二期中）(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM（

）A．和AC垂直B．和AA1垂直C．和MN垂直D．與AC，MN都不垂直【答案】AC【分析】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，證明＝0，＝0，，即得解.【詳解】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，則D(0，0，0)，D1(0，0，2a)，M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，，∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)，，∴＝0，＝0，，∴OM⊥AC，OM⊥MN．OM和AA1不垂直.故選：AC．三、解答題5．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學(xué)業(yè)考試）如圖，三棱柱的底面為菱形，，為的中點(diǎn)，且.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）以、、為基底，用向量法證明與垂直后可得線面垂直；（2）在正四面體中取中心，得是高，是直線與平面所成角，然后求解可得．（1）證明：以、、為基底，得，,，所以；同理可證，和是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面.（2）由已知四面體是正四面體，如圖，是的中心，是的中點(diǎn)，，是正四面體的高，從而與底面上的直線垂直，是與平面所成的角，則，所以，．6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，點(diǎn)，分別在對(duì)角線，上，且，．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，可得，再將用表示，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律證明，即可得證；（2）根據(jù)（1），根據(jù)，將用表示，從而可得出答案.(1)證明：在矩形中，，因?yàn)槠矫嫫矫?，?/p>