高考數(shù)學一輪復習講練測(新教材新高考)第02講平面向量的數(shù)量積及其應用(七大題型)(講義)(原卷版+解析)

第02講平面向量的數(shù)量積及其應用目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．（2）掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．（3）了解平面向量基本定理及其意義（4）會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算2023年I卷第3題，5分2023年II卷第13題，5分2023年甲卷（理）第4題，5分2022年II卷第4題，5分平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內容，單獨命題時，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結合考查，而此時向量作為工具出現(xiàn)．向量的應用是跨學科知識的一個交匯點，務必引起重視．預測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標運算，同時與三角函數(shù)及解析幾何相結合的解答題也是熱點．知識點一．平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當為銳角時，它是正數(shù)；當為鈍角時，它是負數(shù)；當為直角時，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．③設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．知識點二．數(shù)量積的運算律已知向量、、和實數(shù)，則：①；②；③．知識點三．數(shù)量積的性質設、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當與同向時，；當與反向時，．特別地，或．④．⑤．知識點四．數(shù)量積的坐標運算已知非零向量，，為向量、的夾角．結論幾何表示坐標表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關系（當且僅當時等號成立）知識點五、向量中的易錯點（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負、可為零，且．（2）當時，由不能推出一定是零向量，這是因為任一與垂直的非零向量都有．當時，且時，也不能推出一定有，當是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時，有，但．（3）數(shù)量積不滿足結合律，即，這是因為是一個與共線的向量，而是一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結合律形式的選項，一般都是錯誤選項．（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當且僅當且（或，且【解題方法總結】（1）在上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．（2）數(shù)量積的運算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．（3）根據平面向量數(shù)量積的性質：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題．（4）若、、是實數(shù)，則（）；但對于向量，就沒有這樣的性質，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量．（5）數(shù)量積運算不適合結合律，即，這是由于表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．題型一：平面向量的數(shù)量積運算例1．（2023·吉林四平·高三四平市第一高級中學?？计谀┮阎蛄?，滿足，且與的夾角為，則（

）A．6 B．8 C．10 D．14例2．（2023·全國·高三專題練習）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12 B．8 C．-8 D．2例3．（2023·湖南長沙·周南中學校考二模）已知菱形ABCD的邊長為1，，G是菱形ABCD內一點，若，則（

）A． B．1 C． D．2變式1．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知單位向量，且，若，，則（

）A．1 B．12 C．或2 D．或1變式2．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）將向量繞坐標原點順時針旋轉得到，則（

）A． B．C． D．變式3．（2023·全國·高三專題練習）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5變式4．（2023·天津和平·高三耀華中學?？茧A段練習）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）.

A． B． C． D．變式5．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學附屬中學校考模擬預測）已知向量，滿足同向共線，且，，則（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或15變式6．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預測）在矩形中，與相交于點，過點作于，則（

）A． B． C． D．【解題方法總結】（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量數(shù)量積是中學數(shù)學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛．（3）平面向量的投影問題，是近幾年的高考熱點問題，應熟練掌握其公式：向量在向量方向上的投影為．（4）向量運算與整式運算的同與異（無坐標的向量運算）同：；；公式都可通用異：整式：，僅僅表示數(shù)；向量：（為與的夾角），使用范圍廣泛，通常是求?；蛘邐A角．，通常是求最值的時候用．題型二：平面向量的夾角例4．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為____________．例5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角大小為________.例6．（2023·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習）已知向量和滿足：，，，則與的夾角為__________．變式7．（2023·上海楊浦·復旦附中?？寄M預測）若向量與不共線也不垂直，且，則向量夾角________.變式8．（2023·上海長寧·上海市延安中學校考三模）已知是同一個平面上的向量，若，且，則__________.變式9．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為___________.變式10．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知向量，，，則向量與的夾角為______．變式11．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？寄M預測）已知向量，，若非零向量與，的夾角均相等，則的坐標為___（寫出一個符合要求的答案即可）【解題方法總結】求夾角，用數(shù)量積，由得，進而求得向量的夾角．題型三：平面向量的模長例7．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預測）已知平面向量，，滿足，，且.若，則（

）A． B． C． D．例8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影為，則________.例9．（2023·海南·高三校聯(lián)考期末）已知向量，滿足，，，則__________．變式12．（2023·四川南充·閬中中學?？级＃┮阎獮閱挝幌蛄?，且滿足，則______.變式13．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）已知平面向量滿足,且，則=_________________．變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知向量滿足，，則______．變式15．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知點O為坐標原點，，，點P在線段AB上，且，則點P的坐標為______．變式16．（2023·廣西·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，若，則______．【解題方法總結】求模長，用平方，．題型四：平面向量的投影、投影向量例10．（2023·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎蛄?，，則在方向上的數(shù)量投影為______.例11．（2023·上海虹口·華東師范大學第一附屬中學校考三模）已知若向量在向量方向上的數(shù)量投影為，則實數(shù)_______．例12．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，為單位向量，當向量、的夾角等于時，則向量在向量上的投影向量是________．變式17．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知向量，向量，則向量在向量方向上的投影為_________.變式18．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預測）已知向量，滿足，，，則向量在向量方向上的投影為______.變式19．（2023·全國·高三專題練習）已知非零向量滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是________.變式20．（2023·全國·模擬預測）已知向量，則向量在向量上的投影向量為__________.【解題方法總結】設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．題型五：平面向量的垂直問題例13．（2023·四川巴中·南江中學?？寄M預測）已知向量，若，則___________.例14．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，，其中，為單位向量，且，若______，則.注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.例15．（2023·江西宜春·高三校聯(lián)考期末）設非零向量，的夾角為．若，且，則____________．變式21．（2023·江西南昌·高三統(tǒng)考開學考試）已知兩單位向量的夾角為，若，且，則實數(shù)_________．變式22．（2023·海南·?？寄M預測）已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則實數(shù)的值為______．變式23．（2023·全國·模擬預測）向量，且，則實數(shù)_________．變式24．（2023·全國·高三專題練習）非零向量，，若，則______.變式25．（2023·河南開封·校考模擬預測）已知向量，若，則________．變式26．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學校考模擬預測）已知向量，不共線，，，寫出一個符合條件的向量的坐標：______.變式27．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知向量，，若，則______.【解題方法總結】題型六：建立坐標系解決向量問題例16．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．例17．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學?？既＃┮赃呴L為2的等邊三角形ABC每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點，且，則的值為（

）

A． B．C． D．例18．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預測）下圖是北京2022年冬奧會會徽的圖案，奧運五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設五個圓的圓心分別為、、、、，則的值為（

）

A． B． C． D．變式28．（2023·陜西安康·陜西省安康中學校考模擬預測）如圖，在圓內接四邊形中，.若為的中點，則的值為（

）A．-3 B． C． D．3變式29．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預測）如圖，已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點均位于的內部及三邊上，且恰好可在內任意旋轉，則當時，（

）

A． B． C． D．變式30．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知正方形的邊長為為正方形的中心，是的中點，則（

）A． B． C． D．1【解題方法總結】邊長為的等邊三角形已知夾角的任意三角形正方形矩形平行四邊形直角梯形等腰梯形圓建系必備（1）三角函數(shù)知識；（2）向量三點共線知識．題型七：平面向量的實際應用例19．（2023·江西宜春·高三校考階段練習）一質點受到同一平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知，成120°角，且，的大小都為6牛頓，則的大小為______牛頓.例20．（2023·內蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖所示，把一個物體放在傾斜角為的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個力的作用，即重力，垂直斜面向上的彈力，沿著斜面向上的摩擦力.已知：，則的大小為___________.例21．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，一個物體被兩根輕質細繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩上的拉力分別是，，且，與水平夾角均為，，則物體的重力大小為___________.變式31．（2023·全國·高三專題練習）兩同學合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則與大小之比為___________．變式32．（2023·浙江·高三專題練習）一條漁船距對岸，以的速度向垂直于對岸的方向劃去，到達對岸時，船的實際行程為，則河水的流速是________．【解題方法總結】用向量方法解決實際問題的步驟1．（2023?新高考Ⅰ）已知向量，．若，則A． B． C． D．2．（2022?新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，則A． B． C．5 D．63．（2022?北京）在中，，，．為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，

第02講平面向量的數(shù)量積及其應用目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．（2）掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．（3）了解平面向量基本定理及其意義（4）會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算2023年I卷第3題，5分2023年II卷第13題，5分2023年甲卷（理）第4題，5分2022年II卷第4題，5分平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內容，單獨命題時，一般以選擇、填空形式出現(xiàn)．交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結合考查，而此時向量作為工具出現(xiàn)．向量的應用是跨學科知識的一個交匯點，務必引起重視．預測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標運算，同時與三角函數(shù)及解析幾何相結合的解答題也是熱點．知識點一．平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當為銳角時，它是正數(shù)；當為鈍角時，它是負數(shù)；當為直角時，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．③設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．知識點二．數(shù)量積的運算律已知向量、、和實數(shù)，則：①；②；③．知識點三．數(shù)量積的性質設、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當與同向時，；當與反向時，．特別地，或．④．⑤．知識點四．數(shù)量積的坐標運算已知非零向量，，為向量、的夾角．結論幾何表示坐標表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關系（當且僅當時等號成立）知識點五、向量中的易錯點（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負、可為零，且．（2）當時，由不能推出一定是零向量，這是因為任一與垂直的非零向量都有．當時，且時，也不能推出一定有，當是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時，有，但．（3）數(shù)量積不滿足結合律，即，這是因為是一個與共線的向量，而是一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結合律形式的選項，一般都是錯誤選項．（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當且僅當且（或，且【解題方法總結】（1）在上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．（2）數(shù)量積的運算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．（3）根據平面向量數(shù)量積的性質：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題．（4）若、、是實數(shù)，則（）；但對于向量，就沒有這樣的性質，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量．（5）數(shù)量積運算不適合結合律，即，這是由于表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．題型一：平面向量的數(shù)量積運算例1．（2023·吉林四平·高三四平市第一高級中學?？计谀┮阎蛄?，滿足，且與的夾角為，則（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【解析】`由，且與的夾角為，所以.故選：B.例2．（2023·全國·高三專題練習）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12 B．8 C．-8 D．2【答案】A【解析】在方向上投影向量為，，.故選：A例3．（2023·湖南長沙·周南中學?？级＃┮阎庑蜛BCD的邊長為1，，G是菱形ABCD內一點，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的邊長為1，，所以，所以，則為等邊三角形，因為，所以，設點M為BC的中點，則，所以，所以G，A，M三點共線，所以AM為BC的中線，所以，同理可得點AB，AC的中線過點G，所以點G為的重心，故，在等邊中，M為BC的中點，則，所以.故選：A

變式1．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知單位向量，且，若，，則（

）A．1 B．12 C．或2 D．或1【答案】D【解析】由題意單位向量，且，可知與的夾角為，因為，所以或，故當時，；當時，，故選：D.變式2．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）將向量繞坐標原點順時針旋轉得到，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，因為向量繞坐標原點順時針旋轉得到，所以向量與向量的夾角為，且，所以.故選：B變式3．（2023·全國·高三專題練習）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.變式4．（2023·天津和平·高三耀華中學?？茧A段練習）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）.

A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，即且，∴，又C、P、D共線，有，即，即，而，∴∴=.故選：C變式5．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學附屬中學?？寄M預測）已知向量，滿足同向共線，且，，則（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或15【答案】D【解析】因為向量，滿足同向共線，所以設，又因為，，所以，所以或，即或.①當時，；②當時，；所以的值為3或15.故選：D.變式6．（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預測）在矩形中，與相交于點，過點作于，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示直角坐標系：

則，設，則且，，解得，，在矩形中，為的中點，所以，由，所以，，故選：D.【解題方法總結】（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量數(shù)量積是中學數(shù)學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛．（3）平面向量的投影問題，是近幾年的高考熱點問題，應熟練掌握其公式：向量在向量方向上的投影為．（4）向量運算與整式運算的同與異（無坐標的向量運算）同：；；公式都可通用異：整式：，僅僅表示數(shù)；向量：（為與的夾角），使用范圍廣泛，通常是求模或者夾角．，通常是求最值的時候用．題型二：平面向量的夾角例4．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為____________．【答案】/【解析】設向量，的夾角為，因為，所以．又，所以，所以．故答案為：例5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角大小為________.【答案】/【解析】是夾角為的兩個單位向量，則，，，，，，.故答案為：例6．（2023·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習）已知向量和滿足：，，，則與的夾角為__________．【答案】/【解析】記向量和的夾角為，將平方得到：或，又因為，即．故答案為：.變式7．（2023·上海楊浦·復旦附中?？寄M預測）若向量與不共線也不垂直，且，則向量夾角________.【答案】【解析】由題意可得：，故：，即向量與的夾角為.故答案為：變式8．（2023·上海長寧·上海市延安中學?？既＃┮阎峭粋€平面上的向量，若，且，則__________.【答案】【解析】設，則，，故，，則，，，故，設，，則，又，解得，故.故答案為：.變式9．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為___________.【答案】【解析】由于，所以，所以，所以為銳角，所以.故答案為：變式10．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知向量，，，則向量與的夾角為______．【答案】【解析】，則，則，又，則故答案為：.變式11．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？寄M預測）已知向量，，若非零向量與，的夾角均相等，則的坐標為___（寫出一個符合要求的答案即可）【答案】（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標相等即可.【解析】設，因為，，所以，，因為與，的夾角均相等，所以，所以，化簡得，所以，因為為非零向量，可取，此時.故答案為：（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標相等即可.【解題方法總結】求夾角，用數(shù)量積，由得，進而求得向量的夾角．題型三：平面向量的模長例7．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預測）已知平面向量，，滿足，，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，可得，所以.故選：A例8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影為，則________.【答案】2【解析】∵，∴，∴，∵向量在向量方向上的投影為，∴，∴，∴，∴.故答案為：2例9．（2023·海南·高三校聯(lián)考期末）已知向量，滿足，，，則__________．【答案】【解析】因為，，，則，所以，所以，解得：，.故答案為：.變式12．（2023·四川南充·閬中中學校考二模）已知為單位向量，且滿足，則______.【答案】【解析】為單位向量，且滿足，所以，即，解得，所以.故答案為：.變式13．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）已知平面向量滿足,且，則=_________________．【答案】【解析】由,得,所以.故答案為：變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知向量滿足，，則______．【答案】【解析】由，得，即①．又由，得，即，代入①，得，整理，得，所以．故答案為：變式15．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知點O為坐標原點，，，點P在線段AB上，且，則點P的坐標為______．【答案】【解析】由題知，，設，，，，，，，，，則直線方程為，設點坐標為，，，，求解可得，，，即點坐標為.故答案為：變式16．（2023·廣西·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，若，則______．【答案】【解析】因為，且，所以，解得，所以，所以，所以.故答案為：【解題方法總結】求模長，用平方，．題型四：平面向量的投影、投影向量例10．（2023·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎蛄?，，則在方向上的數(shù)量投影為______.【答案】【解析】因為向量，，所以在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：.例11．（2023·上海虹口·華東師范大學第一附屬中學?？既＃┮阎粝蛄吭谙蛄糠较蛏系臄?shù)量投影為，則實數(shù)_______．【答案】3【解析】由條件可知，向量在向量方向上的數(shù)量投影為，解得：.故答案為：3例12．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，為單位向量，當向量、的夾角等于時，則向量在向量上的投影向量是________．【答案】【解析】因為向量、的夾角等于，所以向量在向量上的投影向量是，故答案為：.變式17．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知向量，向量，則向量在向量方向上的投影為_________.【答案】【解析】.故答案為：變式18．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預測）已知向量，滿足，，，則向量在向量方向上的投影為______.【答案】2【解析】因為，所以，又，，所以，所以，所以向量在向量方向上的投影為.故答案為：變式19．（2023·全國·高三專題練習）已知非零向量滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是________.【答案】【解析】因為，所以，即①.因為向量在向量方向的投影向量是，所以.所以②，將①代入②得，，又，所以.故答案為：變式20．（2023·全國·模擬預測）已知向量，則向量在向量上的投影向量為__________.【答案】【解析】設，因為所以所以則向量在向量上的投影向量為：.故答案為：.【解題方法總結】設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．題型五：平面向量的垂直問題例13．（2023·四川巴中·南江中學?？寄M預測）已知向量，若，則___________.【答案】/【解析】由題意可得，因為，則，解得.故答案為：例14．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，，其中，為單位向量，且，若______，則.注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.【答案】1（答案不唯一）【解析】因為是相互垂直的單位向量，不妨設，即，，即，即向量的端點在圓心為，半徑為的圓周上，故可以取，即；故答案為：1.例15．（2023·江西宜春·高三校聯(lián)考期末）設非零向量，的夾角為．若，且，則____________．【答案】60°/【解析】由題設，所以，又，所以.故答案為：變式21．（2023·江西南昌·高三統(tǒng)考開學考試）已知兩單位向量的夾角為，若，且，則實數(shù)_________．【答案】/-0.8【解析】因為單位向量的夾角為，所以；因為，所以，所以．故答案為：.變式22．（2023·海南·校考模擬預測）已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則實數(shù)的值為______．【答案】/【解析】因為向量在上的投影向量為，所以，又為單位向量，所以，因為，所以，所以，所以，故，故答案為：.變式23．（2023·全國·模擬預測）向量，且，則實數(shù)_________．【答案】【解析】因為向量，所以，又，所以，得，解得．故答案為：.變式24．（2023·全國·高三專題練習）非零向量，，若，則______.【答案】/-0.5【解析】因為，所以，由題易知，，所以.故答案為：變式25．（2023·河南開封·校考模擬預測）已知向量，若，則________．【答案】【解析】因為，，所以，又，所以，解得.故答案為：變式26．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？寄M預測）已知向量，不共線，，，寫出一個符合條件的向量的坐標：______.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意得，，則，設，得，且，滿足條件的向量的坐標可以為（答案不唯一或者）.故答案為：（答案不唯一）變式27．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知向量，，若，則______.【答案】13【解析】∵，，，又∵，∴，解得.故答案為：13【解題方法總結】題型六：建立坐標系解決向量問題例16．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設的夾角為，，，，，，又，不妨設，，，所以，即，，由，當時，即時，有最小值．故選：B例17．（2023·安徽合肥·合肥市第七中學?？既＃┮赃呴L為2的等邊三角形ABC每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點，且，則的值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，以B為坐標原點，直線BC為x軸，過點B且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則，，由，得，所以，，所以．

故選：C.例18．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預測）下圖是北京2022年冬奧會會徽的圖案，奧運五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設五個圓的圓心分別為、、、、，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，做軸于點，所以，由已知可得，，，所以，，，所以.故選：B.

變式28．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）如圖，在圓內接四邊形中，.若為的中點，則的值為（

）A．-3 B． C． D．3【答案】C【解析】連接，由余弦定理知，所以.由正弦定理得，所以為圓的直徑，所以，所以，從而，又，所以為等邊三角形，以為原點，以所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系.則，所以.故選：C.變式29．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預測）如圖，已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點均位于的內部及三邊上，且恰好可在內任意旋轉，則當時，（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是面積為的等邊三角形，記邊長為，所以，解得，記內切圓的半徑為，根據，可得：，解得，因為正方形的面積為2，所以正方形邊長為，記正方形外接圓半徑為，所以其外接圓直徑等于正方形的對角線2，即，根據正方形的對稱性和等邊三角形的對稱性可知.正方形外接圓即為等邊三角形的內切圓，因為正方形可在內任意旋轉，可知正方形各個頂點均在該的內切圓上，以的底邊為軸，以