高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練(新高考專用)第01講任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念(分層精練)(原卷版+解析)

第01講任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念(分層精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·江西南昌·高一?？茧A段練習(xí)）某鐘表里分針按正常方式走了2小時20分，則對應(yīng)時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江西南昌·高一?？茧A段練習(xí)）若是第二象限角，則一定是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．（2023春·河北石家莊·高一石家莊二十三中?？奸_學(xué)考試）已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023春·北京·高一北京二十中?？茧A段練習(xí)）若角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．5．（2023秋·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）折扇是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1，其平面圖如圖2的扇形，其中，，則扇面（曲邊四邊形）的面積是（

）A． B． C． D．6．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B．4 C．或3 D．－4或47．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中學(xué)校考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，若點從點出發(fā)，沿圓心在原點，半徑為3的圓按逆時針方向運動到達點，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．（2023秋·山東·高一山東師范大學(xué)附中?？计谀┮阎堑慕K邊經(jīng)過點，且，則實數(shù)m的值是（

）A． B．C．或 D．或二、多選題9．（2023秋·湖南婁底·高一校考期末）孫尚任在《桃花扇》中寫道：“何處瑤天笙弄，聽云鶴縹緲，玉佩丁冬”．玉佩是我國古人身上常佩戴的一種飾品．現(xiàn)有一玉佩如圖1所示，其平面圖形可以看成扇形的一部分（如圖2），已知，則（

）A． B．弧的長為C．該平面圖形的周長為 D．該平面圖形的面積為10．（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市鐵路中學(xué)校?？计谀┑闹悼赡苁牵?/p>

）A． B．3 C． D．三、填空題11．（2023春·河北石家莊·高一石家莊二十三中?？奸_學(xué)考試）斐波那契螺旋線被稱為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8……為邊長的正方形按如圖的方式拼成長方形，并以每個正方形的某一頂點為圓心畫一個圓心角為的圓弧，這些圓弧連成的弧線被稱為斐波那契螺旋線，圖中的弧線就是斐波那契螺旋線的前一部分，則陰影部分的面積與矩形ABCD的面積之比為________．12．（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）定義：角與都是任意角，若滿足，則稱α與β“廣義互余”，已知，若角與角“廣義互余”，則角___________.（寫出滿足條件的一個角的值即可）四、解答題13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知扇形的圓心角為，面積為，求弧的長，并求含于扇形內(nèi)，且以為弦的弓形面積．14．（2023·高一課時練習(xí)）已知扇形的周長為30．(1)若該扇形的半徑為10，求該扇形的圓心角，弧長及面積;(2)求該扇形面積的最大值及此時扇形的半徑.15．（2023春·上海奉賢·高一?？茧A段練習(xí)）已知角的頂點在原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點，求的值．B能力提升1．（2023春·山東濰坊·高一?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以點為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為，則其面積是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拱券是教堂建筑的主要素材之一，常見的拱券包括半圓拱?等邊哥特拱?弓形拱?馬蹄拱?二心內(nèi)心拱?四心拱?土耳其拱?波斯拱等.如圖，分別以點A和B為圓心，以線段AB為半徑作圓弧，交于點C，等邊哥特拱是由線段AB，，所圍成的圖形.若，則該拱券的面積是（

）A． B．C． D．3．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．4．（2023·高一課時練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑為.（1）若，求扇形的弧長.（2）若扇形的周長為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？5．（2023秋·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點．（點不與原點重合）(1)若，求的值；(2)若，求的取值范圍．C綜合素養(yǎng)1．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）我國古代魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計算圓周率，“割之彌細，所失彌少，割之，又割，以至于不可割，則與圓周合體無所失矣”.劉徽從圓內(nèi)接正六邊形逐次分割，一直分割到圓內(nèi)接正3072邊形，用正多邊形的面積逼近圓的面積.利用該方法，由圓內(nèi)接正n邊形與圓內(nèi)接正邊形分別計算出的圓周率的比值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）2022年冬奧會在北京市和張家口市舉行，北京也成為世界第一個“雙奧”之城，北京冬奧會向世界展現(xiàn)了陽光?自信?開放?充滿希望的中國形象，為世人留下許多精彩瞬間，其中“冰墩墩”給人留下了深刻印象，它的左手手心的愛心形狀向世界表達了友好交流的寓意.如圖，心形曲線可以表示為，A為曲線上一點，記OA與x非負半軸所成的角為，則當(dāng)時，可以是（

）A． B． C． D．3．（2023·高三課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置為（0，1），此時圓上一點的位置為（0，0），該圓沿軸正向滾動，當(dāng)圓滾動到圓心位于（2，1）時，點的坐標(biāo)為______.4．（2023春·四川瀘州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，有一塊扇形鋼板，面積是平方米，其所在圓的半徑為1米.(1)求扇形圓心角的大小；(2)現(xiàn)在鋼板上裁下一塊平行四邊形鋼板，要求使裁下的鋼板面積最大.設(shè)，試問如何確定的位置，才能使裁下的鋼板符合要求？最大面積為多少？第01講任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念(分層精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·江西南昌·高一?？茧A段練習(xí)）某鐘表里分針按正常方式走了2小時20分，則對應(yīng)時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】利用任意角的概念可得，順時針方向旋轉(zhuǎn)角為負角，一小時時針轉(zhuǎn)過的角度為，2小時20分相當(dāng)于小時，所以對應(yīng)時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù).故選：B2．（2023春·江西南昌·高一校考階段練習(xí)）若是第二象限角，則一定是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【詳解】由與的終邊關(guān)于x軸對稱，可知若是第二象限角，則一定是第三象限角．故選：C．3．（2023春·河北石家莊·高一石家莊二十三中?？奸_學(xué)考試）已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以.故選：A.4．（2023春·北京·高一北京二十中校考階段練習(xí)）若角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由三角函數(shù)的定義可知，故選:C5．（2023秋·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）折扇是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1，其平面圖如圖2的扇形，其中，，則扇面（曲邊四邊形）的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由已知，，扇面面積為故選：B．6．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B．4 C．或3 D．－4或4【答案】D【詳解】因為，所以，因為的終邊過點，所以，解得，故選：D7．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，若點從點出發(fā)，沿圓心在原點，半徑為3的圓按逆時針方向運動到達點，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意可知，作出圖示如下：根據(jù)題意可得，，作軸且垂足為；利用三角函數(shù)定義可得，；又點在第四象限，所以點的坐標(biāo)為.故選：C8．（2023秋·山東·高一山東師范大學(xué)附中?？计谀┮阎堑慕K邊經(jīng)過點，且，則實數(shù)m的值是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【詳解】由三角函數(shù)的定義得，解得故選：A二、多選題9．（2023秋·湖南婁底·高一?？计谀O尚任在《桃花扇》中寫道：“何處瑤天笙弄，聽云鶴縹緲，玉佩丁冬”．玉佩是我國古人身上常佩戴的一種飾品．現(xiàn)有一玉佩如圖1所示，其平面圖形可以看成扇形的一部分（如圖2），已知，則（

）A． B．弧的長為C．該平面圖形的周長為 D．該平面圖形的面積為【答案】ACD【詳解】如圖，分別延長與交于點O，易得，得，所以為等邊三角形，，所以，得，該平面圖形的周長為，面積為．故選：ACD.10．（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市鐵路中學(xué)校?？计谀┑闹悼赡苁牵?/p>

）A． B．3 C． D．【答案】ACD【詳解】當(dāng)是第一象限角時，均大于0，；當(dāng)是第二象限角時，大于0，小于0，；當(dāng)是第三象限角時，小于0，大于0，；當(dāng)是第四象限角時，小于0，大于0，；故選：ACD三、填空題11．（2023春·河北石家莊·高一石家莊二十三中校考開學(xué)考試）斐波那契螺旋線被稱為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8……為邊長的正方形按如圖的方式拼成長方形，并以每個正方形的某一頂點為圓心畫一個圓心角為的圓弧，這些圓弧連成的弧線被稱為斐波那契螺旋線，圖中的弧線就是斐波那契螺旋線的前一部分，則陰影部分的面積與矩形ABCD的面積之比為________．【答案】##【詳解】由題意知，矩形的面積為，而陰影部分的面積為，所以陰影部分的面積與矩形的面積之比為.故答案為：.12．（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）定義：角與都是任意角，若滿足，則稱α與β“廣義互余”，已知，若角與角“廣義互余”，則角___________.（寫出滿足條件的一個角的值即可）【答案】（答案不唯一）【詳解】因為,所以或，根據(jù)“廣義互余”定義,,所以或，可取等,答案不唯一.故答案為：.四、解答題13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知扇形的圓心角為，面積為，求弧的長，并求含于扇形內(nèi)，且以為弦的弓形面積．【答案】弧的長為，弓形面積為【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，因為扇形的圓心角為，面積為，所以，根據(jù)扇形面積公式得，解得，所以，弧的長為，

，所以，含于扇形內(nèi)，且以為弦的弓形面積為.14．（2023·高一課時練習(xí)）已知扇形的周長為30．(1)若該扇形的半徑為10，求該扇形的圓心角，弧長及面積;(2)求該扇形面積的最大值及此時扇形的半徑.【答案】(1)，，；(2)，.【詳解】（1）由題知扇形的半徑，扇形的周長為30，∴，∴，，.（2）設(shè)扇形的圓心角，弧長，半徑為，則，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，所以該扇形面積的最大值為，此時扇形的半徑為.15．（2023春·上海奉賢·高一?？茧A段練習(xí)）已知角的頂點在原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點，求的值．【答案】【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，，，所以.B能力提升1．（2023春·山東濰坊·高一校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以點為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為，則其面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】萊洛三角形的周長為，可得弧長，則等邊三角形的邊長，分別以點A、B、C為圓心，圓弧所對的扇形面積均為，等邊的面積，所以萊洛三角形的面積是.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拱券是教堂建筑的主要素材之一，常見的拱券包括半圓拱?等邊哥特拱?弓形拱?馬蹄拱?二心內(nèi)心拱?四心拱?土耳其拱?波斯拱等.如圖，分別以點A和B為圓心，以線段AB為半徑作圓弧，交于點C，等邊哥特拱是由線段AB，，所圍成的圖形.若，則該拱券的面積是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)的長為.所以扇形的面積為.的面積為.所以該拱券的面積為.故選：D3．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，即，解得或，因為，所以.故選：A．4．（2023·高一課時練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑為.（1）若，求扇形的弧長.（2）若扇形的周長為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）；（2），扇形的面積取得最大值25.【詳解】解：（1），.（2）由已知得，，所以，所以當(dāng)時，取得最大值25，此時，.5．（2023秋·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點．（點不與原點重合）(1)若，求的值；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)或(2)【詳解】（1）∵，∴∴或（2）∵，∴又∵,∴,即得∴．C綜合素養(yǎng)1．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）我國古代魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計算圓周率，“割之彌細，所失彌少，割之，又割，以至于不可割，則與圓周合體無所失矣”.劉徽從圓內(nèi)接正六邊形逐次分割，一直分割到圓內(nèi)接正3072邊形，用正多邊形的面積逼近圓的面積.利用該方法，由圓內(nèi)接正n邊形與圓內(nèi)接正邊形分別計算出的圓周率的比值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于正n邊形，其圓心角為，面積為，對于正邊形，其圓心角為，面積為，由此可得，.故選：B.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）2022年冬奧會在北京市和張家口市舉行，北京也