高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練(新高考地區(qū))第22練平面向量的概念及線性運(yùn)算(原卷版+解析)

第22練平面向量的概念及線性運(yùn)算一、課本變式練1.（人A必修二P4習(xí)題6.1T3變式）判斷下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42.（人A必修二P4習(xí)題6.1T4變式）如圖，設(shè)是正六邊形的中心，則與不相等的向量為（

）A． B． C． D．3.（人A必修二P22習(xí)題6.2T4變式）化簡（

）A． B．C． D．4.（人A必修二P16練習(xí)T3變式）已知向量，不共線，，，若，則______．二、考點(diǎn)分類練(一)平面向量的概念5．下列關(guān)于零向量的說法正確的是（

）A．零向量沒有大小 B．零向量沒有方向C．兩個(gè)反方向向量之和為零向量 D．零向量與任何向量都共線6．下列說法正確的是（

）A．向量就是所在的直線平行于所在的直線B．長度相等的向量叫做相等向量C．若，則D．共線向量是在一條直線上的向量7.（多選）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中（

）A．向量的模相等 B．C．向量共線 D．(二)向量的線性運(yùn)算8．（2022屆廣東省揭陽市揭東區(qū)高三上學(xué)期期中）如圖所示，矩形中，若，，則等于（

）A． B．C． D．9.數(shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（

）A． B．C． D．(三)根據(jù)向量的線性運(yùn)算求參數(shù)10．（2022屆內(nèi)蒙古包鋼第一中學(xué)高三一模）已知向量，是兩個(gè)不共線的向量，與共線，則（

）A．2 B． C． D．11.（2022屆江蘇省蘇州市八校高三下學(xué)期三模）在中，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在線段上，且滿足，交于F，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．(四)向量共線定理的及應(yīng)用12．（2022屆重慶市第十一中學(xué)校高三3月月考）下面四個(gè)命題哪些是平面向量，共線的充要條件（

）A．存在一個(gè)實(shí)數(shù)， B．，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C．，方向相同或相反 D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，13.（2022屆山西省懷仁市第一中學(xué)高三上學(xué)期第月考）在中，，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)N.（1）證明：點(diǎn)N為的中點(diǎn)；（2）若，求.三、最新模擬練14．（2022安徽省六安一中、阜陽一中、合肥八中等校高三聯(lián)考）設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是（

）.A． B． C． D．且15．(2022屆河南省許平汝聯(lián)盟高三下學(xué)期核心模擬)已知向量，不共線，且向量與平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．16．(2022屆河南省開封市高三三模)在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，則下列向量與不相等的是（

）A． B． C． D．17．（2022屆福建省廈門高三上學(xué)期期中）設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足273，則△ABC的面積與△BOC的面積的比值為（

）A．6 B． C． D．418.（2022屆湖南省婁底市高三上學(xué)期期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．19.（多選）（2022屆河北省廊坊市高三模擬）已知實(shí)數(shù)、和向量、，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則20.（多選）（2022屆福建省華安縣第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．21.（2022屆林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下測試）半徑為4的圓O上有三點(diǎn)A、B、C，滿足，點(diǎn)P是圓O內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為______．22.（2022屆遼寧省鞍山市高三第二次質(zhì)量監(jiān)測）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分線與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)I，存在非零實(shí)數(shù)，使得，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為________．四、高考真題練23．（2022新高考全國卷=1\*ROMANI）在中,點(diǎn)D在邊AB上,．記,則A. B. C. D.24．(2018高考全國卷Ⅰ)在中,為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則 ()A．B．C． D．25.(2015高考全國卷1)設(shè)D為QUOTEABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則 ()A． B．C． D．五、綜合提升練26．（2022屆湖北省武漢市高三5月全仿真模擬）如圖，在等腰△中，已知分別是邊的點(diǎn)，且，其中且，若線段的中點(diǎn)分別為，則的最小值是（

）A． B．C． D．27．（多選）已知集合E是由平面向量組成的集合，若對(duì)任意，，均有，則稱集合E是“凸”的，則下列集合中是“凸”的有（

）．A． B．C． D．28.（2022屆全國“星云”大聯(lián)考高三第三次聯(lián)考）已知為等邊三角形，點(diǎn)G是的重心．過點(diǎn)G的直線l與線段AB交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn)E．設(shè)，，則__________；與周長之比的取值范圍為__________．29.已知，是非零不共線的向量，設(shè)，定義點(diǎn)集，當(dāng)，時(shí)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為______.30．已知O是線段外一點(diǎn)，若，．（1）設(shè)點(diǎn)、是線段的三等分點(diǎn)，、及的重心依次為、、，試用向量、表示；（2）如果在線段上有若干個(gè)等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論．第22練平面向量的概念及線性運(yùn)算一、課本變式練1.（人A必修二P4習(xí)題6.1T3變式）判斷下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因向量共線，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若，則是假命題，①不正確；因模相等的向量，方向不一定相同，即若，則是假命題，②不正確；因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若，則是假命題，③不正確；由相等向量的定義可知：若，則是真命題，④正確，所以，正確命題的個(gè)數(shù)是1.故選A2.（人A必修二P4習(xí)題6.1T4變式）如圖，設(shè)是正六邊形的中心，則與不相等的向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，.故選D.3.（人A必修二P22習(xí)題6.2T4變式）化簡（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.4.（人A必修二P16練習(xí)T3變式）已知向量，不共線，，，若，則______．【答案】6【解析】因?yàn)?，且，所以存在，使得，即，因?yàn)椋还簿€，所以解得，．二、考點(diǎn)分類練(一)平面向量的概念5．下列關(guān)于零向量的說法正確的是（

）A．零向量沒有大小 B．零向量沒有方向C．兩個(gè)反方向向量之和為零向量 D．零向量與任何向量都共線【答案】D【解析】根據(jù)零向量的概念可得零向量的長度為零，方向任意，故A、B錯(cuò)誤；兩個(gè)反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯(cuò)誤；零向量與任意向量共線，D正確．故選D.6．下列說法正確的是（

）A．向量就是所在的直線平行于所在的直線B．長度相等的向量叫做相等向量C．若，則D．共線向量是在一條直線上的向量【答案】C【解析】對(duì)于A：根據(jù)共線向量的定義可知向量就是所在的直線與所在的直線平行或重合，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：若，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量，零向量與任意向量共線，故選項(xiàng)D不正確；故選C.7.（多選）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中（

）A．向量的模相等 B．C．向量共線 D．【答案】BC【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以∥，所以向量共線，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤，故選BC(二)向量的線性運(yùn)算8．（2022屆廣東省揭陽市揭東區(qū)高三上學(xué)期期中）如圖所示，矩形中，若，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】已知，，由圖可知，.故選A.9.數(shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，，，，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D正確.故選D.(三)根據(jù)向量的線性運(yùn)算求參數(shù)10．（2022屆內(nèi)蒙古包鋼第一中學(xué)高三一模）已知向量，是兩個(gè)不共線的向量，與共線，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榕c共線，所以，，所以，因?yàn)橄蛄?，是兩個(gè)不共線的向量，所以，解得，故選C．11.（2022屆江蘇省蘇州市八校高三下學(xué)期三模）在中，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在線段上，且滿足，交于F，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，因?yàn)樗杂?，因此，因?yàn)?，，，所以，故選B(四)向量共線定理的及應(yīng)用12．（2022屆重慶市第十一中學(xué)校高三3月月考）下面四個(gè)命題哪些是平面向量，共線的充要條件（

）A．存在一個(gè)實(shí)數(shù)， B．，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C．，方向相同或相反 D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，【答案】D【解析】當(dāng)為零向量，為非零向量時(shí)，，則AC選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)為非零向量且同向時(shí)，，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)共線向量基本定理的推論可知，D選項(xiàng)正確.故選D13.（2022屆山西省懷仁市第一中學(xué)高三上學(xué)期第月考）在中，，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)N.（1）證明：點(diǎn)N為的中點(diǎn)；（2）若，求.【解析】（1）證明:設(shè)，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，，.，M，A三點(diǎn)共線，，解得，點(diǎn)N為的中點(diǎn).（2）由（1）知，.設(shè)，，B，C三點(diǎn)共線，，解得，，，，，.三、最新模擬練14．（2022安徽省六安一中、阜陽一中、合肥八中等校高三聯(lián)考）設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是（

）.A． B． C． D．且【答案】A【解析】由可得、同向，故只有時(shí)、同向，而BCD只能確定、共線，故選A15．(2022屆河南省許平汝聯(lián)盟高三下學(xué)期核心模擬)已知向量，不共線，且向量與平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】與平行，，向量不共線，∴存在實(shí)數(shù)k，使得，，解得16．(2022屆河南省開封市高三三模)在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，則下列向量與不相等的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)樵谄矫嫠倪呅蜛BCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所?所以A正確，因?yàn)?，所以，所以B正確，因?yàn)?，所以，所以C正確，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤，故選D17．（2022屆福建省廈門高三上學(xué)期期中）設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足273，則△ABC的面積與△BOC的面積的比值為（

）A．6 B． C． D．4【答案】D【解析】不妨設(shè)，如圖所示，根據(jù)題意則，即點(diǎn)O是△A1B1C1的重心，所以有k，又因?yàn)?，那么，，故△ABC的面積與△BOC的面積的比值為.故選D18.（2022屆湖南省婁底市高三上學(xué)期期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由平行四邊形加法法則可得：，A正確；由三角形加法法則，B錯(cuò)誤；，C正確；，D正確.故選ACD19.（多選）（2022屆河北省廊坊市高三模擬）已知實(shí)數(shù)、和向量、，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，所以，或，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，所以，，即，D對(duì).故選ABD.20.（多選）（2022屆福建省華安縣第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由正八邊形可得，則，A正確；對(duì)于B，連接交于，由可得，由向量的平行四邊形法則可得，又，則，B正確；對(duì)于C，，，易得，又，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由余弦定理可得，又，則，D正確.故選ABD.21.（2022屆林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下測試）半徑為4的圓O上有三點(diǎn)A、B、C，滿足，點(diǎn)P是圓O內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為______．【答案】【解析】如圖，與交于點(diǎn)，由得：，四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是菱形，則，，由圖知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，∴.故答案為22.（2022屆遼寧省鞍山市高三第二次質(zhì)量監(jiān)測）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足A(-1，0)，B(1，0)，，，∠ACB的平分線與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)I，存在非零實(shí)數(shù)，使得，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為________．【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以是的重心，因?yàn)?，所以，所?所以點(diǎn)在的角平分線上，因?yàn)椤螦CB的平分線與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)I，所以點(diǎn)為的內(nèi)心.所以點(diǎn)，即，又，所以與軸平行，又，所以,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，當(dāng)是橢圓的長軸的端點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，所以不能取到橢圓的長軸的端點(diǎn)；當(dāng)是橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí)，與已知存在非零實(shí)數(shù)，使得矛盾，所以不能取到橢圓的短軸的端點(diǎn).又橢圓的焦距為2，所以橢圓的方程為.所以點(diǎn)的軌跡方程為.四、高考真題練23．（2022新高考全國卷=1\*ROMANI）在中,點(diǎn)D在邊AB上,．記,則A. B. C. D.【答案】B【解析】因點(diǎn)D在邊AB上,且,所以,即,所以=．故選B．24．(2018高考全國卷Ⅰ)在中,為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則 ()A．B．C． D．【答案】A【解析】在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，，故選A．25.(2015高考全國卷1)設(shè)D為QUOTEABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則 ()A． B．C． D．【答案】A【解析】由題知=，故選A．五、綜合提升練26．（2022屆湖北省武漢市高三5月全仿真模擬）如圖，在等腰△中，已知分別是邊的點(diǎn)，且，其中且，若線段的中點(diǎn)分別為，則的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在等腰△中，，則，∵分別是邊的點(diǎn)，∴，，而，∴兩邊平方得：，而，∴，又，即，∴當(dāng)時(shí)，最小值為，即的最小值為.故選C27．（多選）已知集合E是由平面向量組成的集合，若對(duì)任意，，均有，則稱集合E是“凸”的，則下列集合中是“凸”的有（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【解析】設(shè)，，，則C為線段AB上一點(diǎn)，因此一個(gè)集合E是“凸”的就是E表示的平面區(qū)域上任意兩點(diǎn)的連線上的點(diǎn)仍在該區(qū)域內(nèi)，四個(gè)選項(xiàng)所表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示：

A

B

C